高等数学考研讲义第八节

第八章 无穷级数（数学一和数学三）

引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：

历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ 第二种 1)11()11()11(1=-------ΛΛ 第三种 设S n =+-++-+-+ΛΛ1

)1(1111

则[]S =+-+--Λ11111

这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？

3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概

念和性质需要作详细的讨论。

§ 8.1 常数项级数

（甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念

无穷多个数ΛΛ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞

=n n n

u u u u u

3211

称

为数项级数（简称级数）。

∑===n

k k n u S 1

123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和，

{}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。

n n S ∞

→lim 若不存在，则称级数∑∞

=1n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。

（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质 （1） 如果

（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。

（3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不

变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数

∑∞

=1

n n u 收敛的必要条件是

0lim =∞

→n n u

（注：引言中提到的级数

∑∞

=+-1

1,)1(n n 具有∞

→n lim ()不存在1

1+-n ，因此收敛级数的必要条件不满

足，

∑∞

=1

n ()

1

1+-n 发散。调和级数

∑

∞

=1

n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞

=1n n 1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞

→n lim 0=n u ，而

∑

∞

=1

n n u 收敛性尚不能确定。）

3．两类重要的级数

（1）等比级数（几何级数） 当1

∑∞

=0n n ar r

a

-=

1收敛 当1≥r 时，

∑∞

=0

n n

ar

发散

（2）p 一级数

当p>1时，∑∞

=11n p n 收敛， 当p ≤1时∑∞

=11

n p n

发散

（注：p>1时，∑∞=11

n p n 的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知∑∞

=1

n 6122

π=n ） 二、正项级数敛散性的判别法

()Λ,3,2,10=≥n u n 若则∑∞

=1

n n u 称为正项级数，这时(){}n n n S n S S 所以Λ,3,2,11=≥+是单调

加数列，它是否收敛就只取决于n S 是否有上界，因此

∑

∞

=1

n n n S u ?收敛有上界，这是正项级数

比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。

1. 比较判别法

如果皆成立时当设，u ，cv N n c n n 0,0>≥≥>∑∞=1

n n v 收敛，则∑∞=1

n n u 收敛；如果∑∞

=1

n n u 发散，

则

∑∞

=1

n n

v

发散。

2. 比较判别法的极限形式

设),3,2,1(,0,0Λ=≥≥n v u n n 若∞

→n lim

A v u n

n

= 1) 当0

∑∞

=1

n n

u

与

∑∞

=1

n n

v

同时收敛或同时发散。

2) 当A=0时，若

∑∞

=1

n n

v

收敛，则

∑∞

=1

n n

u

收敛。

3) 当A=+∞时，若

∑∞

=1

n n

u

收敛，则

∑∞

=1

n n

v

收敛。

3．比值判别法（达朗倍尔） 设n u >0，而∞

→n lim

ρ=+n

n u u 1

1） 当ρ<1时，则

∑∞

=1

n n

u

收敛

2） 当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则

∑∞

=1

n n

u

发散

3） 当ρ=1时，此判别法无效（注：如果∞

→n lim

n

n u u 1

+不存在时，此判别法也无法用） 4．根值判别法（柯西） 设n u ≥0，而∞

→n lim

ρ=n n u

1） 当ρ<1时，则

∑∞

=1

n n

u

收敛

2） 当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则∑∞

=1

n n

u

发散

3） 当ρ=1时，此判别法无效

事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在ρ=1情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但

较复杂，对考研来说不作要求。 三、交错级数及其莱布尼兹判别法 1．交错级数概念 若n u >0,

∑

∞

=1

n n n u 1)1(+-称为交错级数。

2．莱布尼兹判别法 设交错级数

∑

∞

=1

n n n u 1)1(+-满足：

1）≤+1n u n u ),3,2,1(Λ=n 2) ∞

→n lim n u =0 ，则

∑

∞

=1

n n n u 1

)

1(+-收敛，且0<∑∞

=1

n n n u 1)1(+-<1u

四、绝对收敛与条件收敛 1．定理 若

∑

∞

=1

n n u 收敛，则∑∞

=1

n n u 一定收敛；反之不然。

2．定义 若

∑

∞

=1n n u 收敛，则称∑∞

=1

n n u 为绝对收敛；

若

∑

∞

=1

n n u 收敛，而∑∞=1

n n u 发散，则称∑∞

=1

n n u 为条件收敛。

3．有关性质

1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。 2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即∑

