北京大学基础数学有史以来最完美经验分享
还有一个月的时间就要开学了，现在时不时想起去年复习考研的那段日子，感觉好像是昨天刚刚经历过。这不是因为它给我的心中留下了任何“痛苦”的回忆，相反的，复习考研的过程已经为我心中留下了一块珍贵的宝藏，并将让我一生受益无穷。
我之所以决定报考北京大学数学科学学院，基础数学专业的硕士研究生，主要是出于对于这个专业的兴趣和热情。本想本科毕业之后就工作，以后就可以自己养活自己，不让父母为我像以前那样操心了。但做了一段时间的程序员之后，感觉这项工作并不适合我，我不能像许多IT工作者那样充满热情地长时间面对着电脑屏幕编写一行行的程序。我开始愈加怀念本科时学数学的生活，怀念和一群同样对于数学充满热情的同学讨论问题的日子。经过认真的自我分析之后，我决定继续追求自己的理想，踏上了考研的征程。
工欲善其事，必先利其器，首先要做的当然是收集考研的相关信息和复习资料。我那些天在北大研究生院的网页、北大未名BBS和一些考研相关的网站上得到了许多有价值的信息，让我在短时间内对考研有了许多了解，也大体上安排好了复习的时间表。事实上，在整个复习考研过程中我都很关注最新的资料和信息的收集整理，随时调整自己的复习计划，毕竟“闭门造车”的方法往往是事倍功半的，面对考研这种需要耗费大量心力的“工程”就更不可取了。
接下来就是一步一个脚印的复习了，但是复习考研的风格可不像期末考试前突击的那几天一样，它需要的时间少则几个月，多则一年，所以一个适合自己的复习计划是必不可少的。由于我本科时读的就是数学，在专业课上的复习压力相对小些，所以我选择在最后两个多月在家里全力复习备考，之前的几个月在业余时间以看书浏览各科知识点为主，偶尔做做题。
有了计划，更关键的是严格执行它。其实这个道理大家都明白，但俗话说：计划赶不上变化。今天可能你最要好的同学拉着你聚会，明天可能你身体不适一整天都看不进多少东西，大家有各自的情况，我反正这些事都赶上过不止一次，之后一般都选择每天把复习的量加大一点，争取能在几天之内把损失的时间补上。另外，我觉得复习计划也不宜定得太长、太详细，就像《每天爱你八小时》里梁朝伟说的：“我不能保证24小时之后的事。”每天早晨根据具体情况定好当天的计划就行了，第二天到了再说第二天的，如果你连今天的都没完成，那明天的计划提前定了也是白搭。但这并不表示一个长期的计划没有用，大家心里应该衡量好比如用大约多久看完这本书啦，用多久做完这本习题集啦，不然的话会在考试临近的时候发现好多最初计划要做的复习工作没时间做了。
具体到各科，对于公共课政治其实我是最头疼的（相信好多研友也是跟我同样的感觉），因为文科的东西重在积累，而这种需要记和背的活儿感觉总是很累人。我对付它的方法是“书读千遍，其意自现”，当然千遍是读不到，但那本“红宝书”我读了肯定有五遍，岳华亭的那本我也看了三遍。我一般选择做数学做的比较累了之后抱着政治参考书浏览，指望逐字逐句记住是不现实的，但把知识点理解了之后，能够用自己的话说出来还是不难的，前几遍可能看得比较慢，到后来大部分都熟了，只要在一些没掌握的地方留一下心就好了，今年的考题证明这种靠理解而不是靠背的方法还算是对路的。
公共课英语中我感觉阅读是最重要的（其实很显然，占分多嘛），而想要提高阅读水平的前提是单词量一定要过关，就是大纲里给的单词要无条件掌握，毕竟要读懂句子就要先认识单词才行。其实对于考研英语我没有太多的心得，只能给大家介绍一下我练模拟题用的书：一本是毕金献的模拟题，难度比较大，但认真做下来会感觉很有收获；张锦芯的那本难度没有前者大，但跟最后真题比较相似，推荐做模拟考试用。
关于数学专业课的复习，由于介绍多了大家也不一定感兴趣，毕竟都是考不同专业的，所以我只想跟大家分享一下对于理科类科目复习共同的心得，那就是——做题。所谓“重剑无锋，大巧不工”，“做题”真的是我认为取得考研成功的关键，甚至是唯一的道路。专业课本的书后习题一定要做，一方面，通过做题检验你是否真正掌握了知识，还能进一步加深对其的理解；另一方面，出题的老师往往是教过这门课的，那课本自然是出题的最大依据，课后习题一般都很具有代表性，完全可以变个样子甚至就原样出成考题，用来考察考生的知识掌握程度再合适不过了。跟课程相关的习题集也可以有选择性地做，不是要搞题海战术，而是作为对课本题目的补充，比如复习数学分析时就很有必要做做《吉米多维奇数学分析习题集》。另外，如果能够拿到往届的或正在上这门课的同学的平时作业习题，也很有参考价值的，因为对同一本书不同的老师侧重点也会有所不同，这可以从他平时给学生留作业的风格看出来，而这个老师出题的风格也许就会出现在你的专业课试卷上。
复习考研说起来往往是个很艰辛的过程，但当你身处其中时，并不一定只会觉得苦。有时会因为取得一点进步而欣喜，有时会面临困难而苦恼，其中的点点滴滴都是一种生活经历，从中学到的不只是知识，还有许多终生值得借鉴的经验，需要自己体会。
. 计算机数学基础(2) 作业3选解 一、单项选择题 1. 求积公式)1()1(f f I n +-=在[－1,1]上是( )次代数精度的． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 答案：A ． 解答：详细判断过程同“四、证明题：1”． 2. 对于( )次的代数多项式,求积公式∑?=≈ n k k k b a x f A x x f 0 )(d )( 精确成立,称具有m 次代数精度的. A ． m B ． 不超过m C ． 小于m D ． 大于m 答案：B ． 解答：见教材第12章12.1节关于m 次代数精度的定义1． 3. 当n =4时,复化抛物线求积公式≈?b a x x f d )(( )． A ．3 a b -[f (x 0)+ f (x 1)+ f (x 2)+ f (x 3)+ f (x 4)] B ． 12a b -[f (x 0)+4( f (x 1)+ f (x 3))+2f (x 2)+ f (x 4)] C ． 