2015年中考总复习
数
学
教
案
陈素国
目录
第一章实数与代数式
1.1 有理数 (4)
1.2 实数 (6)
1.3 整式 (8)
1.4 因式分解 (10)
1.5 分式 (12)
1.6 二次根式 (14)
●单元综合评价 (16)
第二章方程与不等式
2.1 一次方程（组） (20)
2.2 分式方程 (23)
2.3 一元二次方程 (25)
2.4 一元一次不等式（组） (28)
2.5 方程与不等式的应用 (30)
●单元综合评价 (33)
第三章函数
3.1 平面直角坐标系与函数 (37)
3.2 一次函数 (39)
3.3 反比例函数………………………………………………………………………………3.4 二次函数…………………………………………………………………………………
3.5 函数的综合应用…………………………………………………………………………
●单元综合评价………………………………………………………………………………
第四章图形的认识
4.1 简单空间图形的认识……………………………………………………………………4.2 线段、角、相交线与平行线……………………………………………………………4.3 三角形及全等三角形……………………………………………………………………4.4 等腰三角形与直角三角形………………………………………………………………4.5 平行四边形………………………………………………………………………………4.6 矩形、菱形、正方形……………………………………………………………………
4.7 梯形………………………………………………………………………………………
●单元综合评价………………………………………………………………………………第五章圆
5.1 圆的有关性质……………………………………………………………………………
5.2 与圆有关的位置关系……………………………………………………………………
5.3 圆中的有关计算…………………………………………………………………………
5.4 几何作图…………………………………………………………………………………
●单元综合评价………………………………………………………………………………第六章图形的变换
6.1 图形的轴对称……………………………………………………………………………
6.2 图形的平移与旋转………………………………………………………………………
6.3 图形的相似………………………………………………………………………………
6.4 图形与坐标………………………………………………………………………………
6.5 锐角三角函数……………………………………………………………………………
6.6 锐角三角函数的应用……………………………………………………………………
●单元综合评价………………………………………………………………………………第七章统计与概率
7.1 数据的收集、整理与描述………………………………………………………………
7.2 数据的分析………………………………………………………………………………
7.3 概率………………………………………………………………………………………
●单元综合评价………………………………………………………………………………第八章拓展性专题
8.1 数感与符号感……………………………………………………………………………
8.2 空间观念…………………………………………………………………………………
8.3 统计观念…………………………………………………………………………………
8.4 应用性问题………………………………………………………………………………
8.5 推理与说理………………………………………………………………………………
8.6 分类讨论问题……………………………………………………………………………
8.7 方案设计问题……………………………………………………………………………
8.8 探索性问题………………………………………………………………………………
8.9 阅读理解问题……………………………………………………………………………
1.1 有理数
第 课 第 个教案 执行时间： 年 月 日
【教学目标】
1.理解有理数的有关概念，能用数轴上的点表示有理数，会求倒数、相反数、绝对值.
2.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，会比较两个有理数的大小.
3.理解近似数和有效数字的概念，会将一个数表示成科学记数法的形式.
4.能运用有理数的运算解决简单的实际问题，会探索有规律性的计算问题.
【重点难点】
重点：有理数的加、减、乘、除、乘方运算及简单的混合运算.
难点：对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.
【考点例解】
例1 （1）-5的绝对值是（ ） A. -5 B. 5 C. 15 D. 15
- （2）2007年3月5日，温总理在《政府工作报告》中，讲述了六大民生新亮点，其
中之一就是全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段约52000000名学生的学杂费. 这个数据保留两个有效数字用科学记数法表示为（ ）
A. 75210?
B. 75.210?
C. 85.210?
D. 8
5210?
（3）2008年2月4日，我国遭受特大雪灾，部分城市的平均气温情况如下表（记温
度零上为正，单位：℃），则其中当天平均气温最低的城市是（ ）
A. 广州
B. 福州
C. 北京
D. 哈尔滨 分析：本题主要是考查学生对有理数相关概念的理解. 第（1）小题考查绝对值的意义；第
（2）小题考查科学记数法；第（3）小题考查有理数的大小比较.
解答：（1）B ； （2）B ； （3）D.
例2 计算：32211(1)3()3+-÷?-.
分析：本题主要是考查有理数的乘方运算及有理数混合运算的顺序.
解答：原式11801(1)9198181
=+-÷?=-=.