∞

=1

n 21（n u +n u ）或∑∞

=1

n 21（n u —n u ）一定是发散的。

4．一类重要的级数 设

∑

∞

=1

n ρ

n

n 1

)1(+- 1） 当ρ>1时，

∑

∞

=1

n ρ

n n 1

)1(+-是绝对收敛的

2） 当0<ρ≤1时，

∑

∞

=1

n ρ

n n 1

)1(+-是条件收敛的 3） 当ρ≤0时，

∑

∞

=1

n ρ

n

n 1

)1(+-是发散的 （乙） 典型例题

一、主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性

例1． 判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。 1）

∑

∞

=1

n )

1()1(1

+++n n n n

2）

∑

∞

=1

n n

n 21

2- 1）解：

∑

∞

=1

n )

1()1(1

+++n n n n 的=

n S ∑

=n

k 1

)

1()1(1

+++k k k k

=

n S ∑

=n

k 1

(

)()??

?

??

?-

++-+2

2

1)1()

1(k k k k k k =

∑

=n

k 1

1

1

1)111(

+-=+-n k k Θ∞→n lim =n S 1

∴∑

∞

=1

n 1)

1()1(1

=+++n n n n ，收敛

2）解：=

n S n n 21

225232132-++++Λ

① 21=n S 14322

12232252321+-+-++++n n n n Λ ② ①-②得21=n S 1322

1

2)212121(221+--++++n n n Λ

=1112

3

223212)211(21++-+-=---+n n n n n

Θ∞

→n lim =n S 3

∴∑

∞

=1

n n

n 21

2-=3，收敛 例2

设数列{}

∑∞

=--1

1)(n n n

n ，a a

n ，na 证明收敛级数收敛∑∞

=0

n n a 收敛

证：由题意可知∞

→n lim 存在A na n =

而=n S )()(3)(2)(1231201--++-+-+-n n a a n a a a a a a Λ

=∑-=-

1

n k k

n a

na

因此，

=∑-=1

n k k

a

n n S na -

于是级数

∑∞

=0

n n

a

=S A -是收敛的

二、主要用判别法讨论级数的敛散性 例1． 设级数

∑

∞

=1

n )0(≥n n a a 收敛，则∑

∞

=1

n n

a n

收敛 解：

n a n

)1(212

2n a n a n n +≤=（几何平均值≤算术平均值） 已知

∑

∞

=1

n 收敛故收敛收敛)1

(2112

1

12n a ，n ，a n n n n +∑∑∞

=∞

= 再用比较判别法，可知

∑

∞

=1

n n

a n

收敛 例2． 正项数列{}n a 单调减少，且

∑

∞

=1

n n n

a )1(-发散，问∑∞

=1

n n

n a )1

1(

+是否收敛？并说明理由。 解：知根据莱布尼兹判别法可如果存在又单调减少,0lim ,0==∴≥∞

→a ，a a ，a n n n Θ

∑

∞

=1

n (1)0,n n a a -∴>收敛,与假设矛盾,这样，

由等比级数

∑

∞

=1

n n a )11(+收敛和比较判别法可知∑∞

=1

n n

n a )11(

+收敛。 例3． 设?

=4

tan π

xdx a n n

（1）求

∑

∞

=1

n n a a n n 2++的值。 （2）证明：对任意正常数,0>λ∑∞

=1

n λ

n a n

收敛。

证明：（1）n a a n n 2++n

1

=

?

+4

2)tan 1(tan π

dx x x n

∑

∞

=1

n n a a n n 2++=∑∞

=1

n )1(1+n n =1

（2）?=40tan π

xdx a n

n 1

20

1n t

dt t =+?

