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最全高中三角函数总结

三角函数做题技巧与方法总结

知识点梳理

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2、三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是?????

+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是

?????

++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，

-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，

x y tan =的递增区间是??? ?

+-22ππππk k ，)(Z k ∈，

3、三角函数的诱导公式

sin （2kπ+α）=sinα sin （π+α）=－sinα sin （－α）=－sinα

cos （2kπ+α）=cosα cos （π+α）=－cosα cos （－α）=cosα

tan （2kπ+α）=tanα tan （π+α）=tanα tan （－α）=－tanα

sin （π－α）=sinα sin （π/2+α）=cosα sin （π/2－α）=cosα

cos （π－α）=－cosα cos （π/2+α）=－sinα cos （π/2－α）=sinα

tan （π－α）=－tanα tan （π/2+α）=－cotα tan （π/2－α）=cotα

sin 2(α)+cos 2(α)=1

4、两角和差公式

5、二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin2α=2sinαcosα

sin （α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ cos2α=cos 2(α)－sin 2(α)=2cos 2(α)－1=1－2sin 2(α)

cos （α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ tan2α=2tanα/(1－tan 2(α)) cos （α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan （α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan （α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ) 6、半角公式：

2cos 12

sin

αα

-±

=； 2

cos 12cos α

α+±=； α

αααααα

sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12

tan

-=+=+-±

7、函数B

x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω

T ；其图象的对称轴是直线

)(2

Z k k x ∈+

=+π

π?ω，

凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心 8、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现

无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”

起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y ＝sin x 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0）平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的

倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω

倍(ω＞0)，再沿x 轴向左

(?＞0)或向右(?＜0＝平移ω

|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。

9、对称轴与对称中心：

sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；

cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；

对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

10、求三角函数的单调区间：

一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单

调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 11、求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

12、经常使用的公式 ①升（降）幂公式：

21cos 2sin 2αα-=

、 21cos 2cos 2α

α+=

、 1sin cos sin 22ααα=；

②辅助角公式：

sin cos )a b ααα?+=+（?由,a b 具体的值确定）；

二、典型例题弦切互化

例1．已知2tan =θ，求（1）

θθ

θsin cos sin cos -+；

解：（1）2232

121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+

-+θθθ

θθθ

θθθθ；练习：θθθθ22

cos 2cos .sin sin +-的值.

解：θ

+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ22222

2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin

24122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θ

θ+θθ

-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

函数的定义域问题

例2、求函数1sin 2+=x y 的定义域。

解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期??

???-23,2ππ上符合①

的角为??????-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为??

????

+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 说明：确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。

（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a

的函数，则其定义域由

()x f 确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义

同时还要使实际问题有意义。函数值域及最大值，最小值（1）求函数的值域

一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法等，而三角函数是函数的

特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。例3、求下列函数的值域

（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2

-+=x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （

）

()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22

cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 说明：

练习：求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。

解：设sin cos )[4

t x x x =+=+∈，

则原函数可化为2213

1()24

y t t t =++=++，

因为[t ∈，所以当t =时，max 3y =，当12t =-时，min 3

y =，

所以，函数的值域为3

[34

y ∈+，。（2）函数的最大值与最小值。

求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx 的有界性；（2）tanx 的值可取一切实数；

（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。例4、求下列函数的最大值与最小值

（1）x y sin 2

1-= （2）4sin 5cos 22-+=x x y （3）

???∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y

分析：（1）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（2）（3）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。解：(1)

221sin ;261sin 1sin 11sin 10

sin 21

1min max =

==-=∴≤≤-∴?????≤≤-≥-y x y x x x x 时当时，当 (2)

[]2

592cos 5sin 42sin 5sin 22sin ,sin 1,1,48y x x x x x x ?

?=+-=-+-=--+∈- ??

∴当sin 1x =-，即2(2

x k k Z π

π=-+∈）时，y 有最小值9-；

当sin 1x =，即2(2

x k k Z π

π=+∈），y 有最大值1。

（

3）

13,21cos 415y 32,21cos ,21,21cos ,32,3,31)32(cos 31cos 4cos 3min max 22-

=====-=??

