计算机图形学主要知识点归纳
第一章
计算机图形学是:研究怎么利用计算机来显示、生成和处理图形的原理、方法和技术的一门学科。
计算机图形学的研究对象是图形。构成图形的要素有两类:一类是几何要素(刻画图形状的点、线、面、体),另一类是非几何要素(反映物体表面属性或材质的明暗、灰度、色彩).。
计算机表示图和形常有两种方法:点阵法和参数法。
软件的标准:SGI等公司开发的OpenGL,微软开发的Direct X,Adobe的Postscript 等。
计算机辅助设计与制造(CAD/CAM)
计算机图形系统可以定义为计算机硬件、图形输入输出设备、计算机系统软件和图形软件的集合。
交互式计算机图形系统应具有计算、存储、对话、输入和输出等五方面的功能。
真实感图形的生成一般须经历场景造型、取景变换、视域裁剪、消除隐藏面及可见面光亮度计算等步骤。
虚拟现实系统又称虚拟现实环境,是指由计算机生成的一个实时三维空间。用户可以在其“自由地”运动,随意观察周围的景物,并可通过一些特殊的设备与虚拟物体进行交互操作。
科学计算可视化是指运用计算机图形学和图像处理技术,将科学计算过程及计算结果的数据转换为图形及图像在屏幕上显示出来并进行交互处理的理论、方法和技术。
第二章
鼠标器是用来产生相对位置。鼠标器按键数分为两种:MS型鼠标(双按键鼠标)和PC型鼠标(三按键鼠标)。
触摸屏也叫触摸板,分为:光学的红外线式触摸屏、电子的电阻式触摸屏和电容式触摸屏、声音的声波式触摸屏。
数据手套是由一系列检测手和手指运动的传感器的构成。来自手套的输入可以用来
给虚拟场景的对象定位或操纵该场景。
显示设备的另一个重要组成部分的是显示控制器。它是控制显示器件和图形处理、转换、信号传输的硬件部分,主要完成CRT的同步控制、刷新存储器的寻址、光标控制以及图形处理等功能。
阴极射线管CRT由电子枪、偏转系统及荧光屏3个基本部分组成。电子枪的主要功能是产生一个沿管轴(Z轴)方向前进的高速的细电子束(轰击荧光屏)。
光栅的枕形失真是由于同样的偏转角增量所造成的偏转距离增量的最大。
荧光粉的余辉特性是指这样一种性质:电子束轰击荧光粉时,荧光粉的分子受激而发光,当电子束的轰击停止后,荧光粉的光亮并非立即消失,而是按指数规律衰减,这种特性叫余辉特性。余辉时间定义为,从电子束停止轰击到发光亮度下降到初始值的1%所经历的时间。
CRT图形显示器分为:随机扫描的图形显示器,直视存储管图形显示器,光栅扫描的图形显示器。
目前常用的PC图形显示子系统主要由3个部件组成:帧缓冲存储器、显示控制器和一个ROM BIOS芯片。
分辨率分为屏幕分辨率、显示分辨率和图形存储分辨率。3种分辨率的概念既有区别又有联系,对图形的显示都会产生一定的影响。在三者之间,屏幕分辨率决定了所能显示的最高分辨率;但显示分辨率和存储分辨率对所能显示的图形分辨率也有控制作用。如果存储分辨率小于屏幕分辨率,尽管显示分辨率可以提供最高的屏幕分辨率,屏幕上也不能显示出应有的显示模式。存储分辨率还必须大于显示分辨率,否则不能够显示出应有的显示模式。
第三章
图形输入设备的逻辑分类:定位设备、笔划设备、数值设备、选择设备、拾取设备、字符串设备。
引力域、橡皮筋技术、草拟技术
第四章
按所构造的图形对象可分为规则对象和不规则对象。
规则对象是指能用欧式几何进行描述的形体。其造型又称为几何造型。
一个完整的几何模型应包括物体的各部分几何形状及其在空间的位置(即几何信息)和各部分之间的连接关系(即拓扑信息)。
不规则对象的造型系统,大多采用过程式模拟,即用一个简单的模型以及少量的易于调节的参数来表示一大类对象,不断改变参数,递归
调用这一模型就能一步一步地产生数据量很大的对象,这一技术也被称为数据放大技术。
不规则对象造型方法主要有:基于分数维理论的随机模型、基于文法的模型、粒子系统模型和非刚性物体模型等等。
一般在二维图形系统将基本图形元素称为图素或图元,而在三维图形系统称为体素。
图素是指可以用一定的几何参数和属性参数描述的最基本的图形输出元素,包括点、线、圆、圆弧、椭圆、二次曲线等。体素是三维空间可以用有限个尺寸参数定位和定形的最基本的单元体。段是指具有逻辑意义的有限个图素(或体素)及其附加属性的集合。