+≤

1

1

1

n dt t n

λ

n a n

<11)1(1+<+λλn

n n ∴>+,11λΘ∑

∞

=1

n 1

1+λn 收敛，由比较判别法可知

∑

∞

=1

n λn

a n

收敛。 例4． 设有方程并证明证明方程有唯一正实根正整数其中,,01n n

x ，n nx x =-+

当α>1时，级数

∑

∞

=1

n αn x 收敛。

所以当α>1时，级数

∑

∞

=1

n α

n x 收敛。

§ 8.2 幂级数

（甲）内容要点

一、函数项级数及其收敛域与和函数（数学一） 1． 函数项级数的概念

设)(x u n ),3,2,1(Λ=n 皆定义在区间I 上，则∑

∞

=1

n )(x u n 称为区间I 上的函数项级数。

2． 收敛域

设I ∈0x ，如果常数项级数

∑

∞

=1n )(0x u n 收敛，则称0x 是函数项级数∑∞

=1

n )(x u n 的收敛点，如果

∑

∞

=1

n )(0x u n 发散，则称0x 是∑∞

=1

n )(x u n 的发散点。函数项级数∑∞

=1

n )(x u n 的所有收敛点构成的集

合就称为收敛域。所有发散点构成的集合你为发散域。 3． 和函数 在

∑

∞

=1

n )(x u n 的收敛域的每一点都有和，它与x 有关，因此=)(x S ∑∞

=1

n )(x u n ，∈x 收敛域

称)(x S 为函数项级数

∑

∞

=1

n )(x u n 的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。

二、幂级数及其收敛域 1． 幂级数概念

∑∞

=0

n n

a

n x x )(0-称为)(0x x -的幂级数，),2,1,0(Λ=n a n 称为幂级数的系数，是常数，当0

0=x 时，

∑∞

=0n n

a

n

x 称为x 的幂级数。一般讨论∑∞

=0

n n a n x 有关问题，作平移替换就可以得出有关

∑∞

=0

n n

a

n x x )(0-的有关结论。

2．幂级数的收敛域 幂级数

∑∞

=0

n n

a

n x 的收敛域分三种情形：

（1） 收敛域为),(+∞-∞，亦即

∑∞

=0

n n

a

n x 对每一个x 皆收敛，我们称它的收敛半径+∞=R

（2） 收敛域仅为原点，除原点外幂级数

∑∞

=0

n n

a

n x 皆发散，我们称它的收敛半径0=R 。

（3） 收敛域为

所以求幂级数的收敛半径R 非常重要，（1）（2）两种情形的收敛域就确定的。而（3）的情形，还需讨论R ±两点上的敛散性。 三、幂级数的性质 1． 四则运算 设

∑∞

=0

n n

a

n

x ∑∞

=<=<=0

21),(;),(n n n R x x g x b R x x f

)

,min()

()()())(()

,min(),

()()(210

000

210R R x x g x f x b a b a b a x b x a R R x x g x f x b a n n n k n k n n n

n n n

n n n n n

=-∞

=∞

=∞

=ΛΛ则2. 分析性质 设幂级数

∑∞

=0

n n

a

n

x 的收敛半径R > 0，S(x ) =

∑∞

=0

n n

a

n x 为和函数，则有下列重要性质。

（1）且有逐项求导公式内可导在，R R x S ),()(-

=')(x S ∑∑∑∞=∞

=-∞=='='0

1

10

)()(n n n n n

n n n

n x na x a x a 求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出

（2）内有逐项积分公式在),()(R R x S -

∑?∑

?∞=∞

=++==00

01

1

)(n x

n n n n

n x

x n a dt t a dt t S 且这个幂级数的收敛半径也不变。

（3）若

∑∞

=0

n n

a

n x :)()(则有下列性质成立在，R R x x S -==

(i)

()

lim ()(lim ()())n

n n n x R

x R n n S x a R S x a R -+∞

∞

→→-====-∑∑成立成立

(ii) ))(1)((1)(0

01001?∑?∑-∞

=+∞

=+-+-=+=R

n n n R

n n n R n a

dx x S R n a dx x S 成立成立 (iii)

∑∞

=--=1

1

)(n n n

R R x x

na 不一定收敛在

四、幂级数求和函数的基本方法

1．把已知函数的幂级数展开式（§ 8.3将讨论）反过来用。 下列基本公式应熟背：

2、用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数求和公式

3、用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程从而求出微分方程的解。 五、利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和 （乙）典型例题

