《线性代数》
授课教案
刘思圆
第一章行列式
本章说明与要求:
行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：
(1) 行列式的定义；
(2) 行列式的基本性质及计算方法；
(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．
本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式．
计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．
行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。
。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。
§1.1 二阶与三阶行列式
行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．
设有二元线性方程组
??
?=+=+2
2221211
112111b x a x a b x a x a (1)
用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22–a 12a 21≠0 时，有
???
???
?--=--=2112221121
1211221
1222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2)
这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号
2112221122
211211a a a a a a a a -=
为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．
根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成
222
121212221a b a b b a a b =
-，2
21
111211211b a b a a b b a =
-，
如果记22
21
1211a a a a D =
，22
2
1211a b a b D =
，2
21
1112b a b a D =
则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成
2221121122212111a a a a a b a b D D x ==，22
21121122111122a a a a b a b a D D x ==，(3) 象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．
首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x 1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x 2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．
例1 用二阶行列式解线性方程组
??
?=+=+2
31422121x x x x 解：这时0214323
142≠=?-?==
D ，
524313
2
411-=?-?==
D ，311222
1
1
22=?-?==
D ， 因此，方程组的解是
2511-==
D D x ，2
3
22==D D x ， 对于三元一次线性方程组
???
??=++=++=++33332321
3123232221211
313212111b
x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (4)
作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号
31
22133321123223113221133123123322113332
31
23222113
1211
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= (5)
为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．
例2 5
3
2
134
212
- 10
62012242301325)4(123223)4(211532=-+--+==
??-?-?-??-??-+??+??=
令 3332
31
23222113
1211
a a a a a a
a a a D = 3332
3
23222
13121
1a a b a a b a a b D =，3333123221131112a b a a b a a b a D =，3
32
31
22221
112113b a a b a a b a a D =． 当D ≠0时，(4)的解可简单地表示成
D D x 11=
，D D
x 22=，D
D x 33=(6) 它的结构与前面二元一次方程组的解类似．
例3解线性方程组
???
??=-+=-+=+-4
23152302321
321321x x x x x x x x x 解：282315231
12=---=D ，132
3
4
521
1101=---=D ， 472
4
1
51
31022=--=D ，214
3
1123
123=-=D ． 所以，28
13
11=
=
D D x ，284722==D D x ，43282133===D D x ． 例4 已知01
0100
=-a b b a ，问a ，b 应满足什么条件？(其中a ，b 均为实数)．
解：221
0100
b a a b b a +=-，若要a 2+b 2=0，则a 与b 须同时等于零．因此，当a =0且b =0时给定行列式等于零．
为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．
