第一章习题解答 （一） 1 ．设z =z 及Arcz 。 解：由于3i z e π -== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 4 12 12222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z
习题1 第一章 复数与复变函数 1.12z = =求|z|，Argz 解：123212 2 =??? ? ??+??? ??=z Argz=arctan 212-+2k π=23k π π+-, ,2,1,0±±=k 2．已知2 11i z += ,=2z i -3,试用指数形式表示2 1 21z z z z 及 解：2 11i z += i e 4 π = =2z i -3i e 6 2π -= 所以21z z =i e 6 2π -i e 4 πi e 12 2π - = 2 1z z i i i i e e e e 125)64(64 21212π π ππ π ===+- 3． 解二项方程440z a += )0(>a 解 由440z a +=得44z a =- 则二次方程的根为 k w a = （k=0,1,2,3） =24k i e a ππ+? （k=0,1,2,3） 0w =4 i e a π? =234 4 1(1)2 i i a w e a e a i ππ π+?===-+
54 2(1)2i a w e a i π==-- 74 3(1)2 i a w e a i π==- 4 .设1z 、2z 是两个复数，求证： ),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=- 证明：()() 21212 21z z z z z z --=- () 2 12 22 121212 2211 2212 221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---= 5． 设123z ,z ,z 三点适合条件： 1230z z z ++=及1231z z z === 试证明123z ,z ,z 是一个内接于单位圆周1z =的正三角形的顶点。 证明：设111z x iy =+，222z x iy =+，333z x iy =+ 因为1230z z z ++= ∴1230x x x ++=，1230y y y ++= ∴123x x x =--，123y y y =-- 又因为1231z z z === ∴三点123z ,z ,z 在单位圆周上，且有222222112233x y x y x y +=+=+ 而()()2 2 22112323x y x x y y +=+=+ ()()2 223231x x y y ∴+++= ()232321x x y y ∴+=- 同理=+)(22121y y x x ()()131********x x y y x x y y +=+=- 可知()()()()()()2 2 2 2 2 2 121223231313x x y y x x y y x x y y -+-=-+-=-+-
第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332 3 30 2 33 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 0330 2 3 2 33 131=??? ???==?? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 0233 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 202 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02 32 3113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 2 30 2 13 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i
第二章 解析函数 解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用． 本章，我们首先介绍复变函数的极限与连续，并从复变函数的导数概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件——柯西—黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质． 一、基本要求 1．掌握复变函数的极限和连续的概念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性． 2．熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）．另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下： 复变函数()f z 在点集E ?￡上一致连续?对任意两个点列n z ，n z 'E ∈，只要0()n n z z n '-→→∞，总有()()0()n n f z f z n '-→→∞．
1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。 解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ， 所以 z 1 z 2
p141第三章习题 (一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5.由积分 C1/(z+ 2)dz之值证明 [0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d= 0，其中C取单位圆周|z| = 1． 【解】因为1/(z+ 2)在圆|z内解析，故 C1/(z+ 2)dz= 0． 设C: z()= ei ，[0, 2]． 则 C1/(z+ 2)dz= C1/(z+ 2)dz= [0, 2]iei /(ei + 2)d = [0, 2]i(cos+isin)/(cos+isin+ 2)d =
[0, 2]( 2 sin+i(1 + 2cos))/(5 + 4cos)d = [0, 2]( 2 sin)/(5 + 4cos)d+i [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d． 所以 [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)以2为周期，故 [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0；因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)为偶函数，故[0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z),g(z)在单连通区域D内解析，,是D内两点，试证 [,]f(z)g’(z)dz= (f(z)g(z))| [,] [,]g(z)f’(z)dz． 【解】因f(z),g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’的积分都与路径无关．[,]f(z)g’(z)dz+ [,]g(z)f’(z)dz= [,](f(z)g’(z)dz+g(z)f’(z))dz
《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.