6a b -[f (x 0)+2(f (x 1)+ f (x 2)+ f (x 3)]+ f (x 4)] D ． 3 a b -[f (x 0)+2(f (x 1)+ f (x 3))+4f (x 2)+ f (x 4)] 答案：B ． 解答：牛顿－科茨求积公式的所有系数之和等于积分的区间长度．以此检查各个选项，只有选项B 正确． 4. 已知x =0,1处的函数值f (0)和f (1),那么f '(1)≈( )． A ．f (0)－f (1) B ． )0()1(f f - C ． f (0) D ．)]1()0([21 f f + 答案：B ． 解答：见教材第12章12.4节等距节点两点求导公式(4.4)． 二、填空题 1.科茨系数) (n k C 具有性质 和 ． 答案：∑=n k n k C 0 )(＝1；) () (n k n n k C C -=． 解答：见教材关于科茨系数的两条性质，∑=n k n k C 0 )(＝1称为归一性．) (n k C 与a ，b 无关， )()(n k n n k C C -=(称为对称性)． 4. 已知f (x 0)=y 0, f (x 1)=y 1, f (x 2)=y 2,用三点求导公式,有 f '(x 0)= , f '(x 1)= , f '(x 2)= , 答案：)34(21)();(21)();43(21)(21022012100y y y h x f y y h x f y y y h x f +-≈ '+-≈ '-+-≈ ' 解答：见教材第12章12.4节等距节点三点求导公式(4.6)． 三、计算题 1. 分别用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算积分? = 1 d e x I x 的近似值．
信息安全数学基础第一阶段知识总结 第一章 整数的可除性 一 整除的概念和欧几里得除法 1 整除的概念 定义1 设a 、b 是两个整数，其中b ≠0如果存在一个整数 q 使得等式 a=bq 成立，就称b 整除a 或者a 被b 整除，记作b|a ，并把b 叫作a 的因数，把a 叫作b 的倍数.这时，q 也是a 的因数，我们常常将q 写成a ／b 或 否则，就称b 不能整除a 或者a 不能被b 整除，记作a b. 2整除的基本性质 (1)当b 遍历整数a 的所有因数时，-b 也遍历整数a 的所有因数. (2)当b 遍历整数a 的所有因数时，a/b 也遍历整数a 的所有因数. (3)设b ，c 都是非零整数， (i)若b|a ，则|b|||a|. (ii)若b|a ，则bc|ac. (iii)若b|a ，则1<|b|?|a|. 3整除的相关定理 (1) 设a ，b ≠0，c ≠0是三个整数.若c|b ，b|a ，则c|a. (2) 设a ，b ，c ≠0是三个整数，若c|a ，c|b ，则c|a ±b (3) 设a ，b ，c 是三个整数.若c|a ，c|b 则对任意整数s ，t ，有c|sa+tb. (4) 若整数a 1 , …,a n 都是整数c ≠0的倍数，则对任意n 个整数s 1，…，s n ，整数 是c 的倍数 a b n n a s a s ++ 11
(5) 设a，b都是非零整数.若a|b，b|a，则a=±b (6) 设a, b , c是三个整数，且b≠0，c ≠0，如果(a , c)=1,则 (ab , c)=(b , c) (7) 设a , b , c是三个整数，且c≠0，如果c｜ab , (a , c) = 1, 则c | b. (8) 设p 是素数，若p |ab , 则p |a或p|b (9) 设a1, …,a n是n个整数，p是素数，若p| a1…a n,则p一定整除某一个a k 二整数的表示 主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化. 三最大公因数和最小公倍数 (一)最大公因数 1．最大公因数的概念 定义：设是个整数，若使得，则称为的一个因数．公因数中最大的一个称为的最大公因数．记作. 若 ,则称互素． 若,则称两两互素． 思考：1．由两两互素，能否导出 2．由能否导出两两互素？ 2．最大公因数的存在性 (1)若不全为零，则最大公因数存在并且 (2)若全为零，则任何整数都是它的公因数．这时，它们没有最大公因数．
信息安全数学基础期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（本大题共8小题，每空2分，共24分） 1. 两个整数a ，b ，其最大公因数和最小公倍数的关系为 ________________。 2. 给定一个正整数m ，两个整数a ,b 叫做模m 同余，如果______________，记作(mod )a b m ≡；否则，叫做模m 不同余，记作_____________。 3. 设m ，n 是互素的两个正整数，则()mn ?=________________。 4. 设1m >是整数，a 是与m 互素的正整数。则使得1(mod )e a m ≡成立的最小正 整数e 叫做a 对模m 的指数，记做__________。如果a 对模m 的指数是()m ?，则a 叫做模m 的____________。 5. 设n 是一个奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件 ________________，则n 叫做对于基b 的拟素数。 6. 设,G G '是两个群，f 是G 到G '的一个映射。如果对任意的,a b G ∈，都有 _______________，那么f 叫做G 到G '的一个同态。 7. 加群Z 的每个子群H 都是________群，并且有0H =<>或 H =______________。 8. 我们称交换环R 为一个域，如果R 对于加法构成一个______群，* \{0}R R =对 于乘法构成一个_______群。 二、计算题（本大题共 3小题，每小题8分，共24分） 1. 令1613,a = 3589b =。用广义欧几里德算法求整数,s t ，使得 (,)sa tb a b +=。
