九年级下册数学第二章《二次函数》测试
一、选择题：
1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ）
A. 直线3-=x
B. 直线3=x
C. 直线2-=x
D. 直线
2=x
2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点
),(a
c
b M 在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ）
A. 042>-ac b
B. 042=-ac b
C. 042<-ac b
D.
ac b 42-≤0
4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的
解析式是532+-=x x y ，则有（ ）
!
A. 3=b ，7=c
B. 9-=b ，15-=c
C. 3=b ，3=c
D. 9-=b ，21=c
5. 已知反比例函数x
k
y =
的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）
x
6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函
数c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）
D
7. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ）
A. 2-=x
B. 2=x
C. 1-=x
D. 1=x
8. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ）
A. 2-
B. 2
C. 1-
D. 1
9.
\
10.
二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若
c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ）
A. 0>M ，0>N ，0>P
B. 0
C. 0>M ，0
D. 0 11. 将二次函数322+-=x x y 配方成 k h x y +-=2)(的形式，则y =______________________. 12. 已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，那么一元二次方程 02=++c bx ax 的根的情况是______________________. 13. 已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-，则c a +=_________. 14. # 15. 请你写出函数2)1(+=x y 与12+=x y 具有的一个共同性质：_______________. 16. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线4=x ； 乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 17. 已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条 件的二次函数的解析式：_____________________. 18. 如图，抛物线的对称轴是1=x ，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3(， 则A 点的坐标是________________. 三、解答题： 1. · 2. 已知函数12-+=bx x y 的图象经过点（3，2）. （1）求这个函数的解析式； （2）当0>x 时，求使y ≥2的x 的取值范围. 3. 如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B . ; （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是 以 AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标. # 4.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢 利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）. （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元 - 5.卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分. 在大桥截面1:11000的比例图 上去，跨度AB=5cm，拱高OC=，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）. 在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）. （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE与AB的距离OM=，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：2≈， 计算结果精确到1米）. （1） A B C D E M O （2） ~ 6. 已知二次函数m ax ax y +-=2的图象交x 轴于)0,(1x A 、)0,(2x B 两点，21x x <， 交y 轴的负半轴与C 点，且AB =3，tan ∠BAC = tan ∠ABC =1. （1）求此二次函数的解析式； （2）在第一象限．．．．．． ，抛物线上是否存在点P ，使S △PAB =6若存在，请你求出点P 的坐标；若不存在，请你说明理由. ' 提高题 1. 已知抛物线c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点，且交点为)0,2(A . （1）求b 、c 的值； （2）若抛物线与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ，求△OAB 的面积（答案可带 根号）. 2. 启明星、公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为 10万件. 为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是x （万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且 107107102++-=x x y ，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费： : （1）试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数关系式，并计算广告 费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元 （2）把（1）中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资新项目，现有 如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于万元，问有几种符合要求的投资方式写出每种投资方式所选的项目. 3. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上 升3m 时，水面CD 的宽是10m. （1）求此抛物线的解析式； （2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地 距此桥280km （桥长忽略不计）. 货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行）. 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米 — 4. 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现：当每 套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x （元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y （元）. ? （1）用含x 的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的 支出费用； （2）求y 与x 之间的二次函数关系式； （3）当月租金分别为4300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元此 时应该租出多少套机械设备请你简要说明理由； （4）请把（2）中所求的二次函数配方成a b a c a b x y 44)2(2 2-++=的形式，并 据此说明：当x 为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大最大月收益是多少 ' ） 九年级下册数学第二章《二次函数》测试参考答案 一、选择题： 二、填空题： 1. 