???-∈??????∈--=+-=y x x x x x x x x x y 时，即当时，、即

从而ππππ

函数的周期性

例5、求下列函数的周期

()x x f 2cos )(1= ())6

2sin(2)(2π

-=x x f

分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。

（1）把x 2看成是一个新的变量u ，那么u cos 的最小正周期是π2，就是说，当π2+u u 增加到且必须增加到π2+u 时，函数u cos 的值重复出现，而

),(2222πππ+=+=+x x u 所以当自变量x 增加到π+x 且必须增加到π+x 时，

函数值重复出现，因此，x y 2sin =的周期是π。

（2）??? ??-=+-62sin 2)262sin(2πππx x 即())62sin(2642

sin 2πππ-=??????-+x x

2sin(2)(π

-=∴x x f 的周期是π4。

说明：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x 的系数有关。

一般地，函数)sin(?ω+=x A y 或)cos(?ω+=x A y （其中?ω,,A 为常数，),0,0R x A ∈>≠ω

例6、已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。

求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合；解：22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--

2sin 22cos 2)4π

x x x =-=-

所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，

所以，当2242

ππ

x k π-=+，即38πx k π=+时，()f x 最大值为

函数的奇偶性

例7、判断下列函数的奇偶性

)sin()()1(x x x f +=π x

x x f sin 1cos sin 1)()2(2+-+=

分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。解：（1）函数的定义域R 关于原点对称

是偶函数。)()(sin )sin()()(,sin )sin()(x f x f x x x x x f x x x x x f ∴=-=--=--=+=ππ

（2）函数应满足.,2320sin 1??????∈+≠∈∴≠+Z k k x R x x x π

π，且函数的定义于为

∴ 函数的定义域不关于原点对称。∴ 函数既不是奇函数又不是偶函数。

评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证

)(x f -是否等于)(x f -

或)(x f ，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。

练习：已知函数)(,2cos sin 8cos 23)(42x f x

x x f 求--=

的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.

解：x

x x x x x f 2cos sin 8sin 212cos sin 8)sin 1(23)(4242-+=---=

)9.()(),()(,)()

7}.(,4

2,|{,4

2,22,02cos )

4(.1sin 42cos )sin 21)(sin 41(222分是偶函数且的定义域关于原点对称因为分且所以函数的定义域为解得得由分x f x f x f x f z k k x R x x z

k k x k x x x x

x x ∴=-∈+≠∈∈+≠+≠≠+=-+=π

ππ

πππ )

12(}.3,51|{)(,4

2,1sin 4)(2分且的值域为且又≠≤≤∴∈+≠

+=y y y x f z k k x x x f π

函数的单调性

例8、下列函数，在??

???ππ,2上是增函数的是（）

x y A sin .

= x y B

cos = x y C

2sin = x y D

2cos =

分析：判断。

在各象限的单调性作出与可根据x x x x cos sin .22,2

ππππ

≤≤∴≤≤ 解：

sin y x =与cos y x =在2ππ??

????

，上都是减函数，∴排除,A B ，2x ππ≤≤， 22,x ππ∴≤≤知sin 2y x =在[]2,2x ππ∈内不具有单调性，∴又可排除C ，∴应选D 。例9、已知函数2

5cos 35cos sin 5)(2+

-=x x x x f （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)的递增区间. 解：（Ⅰ）2

5cos 35cos sin 5)(2+

-=x x x x f )3

sin 2cos 3cos

2(sin 52cos 352sin 25

23522cos 1352sin 25π

x x x

x x x -=-=++-=

2sin(5π

-=x

∴最小正周期T=

ππ

2 （Ⅱ）由题意，解不等式ππ

ππ

k x k 22

222

+≤

≤+-

得 )(12

512

Z k k x k ∈+≤

≤+-

ππ

)(x f ∴的递增区间是)](12

12[Z k k k ∈++-

ππ

小结：求形如)0,0)(cos()sin(>≠+=+=ω?ω?ωA x A y x A y 其中或的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：式的方向相同（反）。的单调区间对应的不等与时，所列不等式的方向）视为一个整体；（把“)(cos ),(sin )0(02)"0()1(R x x y R x x y A A x ∈=∈=

<>>+ω?ω

三角函数思想方法归纳解析

一、数形结合思想

由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。例1．求不等式x x cos sin >在[]ππ,-上的解集。

解析：设x y sin 1=，x y cos 2=，在同一坐标系中作出在[]π,0上两函数图像(如图1)，在[]π,0上解得x x cos sin =的解为4

π=

x 或

43π=

x ，故由图像得要使得21y y >，即4

34ππ<

???

????? ?

?--43,44,43ππππ 二、分类讨论思想

分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类讨论是数学解题的重要手段，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。

例2．设??