计算机数学基础（2）作业1 一、单项选择题 1．数值x*的过似值x ，那么按定义x 的相对误差是（ ）。 A ． B ． C ． D ． 2．当一个数x 表成x=±0．a1a2 … an ×10 m 时，其中 是a1a2 ，…， an 是0～9之中的自然数，且a1≠0，e=|x - x*|≤ε=0.5×10 m -l ，1≤1≤n ，则称x 有（ ）位 有效数字。 A ．m B ．m - l C ．n D ．l 3．设 x=37.134678，取5位有效数字，x ≈（ ）。 A ．37.1347 B ．37.13468 C ．37.135 D ．37.13467 二、填空题 1．如果近似值 x 的误差限 是它某一个数位的 半个 单位，我们就说 x 准确到该位。 2 ．用mm 刻度的米尺测量一长度为x*的物体，测得近似值为x ，那么x 与x*之差的误差的误差限是 。 3．近似值作四则运算后的误差限公式ε（x 1 + x 2） =)()(21x x εε+，ε（x1 - x2） = )()(21x x εε+。 4．在运算过程中舍入误差不增加的算法称为数值稳定的算法。 5．数值计算中，普遍应注意的原则是 使用数值稳定的算法 ，防止两个相近数相减 ， 简化计算步骤，减少运算次数，避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值 ，防止大数“吃掉”小数 。 三、计算题 1． 表中各 x 的值都是精确值 x* 进行四舍五入得到的近似值，试分别指出其绝对误差限、 相对误差限和有效数字位，并填入表中。 2 ．在下面 y 的计算中；那一个算得准，为什么？ （1）已知|x|<< 1，（A ） y= - （B ） y= （2） 已知|x|<< 1，（A ） y= （B ） y= x* - x x x - x* |x – x*| x | x* - x| | x*| x* 1 (1+2x)(1+x) 1 1+x 2x 2 1+ 2x x 2sin 2x x 1-cos2x
一、单项选择题 1、设a, b 都是非零整数。若a |b ，b |a ，则【 】 A.a ＝b B.a ＝± b C.a ＝－b D. a > b 2、设a, b, c 是三个整数，c ≠0且c |a ，c |b ，如果存在整数s, t, 使得sa ＋tb ＝1，则【 】 A.(a, b)= c B. c ＝1 C.c ＝sa ＋tb D. c ＝± 1 3、Fermat 定理：设p 是一个素数，则对任意整数a 有【 】 A. a p ＝1 (mod p) B. a ? (p)＝1 (mod a) C. a ? (p)＝a (mod p) D. a p ＝a (mod p) 4、已知模41的一个原根是6，则下列也是41的原根的是【 】 A. 26 B. 36 C. 46 D. 56 5、已知，),(88+z 是模8的剩余类加群，下述不正确的是【 】 A. [1] 是生成元 B.有3阶子群 C. [0] 是单位元 D.有真子群 6、设
《信息安全数学基础》参考试卷 一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值?(576) ＝()。 (1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。 2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。 (1) 1或2，(2) | kn|， (3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。 3．模10的一个简化剩余系是( )。 (1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27 (3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。 4．29模23的逆元是( )。 (1) 2，(2) 4， (3) 6，(4) 11。 5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。 (1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2 (3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x2 6．下面的集合和运算构成群的是( ) 。 (1)
《计算机数学基础》试卷 一、填空题（每空2分，计１０?2=２0分） 1．设A 为3阶方阵，，且已知3=A ，则___________2=-A 。 ２、设矩阵 A=??? ? ??-102311,B=??? ? ??1002,则A T B=_______________________。 ３、设3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系存在，并含有1个解向量，则秩________=A 。 ４、二人独立破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为3 1 ,51，则二人至少有一人能译出密码的概率___________。 ５、设)1,0(~N X ，则_______}21{=≤<-X P 。 (查表得9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ) 6、设盒中有5个球，其中3个白球2个黑球，从中随机抽取两个球，设X 是抽得的白球数，则期望__________ )(_________;)(==X D X E 方差。 