例3 观察表①，寻找规律，表②、表③、表④分别是从表①中截取的一部分，其中a 、b 、
c 的值分别是（ ）
A. 20，29，30
B. 18，30，26
C. 18，20，26
D. 18，30，28 分析：本题主要考查有理数运算的简单应用. 表①中第一行中的数均为连续的自然数，而下
面各行依次是第一行的2倍、3倍、4倍、…；表①中第一列中的数均为连续的自然数，依次从左往右各列的最大公约数分别是2、3、4、….
解答：D.
【考题选粹】
1.（2007·宜宾）数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到
一个新的实数：21a b ++.如把（3，-2）放入其中，会得到2
3(2)18+-+=. 现将实数对（-2，3）放入其中得到实数m ，再将实数对（m ，1）放入其中得到的数是 .
2.（2007·玉溪）小颖中午回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜3分钟. 以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序，则小颖要将面条煮好，最少用 分钟.
【自我检测】
见《数学中考复习一课一练》.
表① 表② 表③ 表④
1.2 实数
第 课 第 个教案 执行时间： 年 月 日
【教学目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会求非负数的算术平方根和实数的立方根.
2.了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，能用有理数估计一个无理数的大致范围.
3.会用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算，会用计算器进行近似计算.
【重点难点】
重点：用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算.
难点：实数的分类及无理数的值的近似估计.
【考点例解】
例1 （1）下列实数：227，sin 60，3
π，0，3.14159，2(-无理数有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
（2）下列语句：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有
理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数. 其中正确的是（ ）
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.②④ 分析：本题主要是考查学生对无理数与实数概念的理解.
解答：（1）C ； （2）C.
例2 计算：021111sin 301820082-????--+- ? ?????
. 分析：本题主要是考查零指数幂、负指数幂及算术平方根的化简与运算.
解答：原式)
11141122=-+?-=-+-=-. 例3 我国《劳动法》对劳动者的加班工资作出了明确规定：春节长假期间，前3天是法定
休假日，用人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的300%支付加班工资;后4天是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休，不能安排补休的，按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的200%支付加班工资. 小王由于工作需要，今年春节的初一、初二、初三共加班三天（春节长假从十二月卅日开始）. 如果小王的月平均工资为2800元，那么小王加班三天的加班工资应不低于 元.
分析：本题主要考查学生灵活应用实数运算的相关知识解决实际问题的能力.要注意的是今
年的法定假期共有11天，因此日工资标准的计算方法是：280021.75÷.
解答：()280021.752300%1200%1030÷??+?≈（元）.
【考题选粹】
1.（2007·内江）若a ，b 均为整数，
且当1x =时，代数式2x ax b ++的值为0，则b a
的算术平方根为 .
2.（2007
(
)312tan 45--. 3.（2007·重庆）将正整数按如右图所示的规律排列 下去. 若用有序实数对（n ，m ）表示第n 排、 从左到右第m 个数，如（4，3）表示实数9，则 （7，2）表示的实数是 .
【自我检测】
见《数学中考复习一课一练》.
1 ………………… 第一排
2 3 ……………… 第二排
4 5 6 …………… 第三排
7 8 9 10 ……… 第四排
……………………………………
1.3 整式
第 课 第 个教案 执行时间： 年 月 日【教学目标】
1.了解整式的有关概念，理解去括号法则，能熟练进行整式的加减运算.
2.掌握正整数指数幂的运算性质，能在运算中灵活运用各种性质.
3.会进行简单的整式乘法运算和简单的多项式除法运算，了解两个乘法公式及其几何背景，能运用乘法公式进行简便.
4.会通过对问题的分析列出代数式，能熟练进行整式的化简与求值.
【重点难点】
重点：列代数式表示数量关系，整式的化简与求值.
难点：乘法公式的灵活运用.
【考点例解】
例1 （1）已知整式312
1y x a -与b a b y x +--23是同类项，那么a ，b 的值分别是（ ） A. 2，-1 B. 2，1 C. -2，-1 D. -2，1
（2）下列运算中正确的是（ ）
A.853x x x =+
B.()923
x x = C.734x x x =? D.()9322+=+x x （3）如果5m x =，25n x =，那么代数式52m n x -的值是 .
分析：本题主要是考查同类项的概念和整式的加法、乘法和正整数指数幂的运算. 解答：（1）A ； （2）C ； （3）5.
例2 （1）王老板以每枝a 元的单价买进玫瑰花100枝. 现以每枝比进价多两成的价格卖
出70枝后，再以每枝比进价低b 元的价格将余下的30枝玫瑰花全部卖出，则
王老板的全部玫瑰花共卖了 元（用含a ，b 的代数式表示）.