???∈2,0πθ，且022sin 2cos 2

<--+m m θθ恒成立，求m 的取值范围。

解析：令()12sin 2sin 22sin 2cos 2

--+-=--+=m m m m f θθθθθ

令

sin =t ，由

????∈2,0πθ，得

0≤≤t ，则

()()1212222

2++---=--+-=m m m t m mt t t f ，[]1,0∈t ，()0<θf 在

???∈2,0πθ上恒成立，()t f ∴在[]1,0∈t 上恒成立。由二次函数图像分类讨论得，

1）当10<≤m 时，需(),0>m f 得10≤≤m ； 2）当1>m 时，需()01>f ，得1>m ； 3）当0f 得02

<<-m 综上所述，得2

>m 三、整体思想

整体思想方法是一种常见的数学方法，它把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的有机联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。往往能起到化繁为简，化难为易的效果。

例3．求函数()x

x x

x x f cos sin 1cos sin ++=

的最大、最小值。

解析：由条件和问题联想到公式()x x x x cos sin 21cos sin 2

±=±，可实施整体代换求最值。

令[]

2,24sin 2cos sin -∈??? ?

+=πx x x t ，1,0cos sin 1-≠≠++t x x ，则

cos sin 2-=t x x

∴[)(]

2,11,2,2

121

2---∈-=+-= t t t t y ，故当2=t 时，y 有最大值，且为212-；

当2-=t 时，y 有最小值，且为

2-- 四、方程思想

方程是研究数量关系的重要工具。我们把所要研究的问题中的已知与未知量之间的相等关系，通过建立方程或方程组，并求出未知量的值，从而使问题得到解决的思想方法称为方程思想。

例4．已知2sin 3sin =+αα，求α

αα

αcos sin cos sin +-的值

解：令x =+-α

αα

αcos sin cos sin ，则()()0cos 1sin 1=++-ααx x ， 2sin 3sin =+αα，

故解得

21cos ,21sin --=-+=x x x x αα，121212

=??

??--+??? ??-+∴x x x x 解得，62±-=x ，

62cos sin cos sin ±-=+-∴

αα

五、化归转化思想

化归转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法。处理数学问题的实质就是实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。

例5．若4

0π

βα<

<<，n m =+=+ββααcos sin ,cos sin ，试确定n m ,的大小。

解析：当一个问题直接难以入手或相对比较困难时，我们可以等价转化为我们熟知或容易解答的题型。要比较n m ,的大小可转化为2

m 与2

n 比较大小就容易多了。

βα2sin 1,2sin 122+=+=n m ，又 2

220π

βα<

<<，故βα2sin 2sin <，

22n m <∴

0,>n m ，n m <∴

六、函数思想

函数思想就是在解决问题的过程中，把变量之间的关系抽象成函数关系，把具体问题转化为函数问题，通过对函数相应问题的解决，达到解决变量之间具体问题的目的。

例6．已知1sin sin sin 2

=++γβα，求证：222sin 2sin 2sin ≤++γβα 解析：由1sin sin sin 2

=++γβα得2cos cos cos 2

=++γβα，构造函数：

()()()()()2

sin sin 2sin cos sin cos sin cos sin 22

+++-=-+-+-=x x x x x x f λβαγγββαα 显

然

()0

≥x f ，故

()0

8sin sin 2sin 2

≤-++=?γβα，即得

222sin 2sin 2sin ≤++γβα

七、逆向思想

逆向思想通常是指从问题的反向进行思考，运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种解

题思维策略，正确使用这种策略，往往能问题绝处逢生，找到求解的新途径。

例7．将函数()x x f y sin =的图像向右平移

个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数x y 2

sin 21-=的图像，求()x f 的解析式。

解析：我们可以采用倒推的方法，即将整个变化过程逆过来考虑。

x x y 2cos sin 212=-= 关于x 轴的对称变换为x y 2cos -=，然后再向左平移

个单位得x x x x y sin cos 22sin 42cos ?==??

-=π，对照比较原函数()x x f y sin =得，()x x f cos 2= 三角函数常见题型

一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。

例1 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),[,]22222

x x x x x π

π==-∈且a b 。

（1）若||+>

a b ，求x 的取值范围；

（2）函数()||f x =?++a b a b ，若对任意12,[,]2

x x π

π∈，恒有12|()()|f x f x t -<,

求t 的取值范围。

解：（1）||||1,cos 2,||2cos x x ==?=∴

+==->a b a b a b

即5cos [,],26

x x x ππππ<∈∴<≤。

（2）2

3()||cos 22cos 2(cos )2

f x x x x =?++=-=--

a b a b 。 max min 1cos 0,()3,()1x f x f x -≤≤∴==-，

又

12max min |()()|()()4,4f x f x f x f x t -≤-=∴>

二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。

例

若

,0),(cos ,sin ),0

x x x ωωωω==->m n ，在函数

()()f x t =?++m m n 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为

π，且当[0,]3x π

∈时，

(完整版)三角函数特殊角值表

角度函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan √3/3 1 √3 -√3 -1 -√3/3 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 2、列表法：说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 1 22 23 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3

