像法-高中物理竞赛
义
谢谢2 镜像法 思路 用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。 保持求解区域中场方程和边界条件不变。 使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。 使用范围 界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。 步骤 确定镜像电荷的大小和位置。 去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。 求解边界上的感应电荷。 求解电场力。 平面镜像1 点电荷对平面的镜像 (a) 无限大接地导体平面上方有点电荷q （b） 用镜像电荷-q代替导体平面上方的感应电荷 图4.4.1 点电荷的平面镜像 在无限大接地导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷q，距离导体平面的高度为h。 用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电位面。 去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。
谢谢3 电位： (4.4.2.1) 电场强度： (4.4.2.2) 其中， 感应电荷： => (4.4.2.3) 电场力： (4.4.2.4) 图4.4.2 点电荷的平面镜像 图4.4.3 单导线的平面镜像 无限长单导线对平面的镜像 与地面平行的极长的单导线，半径为a，离地高度为h。
谢谢4 用位于地面下方h处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。 将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为） 电位： (4.4.2.5) 对地电容： (4.4.2.6 平面镜像2 无限长均匀双线传输线对平面的镜像 与地面平行的均匀双线传输线，半径为a，离地高度为h，导线间距离为d，导线一带正电荷+，导线二带负电荷-。 用位于地面下方h处的镜像双导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。 将地面取消而代之以镜像双导线。 图4.4.4 无限长均匀传输线对地面的镜像 求解电位： (4.4.2.8) (4.4.2.9)
谢谢5 平行导线间单位长度电容： (4.4.2.10) 其中 小天线的镜像 与地面的小天线，长度为 l ，离地高度为 h 。 用位于地面下方 h 处的镜像小天线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。 与自由空间的天线比较，当天线离平面很近时，若天线与平面平行，辐射功率为零，若天线与平面垂直，辐射功率增强。若天线与平面倾斜放置，则辐射功率的变化与倾斜角度有关。具体辐射功率的计算请参看天线辐射（超链），此处仅给出思路和结论。 点电荷对相交接地平面的镜像 条件：两相交接地平面夹角为 ，n=1,2,3… 镜像电荷：2n-1个。 若两相交接地平面夹角不满足上述条件，则镜像电荷为无穷多个。 图4.4
.5 点电荷对相交接地地面的镜像 点电荷对介质平面的镜像 1区和2区为不同介质，求解时要分区域考虑。 求解区1的场：在区2置镜像电荷 。求解区2的场：在区1置镜像电荷 。
谢谢6 图4.4.6 点电荷对介质平面的镜像 求解 和 ： z>0时， (4.4.2.11) z<0时， (4.4.2.12) 根据边界条件 、 可以解得 (4.4.2.13) (4.4.2.14) 分区域考虑镜像电荷。 求单导线的对地电容
谢谢7 求单导线的对地电容。一根极长的单导线与地面平行。导线半径为a，离地高度为h，求单位长度单导线地对地电容。 单位长度单导线的对地电容可表示为 （式1）。 式中为单导线的电位，为地电位（＝0），为导线的线电荷密度。现在需要求出，用镜像法求解。 例题图4.9 单位长度单导线的对地电容可表示为 （式1）。 式中为单导线的电位，为地电位（＝0），为导线的线电荷密度。现在需要求出。 令（近似认为均匀分布于导线表面），利用镜像法，将地面取消而代之以镜像单导线（带）。则原地面上方任意点P的电位为 （式2）。 式中、分别代表镜像单导线及原单导线到P点的垂直距离。由2式可知为。 把此式代入1式则得单导线对地电容为（式3）。