例1 求下列幂级数的和函数。

（1）∑∞

=+

)1 2(

n n n x（2）∑∞

=

+

-

2

1

)1

(

n

n

n

n

x

解：（1）可求出收敛半径R=1, 收敛域为（-1，1）

（2）可以从求出和函数后，看出其收敛域

§ 8.3将函数展开成幂级数

（甲）内容要点

一、泰勒级数与麦克劳林级数的概念

1．基本概念

二、函数展成幂级数的方法

1．套公式

§ 8.4傅里叶级数（数学一）

（甲）内容要点

一、三角函数系的正交性

二、傅里叶系数与傅里叶级数

三、狄利克雷收敛定理

我们把上述两个条件称为狄利克雷条件

四、正弦级数与余弦级数

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（3） () 22311lim arcsin 121x x x x x →∞++++ （4）30 tan sin lim sin x x x x →- （5）2 10lim ln cos x x e e x +→- （6）() tan sin 3 0lim ln 1x x x e e x →-- （7 ）1x →（8 ）021ln 1x x x →+ ? -?? 7、求下列极限 （1）0lim sin x x x e e x -→- （2）() 20ln 1lim sec cos x x x x →+- （3）()02sin 22lim arcsin ln 16x x x x x →-?? + ??? （4）0ln cos lim arctan x x x x x →- （5 ）0 x x → （6）0 1 1lim cot sin x x x x →??- ??? （7）2 10 lim x x xe → （8）2 1lim(ln(1))x x x x →∞ -+ 8、求下列极限 （1）( ) 1 lim x x x x e →+ （2）0 )x x π +→ （3）tan 24 lim(tan ) x x x π → （4）222lim 12x x x x x →∞??+ ?-+?? （5） ( ) 1lim x x x x e →+∞ + （6 ）tan 0lim x x +→ 9 、设)12n x x n ==≥，求lim n n x →∞ .

完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程

《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2． 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。 3． 设 2 ()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=? 。 4． 计算 3。 5。 计算。 6． 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8． 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10． 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11． 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12． 设()arcsin xf x dx x C =+? ，则 1 () dx f x =? 。 13． 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-，且(())ln f x x ?=，求()x dx ??。 14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15． 计算x 。 16． 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17． 计算ln t tdt α ? 。 18． 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1．设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??，求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2． 设1 ()2()f x x f x dx =+? ，则()f x = 。 3． 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?＝ 。

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考研数学公式(全) ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边,

·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A

考研高等数学145分高手整理完整经典笔记(考研必备免费下载)

最新下载(https://www.doczj.com/doc/668161638.html,) 中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息 数学重点、难点归纳辅导 第一部分 第一章集合与映射 §1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。 第二章数列极限 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。 第三章函数极限与连续函数 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。 第四章微分 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 §2.L＇Hospital法则 §3.插值多项式和Taylor公式 §4.函数的Taylor公式及其应用 §5.应用举例

§6.函数方程的近似求解 本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。 第六章不定积分 §1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。 第七章定积分（§1 —§3） §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理 第七章定积分（§4 —§6） §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。 第八章反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。 第九章数项级数 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。 第十章函数项级数 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数

考研高数辅导：高等数学的比重

考研高数辅导：高等数学的比重 考生已经进入了复习准备，考生首要了解的就是自己考试的专业、学校和考试科目等等。为了让考生尽快的了解自己的优缺点，尽快对考研数学有多了解，帮助自己选择专业院校，这里就高等数学在历年考研数学中的比重来做一个简要的分析。 提到高等数学很多考生有或多或少的想起一些事情来，比如有的考生会说“大一大二时哪块知识点没有学好，没有学会”、“哪里掌握的还好”、“线代还好” 等等。可谓是有的头痛有的欢喜，但头痛的考生也不要气馁，因为这里有跨考教育，可以帮助你达标过线，甚至将“劣势”转为“优势”。那我们先看看高等数学在考研数学中的比重。考研数学按照难易程度分为数学一、数学二和数学三，其中数学一考查内容最多，相比于数学二和数学三较难，数学二在积分计算中注重考查积分的物理应用，而数学三则侧重于经济方面的应用，数学一和数学三的考试内容包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计，考试分数分配比为高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。数学二的考试内容有高等数学和线性代数，没有概率论与数理统计，分数比例为高等数学占78%，线性代数占22%。上述分数比例均是通过统计历年真题得到的大致比例，实际上，由于高等数学与线代和概率论之间的关联，使得高等数学的比例达到80%左右，可见它有多重要，自然高等数学也成了广大考生复习的重要学科，投入更多的复习时间。 今年的考研数学试题仍不改往年的传统，高等数学的占到了80%以上，数学一中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、曲面的切平面方程、傅里叶级数、曲线积分、数列极限、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、隐函数求导、参数方程求导、反常积分、变上限函数求积分、幂级数的和函数、多元函数的极值、微分中值定理的应用、求曲面的方程以及立体的形心等。数学二中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、数列极限、函数极限、函数的连续性、反常积分的收敛性、多元函数的偏导数计算、二重积分的计算、反函数求导、定积分的应用(平面图形的面积及旋转体的体积)、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、微分中值定理的应用、多元函数的极值、导数的应用(求函数的最值)、弧长积分及平面图形的形心。数三中有无穷小的比较、函数间断点的判断、二重积分的计算、级数收敛性的判断、数列极限、多元函数偏导数的计算、反常积分的计算、二阶常系数齐次线性微分方程通解、定积分的应用(旋转体的体积)、导数的应用(与经济学相关的应用题)、微分中值定理的应用。 在高等数学的题目中数学一、数学二、数学三中虽然有重复的，但是题目的难度不一样，侧重点也有所不同，除了要很好的掌握知识点意外还要具有一定的计算能力，不要会做算不