特殊角的三角函数值

特殊角的三角函数值 (第3课时) 复习引入教师提问：一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．提醒学生：求时可以设每个三角尺较短的边长为1，?利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值．探究新知（一）特殊值的三角函数学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结． 30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：

教师讲解上表中数学变化的规律：对于正弦值，分母都是2， 2，分子按角度增加分别为．对于正切，60?度的正切，即是下一个角的正切值．要求学生记住上述特殊角的三角函数值．教师强调：（sin60°）2用sin 260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）．（二）特殊角三角函数的应用 1．师生共同完成课本第79页例3：求下列各式的值．（1）cos 260°+sin 260°．（2）cos 45sin 45?? -tan45°．教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．解：（1）cos 260°+sin 260°=（12 ）2+2=1 （2）cos 45sin 45?? -tan45° 2．师生共同完成课本第80页例4：教师解答题意：（1）如课本图28．1-9（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，，，求∠A 的度数．（2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB a ．

教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．解：（1）在课本图28．1-9（1）中， ∵sinA=3 6 BC AB = 2， ∴∠A=45°．（2）在课本图28．1-9（2）中， ∵tana=3 AO OB OB =3 ∴a=60°．教师提醒学生：当A、B为锐角时，若A≠B，则 sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB．随堂练习学生做课本第80页练习第1、2题．课时总结 1、学生要牢记下表： 30 ° 45 ° 60 ° sinα1 2 2 2 3 2

(完整word版)特殊角三角函数值表

特殊角三角函数值表：函数名在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y 正弦（sin）:角α的对边比斜边余弦（cos）:角α的邻边比斜边正切（tan）:角α的对边比邻边余切（cot）:角α的邻边比对边特殊函数人倒数关系: tanα ?cotα=1sinα ?cscα=1cosα ?secα=1特殊函数人商数关系:tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα 特殊函数人平方关系：sinα2+cosα2=11+tanα2=secα21+cotα=cscα2 以下关系，函数名不变，符号看象限 sin（π+α）=-sinα cos（π+α）=-cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα sin（π－α）=sinα cos（π－α）=-cosα tan（π－α）=-tanα cot（π－α）=-cotα sin（2π－α）=-sinα cos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=-tanα cot（2π－α）=-cotα 以下关系，奇变偶不变，符号看象限 sin（90°-α）=cosα cos（90°-α）=sinα tan（90°-α）=cotα cot（90°-α）=tanα sin（90°+α）=cosα cos（90°+α）=sinα tan（90°+α）=-cotαcot（90°+α）=-tanα 特殊三角函数人积化和差的关系： sinα ?cosβ=（1/2）*[sin（α+β）+sin（α－β）] cosα ?sinβ=（1/2）*[sin（α+β）－sin（α－β）] cosα ?cosβ=（1/2）*[cos（α+β）+cos（α－β）] sinα ?sinβ=（1/2）*[cos（α+β）－cos（α－β）] 特殊三角函数 - 和差化积公式 sinα+sinβ=2*[sin(α+β)/2]*[cos(α-β)/2] sinα-sinβ=2*[cos(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]

三角函数特殊角值表

三角函数特殊值 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°= 21 sin45°=cos45°=2 2 tan30°=cot60°=3 3 tan 45°=cot45°=1 2 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3

说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 3 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．巧记特殊角的三角函数值初学三角函数，记忆特殊角三角函数值易错易混。若在理解掌握的基础上，经过变形，使其呈现某种规律，再配以歌诀，则可浅显易记，触目成诵。仔细观察表1，你会发现重要的规律。

《特殊角的三角函数值》教案

28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数 1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点) 2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点) 3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点 ) 一、情境导入问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．二、合作探究探究点一：特殊角的三角函数值【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算计算： (1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°； (2) sin30°－sin45° cos60°＋cos45° . 解析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：(1)原式＝2× 1 2× 1 2－6× 2 2× 3 2＝ 1 2－ 3 2＝－1； (2)原式＝ 1 2－ 2 2 1 2＋ 2 2 ＝22 －3. 方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】已知三角函数值求角的取值范围若cosα＝ 2 3，则锐角α的大致范围是() A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30° 解析：∵cos30°＝ 3 2，cos45°＝ 2 2，cos60°＝ 1 2，且 1 2＜ 2 3＜ 2 2，∴cos60°＜cos α＜cos45°，∴锐角α 的范围是45°＜α＜60°.故选C. 方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．【类型三】根据三角函数值求角度若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是() A．20°B．30°C．40°D．50°