7、已知},,{c b a A =，则A 上的二元关系共有________个。 8、一个无向图有16条边，每个结点的度数为2，则该图的结点数是________。 9、设p ：532=+，q ： 中国的首都是北京，r ：3是有理数，则命题公式r q p →?)(的真值为______。 二、选择题（每题2分，计１０?2=２0分） 1、设行列式D=33 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a =3，D 1=33 32 3131 23222121 13121111 252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A 、15- B 、6- C 、6 D 、15 2、已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ） A 、若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2 B 、若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2 C 、若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0 D 、若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为0 3、1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+1α是Ax =0的解 B. 1α-2α是Ax=0的解 C. 1α+2α是Ax=b 的解 D. 1α-2α是Ax=b 的解
贵州大学2007-2008学年第二学期考试试卷（标准答案） A 信息安全数学基础 注意事项： 1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。 2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。 3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。 4. 满分100分，考试时间为120分钟。 一、设a,b 是任意两个不全为零的整数，证明：若m 是任一整数，则 [am,bm]=[a,b]m.(共10分) 解： 2 2[,](3(,)(3(,)(2( ,) [,](2abm am bm am bm abm a b m abm a b a b m = == =分） 分） 分） 分） = = 二、设 n=pq,其中p,q 是素数.证明：如果 2 2 =(mod ),,,a b n n a b n a b -+宎宎 则(,)1,(,)1n a b n a b ->+>（共10分） 证明：由2 2 2 2 =(mod ),|-,|()()a b n n a b n a b a b +-得即a a (2分） 又n pq =，则|()(),|()|(),pq a b a b p p a b p a b +-+-因为是素数，于是或a a a (2分） 同理，|()|()q a b q a b +-或a a (2分） 由于,n a b n a b -+宎 ，所以如果|()p a b +a ，则|()q a b -a ，反之亦然. (2分） 由|()p a b +a 得(,)1n a b p +=> (1分） 由|()q a b -a 得(,)1n a b q -=> (1分）
信息安全数学基础第一阶段知识总结 第一章 整数的可除性 一 整除的概念和欧几里得除法 1 整除的概念 定义1 设a 、b 是两个整数，其中b ≠0如果存在一个整数 q 使得等式 a=bq 成立，就称b 整除a 或者a 被b 整除，记作b|a ，并把b 叫作a 的因数，把a 叫作b 的倍数.这时，q 也是a 的因数， 我们常常将q 写成a ／b 或 否则，就称b 不能整除a 或者a 不能被b 整除，记作a b. 2整除的基本性质 (1)当b 遍历整数a 的所有因数时，-b 也遍历整数a 的所有因数. (2)当b 遍历整数a 的所有因数时，a/b 也遍历整数a 的所有因数. (3)设b ，c 都是非零整数， (i)若b|a ，则|b|||a|. (ii)若b|a ，则bc|ac. (iii)若b|a ，则1<|b|≤|a|. 3整除的相关定理 (1) 设a ，b ≠0，c ≠0是三个整数.若c|b ，b|a ，则c|a. (2) 设a ，b ，c ≠0是三个整数，若c|a ，c|b ，则c|a ±b (3) 设a ，b ，c 是三个整数.若c|a ，c|b 则对任意整数s ，t ， a b
有c|sa+tb. (4) 若整数a 1 , …,a n 都是整数c ≠0的倍数，则对任意n 个整数s 1，…，s n ，整数 是c 的倍数 (5) 设a ，b 都是非零整数.若a|b ，b|a ，则a=±b (6) 设a, b , c 是三个整数，且b ≠0，c ≠0，如果(a , c)=1,则 (ab , c)=(b , c) (7) 设a , b , c 是三个整数，且c ≠0，如果c ｜ab , (a , c) = 1, 则c | b. (8) 设p 是素数，若p |ab , 则p |a 或p|b (9) 设a 1 , …,a n 是n 个整数，p 是素数，若p| a 1 …a n ,则p 一定整除某一个a k 二 整数的表示 主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化. 三 最大公因数和最小公倍数 (一)最大公因数 1．最大公因数的概念 定义：设是 个整数，若 使得 ， 则称 为 的一个因数．公因数中最大的一个称为 的最大公因数．记作 . 若 ,则称 互素． 若 ,则称 两两互素． n n a s a s ++ 11