思考题：
当a 、b 为何值时，行列式
02
2
==
b a b a D ．
§1.2 排列
在n 阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识． 定义1由数码1，2，…，n 组成一个有序数组称为一个n 级排列．
例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．
数字由小到大的n 级排列1234…n 称为自然序排列．
定义2在一个n 级排列i 1i 2…i n 中，如果有较大的数i t 排在较小的数i s 的前面(i s
例如，在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N (3412)=4．同样可计算排列52341的逆序数为N (52341)=7．
容易看出，自然序排列的逆序数为0．
定义3 如果排列i 1i 2…i n 的逆序数N (i 1i 2…i n )是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列． 例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列． 自然排列123…n 是偶排列．
定义4在一个n 级排列i 1…i s …i t …i n 中，如果其中某两个数i s 与i t 对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n 级排列i 1…i t …i s …i n ，这样的变换称为一个对换，记作(i s ，i t )．
如在排列3412中，将4与2对换，得到新的排列3214． 并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214． 反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412．
一般地，有以下定理：
定理1任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变． 证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为：
a 1a 2…a l ij
b 1b 2…b m
c 1c 2…c n
将相邻两个数i 与j 作一次对换，则排列变为
a 1a 2…a l ji
b 1b 2…b m
c 1c 2…c n
显然对数a 1，a 2，…a l ，b 1，b 2，…，b m 和c 1c 2…c n 来说，并不改变它们的逆序数．但当i
再讨论一般情况，设排列为
a 1a 2…a l i
b 1b 2…b m j
c 1c 2…c n
将i 与j 作一次对换，则排列变为
a 1a 2…a l j
b 1b 2…b m i
c 1 c 2…c n
这就是对换不相邻的两个数的情况．但它可以看成是先将i 与b 1对换，再与b 2对换，…，最后与b m 的对换，即i 与它后面的数作m 次相邻两数的对换变成排列
a 1a 2…a l
b 1b 2…b m ij
c 1…c n
然后将数j 与它前面的数i ，b m …，b 1作m +1次相邻两数的对换而成．而对换不相邻的数i 与j (中间有m 个数)，相当于作2m +1次相邻两数的对换．由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m +1次，而2m +1为奇数，因此，不相邻的两数i ，j 经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同．
定理2在所有的n 级排列中(n ≥2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为2
!n 个．
证明：设在n !个n 级排列中，奇排列共有p 个，偶排列共有q 个．对这p 个奇排列施以同一个对换，如都对换(1，2)，则由定理1知p 个奇排列全部变为偶排列，由于偶排列一共只有q 个，所以p ≤q ；同理将全部的偶排列施以同一对换(1，2)，则q 个偶排列全部变为奇排列，于是又有q ≤p ，所以q =p ，即奇排列与偶排列的个数相等．
又由于n 级排列共有n !个，所以q +p =n !，2
!n p q ==．
定理3任一n 级排列i 1i 2…i n 都可通过一系列对换与n 级自然序排列12…n 互变，且所作对换的次数与这个n 级排列有相同的奇偶性．
证明：对排列的级数用数学归纳法证之． 对于2级排列，结论显然成立．
假设对n –1级排列，结论成立，现在证明对于n 级排列，结论也成立．
若i n =n ，则根据归纳假设i 1i 2…i n –1是n –1级排列，可经过一系列对换变成12…(n –1)，于是这一系列对换就把i 1i 2…i n 变成12…n ．若i n ≠n ，则先施行i n 与n 的对换，使之变成i 1'i 2'…'i 'n –1n ，这就归结成上面的情形．相仿地，12…n 也可经过一系列对换变成i 1i 2…i n ，因此结论成立．
因为12…n 是偶排列，由定理1可知，当i 1i 2…i n 是奇(偶)排列时，必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，
所施行对换的次数与排列i 1i 2…i n 具有相同的奇偶性．
思考题：
1．决定i 、j 的值，使 (1)1245i 6j 97为奇排列； (2) 3972i 15j 4为偶排列．
2．排列n (n –1)(n –2)…321经过多少次相邻两数对换变成自然顺序排列？
§1.3 n 阶行列式
本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手．引出n 阶行列式的定义． 已知二阶与三阶行列式分别为
2112221122
21
1211a a a a a a a a -=
31