三角函数值(附三角函数值表)

三角函数值（附三角函数值表）（1）特殊角三角函数值 sin0=0 sin30=0.5 sin45=0.7071 二分之根号2 sin60=0.8660 二分之根号3 sin90=1 cos0=1 cos30=0.866025404 二分之根号3 cos45=0.707106781 二分之根号2 cos60=0.5 cos90=0 tan0=0 tan30=0.577350269 三分之根号3 tan45=1 tan60=1.732050808 根号3 tan90=无 cot0=无 cot30=1.732050808 根号3 cot45=1 cot60=0.577350269 三分之根号3 cot90=0 （2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。（见下）（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0, 当角度在0°<α<90°间变化时， tanα>0, cotα>0. “锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无

特殊角的三角函数值的巧记

特殊角的三角函数值的巧记特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背．那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法．首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系．对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、斜边的比是掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意一个锐角三角函数值，如：001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点．在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1 住：00sin 45cos 452 == ，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义．二、列表法：

说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1 →22→23→1变化，其余类似记忆．三、口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉．如tan60°= =tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记．四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ．例1.tan30°的值等于（）

特殊角的三角函数值及计算

特殊角及计算 0° 30° 45° 60° 90° sinA cosA tanA cotA 当锐角α越来越大时, α的正弦值越来___________，α的余弦值越来___________. 当锐角α越来越大时, α的正切值越来___________，α的余切值越来___________. 1：求下列各式的值．（1）cos 260°+sin 260°．（2）cos 45sin 45? ? -tan45°． 2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，6，3，求∠A 的度数．（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3倍，求a ．一、应用新知： 1.（1）（sin60°-tan30°）cos45°= .(2)若0sin 23=-α，则锐角α= . 2.在△ABC 中，∠A=75°，2cosB=2，则tanC= .

3．求下列各式的值． (1)o 45cos 230sin 2-? (2)tan30°－sin60°·sin30° (3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45° (4)?+?+? +?-?45sin 30cos 30tan 1 30sin 145cos 222 4．求适合下列条件的锐角． (1)2 1cos =α (2)3 3tan = α (3)2 22sin = α (4)33)16cos(6=-οα （5）（6） 6．如图，在△ABC 中，已知BC=1+ ，∠B=60°，∠C=45°，求AB 的长. 7.在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有，则△ABC 的 |tanB-3|+(2sinA-3)2 =002sin 2=-α0 1tan 3=-α3

特殊角三角函数值表

特殊角三角函数值表函数名在平面直角坐标系xOy中，从点0引出一条射线0P，设旋转角为0,设OP=r , P点的坐标为（x, y ）有正弦函数sin 0 =y/r 余弦函数cos 0 =x/r 正切函数tan 0 =y/x 余切函数cot 0 =x/y 正弦（Sin ）：角a的对边比斜边余弦（COS ）:角a的邻边比斜边正切（tan ）:角a的对边比邻边余切（cot ）:角a的邻边比对边特殊函数人倒数关系：tan a ?COt a =1 sin a ?CSC a =1 COS a ?SeC a =1 特殊函数人商数关系：tan a =Sin a /COS a COt a =COS a /Sin a 特殊函数人平方关系：sin a 2+COS a 2=1 1+tan a 2=sec a2 1+cot a =CSC a2 以下关系，函数名不变，符号: 看象限 sin (n + a) =-Sin a COS (n + a) =. -COS a tan (n + a) =tan a cot (n + a) =cot a sin (n — a) =sin a cos (n —-a) =-COS a tan (n — a) =-tan a cot (n —-a) =-COt a sin (2 n — a) =-Sin a COS (2 n —a )=COS a tan (2 n — a) =-tan a COt (2 n —a )=-cot 以下关系，奇变偶不变，付号看象限 sin (90° - a) =COS a COS (90°-a ) =sin a tan (90° - a) =COt a cot (90°-a ) =ta n a sin (90° + a) =COS a cos (90°+ a )=sin a tan (90° + a) =- COt a(90°+ a ) =-ta n a 特殊三角函数人积化和差的关系: sin a ?cos 3 = ( 1/2 ) *[si n (a + 3) +sin (a — 3) ] COS a ?si n 3 = ( 1/2 ) *[si n (a + 3) —sin (a — 3) ] COS a ?cos 3 = ( 1/2 ) *[cos (a + 3) +COS (a — 3) ] sin a ?si n 3 = ( 1/2 ) *[cos (a + 3) —COS (a — 3) ] 特殊三角函数-和差化积公式 sin a +sin 3 =2*[sin( a + 3 )/2]*[cos( a - 3 )/2] sin a -sin 3 =2*[cos( a + 3 )/2]*[sin( a - 3 )/2]