几何信息一般指形体在欧式空间的位置和大小;而拓扑信息则是形体各分量(点、
线、面)的数目及其相互间的连接关系。
拓扑等价即一个图形作弹性运动可使之与另一个图形重合。
坐标系分为:建模坐标系(又称造型坐标系,用来定义基本图素或图段,对于定义的每一个形体和图素都有各自的子坐标原点和长度单位。又可看做是局部坐标系)、用户坐标系(也称为世界坐标系,用于定义用户整图或最高层图形结构)、观察坐标系(主要用途,一是用于指定裁剪空间,确定形体的哪一部分要显示输出;二是通过定义观察(投影)平面,
把三维形体的用户坐标变换成规格化的设备坐标。)、规格化设备坐标系(用来定义视图区)、设备坐标系(是图形输入输出设备的坐标系)。
所谓二维流形指的是对于实体表面上的任意一点,都可以找到一个围绕着它的任意小的领域,该领域与平面上的一个圆盘式拓扑等价的。
实体的定义:对于一个占据有限空间的正则形体,如果其表面是二维流形,则该正则形体为实体。
实体模型的表示大致分为边界表示、构造实体几何表示、空间分割表示。
分形几何表示的物体具有无限的自相似性的基本特征。
形状语法通常将一组产生式规则应用到初始物体,从而增加与原形状协调的细节层次。
给定一组产生式规则,形状设计者可以在从给定初始物体到最终物体结构的每一次变换应用不同的规则。
第五章
图形的扫描转换定义为在光栅显示器等数字设备上确定一个最佳逼近与图形的像素集的过程。逼近过程的本质可以认为是连续量向离散量的转换。
数值微分算法
点Bresenham算法
改进的Bresenham算法
点Bresenham画圆
椭圆的点Bresenham算法
从多边形顶点表示到点阵表示的转换,这种转换就成为扫描转换多边形或多边形的填充,即从多边形的顶点出发,求出位于其内部的各个像素,并将其颜色值写入帧缓存的相应单元。
X—扫描线算法填充多边形的基本思想是按扫描线顺序,计算扫描线与多边形的相交区间,再用要求的颜色显示这些区间的像素,即完成填充工作。
边缘填充算法的基本思想是按任意顺序处理多边形的每一条边。在处理每一条边时,首先求出该边与扫描线得交点,然后将每一条扫描线上交点右方的所有像素取补。多边形的所有处理完毕之后,填充即完成。
栅栏填充算法的基本思想同样是按照任意顺序处理多边形的每一条边,但是在处理每条边与扫描线的交点时,将交点与栅栏之间的像素取补。
区域填充是指从区域的一个点(种子)开始,由内向外将填充色扩展到整个区域内的过程。
对区域进行内—外测试通常用奇—偶规则和非零环绕数规则。
奇—偶规则的测试方法是:从任意位置,假定为P点,做一条射线,若与该射线相交的多边形边的数目为奇数,则P点是多边形内部点,否则是多边形的外部点。
另一个进行内-外测试的方法是非零环绕数规则。首先按逆时针方向对多边形的顶点进行排序,使多边形的边变为矢量,然后将环绕数初始化为零,再从任意位置,假定
为P点,作一条射线,该射线不与任何多边形顶点相交。当从P点沿射线方向移动时,对在每个方向上穿过射线的边计数,每当多边形的边从右到左穿过射线时,环绕数加1,从左到右时,环绕数减1。处理完多边形的所有相关边之后,若环绕数为零,则P为内部点,否则,P为外部点。
用离散量表示连续量引起的失真就叫走样。
用于减少或消除这种效果的技术叫做反走样。
反走样方法:在高于显示分辨率的较高分辨率下用点取样方法计算,然后对几个像素的属性进行平均得到较低分辨率下的像素属性。这种技术称为过取样,或后滤波。
反走样的另一种方法是根据图形对象在每个像素点上的覆盖率来确定像素点的亮度,这种计算覆盖率的反走样技术称为区域取样,或前滤波。
第六章
规范化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示。
二维变换矩阵
[x’ y’ 1]=[x y 1]*T(2D)=[x y 1]*
可把T(2D)分为4个子矩阵:
T1= 是对图形进行比例、转移、对称、错切等变换。
T2=[l m]是对图形进行平移变换。
T3= 是对图形作投影变换。
T4=[s]是对图形作整体比例变换。
平移变换
比例变换
旋转变换
对称变换
