二次函数知识点总结及典型例题
一、二次函数得概念与图像
1、二次函数得概念
一般地,如果,那么y叫做x 得二次函数。
叫做二次函数得一般式。
2、二次函数得图像
二次函数得图像就是一条关于对称得曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线得主要特征:
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
3、二次函数图像得画法---五点法:
二、二次函数得解析式
二次函数得解析式有三种形式:
(1)一般式:
(2)顶点式:
(3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根与存在时,根据二次三项式得分解因式,二次函数可转化为两根式。如果没有交点,则不能这样表示。
三、抛物线中,得作用
(1)决定开口方向及开口大小,这与中得完全一样、
(2)与共同决定抛物线对称轴得位置、由于抛物线得对称轴就是直线
,故:①时,对称轴为轴所在直线;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧、
(3)得大小决定抛物线与轴交点得位置、
当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):
①,抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴、
以上三点中,当结论与条件互换时,仍成立、如抛物线得对称轴在轴右侧,则、
四、二次函数得性质
1、二次函数得性质
一元二次方程得解就是其对应得二次函数得图像与x轴得交点坐标。
因此一元二次方程中得,在二次函数中表示图像与x轴就是否有交点。
当>0时,图像与x轴有两个交点;
当=0时,图像与x轴有一个交点;
当<0时,图像与x轴没有交点。
补充:函数平移规律:左加右减、上加下减
六、二次函数得最值
如果自变量得取值范围就是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,。
如果自变量得取值范围就是,那么,首先要瞧就是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;
若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内得增减性,
如果在此范围内,y随x得增大而增大,则当时,,当时,;
如果在此范围内,y随x得增大而减小,则当时,,当时,。
典型例题
1、已知函数,则使y=k成立得x值恰好有三个,则k得值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2、如图为抛物线得图像,A、B、C为抛物线与坐标轴得交点,且OA=OC=1,则下列关系中正
确得就是( )
A.a＋b=－1
B. a－b=－1
C. b<2a
D. ac<0
3、二次函数得图象如图所示,则反比例函数与一次函数在同一坐标系中得大致图象就是( )、
4、 如图,已知二次函数得图象经过点(－1,0),(1,－2),当随得增大而增大时,得取值范围就
是 .
5、 在平面直角坐标系中,将抛物线绕着它与y 轴得交点旋转180°,所得抛物线得解析式就是( ).
A. B.
C. D.
6、 已知二次函数得图像如图,其对称轴,给出下列结果①②③④⑤,则正确得结论就是( )
A ①②③④
B ②④⑤
C ②③④
D ①④⑤ 7.x … －2 －1 0 1 2 … y
…
4
6
6
4
…
从上表可知,下列说法中正确得就是 .(①抛物线与轴得一个交点为(3,0); ②函数得最大值为6;
③抛物线得对称轴就是; ④在对称轴左侧,随增大而增大.
8、 如图,在平面直角坐标系中,O 就是坐标原点,点A 得坐标就是(－2,4),过点A 作AB ⊥y 轴,垂足为B ,连结OA . (1)求△OAB 得面积; (2)若抛物线经过点A . ①求c 得值;
②将抛物线向下平移m 个单位,使平移后得到得抛物线顶点落在△OAB 得内部(不包括△OA B 得边界),求m 得取值范围(直接写出答案即可).
9.已知二次函数y =14 x 2+ 3
2
x 得图像如图.
(1,-2)
-1
(1)求它得对称轴与x 轴交点D 得坐标;
(2)将该抛物线沿它得对称轴向上平移,设平移后得抛物线与x 轴、y 轴得交点分别为A 、
B 、
C 三点,若∠ACB =90°,求此时抛物线得解析式;
(3)设(2)中平移后得抛物线得顶点为M ,以AB 为直径,D 为圆心作⊙D ,试判断直线CM 与
⊙D 得位置关系,并说明理由.
10、 如图,在平面直角坐标系xOy 中,AB 在x 轴上,AB ＝10,以AB 为直径得⊙O′与y 轴正半轴交于点C ,连接BC ,AC 、CD 就是⊙O′得切线,AD ⊥CD 于点D ,tan ∠CAD ＝,抛物线过A ,B ,C 三点、
(1)求证:∠CAD ＝∠CAB ; (2)①求抛物线得解析式;
②判定抛物线得顶点E 就是否在直线CD 上,并说明理由;
(3)在抛物线上就是否存在一点P ,使四边形PBCA 就是直角梯形、若存在,直接写出点P
得坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由、
11、 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 就是直角梯形,BC ∥AD ,∠BAD = 90°,BC 与y 轴相交于点M ,且M 就是BC 得中点,A 、B 、D 三点得坐标分别就是A (-1,0),B ( -1,2),D ( 3,0),连接DM ,并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ,若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N .
(1)求抛物线得解析式
(2)抛物线上就是否存在点P .使得P A = PC .若存在,求出点P 得坐标;若不存在.请说明理
由。
(3)设抛物线与x 轴得另—个交点为E .点Q 就是抛物线得对称轴上得—个动点,当点Q 在
什么位置时有最大？并求出最大值。
A B
C
D
O E N
M x
y
图
12.如图,抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(一1,0).
⑴求抛物线得解析式及顶点D得坐标;
⑵判断△ABC得形状,证明您得结论;
⑶点M(m,0)就是x轴上得一个动点,当CM+DM得值最小时,求m得值.
13、在平面直角坐标系中,如图1,将n个边长为1得正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA 与OC分别落在x轴与y轴得正半轴上,设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C、
(1)当n＝1时,如果a=－1,试求b得值;
(2)当n＝2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1得正方形EFMN,使EF在线段CB上,如果M,N两点也在抛物线上,求出此时抛物线得解析式;
(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到x轴得正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O,
①试求出当n=3时a得值;
②直接写出a关于n得关系式、