三角函数值表

（1）特殊角三角函数值 sin0=0 sin30=0.5 sin45=0.7071 二分之根号2 sin60=0.8660 二分之根号3 sin90=1 cos0=1 cos30=0.4 二分之根号3 cos45=0.1 二分之根号2 cos60=0.5 cos90=0 tan0=0 tan30=0.9 三分之根号3 tan45=1 tan60=1.8 根号3 tan90=无 cot0=无 cot30=1.8 根号3 cot45=1 cot60=0.9 三分之根号3 cot90=0 （2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。（见下）

（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0, 当角度在0°<α<90°间变化时， tanα>0, cotα>0. “锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。附：三角函数值表 sin0=0, sin15=（√6-√2)/4 , sin30=1/2, sin45=√2/2, sin60=√3/2, sin75=(√6+√2)/2 , sin90=1, sin105=√2/2*(√3/2+1/2) sin120=√3/2

三角函数特殊角值表

1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22，tan30°=cot60°=33，tan45°=cot45°=1 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y 2、列表法：说明：正弦值随角度变化，即0?30?45?60?90?变化；值从0 21222 3 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1；0＜cos α＜1；tan α＞0；cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ；cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜ α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．函数名正弦余弦正切余切正割余割符号sincostancotseccsc 正弦函数sin （A ）=a/c 余弦函数cos （A ）=b/c 正切函数tan （A ）=a/b 余切函数cot （A ）=b/a 其中a 为对边，b 为邻边，c 为斜边三角函数对照表 30? 1 2 1 45? 1 1 2 60?

《特殊角的三角函数值》说课稿

《特殊角的三角函数值》说课稿尊敬的各位评委：大家下午好！今天我说课的题目是《特殊角的三角函数值》，对于本节课，我将从教材分析、教学目标分析、教学方法分析、教学过程分析四个方面加以说明。一、教材分析 1、教材的地位和作用《特殊角的三角函数值》选自新人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》，本章主要研究锐角三角函数的概念和应用。是在学习了直角三角形的相关性质之后进一步学习的。前两节我们主要探索了直角三角形中锐角三角函数正弦、余弦、正切的概念、表示方法和计算方法，而本节主要让学生熟记特殊角的三角函数值；运用特殊角的三角函数值进行加、减、乘、除运算；并能根据函数值说出对应的锐角度数。学好本节内容能使学生灵活运用锐角三角函数解决实际生活中的问题。二、教学目标分析为了更好培养学生的数学探索能力和数学意识，提高学生分析问题和解决问题的能力，制定如下教学目标： 1.知识目标：（1）会根据直角三角形推导特殊角的三角函数值。（2）熟记30°、45°、60°角的三角函数值。（3）通过对特殊角函数值的推导，养成勇于探索敢于创新的良好习惯，善于用数学方法分析和解决实际问题的能力 2.能力目标：让学生经历30°、45°、60°角的三角函数值推导过程，从而掌握特殊角的三角函数的运用方法。通过对特殊角三角函数的学习，培养学生提出问题、理解问题解、解决问题的能力。 3.情感目标：创设学生主动参与的情境，激起学生强烈的好奇心和求知欲，使之在积极参与过程中获得成功的体验。体验到数学充满探索与创造，尽可能使每个学生都能得到发展。通过本节课的学习让学生体会锐角三角函数的数学美，从而培养学生的数学应用意识。 4、教学重点与难点教学重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值教学难点：根据函数值说出对应的锐角度数突破重难点方法：（发挥学生的主体作用，通过学生动手实践，让学生在在实验中探索，在探索中领悟，在领悟中理解）三、教学方法和学法分析 1.教法：授人以鱼不中授人以渔，所以在教学过程中让学生成为学习的主导，重视教学方法，让学生从学会向会学转变，成为学习的主人。创设学生熟悉的情境引导学生小组合作探究，并主动参与教学活动，从而使学生熟记30°、45°、60°角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数的运用。从而提高学生用已学知识去主动获取知识的能力。在探索新的过程中，培养他们掌握好的学习方法生解题方法，并通过动手操作、动脑思考、动口表述，培养学生观察、猜想、概括、表述的能力 2.学法：本节课的学习方法采用自主探究、互助合作、讨论交流方法。本节课数学活动贯穿始终，既有学生自主探究，也有小组合作交流，目的是让学生从自主探究中发展，从合作交流中提高。四、教学过程分析教学过程我主要分为六部分：一、新课引入，二、探究新知，三、巩固新知，四、感悟收获，五、布置作业，六、板书设计（一）、新课引入