二维图形几何变换的计算
相对任一参考点的二维几何变换
相对任意方向的二维几何变换
坐标系之间的变换
直接对帧缓存的像素点进行操作的变换一般称为光栅变换。
变换的性质:(1)直线的点不变性,即原直线点变换后仍是直线的点。(2)平行直线不变性,即平行直线作相同变换后仍平行。(3)相交不变性,两条直线相交,交点变换后仍是交点。(4)仅包含旋转、平移和反
射的仿射变换维持角度和长度的不变性。(5)比例变化可改变图形的大小和形状。(6)错切变化引起图形角度关系的改变,甚至导致图形发生畸变。
在计算机图形学,将在用户坐标系需要进行观察和处理的一个坐标区称为窗口;将窗口映射到显示设备上的坐标区域称为视区。因此,窗口是在用户坐标系定义的,而视区是在设备坐标系(屏幕坐标系)定义的。窗口定义了要显示什么,而视区定义在何处显示。
将窗口到视区的变换称为观察变换。
所谓观察坐标系是依据窗口的方向和形状在用户坐标系定义的直角坐标系。
P161变焦距效果(窗口变、视区不变)
P162整体放缩效果(窗口不变、视区变)
编码裁剪算法
梁友东-Barsky算法
逐边裁剪算法,其基本思想是将多边形边界作为一个整体,每次用窗口的一条边界对要裁剪的多边形进行裁剪,体现分而治之的思想。
双边裁剪算法,不能裁剪凹多边形。
第七章
三维齐次坐标变换矩阵
正投影(投影线与投影面垂直)
三维几何变换矩阵
P’=[x’ y’ z’ 1]=P*T(3D)=[x y z 1]* 可将T(3D)分为4个子矩阵:
T1= 作用是对点进行比例、对称、旋转、错切变换。T2=[l m n]作用是对点进行平移变换。
T3= 作用是进行透视投影变换。
T4=[s]作用是产生整体比例变换。
平移变换
比例变换
旋转变换
对称变换
错切变换
相对任一参考点的三维变换
绕任意轴的三维旋转变换
平行投影还变具有较好的性质:能精确地反映物体的实际尺寸,即不具有透视缩小性。另外平行线经过平行投影变换后仍保持平行。
三视图
主视图
俯视图
侧视图
正轴测图的投影变换矩阵
斜投影图,即斜轴测图,是将三维形体向一个单一的投影面做平行投影。但投影方向不垂直于投影面所得到的平面图形。
透视投影的特性:透视缩小效应,即三维形体透视投影的大小与形体到投影心的距离成反比。
对于透视投影,一束平行于投影面的投影可保持平行。而不平行于投影面的平行线的投影会聚集到一个点,这个点叫做灭点。
坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点又称为主灭点。主灭点最多有三个。
一点透视有一个主灭点,即投影面与坐标轴正交,与另外两个坐标轴平行。
二点透视有两个主灭点,即投影面与两个坐标轴相交,与另一个坐标轴平行。
三点透视有三个主灭点,即投影面与三个坐标轴都相交。
一点透视(变换)
二点透视(变换)
观察空间:将观察窗口沿投影方向作平移运动,产生的三维形体。
三维观察流程如下:
在观察坐标系对三维形体实施平行投影,其变换等同于先实施将平行投影的观察空间变换为平行投影的规范化观察空间的变换,即平行投影的规范化投影变换,再进行正投影。
第八章
曲线曲面的表示要求:惟一性、几何不变性、易于定界、统一性、易于实现光滑连接、几何直观。
曲面曲线的表示
样条曲线是指由多项式曲线段连接而形成的曲线,在每一段的边界处满足特定的连续条件。
样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述,有不同的样条描述方法,每种方法都是一种带有特定边界条件的特殊多项式表达类型。
当用一组型值点来指定曲线曲面的形状时,形状完全通过给定的型值点列,用该方法得到曲线曲面称为曲线曲面的拟合。而当用一组控制点来指定曲线曲面的形状时,求出的形状不必通过控制点列,该方法称为曲线曲面的逼近。另外,求给定型值点之间曲线上的点称为曲线的差值。
一般将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制多边形或特征多边形。
P218
参数曲线段P i =P i (t ) t ∈【t i0,t i1】