??????????????????????精品自学考 料推荐?????????????????? 全国 2018 年 4 月高等教育自学考试 复变函数与积分变换试题 课程代码： 02199 一、单项选择题 (本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分 ) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．设 z=3+4i, ，则 Re z 2=( ) A ．-7 B ． 9 C ． 16 D ．25 2．下列复数中，使等式 1 =-z 成立的是 ( ) z A ． z=e 2 i B ． z=e i i 3 i D ． z= e 4 C ． z= e 2 3．设 0 1 浙江省2018年4月自考复变函数试题 课程代码：10019 一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共16分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.设z =x +iy ，则|e i-2z |=________； 2.方程z =(1+i )t （t 是实参数）给出的曲线是________； 3.关系式11 z 1-z <+所表示的z 点的轨迹是________； 4.z a z c n d )(1? -=________，其中C 表示以a 为圆心，ρ为半径的圆周，而n 为整数； 5.设区域D 的边界是周线C ，f （z ）在D 内解析，在D =D +C 上连续，则有柯西积分公式f (z )=________(z ∈D )； 6.当|z |＜1时，幂级数1+z +z 2+…+z n -1+…的和函数为________； 7.设在圆环K ：r ＜|z -a |＜R （0＜r ＜R ＜+∞）上有表示式f (z )= ∑+∞-∞=-n n n a z c )(，则 c m =________(m =0,±1,…)； 8.如果f (z )________，则称f (z )在点z 0解析。 二、判断题（本大题共7小题，每小题2分，共14分） 判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。 1.z =0是函数2 cos 1z z -的二级极点.( ) 2.设z 是复数，δ＞0,若|z -z 0|＜δ，则|z 0|-δ＜|z |＜|z 0|+δ.( ) 3.若解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )，则f ′(z )=u x +iv x .( ) 4.以指数形式表示的两个复数r e i θ和ρe i φ相等的充要条件是r =ρ，θ=φ.( ) 5.e z 以2πi 为基本周期的周期函数。( ) 6.若z 0是f (z )的本性奇点，则z 0也是) (1z f 的本性奇点.( ) 7.f (z )的孤立奇点a 为可去奇点的充要条件是函数f (z )在点a 的某个去心邻域内有界.( ) 三、完成下列各题（本大题共6小题,每小题5分，共30分） 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 的某个圆恒等于常数，则f(z)在区域D 恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. p141第三章习题(一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5. 由积分?C1/(z + 2) dz之值证明?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = 0，其中C取单位圆周| z | = 1． 【解】因为1/(z + 2)在圆| z | < 3/2内解析，故?C1/(z + 2) dz = 0． 设C : z(θ)= e iθ，θ∈[0, 2π]． 则?C1/(z + 2) dz = ?C1/(z + 2) dz = ?[0, 2π] i e iθ/(e iθ + 2) dθ = ?[0, 2π] i (cosθ + i sinθ)/(cosθ + i sinθ + 2) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ + i (1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ)/(5 + 4cosθ) dθ+ i ?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ． 所以?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0． 因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)以2π为周期，故?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0；因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)为偶函数，故 ?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = (1/2) ?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z), g(z)在单连通区域D内解析，α, β是D内两点，试证 ?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz． 【解】因f(z), g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’的积分都与路径无关． ?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ?[α, β] ( f(z)g’(z)dz + g(z) f’(z))dz = ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz． 