第一章参考答案 （1） 5,4,1,5. （2） 100=22*52, 3288=23*3*137. （4） a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p 1p 2 ––p r , b=q 1 q 2 ––q s ,又因为(a, b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子 相乘a n=(p 1p 2 ––p r )n, b n=(q 1 q 2 ––q s )n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子. （5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p 1p 2 ––p r , b=q 1 q 2 ––q s , a n=(p 1p 2 ––p r )n, b n=(q 1 q 2 ––q s )n,因为a n| b n所以对任意的i有, p i 的n次方| b n, 所以b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b. （6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p 1p 2 ––p r , b=q 1q 2 ––q s , ab=p 1 p 2 ––p r q 1 q 2 ––q s , 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中 没有公共(相同)素因子, 明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c). （7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,9 7,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199. （11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1. （12）(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71). （13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立. 当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立. （14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k 1m+r, bc=k 2 m+r,有 ac=k 1d(m/d)+r, bc=k 2 d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边 可以同除以一个c, 所以结论成立. 第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=k i *m i ，a-b是任意m i 的倍数， 所以a-b是m i 公倍数，所以[m i ]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/ 最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立) （15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能 第二章答案 （5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x. （6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b 有aa=e, bb=e, (ab)
第1次作业 一、填空题 1、已知|q | <1，则极限n n q ∞→lim = 1 . 2、设?????>≤+=1,2 11,)(2x x x a x x f 是连续函数，则a = -1/2 . 3、函数2e x y =的微分=y d . 4、不定积分 ?=x x d sin 2 . 5、方程422=+y x 表示的是 圆 柱面. 二、单项选择题 1、数列0, 1, 0, 21, 0, 31, 0, 41,…. ,0, n 1,… A . (A)收敛于0. (B)收敛到1. (C)发散. (D)以上结论都不对. 2、设f (x )的一个原函数为ln x ，则 =)('x f A . (A)x 1 . (B)C x x x +-ln . (C) 21 x -. (D) x e . 3、微分方程y y 2'=的通解为 C . (A) C x y +=2. (B) C y x +=2e .(C) x C y 2e =. (D) x C y 2= . 4、等比级数 ++++=?? ? ??∑∞=320212121121n n 收敛到 C . (A) 4. (B) 3.(C) 2. (D) 1. 5、设A , B , C 是三个事件，则A , B , C 都不发生可表示为 A . (A) C B A . (B) ABC .(C) BC A . (D) C B A . 三、计算题 1、求极限x x x 11lim 0-+→. 2、曲线???=+=32 1t y t x , 求在2=t 时对应曲线上点处的切线方程. 3、设()???≥<+=-00e 12x x x x f x ,求积分?-12 d )(x x f 的值. 四、证明题或综合题 讨论 443 1)(3+-=x x x f 的单调性和极值.