高等数学辅导讲义

第一部分函数极限连续

历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义 域。 解: 由2 ()x f x e =知2 () [()]1x f x e x ? ?==-,又()0x ?≥, 则()0 x x ?= ≤. 例2 (1990, 3分) 设函数 1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N + ∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,, lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N + ≠∈且0 b ≠时,lim n n n x a y b →∞ = .

考研高数精华知识点总结：极限的运算

考研高数精华知识点总结：极限的运算 高等数学是考研数学考试中容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注! 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由海洋教授、鑫教授、卢营教授、王洋教授、武金教授、释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的

辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，海洋、鑫教授、方浩教授、卢营教授、浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程。在凯程官方的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！ 在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元少华，2012年状元马佳伟，2011年状元玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。

考研高数讲义 新高等数学上册辅导讲义——第三章上课资料

第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理

极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又)

则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。

驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ，

使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示）

考研数学公式大全(免费)

高等数学公式篇·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

考研高等数学复习方法指导

考研高等数学复习方法指导 考研高等数学复习方法指导 下面简单谈谈如何复习考研数学中的高等数学部分。 首先考生们要明确的是考研数学主要是考根底，包括基本概念、基本理论、基本运算等，假如概念、基本运算不太清晰，运算不太 纯熟那你肯定是考不好的。高数的根底应着重放在极限、导数、不 定积分、当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多 元函数、微分、线面积分等内容，这些内容可以看成那三部分内容 的联系和应用。另一部分考查的是简朴的分析综合能力。因为现在 高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识 点的综合。如果能够围绕着这几个方面进行有针对性地复习，取得 高分也就不再是难事了。 在复习过程中考生们要注意以下几点： 第一：要明确考试重点，充分把握重点。比如高数第一章的不定式的极限，我们要充分把握求不定式极限的各种方法，比如利用极 限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重 点内容;对函数的连续性的探讨也是考试的重点，这要求我们需要充 分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。 第三：关于积分部分。定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重要的题型。而且求积分的过程中，特别要留意积分的对称性，利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。二重积分的计算，当然数学一里面还包括了三重积分，这里面每年 都要考一个题目。另外曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。 第四：一阶微分方程，还有无穷级数，无穷级数的求和等。 (1)强调学习而不是复习

(2)复习顺序的选择问题 对于考研数学，建议先高等数学再线性代数再概率论与数理统计。高等数学是线性代数和概率论与数理统计的基础，一定要先学习。 我们并不主张三门课齐头并进，毕竟三门课有所区别，要学一门就 先学精了再继续推进，做成“夹生饭”会让你有种骑虎难下的感觉，到时你反而会耗费更多的时间去收拾烂摊子。同学们也可根据自己 的特殊情况调整复习顺序。 (3)注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握 (4)加强练习，重视总结、归纳解题思路、方法和技巧 数学考试的所有任务就是解题，而基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解和巩固。试题千变万化，但其知识结 构却基本相同，题型也相对固定，一般存在相应的解题规律。通过 大量的训练可以切实提高数学的.解题能力，做到面对任何试题都能 有条不紊地分析和计算。 (5)不要依赖答案 学习的过程中一定要力求全部理解和掌握知识点，做题的过程中先不要看答案，如果题目确实做不出来，可以先看答案，看明白之 后再抛弃答案自己把题目独立地做一遍。不要以为看明白了就会了，只有自己真正做一遍，印象才能深刻。 (6)强调积极主动地亲自参与，并整理出笔记 对于考研数学来说，做题是最关键的，考生必须保证一定的做题量!看书是获得理论知识，要想考场上考出好成绩，必须经过大量的 做题实践，只有经过大量的做题实践，才能熟练、自如的应用理论 知识。做题有很多好处的：一是通过做题来准确理解、把握基本概念、公式、结论的内涵和外延，并逐渐掌握它们的使用方法。单纯 的看书，许多概念是无法掌握其精髓的，也不知道在什么情况下使用，如何使用。试卷上不需要考生默写某个概念或公式，而是用这 些概念或公式解决问题，这种灵活运用公式的能力只有也只能通过 做题来获得，所以考生必须做一定数目的题目。二是题目做的多了，