而f(z)g(z)是( f(z)g(z))’在单连通区域D内的一个原函数，所以 ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz = f(β)g(β) -f(α)g(α) = ( f(z)g(z))|[α, β]． 因此有?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β]， 即?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz． 13. 设C : z = z(t) (α≤t≤β)为区域D内的光滑曲线，f(z)于区域D内单叶解析且f’(z) ≠ 0，w = f(z)将曲线C映成曲线Γ，求证Γ亦为光滑曲线． 【解】分两种情况讨论． (1) 当z(α) ≠z(β)时，C不是闭曲线．此时z(t)是[α, β]到D内的单射，z(t)∈C1[α, β]，且在[α, β]上，| z’(t) |≠ 0． 因Γ是曲线C在映射f下的象，所以Γ可表示为w = f(z(t)) (α≤t≤β)． ?t∈[α, β]，z(t)∈D．因f于区域D内解析，故f在z(t)处解析， 因此f(z(t))在t处可导，且导数为f’(z(t))z’(t)． 显然，f’(z(t))z’(t)在[α, β]上是连续的，所以f(z(t))∈C1[α, β]． 因为f(z)于区域D内是单叶的，即f(z)是区域D到 的单射，而z(t)是[α, β]到D 内的单射，故f(z(t))是[α, β]到 内的单射． 因在D内有f’(z) ≠ 0，故在[α, β]上，| f’(z(t))z’(t) |= | f’(z(t)) | · |z’(t) |≠ 0． 所以，Γ是光滑曲线． (2) 当z(α) = z(β)时，C是闭曲线．此时z(t)∈C1[α, β]；在[α, β]上，有| z’(t) |≠ 0；z’(α) = z’(β)；?t1∈[α, β]，?t2∈(α, β)，若t1 ≠t2，则z(t1) ≠z(t2)． 第一篇 第1章 1.已知1313 222 z i -= =-，求||z ，Argz 。 2.已知112 i z += ，23z i =-，求12z z 及12z z 。 3.设1z 、2z 是两个复数。求证：222121212|||||2Re()z z z z =+-|z -z 。 4.证明：函数22 (0)()0(0)xy z x y f z z ?=?+=??≠? 在原点不连续。 5.证明：z 平面上的直线方程可以写成az az c +=（a 是非零复常数，c 是常数） 第2章 1.试判断函数3223()3(3)f z x xy i x y y =-+-的可微性和解析性。 2.解方程13z e i =+ 3.求cos(1)i - 4.设3w z =确定在从原点z=0起沿负实轴割破了的z 平面上，并且3(2)2w -=-（这是边界上岸点对应的函数值） ，试求()w z 的值。 5.设i y x y x z f 22332)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值。 第3章 1.计算256 z c e dz z z ++?其中C 为单位圆周|z|=1 2.求积分220(281)a z z dz π++? 3.已知：22u x xy y =+-，()1f i i =-+求解析函数()f z u iv =+ 4.计算积分331 (1)(1)C dz z z -+? ,其中积分路径C 为 (1)中心位于点1z =,半径为2R <的正向圆周 (2) 中心位于点1z =-,半径为2R <的正向圆周 第4章 1．将函数) 2()1(1 )(--= z z z f 在0z =点展开为洛朗(Laurent)级数． 2．讨论级数10 ()n n n z z ∞ +=-∑的敛散性 3．求下列级数的和函数. (1)1 1(1) n n n nz ∞ -=-?∑ (2)20 (1)(2)!n n n z n ∞ =-? ∑ 4．用直接法将函数ln(1e )z -+在0z =点处展开为泰勒级数,(到4z 项),并指出其收敛半径. 第5章 1. 计算积分2 ||252(1)z z dz z z =--? 2．求出z z e z f 1)(+ =在所有孤立奇点处的留数 3． z z z z z d ) 1(sin 2 ||2 2? =- 4． ()()() 10 c d i 13z z z z +--? c :|z |=2取正向． 复变函数论第三版课后习题答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第一章习题解答 （一） 1．设132 i z -=，求z 及Arcz 。 解：由于3132 i i z e π--== 所以1z =，2,0,1,3 Arcz k k ππ=-+=±L 。 2．设121,312 i z z +==-，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于64121,322 i i i z e z i e ππ -+===-= 所以()6 46 41212222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程44 0,(0)z a a +=>。 解：1 24 444 4 (),0,1,2,3k i i z a a e ae k ππ π+=-===。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321 ===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1321===z z z ，知321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 333 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z 全国2008年4月高等教育自学考试 复变函数与积分变换试题 （课程代码：02199） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a z z +=_ ，则a 2+b 2的值（ ） A. 等于0 B. 等于1 C. 小于1 D. 大于1 2. 