22133321123223113221133123123322113332
31
23222113
1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= 其中元素a ij 的第一个下标i 表示这个元素位于第i 行，称为行标，第二个下标j 表示此元素位于第j 列，称为列标．
我们可以从中发现以下规律：
(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；
(2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；
(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号．
作为二、三阶行列式的推广我们给出n 阶行列式的定义．
定义1由排成n 行n 列的n 2个元素a ij (i ，j =1，2，…，n )组成的符号
nn
n n n
n
a a a a a a a a a 21
22221
11211
称为n 阶行列式．它是n !项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n 个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号．于是得
nn
n n n n
a a a a a a a a a 21
2222111211＝∑n j j j 21n n nj j j j j j N a a a 212121)
()1(- (1)
其中
∑
n
j j j 21表示对所有的n 级排列j 1j 2…j n 求和．
(1)式称为n 阶行列式按行标自然顺序排列的展开式．)
(21)
1(n j j j N -n nj j j a a a 2121称为行列式的一般项．
当n =2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§1.1中用对角线法则定义的是一致的．当n =1时，一阶行列为|a 11|= a 11．如
当n =4时，4阶行列式
44
3424
144342
41
333231
232221131211
a a a a a a a a a a a a a a a a 表示4！=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素的乘积恰为4！项．根据n 阶行列式的定义，4阶行列式
为
44
3424
144342
41
333231232221131211 a a a a a a a a a a a a a a a a ∑-４４４＝j j j j j j j j j j j N a a a a 213214321321)()1( 例如a 14a 23a 31a 42行标排列为1234，元素取自不同的行；列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N (4312)=5，所以该项取负号，即–a 14a 23a 31a 42是上述行列式中的一项．
为了熟悉n 阶行列式的定义，我们来看下面几个问题． 例1在5阶行列式中，a 12a 23a 35a 41a 54这一项应取什么符号？
解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514． 因 N (23514)=4，故这一项应取正号．
例2写出4阶行列式中，带负号且包含因子a 11a 23的项． 解：包含因子a 11a 23项的一般形式为
４４j j j j N a a a a 34332311)13()1(-
按定义，j 3可取2或4，j 4可取4或2，因此包含因子a 11a 23的项只能是
a 11a 23a 32a 44或a 11a 23a 34a 42
但因N (1324)=1为奇数
N (1342)=2为偶数
所以此项只能是 –a 11a 23a 32a 44．
例3计算行列式
h
g
v
u
f e y x d c b a 0000
解 这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24项．但只有以下四项
adeh ，adfg ，bceh ，bcfg
不为零．与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234，1243，2134和2143，而N (1234)=0，N (1243)=1，N (2134)=1和N (2143)=2，所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项应取负号，即
h
g
v
u
f e y x d c b a 0000=adeh –adf
g –bce
h +bcfg
例4 计算上三角形行列式
nn n
n
a a a a a a D 212212
11
00
0=
其中a ii ≠０ (i =1， 2，…， n )．
解：由n 阶行列式的定义，应有n !项，其一般项为
n
nj j j a a a 2121
但由于D 中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可．在D 中，第n 行元素除a nn 外，其余均为０．所以j n =n ；在第n –1行中，除a n –1n –1和a n –1n 外，其余元素都是零，因而j n –1只取n –1、n 这两个可能，又由于a nn 、a n –1n 位于同一列，而j n =n ．所以只有j n –1=n –1．这样逐步往上推，不难看出，在展开式中只有a 11a 22…a nn 一项不等于零．而这项的列标所组成的排列的逆序数是N (12…n )=0故取正号．因此，由行列式的定义有
nn
n
n a a a a a a D 21221211
0=
=a 11a 22…a nn 即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积．