考研数学公式大全(数三)

导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

考研高数辅导：高等数学的比重

凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研高数辅导：高等数学的比重 考生已经进入了复习准备，考生首要了解的就是自己考试的专业、学校和考试科目等等。为了让考生尽快的了解自己的优缺点，尽快对考研数学有多了解，帮助自己选择专业院校，这里就高等数学在历年考研数学中的比重来做一个简要的分析。 提到高等数学很多考生有或多或少的想起一些事情来，比如有的考生会说“大一大二时哪块知识点没有学好，没有学会”、“哪里掌握的还好”、“线代还好” 等等。可谓是有的头痛有的欢喜，但头痛的考生也不要气馁，因为这里有跨考教育，可以帮助你达标过线，甚至将“劣势”转为“优势”。那我们先看看高等数学在考研数学中的比重。考研数学按照难易程度分为数学一、数学二和数学三，其中数学一考查内容最多，相比于数学二和数学三较难，数学二在积分计算中注重考查积分的物理应用，而数学三则侧重于经济方面的应用，数学一和数学三的考试内容包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计，考试分数分配比为高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。数学二的考试内容有高等数学和线性代数，没有概率论与数理统计，分数比例为高等数学占78%，线性代数占22%。上述分数比例均是通过统计历年真题得到的大致比例，实际上，由于高等数学与线代和概率论之间的关联，使得高等数学的比例达到80%左右，可见它有多重要，自然高等数学也成了广大考生复习的重要学科，投入更多的复习时间。 今年的考研数学试题仍不改往年的传统，高等数学的占到了80%以上，数学一中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、曲面的切平面方程、傅里叶级数、曲线积分、数列极限、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、隐函数求导、参数方程求导、反常积分、变上限函数求积分、幂级数的和函数、多元函数的极值、微分中值定理的应用、求曲面的方程以及立体的形心等。数学二中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、数列极限、函数极限、函数的连续性、反常积分的收敛性、多元函数的偏导数计算、二重积分的计算、反函数求导、定积分的应用(平面图形的面积及旋转体的体积)、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、微分中值定理的应用、多元函数的极值、导数的应用(求函数的最值)、弧长积分及平面图形的形心。数三中有无穷小的比较、函数间断点的判断、二重积分的计算、级数收敛性的判断、数列极

考研数学高数公式：函数与极限解读

考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限

极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。

考研高等数学全面复习资料

高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！ 目录 一、函数与极限 ········································································错误!未定义书签。 1、集合的概念····································································错误!未定义书签。 2、常量与变量····································································错误!未定义书签。 2、函数·············································································错误!未定义书签。 3、函数的简单性态······························································错误!未定义书签。 4、反函数··········································································错误!未定义书签。 5、复合函数·······································································错误!未定义书签。 6、初等函数·······································································错误!未定义书签。 7、双曲函数及反双曲函数·····················································错误!未定义书签。 8、数列的极限····································································错误!未定义书签。 9、函数的极限····································································错误!未定义书签。 10、函数极限的运算规则 ······················································错误!未定义书签。

考研数学知识点复习：高等数学复习攻略

考研数学知识点复习：高等数学复习攻 略 考研的各门科目中，考研数学考试综合性强、知识覆盖面广、难度大，应及早复习为佳。与英语相比，考研数学只要方法得当，提高分数相对要快一些。高等数学是考研数学内容最多的一部分，所以高等数学的分量也就显得尤为重要。 今年试卷整体难度合适，与往年相当，题型也都是我们课堂给大家讲授到的，对知识点的考查很全面，“三基本-基本概念、基本理论和基本方法”占的比重很大，约为83%，对数学的实际应用能力的考查有所体现，抓住了数学考试的本质思想。对于选择题仍然考查考生的基本计算能力、基本逻辑推导能力等；填空题考查基本计算能力；而计算题考查基本计算能力、简单的应用能力和证明能力等。所以，我们XX年参加考试的考生在复习时，一定要以国家考试中心的考试大纲为标准，严格按照规定的考点及层次去复习，至今命题的核心是考察两个层次的问题，一个是三基本，高数的基础应着重放在极限、导数、不定积分这三方面，后面当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多元函数、微分、线面积分等内容，这些内容可以看成那三部分内容的联系和应用。另一部分考查的是简单的分析综合能力。因为现在高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都