设2,3z w i z =+= ,则（ ） A. 3 arg π=w B. 6 arg π=w C. 6 arg π-=w D. 3 arg π-=w 3. =i 2ln （ ） A. 2ln B. i 2 2ln π+ C. i 2 2ln π- D. i i 2Arg 2ln + 4. 设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C ?=（ ） A. i π6 B. i π4 C. i π2 D. 0 5. 设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e z C 2 -? =（ ） A. e 2 B. i e 22π C. i e 2π D. i e 22π- 6. 设C 为正向圆周|z |=2，则dz z e z z C 4 ) 1(++? =（ ） A. i e 3π B. e 6π C. ei π2 D. i e 3 π 7. z -21 的幂级数展开式∑∞ =0n n n z a 在z =-4处（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛于6 1 8. 幂级数∑ ∞ =+0 ) 1(1 n n n z i 的收敛半径为（ ） A. 2 B. 1 C. 2 1 D. 0 9. 函数z z tan 在z =0点的留数为（ ） A. 2 B. i C. 1 D. 0 10. 函数 2 z e e ibz iaz -(a 、b 为实数,a ≠b)在z=0点的留数为（ ） A. )(a b i - B. a b - C. b a - D. )(b a i - 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 第一章习题解答 (一) 1. 设z ,求z 及Arcz 。 解: 由于3i z e π-== 所以1z =,2,0,1,3 Arcz k k ππ=-+=±L 。 2. 设121z z =,试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解: 由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i i i z z e e e e ππππ π--=== 54()1461226 11222i i i i z e e e z e πππππ+-===。 3.解二项方程440,(0)z a a +=>。 解 :12444(),0,1,2,3k i i z a e ae k πππ+====。 4.证明2221212 122()z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义。 证明:由于22212 12122Re()z z z z z z +=++ 2221212122Re()z z z z z z -=+- 所以2221212122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义就是:平行四边形对角线长平方与等于于两边长的与的平方。 5.设z 1,z 2,z 3三点适合条件: 0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1,z 2,z 3就是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321===z z z ,知321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 3331z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以, 1212 1-=+z z z z , 又 )())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z 联展自考网(https://www.doczj.com/doc/663613260.html,/zk/ks/)-中国最好的自考辅导资料网站 全国2005年4月高等教育自学考试 复变函数与积分变换试题 课程代码：02199 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设z=3+4i,，则Re z 2=( ) A ．-7 B ．9 C ．16 D ．25 2．下列复数中，使等式z 1 =-z 成立的是( ) A ．z=e 2πi B ．z=e πi C ．z= i 2 e π - D ．z= i 4 3e π 3．设0 1 全国2018年4月自学考试试题复变函数与积分变换试卷 课程代码：02199 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a z z +=_ ，则a 2+b 2的值（ ） A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1 D ．大于1 2．设2,3z w i z =+=,则（ ） A ．3 arg π = w B ．6 arg π = w C ．6 arg π - =w D ．3 arg π - =w 3．=i 2ln （ ） A ．2ln B ．i 2 2ln π + C ．i 2 2ln π - D ．i i 2Arg 2ln + 4．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C ? =（ ） A ．i π6 B ．i π4 C ．i π2 D ．0 5．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e z C 2 -? =（ ） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2π D ．i e 22π- 6．设C 为正向圆周|z |=2，则 dz z e z z C 4 )1(++? =（ ） A ． i e 3π B ． e 6π 2 C ．ei π2 D ． i e 3 π 7．z -21的幂级数展开式 ∑∞ =0 n n n z a 在z =-4处（ ） A ．绝对收敛 B ．条件收敛 C ．发散 D ．收敛于6 1 8．幂级数 ∑ ∞ =+0 ) 1(1 n n n z i 的收敛半径为（ ） A ．2 B ．1 C ． 