信息安全数学基础习题答案 第一章整数的可除性 1．证明：因为2|n 所以n=2k , k∈Z 5|n 所以5|2k ，又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1，k1∈Z 7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1即k1=7 k2，k2∈Z 所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k2∈Z 因此70|n 2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1) 当a=3k，k∈Z 3|a 则3|a3-a 当a=3k-1，k∈Z 3|a+1 则3|a3-a 当a=3k+1，k∈Z 3|a-1 则3|a3-a 所以a3-a能被3整除。 3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1，k0∈Z （2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1 由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k 所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。 4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a 由第二题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1) 又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1) 又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。 5．证明：构造下列k个连续正整数列： (k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k∈Z 对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1) 所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数 所以此k个连续正整数都是合数。 6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13 经验算都不能整除191 所以191为素数。 因为5471/2＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23 经验算都不能整除547 所以547为素数。 由737=11*67 ,747=3*249 知737与747都为合数。 8．解：存在。eg：a=6,b=2,c=9 10．证明：p1 p2 p3|n，则n= p1 p2 p3k，k∈N+ 又p1≤p2≤p3，所以n= p1 p2 p3k≥p13 即p13≤n1/3 p1为素数则p1≥2，又p1≤p2≤p3，所以n= p1 p2 p3k≥2 p2 p3≥2p22 即p2≤(n/2)1/2得证。 11．解：小于等于5001/2的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，依次删除这些素数的倍数可得所求素数： 12．证明：反证法 假设3k+1没有相同形式的素因数，则它一定只能表示成若干形如3k-1的素数相 乘。 (3 k1+1)(3 k2+1)=[( 3 k1+1) k2+ k1]*3+1 显然若干个3k+1的素数相乘，得
《计算机数学基础（2）》模拟试题(1) 一、单项选择题（每小题3分，共15分） -2，若满足x x* （），则称x 有4 位有效数字。 1. 数值x* 的近似值x=0.1215 ×10 A. 1 2 10 3 B. 1 2 10 4 C. 1 2 10 5 D. 1 2 10 6 10 2 1 A 2 10 1 ，那么以 A 为系数矩阵的线性方程组AX=b 的雅可比迭 2.设矩阵 1 2 5 代矩阵为（）。 0 0.2 0.1 1 0.2 0.1 0.2 0 0.1 0.2 1 0.1 A. B. 0.2 0.4 0 0.2 0.4 1 0 0.2 0.1 0 2 1 C. D. 0.2 0 0.1 A 2 0 1 0.2 0.4 0 1 2 0 3. 已知y=f(x) 的均差f(x0, x1, x2)= 14/3，f(x1, x2, x3)= 15/3，f(x2, x3, x4)= 91/15，f(x0, x2, x3)= 18/3，那么均差f(x4, x2, x3)= （）。 A.15/3 B. 18/3 C. 91/15 D. 14/3 4. 已知n=4 时牛顿-科茨求积公式的科茨系数 7 ( 4) C ， 90 16 2 ( 4) ( 4) C ，C ，那 1 2 45 15 么(4) C （）。 31 A. 7 90 B. 16 45 C. 2 15 D. 1 7 90 16 45 2 15 39 90 5.用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是（）。 x x x e x A. e 1 0, [1,1.5],令 1 1 k k B. 3 1 2 x x 1 0,[ 1.4,1.5], 令x 1 k x
第六章 素性检验 6.1 拟素数 引例：根据Fermat 小定理，我们知道：如果n 是一个素数，则对任 意整数b,(b,n)=1,有 )(mod 11n b n ≡- 由此，我们得到：如果一个整数b,(b,n)=1,使得 ) (mod 11n b n ≡/-，则n 是一个合数。 定义1：设n 是一个奇合数，如果整数b,(b,n)=1使得同余式 )(mod 11n b n ≡-成立，则n 叫做对于基b 的拟素数。 引理：设d,n 都是正整数，如果d 能整除n 则 12-d 能整除12-n 定理1：存在无穷多个对于基2的拟素数。 定理2：设n 是一个奇合数，则 (i)n 是对于基b,((b,n)=1),的拟素数当且仅当b 模n 的指数整除n-1。 (ii)如果n 是对于基1b ((1b ,n)=1),和基2b ，((2b ,n)=1),的拟素数，则 n 是对于基21b b 的拟素数。 (iii)如果n 是对于基b,((b,n)=1),的拟素数，则n 是对于基1-b 的拟素数。 (iv)如果有一个整数b ，((b,n)=1),使得同余式 )(mod 11n b n ≡-不成立，则模n 的简化剩余系中至少有一半的数使得该同余式不成立。 //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Fermat 素性检验 给定奇整数3≥n 和安全参数t 。 1.随即选取整数 b ,22-≤≤n b ； 2.计算()n b r n mod 1-=; 3.如果1≠r ，则n 是合数； 4.上述过程重复t 次； 定义2：合数n 称为Carmichael 数，如果对所有的正整数b ，(b,n)=1, 都有同余式 ()n b n mod 11≡-成立 定理3：设n 是一个奇合数。 (i)如果n 被一个大于1平方数整除，则n 不是Carmichael 数。 (ii)如果k p p n Λ1=是一个无平方数，则n 是Carmichael 数的充要条件是 11--n p i ，k i ≤≤1 定理4：每个Carmichael 数是至少三个不同素数的乘积 注：1.存在无穷多个Carmichael 数 2.当n 充分大时，区间[]n ,2内的Carmichael 数的个数大于等于72n 6.2 Euler 拟素数 引例：设n 是奇素数，根据定理，我们有同余式 )(mod 21n n b b n ?? ? ??≡- 对任意整数b 成立 因此，如果存在整数b ，(b,n)=1,使得
信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷) 一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共24分) 1.两个整数a，b，其最大公因数和最小公倍数的关系为 。 2.给定一个正整数m，两个整数a,b叫做模m同余，如果 ____________________________ ，记 作a三b(modm)；否则，叫做模m不同余，记作 ________________________ 。 3.设m，n是互素的两个正整数，则 ?(m n)= ______________________________ 。 e .. 4.设m 1是整数，a是与m互素的正整数。则使得a三1(modm)成立的最小正 整数e叫做a对模m的指数，记做 ________________ 如果a对模m的指数是? (m)，贝U a叫做模m的________________ 。 5.设n是一个奇合数，设整数b与n互素，如果整数n和b满足条件 ______________________ ，贝U n叫做对于基b的拟素数。 6.设G,G是两个群，f是G到G的一个映射。如果对任意的a,b G，都有 __________________ ，那么f叫做G到G'的一个同态。 7.加群Z的每个子群H都是 _______________________________ 群，并且有H M O A或 H = _____________________ 。 8.我们称交换环R为一个域，如果R对于加法构成一个 ____________ ，戌=R\{0}对 于乘法构成一个 ____________ 。 二、计算题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 1.令a =1613, b =3589。用广义欧几里德算法求整数s,t，使得sa tb 二(a,b)。
《计算机数学基础(下)》数值分析部分辅导(1) 中央电大 冯 泰 第9章 数值分析中的误差 一、重点内容 误差 设精确值x *的近似值x ，差e =x －x *称为近似值x 的误差(绝对误差)。 误差限 近似值x 的误差限ε是误差e 的一个上界，即ε≤-=* x x e 。 相对误差e r 是误差e 与精确值x * 的比值，* * *-==x x x x e e r 。常用x e e r =计算。 相对误差限r ε 是相对误差的最大限度，r r e ≥ε，常用x ε 计算相对误差限。 绝对误差的运算： )()()(2121x x x x εεε+=± )()()(122121x x x x x x εεε+≈ 22 122121 +=x x x x x x x )()()( εεε 有效数字 如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该 位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字. 关于有效数字： (1) 设精确值x *的近似值x ， m n a a a x 10.021?±= a 1,a 2,…,a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0， n l x x l m ≤≤110?50=≤--,.*ε 则x 有l 位有效数字. (2) 设近似值m n a a a x 10.021?±= 有n 位有效数字，则其相对误差限 1+-1 10?21 ≤ n r a ε (3) 设近似值m n a a a x 10.021?±= 的相对误差限不大于 1110) 1(21 +-?+n a 则它至少有n 位有效数字. (4) 要求精确到10－ 3，取该数的近似值应保留4位小数。 一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e=0.0926的数x =20.7426只有三位准确数字2,0,7。 一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10%的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1%的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1%的量级。 二、实例 例1 设x *= π=3.1415926… 近似值x =3.14＝0.314×101, 即m=1，它的误差是 0.0015926…，有 3-1*10?50≤0015260=-.. x x