特殊三角函数数值表

特殊三角函数数值表 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 公式 sin(A/2) = √{(1--cosA)/2} cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)} cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sin(a) cos(-a) = cos(a) sin(π/2-a) = cos(a) cos(π/2-a) = sin(a) sin(π/2+a) = cos(a) cos(π/2+a) = -sin(a) sin(π-a) = sin(a)

《特殊角的三角函数值》基础训练

《特殊角的三角函数值》基础训练知识点1特殊角的三角函数值 1.[2018天津中考]cos30°的值等于( ) A. 2 2 B. 3 2 C.1 D.3 2.下列各式不正确的是( ) A.cos30°=sin60° B.tan45°=2sin30° C.sin30°＋cos30°=1 D.tan60o·cos60o=sin60o 3.点(－cos60°，tan30°)关于x轴对称的点的坐标是( ) A.(1 2 ， 3 3 ) B. (－ 1 2 ，－ 3 3 ) C. ( 3 2 3－ 3 2 3) 4.[2017江苏泰州靖江一模]若某三角形的三个内角度数之比为1:2:3，则该三角形中最小内角的正切值为____. 5.计算： (1)tan230o＋cos230o－sin245°tan45°； (2) sin30 sin60cos45 - ? ?? ()2 1-tan30?tan45°. 知识点2由特殊角的三角函数值求角 6.[2018山东青岛胶州期末]在Rt△A BC中，∠C=90°，sinA= 3 2 ，则∠A的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 7.[2017山东聊城中考]在Rt△ABC中，cosA=1 2 ，那么sinA的值是( ) A. 2 2 B. 3 2 C. 3 3 D. 1 2

8.[2018吉林实验中学一模]在△A BC中，∠A，∠B，∠C都是锐角，tanA=1，sinB= 2 2 ，你认为最确切的判断是( ) A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 9.在△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=2，则点B的度数是____. 知识点3特殊角的三角函数值的运用 10.已知菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AO C=45°，0C=2，则点B 的坐标是____. 11.如图，在△ABC中，∠B=60o，sinC=4 5 ，AC=10，求AB的长. 12.[2017江西南昌实验中学期末改编]如图，△ABC表示学校内的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮.已知某种草皮每平方米售价为200元，则购买这种草皮需花费多少元？

三角函数特殊角值表

三角函数特殊角值表公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]

一、特殊角三角函数值

二、诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z） cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z） tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα 公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα sin（3π/2＋α）＝－cosα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα tan（3π/2－α）＝cotα （以上k∈Z）

特殊角三角函数值表

特殊角三角函数值表： ? 函数名在平面直角坐标系ｘＯy中，从点O引出一条射线OＰ，设旋转角为θ，设OＰ=r,Ｐ点的坐标为(x,ｙ)有?正弦函数sinθ=y/r余弦函数ｃoｓθ=x／r 正切函数tanθ＝ y/x 余切函数cｏｔθ=ｘ／ｙ?正弦（sin):角α的对边比斜边余弦（cos)：角α的邻边比斜边正切(ｔan）:角α的对边比邻边余切（cot）:角α的邻边比对边特殊函数人倒数关系: tａnα ?coｔα=１sinα ?csｃα＝1 ｃosα ?secα=1 特殊函数人商数关系:tａｎα=sinα／cｏsαｃotα＝cosα/sinα?特殊函数人平方关系:sinα2+cｏｓα2=1 1+tanα2=sｅｃα21+cotα=cscα2?以下关系,函数名不变，符号看象限 siｎ（π+α)＝－siｎαcos（π+α)=-cｏsα ｔan（π+α）＝ｔａnα coｔ(π＋α)=ｃotα sin（π—α)=ｓinα cos（π—α)=—cosα tａn(π—α)=－taｎαcｏt(π—α）=—ｃotα ｓin(2π－α）=-sinα cos（2π－α）=ｃosα tan(2π－α）=-tａnα cｏt(２π—α）＝－cotα?以下关系,奇变偶不变,符号看象限 siｎ(90°-α)=cosα cｏs(90°-α)=ｓinα tan（90°－α）=cｏｔα coｔ（９０°—α)=tａｎα?ｓin（９0°+α)=cosαｃｏ s(90°+α）=sinα tan（90°+α）=-ｃotαcot（90°＋α）＝—tanα 特殊三角函数人积化和差的关系：?siｎα ?ｃoｓβ=（1/2）*[ｓiｎ（α+β）+sin （α-β）］ cｏsα ?ｓinβ=(1/2)＊[sｉn（α+β)—sin(α－β）］ｃoｓα ?cｏｓβ=（1/2）*［cｏs（α+β）＋cos（α—β)] sｉnα ?ｓｉnβ=（1/２）＊[ｃoｓ（α+β）-cｏs（α—β）]?特殊三角函数 - 和差化积公式?siｎα＋siｎβ=2*［ｓｉｎ(α＋β）/2］*[coｓ(α－β)/2] sinα-sinβ=2*［ｃos(α+β)／２]＊[ｓin（α—β）/2] cosα＋ｃｏｓβ=2*[ｃos(α＋β）/２］*［ｃｏｓ(α－β）/2］cosα—ｃosβ＝-22*［ｓin（α+β）／2］＊［sin(α－β)/2］