2 1 D ．0 9．函数z z tan 在z =0点的留数为（ ） A ．2 B ．i C ．1 D ．0 10．函数2z e e ibz iaz -(a 、b 为实数,a ≠b)在z=0点的留数为（ ） A ．)(a b i - B ．a b - C ．b a - D ．)(b a i - 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．设i z 101 103+-=，则=_ z ____________. 12．方程i z 3 1ln π + =的解为____________. 13．设C 为从i 到1+i 的直线段，则 =? zdz C Re ____________. 14．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=? dz z z C 3_ )(____________. 15．设C 为正向圆周|z |=2，则 ? =-C dz z z 3 2)2 (cos π ____________. 《复变函数论》试题（D ） Ⅰ. Cloze Tests （20102=? Points ） 1. If n n n n i i z ?? ? ??++??? ??-=1153，then lim =+∞→n n z . 2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is a positive integer ，then )(10=-?C n dz z z . 3. The radius of the power series ∑∞=++13)12(n n z n n is . 4. The singular points of the function )3(cos )(2+= z z z z f are . 5. 0 ,)exp(s Re 2=?? ? ??n z z , where n is a positive integer. 6. =)sin (5z e dz d z . 7. Th e main argument and the modulus o f the number i -1 are . 8. The square roots of 1+i are . 9. The definition of z e is . 10. Log )1(i += . Ⅱ. True or False Questions (1553=? Points) 1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is analytic at 0z .（ ） 2. If a point 0z is a pole of order k of f ，then 0z is a zero of order k of f /1.（ ） 3. A bounded entire function must be a constant.（ ） 4. A function f is analytic a point 000iy x z += if and only if whose real and imaginary parts are differentiable and the Cauchy Riemann conditions hold in a neighborhood of ),(00y x .（ ） 5. If a function f is continuous on the plane and =?C dz z f )(0 for every simple closed contour C , then z e z f z sin )(+ is an entire function. ( ) 复变函数论 第二章 练习题 2014-03-25 一、复函数的可导（可微）、解析------充分掌握解析的定义，并特别留意在一点处解析和一点处可导的区别，切实掌握C.-R.方程及有关定理及公式，熟练掌握复函数可导的必要定理、充要和充分条件，复函数解析的等价性定理。 1. 函数Im Re w z z z =-在其可导处的导数为（ ） 2. 讨论函数21, 0,()0,0, z e z f z z -??≠=??=? 在原点处的可微性。 3. 设2224()(),0,()0,0,x x y y ix z f z x y z ?+-≠?=+??=? 证明：当沿任何向径0y m x =→时，()(0)0,f z f z -→但(0)f '不存在。 4.设()f z p iq =+为z x iy =+的解析函数且已知222222()2()0xyp y x q xy x y +-++=，求().f z 5. 证明函数5 4,0,()||0,0,z z f z z z ?≠?=??=? 在原点不可微但在原点满足C._R.条件。 6.设3232()()f z my nx y i x lxy =+++在z 平面上解析，其中,,,z x iy n m l =+为实数，求,,l m n 之值。 7.设()f z 在区域D 上解析，证明()f z 在区域1{:}D z z D =∈中解析。 8.如果函数()f z u iv =+在区域D 内解析，并且满足条件892003u v +=，试证()f z 在D 必为常数。 9. 设31 (),{|Re },2f z z D z z ==≥ 取1211(1),(1),22 z z ==通过计算1212 ()()f z f z z z --，验证中值定理在复数域内不成立。 * 10. 设()f z u iv =+在有界闭区域D 上连续且在其内解析不为常数，证明：(,)u x y 在且只在D 的边界上取得最大值和最小值.2020年4月浙江自考复变函数试题及答案解析
复变函数题库(包含好多考试卷,后面都有问题详解)
复变函数习题解答(第3章)
山东省自学考试复变函数与积分变换强化实践习题及答案
复变函数论第三版课后习题标准答案
全国4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题及答案(试卷答案)
复变函数论第三版课后习题答案解析
2005年4月自学考试复变函数与积分变换试题
2020年4月全国自考试题及答案解析复变函数与积分变换试卷及答案解析
《复变函数论》试题(D)
复变函数论第四版第二章练习
相关主题
文本预览