信息安全数学基础----习题集一 一、填空题 1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= . 2、求欧拉函数= . 3、设，则模的最小非负简化剩余系{ }. 4、设，则模的所有平方剩余= . 5、设，则模的所有原根个数= . 6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。 7. 设m是正整数，a是满足的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。 8. 设m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。 9. 设, 如果同余方程__________, 则叫做模的平方剩余. 10. 设, 则使得成立的最小正整数叫做对模的__________. 二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“”，错的画“”） 1、若是任意正整数, 则. （） 2、设是个不全为零的整数，则与, ||, ||,…, ||的公因数相同（） 3、设是正整数, 若, 则或. （） 4、设为正整数, 为整数, , 且, 则 . （） 5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （） 6、设是素数, 模的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （） 7、设为奇素数, 模的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （）
8、一次同余方程有解. （） 9、设是素数, 是模的原根, 若, 则是的整数倍. （） 10、设, 则, …, 构成模的简化剩余系. （） 11. , 则＝. （） 12. 设是两个互素正整数, 那么, 则. （） 13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，若ad≡bd(modm)。则a≡b(mod m)。 （） 14. 设为正整数, a是满足的整数，b为整数. 若为模的一个简化剩余系, 则也为模的一个简化剩余系. （） 15. p为素数,n为整数且与p互素，则n2为模p的平方剩余. （） 16. 设为正整数, 设, 则是模的平方剩余的充要条 件是: . （） 17. 3是模7的原根。（） 18. 设为正整数, 若，则 . （） 19. 整数集关于整数的乘法构成群。（） 20. 适当定义加法和乘法，集合{0,1}可以构成一个有限域。（） 三、单项选择题（把答案写在题目后面的括号中） 1. 设与是两个整数, 则存在整数, 使得，下面关于与线性组合描述错误的是：（） A. 整数的取值仅有一组唯一的值； B. 整数的线性和所能表示的最小的正整数是最大公因数，即 ；
计算机数学基础（第三版）习题参考答案第1-3章
习题1.1 1．（1）D （2）A （3）A （4）D （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C 2．（1）] 14,6[],3,2[-=-=f f R D ; （2）]; 1,0[],1,1[=-=f f R D （3）);,0[),,(+∞=+∞-∞=f f R D （4）); ,0[),,(+∞=+∞-∞=f f R D （5）] 1,1[),,(-=+∞-∞=f f R D 3．（1）（2）不同；（3）（4）相同。 4．（1）]; 2,2[-=f D （2）) ,1()1,(+∞-∞= f D （3）R D f = （4）} ,,01|),{(R y R x y x y x D f ∈∈>++= 5．（1）2010+-=h T （2）斜率10-=k （3）C ?-5 6．（1）有界，] 3,1[=f R ； （2）有界，]56,25.0[-=f R ； （3）无界，) ,0(+∞=f R ； （4）有界，) 1,0(=f R 。 7．（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）偶函数；（4）偶函数。 8．（1）周期函数，周期为π2；（2）不是周期函数；（3）周期函数，周期为π； 9．（1）1；（2）2。 10．（1）); ,(,15))(()(23 +∞-∞=-+=++g f R x x x g f ); ,(,1))(()(23+∞-∞=+-=--g f R x x x g f ); ,(,263))(()(2345+∞-∞=+-+=fg R x x x x x fg ),33()33,33()33,(,1 32))(/()/(2 23+∞---∞=-+= g f R x x x x g f
数理逻辑练习 一、证明下面推理 1） 前提：p →(q →(s ∧r)),┐s ∧p 结论：q ? 2） 前提：?x(F(x)∨G(x))，┐?x(G(x)∧R(x))，?xR(x) 结论：?x(F(x)) 3) 前提：?x(F(x)→(G(a)∧H(x)))，?x F(x) 结论：?x (F(x)∧H(x)) 二、在谓词逻辑中，构造下面推理的证明: 1、每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。 2、任何人，如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车。每一个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车。并非每个人都喜欢骑自行车。因此，有的人不爱步行。（个体域为人类集合） 3) 如果2是偶数，则3是奇数。或者2是偶数或者2整除3，结果2整除3，所以3不是奇数。 4) 如果A 努力工作，那么B 或C 感到愉快；如果B 愉快，那么A 不努力工作；如果D 愉快那么C 不愉快。所以，如果A 努力工作，则D 不愉快。 三、求下列命题公式的主析取范式和主合取范式，并求其成真赋值。 1） P →(Q →R ) 2） r q p →∨)( 3） )()(q p q p ?→∨?∨? 4） (?P ∨?Q )→(P ??Q ) 四、求下列各公式的前束范式 1） )),()((y x yQ x P x ?→?? 2） )())(),((z zR y yQ y x xP ?→?∧? 五、构造下列命题公式的真值表，并据此说明哪些是其成真赋值，哪些是其成假赋值？ 1） P ∧(Q ∨R )。 2） ?(P ∨Q )?(?P ∧?Q )。 六、分别用真值表法和公式法判断下列命题公式的类型： (1)(P ∨Q )→(P ∧Q )。 (3)(?P ∨Q )∧?(Q ∨?R )∧?(R ∨?P ∨?Q )。 (5)(Q →P )∧(?P ∧Q )。