谢谢8 有了上式，就可以方便地写出平行双导线间的单位长度的电容为（式4）。 式中，D为平行双导线间的距离（相当于本题中的2h），a为导线半径。若D>>a，就可以简化为式4的近似式。 掌握如何利用平面镜像法求解典型传输设备的对地电容。 球面镜像1 点电荷对接地导体球的镜像 题目：半径为a的接地导体球，在与球心相据的一点电荷。 在导体球内，距离球心处的点处置一镜像电荷来代替导体球上的感应电荷，边界条件维持不变，即导体球面为零电位面。 去掉导体球，用原电荷和镜像电荷求解导体球外区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体球内区域场。 求解镜像电荷的大小和位置：将原导体球移去，及像电荷在原球面上任一点P处产生的电位应为零，即 (4.4.3.1) 图4.4.7 点电荷对接地导体球的镜像 我们在球面上取通过的直径的两端点，对于这两点的电位式为 (4.4.3.2) (4.4.3.3) 以上两方程解得 (4.4.3.4) (4.4.3.5)
谢谢9 求解电位、电场强度、感应电荷：的表达式表示对于球面上任一点P，与是相似三角形，即 ，于是球外任意一点的电位为 (4.4.3.6) 采用球坐标，取原点为球心O点，z轴与轴重合，则球外任一点处有 (4.4.3.7) (4.4.3.8) 这样可求得电场的分量为 (4.4.3.9) (4.4.3.10) r=a时球面上的感应电荷密度为 (4.4.3.11) （1）点电荷对不接地、净电荷为零的导
体球的镜像。 （2）点电荷对不接地、净电荷不为零的导体球的镜像。 （3）接地球形空腔内电荷的镜像 球面镜像2 无穷镜像问题
谢谢10 （a） （b） 图4.4.8 无穷镜像问题 半径为a的金属球，带电荷，球心离地高度h。 为满足金属球为等位面，但电位不等于零及地面为零等位面的边界条件，我们需要用一系列的电荷去代替金属球和地面两个边界的影响。 若仅是孤立球体，则将电荷集中于球心来代替导体球的分部电荷，这样就满足了金属球面为等位面的边界条件。但是有了地面影响，还应满足地面为零等位面的边界条件。为满足这个条件，就要找出置于球心的镜像电荷，这就是，而且满足。的出现虽然使地面的边界条件得到了满足，但球面的等位面条件却被破坏了。我们需要再按照球面镜像的方法求出在球内的镜像电荷。的出现，又出现了出现时所遇到的情况，我们又需要球它的地面镜像……这样就需要一系列的电荷去代替金属球和地面两个边界的影响。 求解镜像电荷的大小和位置： 镜像电荷 镜像离球心距离 …… …… …… ……
谢谢11 式中 求解电位、对地电容： 球体的点电荷为 (4.4.3.12) 金属球的电位应为所有电荷、、、…产生的，但和这对电荷、和这对电荷、…直至无穷的成对电荷都是维持金属球面为零电位的，唯独置于球心的电荷使金属球具有电位，其值为 (4.4.3.13) 所以金属球的对地电容为 (4.4.3.14) 式中第一项为孤立金属球的电容 圆柱面镜像1 概念 几何轴：物体的轴线。 电轴：电荷分布的轴线。 问题 已知边界条件、原电荷、几何轴，求镜像电荷，即镜像电轴位置及电荷量。 已知给定电轴，求等位面、几何轴。 线电荷对导体圆柱的镜像
谢谢12 半径为a的接地导体圆柱外有一条和它平行的线电荷，密度为，与圆柱轴相距为。 用位于导体圆柱内，距离圆柱轴线处的镜像线电荷代替导体圆柱上的感应电荷，边界条件维持不变，即导体圆柱面为零电位面。 去掉导体圆柱，用原线电荷和镜像线电荷求解导体圆柱外区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体圆柱内区域场。 图4.4.9 圆柱导体与线电荷的镜像 求解镜像电荷的大小和位置： 我们用的关系进行试探求解。同样在圆周上去两点（通过镜像电荷的直径的两端点），因为圆柱接地，它们的电位必须为零，即 (4.4.4.1) (4.4.4.2) 代入的关系后，上面两方程解得 (4.4.4.3) 求解电位： 圆柱外任一点的电位为 (4.4.4.4) 其中、分别是、到场点的距离。 （1）线荷对不接地、净电荷为零的导体圆柱的镜像。 （2）线电荷对不接地、净电荷不
为零的导体圆柱的镜像
谢谢13 圆柱面镜像2 给定电轴，确定几何轴位置和等位面 两条互相平行的导线，其线电荷密度分别为和-。 视这两条极细的带电导线分别为两个电轴。 求解几何轴的位置 可以直接写出P点的电位为 由图可见，XOZ平面为零电位面，即时，。 图4.4.10 确定两个给定电轴的几何轴 于是可知常数C为零，则的表达式为，取（）为常数就可得到等位线，即取。k为常数。由图可知、。所以可得 (4.4.4.5) 这是一个圆方程。其参数为 圆心位置： (4.4.4.6) 半径： (4.4.4.7) 即等位线为一簇圆，其圆心自然是位于等位圆的圆柱面的几何轴心上。圆心和半径都是k的函数。实际问题往往是这样：知道两条平行导线的半径及相互间的距离，而需要确定电轴的位置。这就要找到如图示的b.R.d之间的关系。 求两个导体圆柱间单位长度的电容 图
谢谢14 两根无限长平行圆柱，半径均为a，轴线距离位D。求两圆柱间单位长度上的电容。 例题图4.10 把圆柱看成两平行线电荷及-的场中的两个等位面，只要求出两线电荷的位置，便可得到解。 这里 和 可由D和a定出。即、 解得、 对于左边圆柱面上的点，有这样的关系， 故左边圆柱的电位为 对于右边圆柱上的点有 ，电位为 两圆柱间电压为 故两圆柱间单位长度的电容为
谢谢15 如果 ，则 。 掌握如何利用柱面镜像法求解典型传输设备的电容。
谢谢16