（2）如图3-1所示，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律
拼成一列图案：
①第4个图案中有白色纸片 张；②第n 个图案中有白色纸片 张. 分析：本题主要考查列代数式表示数量关系，第（1）题的关键是弄清前70枝玫瑰花的单
价和后30枝的单价分别是多少；第（2）题的关键是要发现图案中的规律：第一个图形有4张白色纸片，以后每个图形都比前一个图形多3张白色纸片.
解答：（1）()()b a b a a 3011430%20170-=-++.
（2）①13； ②31n +.
例3 先化简，再求值：()()()()232325121x x x x x +-----，其中13x =-.
分析：本题主要考查乘法公式的灵活应用及整式的化简求值.解答这一类题目时，一般应先
将整式化简，然后再将字母的值代入计算.
解答：原式222945544195x x x x x x =--+-+-=-.
当13x =-时，原式19583??=?--=- ???.
【考题选粹】
1.（2006·济宁）()()2006200588-+-能被下列数整除的是( )
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
2.（2007·淄博）根据以下10个乘积，回答问题：1129?；1228?；1327?；1426?；1525?；1624?；1723?；1822?；1921?；2020?.
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2
”（两数平方差）的形式，并写出其中一个
的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论（不要求证明）.
【自我检测】
见《数学中考复习一课一练》.
1.4 因式分解
第 课 第 个教案 执行时间： 年 月 日【教学目标】
1.理解因式分解的概念，了解因式分解与整式乘法之间的关系.
2.掌握因式分解的一般思考顺序，会运用提公因式法和公式法进行因式分解，会利用因式分解解决一些简单的实际问题.
【重点难点】
重点：运用提公因式法和公式法进行因式分解.
难点：利用因式分解解决一些简单的实际问题.
【考点例解】
例1 （1）在一次数学课堂练习中，小聪做了以下4道因式分解题，你认为小聪做得不够完
整的一道题是（ ）
A.()321x x x x -=-
B.()2
222x xy y x y -+=- C.()22x y xy xy x y -=- D.()()22
x y x y x y -=+-. （2）因式分解()2
19x --的结果是（ ）
A.()()81x x ++
B.()()24x x +-
C.()()24x x -+
D.()()108x x -+.
分析：本题主要是考查因式分解的概念和因式分解一般思考顺序，强调因式分解一定要分解
到结果中的每个因式都不能再分解为止.
解答：（1）A ； （2）B.
例2 利用因式分解说明：712255-能被120整除.
分析：要说明712255-能被120整除，关键是通过因式分解得到712255-含有因数120，
可将712255-化为同底数形式，然后利用提公因式法分解因数.
解答：∵ ()71214121221211255555515245120-=-=-=?=?，
∴ 712255-能被120整除.
例3 在日常生活中经常需要密码，如到银行取款、上网等. 有种用“因式分解”法产生的
密码方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =，9y =，则各因式的值分别是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码. 同理，对于多项式324a ab -，若取10a =，10b =，则产生的密码是： （写出一个即可）.
分析：本题是因式分解的知识在实际生活中的简单应用. 解答时只需要先对多项式进行因式
分解，再求各因式的值就可以了.
解答：()()()32224422a ab a a b a a b a b -=-=-+，当10a =，10b =时，各因式的值
分别是：10a =，210a b -=，230a b +=，所以密码可以为101030（也可以为103010或301010）.
【考题选粹】
1.（2006·南通）已知2A a =+，25B a a =-+，2
519C a a =+-，其中2a >.
（1）求证：0B A ->，并指出A 与B 的大小关系；
（2）指出A 与C 的大小关系，并说明理由.
2.（2007·临安）已知a 、b 、c 是ABC ?的三边，且满足422422a b c b a c +=+，判断ABC ?的形状. 阅读下面的解题过程：
解：由 422422a b c b a c +=+ 得 442222a b a c b c -=-， ①
即 ()()()22
22222a b a b c a b +-=-， ② ∴ 222a b c +=， ③
∴ ABC ?是直角三角形. ④
试问：以上解题过程是否正确？ . 若不正确，请指出错在哪一步？（填代
号） ；错误原因是 ；本题的正确结论应该是 .
【自我检测】
见《数学中考复习一课一练》.
1.5 分式
第 课 第 个教案 执行时间： 年 月 日【教学目标】
1.了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件.
2.掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行分式的通分和约分.