参数连续性:0阶参数连续性,记作c0连续性,是指曲线的几何位置连接,即第一个曲线段在t i1处的x,y,z值与第二个曲线段在t(i+1)0处的x,y,z值相等。:P i(t i1)= P (t(i+1)0)
(i+1)
1阶参数连续性,记作c1连续性,指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数(切线):P i(t i1)= P(i+1)(t(i+1)0)且P‘i(t i1)= P’(i+1)(t(i+1)0) 2阶参数连续性,记作c2连续性,支两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。对于c2连续性,交点处的切向量变换率相等,即切线从一个曲线段平滑地变化到另一个曲线段。
几何连续性:曲线段相连的另一个连续性条件,与参数连续性不同的是,它只需要曲线段在相交处的参数导数成比例即可。
0阶几何连续性,记作G0连续性,与0阶参数连续性的定义相同,满足:P i(t i1) = P(i+1)(t(i+1)0)
1阶几何连续性,记作G1连续性,指一阶导数在相邻段的交点处成比例,则相邻曲线段在交点处切向量的大小不一定相等。
2阶几何连续性,记作G2连续性,指相邻曲线段在相交处其一阶和二阶导数均称比例。G2连续性下,两个曲线段在交点处的曲率相等。
C=M s*G 其,G是包含样条形式的几何约束性条件(边界条件)在内的(n+1) *3阶矩阵,它包含了控制点的坐标值和其他已被指定的几何约束性。M s是(n+1)*(n+1)阶矩阵,也称为基矩阵,它将几何约束值转化成为多项式系数且提供了样条曲线的特征,刻划了一个样条表示。
样条参数多项式曲线的矩阵:P(t)= T*M s*G 其,T和M s确定了一组新的基函数,或称为混合函数。
三次多项式方程是能表示曲线段的端点通过特定点且在连续处保持位置和斜率的连续性的最低阶次的方程。
Bezier曲线段以参数方程表示:
P(t) = ∑P k BEN k,n(t) t∈【0,1】
其,BEN k,n(t) =
一次Bezier曲线 n=1时,有两个控制点P0和P1,Bezier多项式是一次多项式: P(t)= (1-t)P0+t P1 t∈【0,1】
二次Bezier曲线 n=2时,有3个控制点P0、P1和P2,Bezier多项式是二次多项式:
P(t)= (P2-2P1+P0)t2+2(P1-P0)t+ P0 t∈【0,1】
则二次Bezier曲线为抛物线,其矩阵形式为
P(t)= 【t2 t 1】*
三次Bezier曲线
主要看(8-10)、(8-11)、(8-12)、(8-13)(8-14)
Bezier曲线的性质:
(1)端点、
(2)一阶导数
(3)二阶导数
(4)对称性
(5)凸包性
(6)几何不变性
(7)变差减少性
(8)控制顶点变化对曲线形状的影响
B样条曲线的数学表达式为P(t)=∑P k B k,m(t)
其,P k(k=0,1,…n)为n+1个控制点,又称为de Boor点。由控制点顺序连成的折线称为B样条控制多边形,简称控制多边形。m是2到控制点个数n+1之间的任一整数(m=1时由如下 B k,m(t)定义,“曲线”正好是控制点本身)。参数t的选取取决于B样条节点矢量的选取。B k,m(t)是B样条基函数,由Cox-deBoor递归公式可定义为(8-19)
M是曲线的阶数,(m-1)为B样条曲线的次数,曲线在连接点处具有(m-2)阶连续。t k是节点值,T = (t0,t1,… t n+m)构成m-1次B样条函数的节点矢量,其节点是非减序列,所生成的B样条曲线定义在从节点值t m-1到节点值t m+1的区间上,而每个基函数定义在t的取值范围内的t k到t k+m子区间上。 P231
节点矢量分为三种:均匀的、开放均匀的和非均匀的。
均匀周期性B样条曲线的推导
曲线的起点和终点值:P(start)=1/2(P0+ P1), P(end)= 1/2(P2+ P3)
均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数:P‘(start)=P1- P0