同理可求得下三角形行列式
nn
n n a a a a a a
021
222111=a 11a 22…a nn 特别地，对角形行列式
nn
a a a 0
0002211=a 11a 22…a nn 上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积．
例5 计算行列式
0000
001
121
n n n a a a - 解 这个行列式除了a 1n a 2n –1…a n 1这一项外，其余项均为零，现在来看这一项的符号，列标的n 级排列为n (n –1)…21，N (n (n –1)…21)=(n –1)+ (n –2)+…+2+1=
2
)
1(-?n n ，所以
000
000
001
121
n n n
a a a -=11212)
1()1(n n n n n a a a --- 同理可计算出
01
122221112
11
n n n
a a a a a a a -=
nn
nn n n
n n
a a a a a a 1
121
2100
0--
=11212)
1()1(n n n n n a a a --- 由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的n 个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0．
在n 阶行列式中，为了决定每一项的正负号，我们把n 个元素的行标排成自然序排列，即n nj j j a a a 2121．事实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n 个元素的次序是可以任意写的，一般地，n 阶行列式的项可以写成
n n j i j i j i a a a 2211(2)
其中i 1i 2…i n ，j 1j 2…j n 是两个n 阶排列，它的符号由下面的定理来决定．
定理1 n 阶行列式的一般项可以写成
n n n n j i j i j i j j j N i i i N a a a 22112121)()()1(+- (3)
其中i 1i 2…i n ，j 1j 2…j n 都是n 级排列．
证明：若根据n 阶行列式的定义来决定(2)的符号，就要把这n 个元素重新排一下，使得它们的行标成自然顺序，也就是排成
''2'121n nj j j a a a (4)
于是它的符号是)
'''(21
)1(n j j
j N -
现在来证明(1)与(3)是一致的．我们知道从(2)变到(4)可经过一系列元素的对换来实现．每作一次对换，元素的行标与列标所组成的排列i 1i 2…i n ，j 1j 2…j n 就同时作一次对换，也就是N (i 1i 2…i n )与N (j 1j 2…j n )同时改变奇偶性，因而它的和
N (i 1i 2…i n )+N (j 1j 2…j n )
的奇偶性不改变．这就是说，对(2)作一次元素的对换不改变(3)的值，因此在一系列对换之后有
)'''()'''()12()()(21212121)1()1()1(n n n n j j j N j j j N n N j j j N i i i N -=--++＝
这就证明了(1)与(3)是一致的．
例如，a 21a 32a 14a 43是4阶行列式中一项，它和符号应为(–1)N (2314)+N (1243)= (–1)2+1= –1．如按行标排成自然顺序，就是a 14a 21a 32a 43，因而它的符号是(–1)N (4123)=(–1)3= –1
同样，由数的乘法的交换律，我们也可以把行列式的一般项n nj j j a a a 2121中元素的列标排成自然顺序123…n ，而此时相应的行标的n 级排列为i 1i 2…i n ，则行列式定义又可叙述为
∑-n n n i i i n i i i i i i N nn
n n n
n
a a a a a a a a a a a a 21212121)(21
2222111211)1(＝．
思考题：
1．如果n 阶行列式所有元素变号，问行列式的值如何变化？
2．由行列式的定义计算
f (x )=
x
x x x x
1
11
1231
11212-
中x 4与x 3的系数，并说明理由．
§1.4 行列式的性质
当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n 阶行列式的值是困难的，本节将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式(如上三角形行列式等)来计算．
将行列式D 的行列互换后得到的行列式称为行列式D 的转置行列式，记作D T ，即若
nn
n n n n a a a a a a a a a D
2
1
22221
11211
=
， 则nn
n
n n n T
a a a a a a a a a D 212
2212
12111=．
反之，行列式D 也是行列式D T 的转置行列式，即行列式D 与行列式D T 互为转置行列式．
性质１ 行列式D 与它的转置行列式D T 的值相等．
证：行列式D 中的元素a ij (i ， j =1， 2， …，n )在D T 中位于第j 行第i 列上，也就是说它的行标是j ， 列标是i ，因此，将行列式D T 按列自然序排列展开，得
∑-=
n
n n j j j nj j j j j j N T a a a D 21212121)
()
1(
这正是行列式D 按行自然序排列的展开式．所以D =D T ．
这一性质表明，行列式中的行、列的地位是对称的，即对于“行”成立的性质，对“列”也同样成立，反之亦然． 性质２ 交换行列式的两行(列)，行列式变号． 证：设行列式
)()(2
1
2121
11211
行行s i a a a a a a a a a a a a D nn
n n sn s s in i i n
= 将第i 行与第s 行(1≤i ＜s ≤n )互换后，得到行列式
)()(2
1
2121
11211