是多个知识点的综合。再一个就是知识的运用能力，有几何、物理、化学、力学等知识。所以考研数学复习的准备也应该从这样两个方面去针对性的复习。 在具体的复习过程中如何规划复习才能取得事半功倍的效果也是考试普遍关注的问题。数学复习要保证熟练度，平时应该多训练，一天至少保证三个小时。把一些基本概念、定理、公式复习好，牢牢地记住。同时数学还是一种基本技能的训练，要天天练习，必须保证一定的题量。不通过一定的题量练习稳固知识基础，也很难把握知识的灵活运用，所以建议大家找一些典型的题做一些训练，通过这种练习来反馈我们知识的把握情况，同时还能更好的掌握这些相关的知识。 根据命题考核层次及学习的科学规律，我们总的来说把复习规划可以分为三个阶段： 第一个阶段是基础阶段。这个阶段的长短应该根据自己的情况来实施，基础好一点的同学，这个时间可以短一点，基础差一点的同学，这个阶段可以长一点。但是要提醒大家，这个基础阶段的时间不能太长，不能到了十月、十一月份还在打基础，那这样的话，复习的效率就太低了，我们建议基

考研数学公式大全

高等数学公式篇 ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·倍角公式：si n(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三角函数的有理式积分： 22 2212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 一些初等函数： 两个重要极限： 和差角公式： ·和差化积公式： ·正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理： C ab b a c cos 2222 -+= 反三角函数性质： arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： ) () ()()2()1()(0)()() (!)1()1(!2)1() (n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+ '+==---=-∑ a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arc c os 11 )(arc sin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβ αβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+= -+±=++=+-==+= -= ----11ln 21) 1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1 1(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

2018年会计硕士考研辅导课件公共课数学强化提高班高等数学第一章函数极限连续

2018年会计硕士考研辅导课件公共课数学强化提高班高等数学第一章函数极限连续 质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）并会应用这些性质。 一、基本内容 函数：函数的两个重要特性：对应的规则（相互依赖的规则，表达式）、定义域 五类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（知道其基本图形、定义域） 基本初等函数：在定义域内连续由基本初等函数通过有限次的四则运算，有限次的复合运算构成了初等函数 初等函数：在其定义区间内连续 函数基本特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性 奇偶性： 周期性：其中，T为最小正周期。 例：，没有最小正周期复合函数： 反函数：一一对应的函数才有反函数－>单调函数才有反函数

罗必塔法则：只适用于连续型，所以不能直接用，但可以将n先化为x，观察的变化趋势，再化为n即可 函数连续：，则连续函数的一些性质：有界性，最大最小值（最值定理），介值定理 1.利用夹逼定理得： 2.利用单调有界数列必有极限得： 右极限，左极限 连续函数的三种定义 1. 2. 3.对于当时，有。 函数一点处连续：左右极限存在，并相等，并且等于函数在该点的值 二、重点内容 利用有关知识求出极限. 无穷小：极限为0的变量 无穷小的阶数 常用的等价无穷小：x→0时，sinx～x , tanx～x ,，， ln （1+x）～x ,，， 三、典型例题分析 例1： 『正确答案』 （A）若之取值不包含的间断点，则就没有间断点了。 （B）例如为分段函数：当时取-1，而当>0时取1,则,就没有间断点. （C）无间断点.

（D）,因,故的间断点还存在,故选（D）. 例2： 『正确答案』 原式= = = 例3：求 『正确答案』 注意：1.对于 2.由于tanx不易求导，故常化为 解：原式= 例4：若，则为 A.0 B.6 C.36 D. 『正确答案』 解：由泰勒公式： 原式＝而， 故，答案：C 例5：设试证数列极限存在，并求此极限。 『正确答案』 证：设对某个正整数k，有， 则有故对任意n , 有，是单调递减数列。