3.掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活地运用分式的四则运算法则进行分式的化简和求值.
【重点难点】
重点：分式的基本性质和分式的化简.
难点：分式的化简和通过分式的运算解决简单的实际问题.
【考点例解】
例1 （1）在函数23
x y x =
-中，自变量x 的取值范围是（ ） A.0x ≠ B.32x ≠ C.32x > 且0x ≠ D.0x ≠且32x ≠. （22
的值为零，则x 的值为 . （3）下列分式的变形中，正确的是（ ）
A.1111a a b b +-=+-
B.x y x y x y x y ---=-++
C.()222x y x y x y x y
--=-+ D.22x y x y x y x y --=++ 分析：本题主要考查分式的概念与分式的基本性质. 在分式中，要使分式有意义，分式的分
母要不为零；要使分式值为0，则要求分子的值为0且分式有意义.
解答：（1）B ； （2）x =
（3）C. 例2 先化简：21111
x x x ?
?+÷ ?--??，再选择一个恰当的x 的值代入求值. 分析：本题主要考查分式的化简和分式有意义的条件. 在分式化简中，经常可以把分式的除
法改为乘法，再利用“分解约分”法进行化简. 在本题中的x 不能取0和±1.
解答：原式()()1111x x x x x x
-+=?=+-，当2x =时，原式＝3. 例3 （1）已知一个正分数()0n m n m
>>，如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大减小？请证明你的结论；（2）若正分数()0n m n m
>>中分子和分母同时增加2，3，…，k （整数k ＞0）
，情况如何？（3）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定，民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好. 问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由.
分析：本题考查了分式的大小比较，并要求利用有关知识解决实际问题. 解题的关键是理解
题意，得到正确的结论.
解答：（1）正分数()0n m n m
>>中，若分子、分母同时增加1，分数的值增大，证明如下： ∵ 0m n >>， ∴ 0m n ->，()10m m +>
∴ ()1011n n m n m m m m +--=>++， 即 11n n m m
+>+. （2）正分数()0n m n m
>>中分子和分母同时增加2，3，…，k （整数k ＞0）时，分式的值也增大. （3）住宅的采光条件变好，理由略.
【考题选粹】
1.（2007·东营）小明在考试时看到一道这样的题目：“先化简2211111a a a a ????-÷- ? ?--+????，再求值.”小明代入某个数后求得值为 3. 你能确定小明代入的是哪一个数吗?你认为他代入的这个数合适吗?为什么?
2.（2007·嘉兴）解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题. 例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”等等.
（1）设322
x x A x x =--+，24x B x -=，求A 与B 的值； （2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题.
【自我检测】
见《数学中考复习一课一练》.
1.6 二次根式
第 课 第 个教案 执行时间： 年 月 日【教学目标】
1.了解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件.
2.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会对简单的二次根式进行化简，会用二次根式的运算法则进行实数的简单四则运算.
【重点难点】
重点：二次根式的化简和用二次根式的运算法则进行实数的简单四则运算.
难点：二次根式的化简.
【考点例解】
例1 （1）若代数式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A.2>x
B.2≥x
C.2 D.2≤x . （2）若x 为实数，则下列各式中一定有意义的是（ ） A.x -2 B.12+x C.21x D.22-x 分析：本题主要考查二次根式的概念，即在二次根式中，被开方数必须是非负数. 解答：（1）B ； （2）B. 例2 （1）计算：??? ? ?? -+483137512. （2）比较大小： -152. 分析：本题主要考查二次根式性质的灵活应用和二次根式的混合运算. 第（1）题中，可先 利用二次根式的性质进行化简，然后利用实数的运算法则进行计算；第（2）题要先逆用性质：()02 ≥=a a a ，再进行两个数的大小比较. 解答：（1）原式()1232323433532=?=-+=. （2）∵ 6373-=-，60152-=-，且6063> ， ∴ 15273-<-. 例 3 已知ABC ?的三边a ，b ，c 满足224210212--+=--++b a c b a ，则 ABC ?为（ ）. A. 等腰三角形 B. 正三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 分析：本题考查了二次根式的非负性，即：在二次根式a 中，0≥a 且0≥a . 解答：将原式变形，得 ()() 0211424251022=--+??????+---++-c b b a a . 即 ()()02114522=--+--+-c b a . ∴ 05=-a ，014=--b ，021=--c . ∴ 5===c b a . ∴ A B C ?为等边三角形，故选B. 【考题选粹】