1行行s i a a a a a a a a a a a a D nn
n n in i i sn s s n
= 显然，乘积n s i nj sj ij j a a a a 11在行列式D 和D 1中，都是取自不同行、不同列的n 个元素的乘积，根据§3 定理１，对于行列式D ，这一项的符号由
)()1(1)1(n s i j j j j N n s i N +-
决定；而对行列式D 1，这一项的符号由
)()1(1)1(n s i j j j j N n i s N +-
决定．而排列1…i …s …n 与排列1…s …i …n 的奇偶性相反，所以
)()1(1)1(n s i j j j j N n s i N +-= –)()1(1)1(n s i j j j j N n i s N +-
即D 1中的每一项都是D 中的对应项的相反数，所以D = –D 1．
例１计算行列式
5
3
7
0400800005
17536
03924--=D 解：将第一、二行互换，第三、五行互换，得
5040080530
70392
41
75
36)1(2---=D 将第一、五列互换，得
120!5543215
0840007530
04
392
06
75
31)1(3-=-=????-=---=D 推论 若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零． 证：将行列式D 中对应元素相同的两行互换，结果仍是D ，但由性质２有
D = –D ， 所以D =0．
性质３ 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．即
nn
n n in i i n nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a
2
1
11112
11211111211= 证：由行列式的定义有 左端＝
∑-n
n i n j j j nj ij j j j j N a ka a 21121)()
1(1)
( ＝∑-n
n i n j j j nj ij j j j j N a a a k
211211)
()
1(
＝右端．
此性质也可表述为：用数k 乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用数k 乘此行列式． 推论：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零． 证：由性质３和性质２的推论即可得到．
性质４ 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即
nn
n n in i i n nn n n in i i n nn
n n in in i i i i n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a
21
21
1121121
21112112
1
221
111211+=+++
证：左端＝
∑+-n
n i i n j j j nj ij ij j j j j j N a c b a a 212121)()
1(21)
(
＝
∑-n
n i n j j j nj ij j j j j j N a b a a 21212121)
()
1(
∑-+
n
n i n j j j nj ij j j j j j N a c a a 21212121)
()
1(
＝nn
n n in i i n nn n n in i i n a a a c c c a a a a a a b b b a a a
21
21
1121121
21
11211+
＝右端．
性质5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以数k 加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变．即
nn
n n sn s s in i i n a a a a a a a a a a a a D
2
1
2121
11211
=
nn
n n sn in s i s i in i i n
a a a a ka a ka a ka a a a a a a
2
1221121112
11+++ 证：由性质４
右端=nn n n in i i in i i n a a a ka ka ka a a a a a a
21
2121
11211
+nn
n n sn s s in
i i n a a a a a a a a a a a a
2
1212111211=k ?０ +nn
n n sn s s in
i i n a a a a a a a a a a a a
2
1
212111211=左端 作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子．
例2计算行列式
3
111131111311113=
D
解：这个行列式的特点是各行４个数的和都是６，我们把第２、３、４各列同时加到第１列，把公因子提出，然后把第１行×(–1)加到第２、３、４行上就成为三角形行列式．具体计算如下：
48262
0000200002011116
3
1111311113111116
3
1161316113611163=?====
D
例3 计算行列式
1
1
2
01212
0112
110-----=
D
i 行×k 加 到第s 行
解：
1
3
211021
102011)
11
2
1211100111
12121011110------
=----------=
D 4)2()2()1(12
420021
102011)1(2
20
42002
1102
11=-?-?-?-=------
=-?------=
例4试证明：011=++++=
c
b a
d
b a d
c
d a c b d c b a
D １１
证：把２、３列同时加到第４列上去，则得
01
11111)
(11=+++=++++++++++++=