2)1(2+-=x y 2. 有两个不相等的实数根 3. 1 4. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值） 5. 358 512+-= x x y 或 3 5 8 512-+-=x x y 或17 8 712+-= x x y 或 17 8 712-+-=x x y 6. 122++-=x x y 等（只须0c ） 7. )0,32(- 8. 3=x ，51< \ 三、解答题： 1. 解：（1）∵函数12-+=bx x y 的图象经过点（3，2），∴2139=-+b . 解得2-=b . ∴函数解析式为122--=x x y . （2）当3=x 时，2=y . 根据图象知当x ≥3时，y ≥2. ∴当0>x 时，使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3. 2. 解：（1）由题意得051=++-n . ∴4-=n . ∴抛物线的解析式为452-+-=x x y . （2）∵点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为)4,0(-. ∴OA =1，OB =4. 在Rt △OAB 中，1722=+=OB OA AB ，且点P 在y 轴正半轴上. ~ ①当PB =PA 时，17=PB . ∴417-=-=OB PB OP . 此时点P 的坐标为)417,0(-. ②当PA =AB 时，OP =OB =4 此时点P 的坐标为（0，4）. 3. 解：（1）设s 与t 的函数关系式为c bt at s ++=2， 由题意得?????=++-=++-=++；5.2525,224,5.1c b a c b a c b a 或??? ??=-=++-=++.0,224,5.1c c b a c b a 解得? ?? ???? =-==. 0,2,21c b a ∴ t t s 22 1 2-=. （2）把s =30代入t t s 2212-=，得.22 1 302t t -= 解得101=t ，62-=t （舍去） 答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元. （3）把7=t 代入，得.5.1072721 2=?-?= s 把8=t 代入，得.168282 1 2=?-?=s 5.55.1016=-. 答：第8个月获利润万元. | 4. 解：（1）由于顶点在y 轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为 10 9 2+ =ax y . 因为点)0,25(-A 或)0,25(B 在抛物线上，所以109 )25(·02+ -=a ，得125 18 - =a . 因此所求函数解析式为10 9125182+- =x y （25-≤x ≤25 ）. （2）因为点D 、E 的纵坐标为209，所以10 9 12518209+-=，得245± =x . 所以点D 的坐标为)20 9,245(- ，点E 的坐标为)209 ,245(. 所以22 5 )245(245=--=DE . 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.0110022 5 ≈=??（米）. 5. 解：（1）∵AB =3，21x x <，∴312=-x x . 由根与系数的关系有121=+x x . ∴11-=x ，22=x . ∴OA =1，OB =2，2·21-== a m x x . ~ ∵1tan tan =∠=∠ABC BAC ，∴1==OB OC OA OC . ∴OC =2. ∴2-=m ,1=a . ∴此二次函数的解析式为22--=x x y . （2）在第一象限，抛物线上存在一点P ，使S △PAC =6. 解法一：过点P 作直线MN ∥AC ，交x 轴于点M ，交y 轴于N ，连结PA 、PC 、MC 、NA . ∵MN ∥AC ，∴S △MAC =S △NAC = S △PAC =6. 由（1）有OA =1，OC =2. ∴ 612 1 221=??=??CN AM . ∴AM =6，CN =12. ∴M （5，0），N （0，10）. ∴直线MN 的解析式为102+-=x y . ， 由???--=+-=, 2,1022x x y x y 得???==；4311y x ???=-=18,422y x （舍去） ∴在 第一象限，抛物线上存在点)4,3(P ，使S △PAC =6. 解法二：设AP 与y 轴交于点),0(m D （m >0） ∴直线AP 的解析式为m mx y +=. ? ? ?+=--=., 22m mx y x x y ∴02)1(2=--+-m x m x . ∴1+=+m x x P A ，∴2+=m x P . 又S △PAC = S △ADC + S △PDC =P x CD AO CD ·21·21+=)(2 1P x AO CD +. ∴ 6)21)(2(2 1 =+++m m ，0652=-+m m ∴6=m （舍去）或1=m . | ∴在 第一象限，抛物线上存在点)4,3(P ，使S △PAC =6. 提高题 1. 解：（1）∵抛物线c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点， ∴方程02=++c bx x 有两个相等的实数根，即042=-c b . ① 又点A 的坐标为（2，0），∴024=++c b . ② 由①②得4-=b ，4=a . （2）由（1）得抛物线的解析式为442+-=x x y . 当0=x 时，4=y . ∴点B 的坐标为（0，4）. 在Rt △OAB 中，OA =2，OB =4，得5222=+=OB OA AB . ∴△OAB 的周长为5265241+=++. 2. 解：（1）76)34()107 10710(1022++-=--?++-?=x x x x x S . 当3) 1(26 =-?-=x 时，16)1(467)1(42=-?-?-?= 最大S . ∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元. （2）用于投资的资金是13316=-万元. 经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A 、B 、E 各一股，投入 资金为13625=++（万元），收益为++=（万元）>（万元）； 另一种是取B 、D 、E 各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13（万元）， 收益为++=（万元）>（万元）. 3. 解：（1）设抛物线的解析式为2ax y =，桥拱最高点到水面CD 的距离为h 米，则 ),5(h D -，)3,10(--h B . ∴???--=-=.3100,25h a h a 解得????? =-=. 1, 251h a ∴抛物线的解析式为2 25 1x y -=. （2）水位由CD 处涨到点O 的时间为1÷=4（小时）， 货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280， ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车的速度提高到x 千米/时， 当2801404=?+x 时，60=x . ∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时. 4. 解：（1）未出租的设备为10 270 -x 套，所有未出租设备的支出为)5402(-x 元. （2）5406510 1 )5402()1027040(2++-=----=x x x x x y . ∴5406510 1 2++-=x x y .（说明：此处不要写出x 的取值范围） （3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为32套. 因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套. （4）5.11102)325(10 1 5406510122+--=++- =x x x y . ∴当325=x 时，y 有最大值. 但是，当月租金为325元时，租出设备 套数为，而不是整数，故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元.
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