三角函数特殊角值表

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 只想上传这一个表下面的都是无用的话不用看了。 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°= 2 1 sin45°=cos45°=22 tan30°=cot60°=3 3 tan 45°=cot45°=1 230? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3

说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 23 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克*

特殊角三角函数值专题(含答案)

特殊角三角函数值专题 1．（昌平18期末1）已知∠A 为锐角，且sin A ＝，那么∠A 等于（） A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° C 2．（海淀18期末10）已知∠A 为锐角，且tan A =A 的大小是°． 60 3．（丰台18期末9）如果sin α =1 2，那么锐角α =. 30° 4．（密云18期末10）已知A ∠为锐角，且tan A =A ∠的大小为 _________ 10.60? 5．（燕山18期末9）已知α是锐角，01sin(15)2 α+=，则α=________ 9. 15° 6．（大兴18期末10）计算：2sin60°－tan 45°＋4cos30°=__________． 10.. 7．（昌平18期末17）计算：2sin 30tan 60cos 60tan 45?-?+?-?． 17．解：2sin 30tan 60cos 60tan 45?-?+?-? 1 22 112=?-…………………………………………………………4分 1 2 =．…………………………………………………………………5分 8．（东城18期末17）计算：2cos30-2sin 45+3tan 60+1-???. 9．（海淀18期末17）计算：2sin 30°2cos 45-°

= 1 = 15分 10．（石景山18 期末17）计算：?-?+?-?60sin 260cos 1 45cos 30tan 32． 17．（本小题满分5分）解：原式=23 22 11 )22 (33 32?-+-? (4) 分 =3221 3-+- =23 ． (5) 分 11．（西城18期末17）计算：22sin30cos 45tan60?+?-?． 12．（丰台18期末17）计算：2cos30sin 45tan 60?+?-?. 17. 解：2cos30sin 45tan 60?+?-? = 2……3分 ……4分 ……5分

三角函数特殊角值表

1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 2、列表法：说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 1 22 23 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3

函数名正弦余弦正切余切正割余割符号sin cos tan cot sec csc 正弦函数sin（A）=a/c 余弦函数cos（A）=b/c 正切函数tan（A）=a/b 余切函数cot（A）=b/a 其中a为对边，b为邻边，c为斜边三角函数对照表

特殊角的三角函数值练习题

知识点1 特殊角的三角函数值 1．计算： (1)sin30°＋cos45°； (2)cos30°·tan30°－tan45°； (3)sin 260°＋cos 260° (4) 22 sin45°＋sin60°·cos45°. 知识点2 由三角函数值求特殊角 2．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12 ，则α＝ . 3．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝23，则∠A ＝． 4．(邵阳中考)在△ABC 中，若? ?????sinA －12＋(cosB －12)2＝0，则∠C 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 5．如果在△ABC 中，sinA ＝cosB ＝22，那么下列最确切的结论是( ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形 6．在△ABC 中，∠A ＝75°，sinB ＝ 32，则tanC ＝( ) A.33 B. 3 C ．1 D.32 7．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是( ) A ．40° B ．30° C ．20° D ．10° 8．(孝感中考)式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2 的值是( ) A ．23－2 B ．0 C ．2 3 D ．2 9．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC ＝45°，OC ＝2，则点B 的坐标为( ) A ．(2，1) B ．(1，2) C ．(2＋1，1) D ．(1，2＋1) 10．(重庆中考)如图，C 为⊙O 外一点，CA 与⊙O 相切，切点为A ，AB 为⊙O 的直径，连接CB.若⊙O 的半径为2，∠ABC ＝60°，则BC ＝． 11．若a ＝3－tan60°，求(1－2a －1)÷a 2－6a ＋9a －1的值。