a d
d c
c b b a
d c b a d
c b a a
d
b c b a d c d c b a c b d c b a b a D １１１１
例5计算n +1阶行列式x
a a a a x a a a a x a a a a x D n n n 3
2121
21
21= 解：将D 的第２列、第３列、…、第n+1列全加到第１列上，然后从第１列提取公因子∑=+
n
i i
a
x 1
得
x
a a a x a a a x a a a a x D n n n n
i i 3
222211
1
1
11)(∑=+=
=n
n
i i a x a a a a a x a a a x a x ------+∑= 23122
1211
1010010001)( ×(–a 1) ×(–a 2) …… ×(–a n )
=)())()((2
1
1
n n
i i
a x a
x a x a x ---+∑=
例6解方程
0)1(1111
1)2(111112111111111111=------x
n x
n x x
解法一：
=-?------)1(
)1(1111
1)2(11111211111
1111111x
n x n x x
])2][()3[()1)(()2(0
0)3(00000100000
0011111x n x n x x x
n x
n x x
------=------
所以方程的解为x 1=0， x 2=1， …， x n –2=n –3， x n –1=n –2．
解法二：根据性质２的推论，若行列式有两行的元素相同，行列式等于零．而所给行列式的第１行的元素全是１，第２行，第３行，…第n 行的元素只有对角线上的元素不是１，其余均为１．因此令对角线上的某个元素为１，则行列式必等于零．于是得到
1–x =1 2–x =1 … (n –2)–x =1 (n –1)–x =1
有一成立时原行列式的值为零．所以方程的解为x 1=0， x 2，=1，…， x n –2=n –3， x n –1=n –2．
例7 计算n 阶行列式),2,1( 3
2121
31
32n i a x x
a a a a x a a a a x a a a a x D i n n
n =≠= 解：将第1行乘以(–1)分别加到第２、３、…、n 行上得
n
n a x x
a a x x
a a x x a a a a x D ------= 0
000001312
132 从第一列提出x –a 1，从第二提出x –a 2，…，从第n 列提出x –a n ，便得到
1
1
01010
011
)
())((3
32
2121
----------=n
n n a x a a x a a x a a x x a x a x a x D 由
,11
11a x a a x x
-+=-并把第２、第３、…、第n 列都加于第1列，有 1
00
01000
0101)
())((3
32
2121
n
n n i i i
n a x a a x a a x a a x a a x a x a x D ----+---=∑
= )1)(())((1
21∑
=-+---=n
i i
i
n a x a a x a x a x 例8试证明奇数阶反对称行列式00
00
21212
112=---=
n n
n
n a a a a a a D
证：D 的转置行列式为0
00
21212
112
n
n
n
n T
a a a a a a D ---=
从D T 中每一行提出一个公因子(–1)，于是有
D a a a a a a D n n n
n
n
n
T
)1(0
00
)
1(21212
112-=----=
，但由性质1知道D T =D
∴D =(–1)n D
又由n 为奇数，所以有D = –D ， 即 2D =0， 因此 D =0．
思考题：
1．证明下列各题：
2
22
333111)(111c c b b a a c b a c c b b a a ++=． 2．计算下列n 阶行列式：
1
1
1
1
1
0000
000002211
n n a a a a a a ---；
§1.5行列式按一行(列)展开
本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题，从而得到计算行列式的另一种基本方法——降阶法．为此，先介绍代数余子式的概念．
定义 在n 阶行列式中，划去元素a ij 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按原来的位置构成一个n –1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记作Ｍij ．元素a ij 的余子式Ｍij 前面添上符号(–1)i+j 称为元素a ij 的代数余子式，记作A ij ．即A ij ＝(–1)i +j M ij ．
例如：在四阶行列式
4443
42
41
34
333231
24
232221
14
131211
a a a a a a a a a a a a a a a a D =
中a 23的余子式是M 23=44
42
41
343231141211
a a a a a a a a a 而 A 23=(–1)2+3M 23=–44
42
41
343231
14
1211
a a a a a a a a a 是a 23的代数余子式． 定理１ n 阶行列式D 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+…+a in A in (i =1，2，…，n )
或 D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a nj A nj (j=1，2，…，n )．
证明：只需证明按行展开的情形，按列展开的情形同理可证． 1°先证按第一行展开的情形．根据性质４有
nn
n n n n
nn
n n n
n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D
2
1
2222111211212222111211
0000000++++++++++=
=
nn
n n n
n
nn
n n n nn
n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
2122221
12122221122122221110
000
00+++=
按行列式的定义
∑-=
n
n n j j j nj j j j j j N nn
n n n
a a a a a a a a a a
21212121)
(2122221
11)
1(0
111111112)
(11
21221)
1(A a M a a a a n
n n j j j nj j j j j N ==-=∑
同理
12121212122212212
212222112)1(0
0)1(0
A a M a a a a a a a a a a a a a a a nn
n n n
nn
n n n =-=-=
………
n n n n n nn n nn
n n
n
n nn
n n n n A a M a a a a a a a a a a a a a a a 111111
11
22121121222211)1(0
0)
1(0
0=-=-=----
所以 D =a 11A 11+a 12A 12+…+a 1n A 1n ．
2°再证按第i 行展开的情形
将第i 行分别与第i –1行、第i –2行、…、第１行进行交换，把第i 行换到第１行，然后再按１°的情形，即有
2
21211111121
1121121
1
)1()1()1()1()1(i i i i i i nn
n n n
in
i i i M a M a a a a a a a a a a D +-+----+--=-=
in
in i i i i in n in i A a A a A a M a +++=--+++- 221111)1()1(
定理２n 阶行列式D 中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即：
a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =0 (i ≠s )
或a 1j A 1t +a 2j A 2t +…+a nj A nt =0 (j ≠t )．
证：只证行的情形，列的情形同理可证．考虑辅助行列式
)()(2
1
2121112111
行行s i a a a a a a a a a a a a D nn
n n in i i in i i n
= 这个行列式的第i 行与第s 列的对应元素相同，它的值应等于零，由定理1将D 1按第s 行展开，有D 1= a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =0 (i ≠s )．
定理１和定理２可以合并写成 a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =??
?≠=)(0)
(s i s i D
或a 1j A 1t +a 2j A 2t +…+a jn A nt =?
?
?≠=)(0)
(t j t j D
定理1表明，n 阶行列式可以用n –1阶行列式来表示，因此该定理又称行列式的降阶展开定理．利用它并结合行列式的性质，可以大大简化行列式的计算．计算行列式时，一般利用性质将某一行(列)化简为仅有一个非零元素，再按定理1展开，变为低一阶行列式，如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶．这在行列式的计算中是一种常用的方法．
例１计算行列式5
1
1
242
170131312
-----=
D
解：D 的第四行已有一个元素是零，利用性质５，有
( 1 3
323111)1(00013
321831311
112113214-??----=----=-=+D
8525
53
4)1(25
5034011
11 11-=--=---=+
例２计算n 阶行列式a
b
b a a b
a
b a D 0
0000
0000
000
=
解：按第一列展开得
n
n n n n n n b a bb aa b
a
b b a b b a
b a a b a a D 1111111)1()1( 0
00000000)1(0
0000000)1(+-+-++-+=-+=-+-=
例３计算y
y x x
D -+-+=
11
1
1
111111111111，其中 xy ≠０．
解：根据定理1，把行列式适当地加一行一列，然后利用性质５，有
y
y x x y
y x
x D ------=-?-+-+=00
100010001000111111)1(111
1
11110
1
1
1101111011111
第2列提出因子x ，第3列提出–x ，第4列提出y ，第5列提出–y ，得
1
1 1 1 1
010********
0010
11111
1
10
10010010
10001
11
111
1)
()(2222????=-
-=-----
---=y x y y x x y x y y x x y y x x D
例４试证
∏≤<≤-----=n
i j j i n n
n n n n
n
a a a a a a a a a a a a a a 11
1312112
232221321)(1111
(1) 式中左端叫范德蒙行列式．结论说明，n 阶范德蒙行列式之值等于a 1， a 2，…， a n ，这n 个数的所有可能的差a i –a j (1
≤j
证明：用数学归纳法
1°当n=2时，计算２阶范德蒙行列式的值：
122
1
11a a a a -=
可见n=2时，结论成立．
2°假设对于n –1阶范德蒙行列式结论成立，来看n 阶范德蒙行列式：把第n –1行的(–a 1)倍加到第n 行，再把第n –2行的(–a 1)倍加到第n –1行，如此继续作，最后把第1行的(–a 1)倍加到第2行，得到
加到 各 行