建筑力学行动导向教学案例教案提纲
模块七压杆稳定性 7.1压杆稳定的概念 为了说明问题，取如图 7-2 (a)所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力 F ,使杆在直 线状态下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力， 使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰 力，贝9当杆承受的轴向压力数值不同时， 其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数值 F 小于某 数值 F cr 时，在撤去干扰力以后， 杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡, (a)、(b)所示，这种原有的直线平衡状态称为稳定的平衡; 压力F 小于匚 时，杆件就能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定性；而当压 F cr 杆所受的轴向压力 F 等于或者大于 F cr 时，杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。 压杆经常被应用于各种工程实际中，例如脚手架立杆和基坑支护的支撑杆，均承受压力， 此时必须考虑其稳定性，以免引起压杆失稳破坏。 7.2临界力和临界应力 7.2.1细长压杆临界力计算公式一一欧拉公式 从上面的讨论可知，压杆在临界力作用下，其直线状态的平衡将由稳定的平衡转变为不稳 定的平衡，此时，即使撤去侧向干扰力，压杆仍然将保持在微弯状态下的平衡。当然，如果压力 超过这个临界力，弯曲变形将明显增大。 所以，使压杆 在微弯状态下保持平衡的最小的轴向压力, 即为压杆的临界压力。下面介绍不同约束条件下压杆的临界力计算公式。 一、两端铰支细长杆的临界力计 算公式一一欧拉公式设两端铰支长度 为z 的细长杆，在轴向压力/ cr 的作 用下保持微弯平衡状态，如图 7-3所示。杆在小变形时其挠曲线近似微分方程为: 图7-2 到某一数值匚时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形 F cr 状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图 7-2 (c)、 (d)所示，则原有的直线平衡状态为 不稳定的平衡。如果力 F 继续增大，则杆继续弯曲， 产生显著的变形，甚至发生突然破坏。 上述现象表明，在轴向压力 F 由小逐渐增大的过程中，压 杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆 丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向 压力的数值，压杆由直线状态的稳定的平衡过渡到不稳定 的平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界 力，用表示 / cr 当压杆所受的轴向 图7-2 如图7-2 图 7-1 F 逐渐增大 当杆承受的轴向压力数值 图7-1
3-9 压杆稳定性实验 工程实际中，失稳破坏往往是突然发生的，危害性很大，因此充分认识压杆的失稳现象，测定压杆的临界载荷，具有十分重要的工程意义。 一、试验目的 1．测定两端铰支细长压杆的临界载荷F cr ，并与理论值进行比较，验证欧拉公式。 2．观察两端铰支细长压杆的失稳现象。 二、设备和仪器 1．力学实验台； 2．百分表（或电阻应变仪）； 3．游标卡尺、钢板尺。 三、试样 弹簧钢（60Si 2Mn ）制成的矩形截面细长杆，经过热处理。两端制成刀刃，以便安装在试验台的V 形支座内。 四、实验原理 对于轴向受压的理想细长直杆，按小变形理论其临界载荷可由欧拉公式求得： 2 cr 2() EI F L πμ= (3-32) 式中：E 为材料的弹性模量，I 为压杆横截面的最小惯性矩，l 为压杆的长度；μ为长度系数，对于二端铰支情况，μ=1。 当载荷小于F cr 时，压杆保持直线形状的平衡，即使有横向干扰力使压杆微小弯曲，在撤除干扰力以后压杆仍能回复直线形状，是稳定平衡。 当载荷等于F cr 时，压杆处于临界状态，可在微弯情况下 保持平衡。 如以压力F 为纵坐标，压杆中点挠度w 为横坐标。按小变形理论绘出的F -w 图形可由二段折线OA 和AB 来描述，如图3-32所示。 而实际压杆由于不可避免地存在初始曲率，或载荷可能有微小偏心以及材料不均匀等原因，在加载初始就出现微小挠度，开始时其挠度w 增加较慢，但随着载荷增加，挠度也 不断增加，当载荷接近临界载荷时，挠度急速增加，其F -w 曲线如图3-32中OCD 所示。实际曲线OCD 与理论曲线之间 的偏离，表征初始曲率、偏心以及材料不均匀等因素的影响， 这种影响愈大，偏离也愈大。显然，实际曲线的水平渐进线即代表压杆的临界载荷F cr 。 工程上的压杆都在小挠度下工作，过大的挠度会产生塑性变形或断裂。仅有部分材料制成的细长杆能承受较大的挠度使载荷稍高于cr F (图3-32中虚线DE 所示)。 实验测定临界载荷，可用百分表测杆中点处挠度w ，如图3-33a 所示。绘制F -w 曲线，作F -w 曲线的水平渐近线就得到临界载荷F cr 。 当采用百分表测量杆中点挠度时，由于压杆的弯曲方向不能预知，应预压一定量程，以给杆向左、右弯曲留有测量余地。
11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1 d l == mm m；（2）矩形截面2400,1 h b l === m m；（3）16号工字钢，2 l=m l 解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力： （1）圆形截面，25,1 d l == mm m： 2 29 2 22 0.025 20010 6437.8 1 cr EI P l π π π ? ??? === N kN （2）矩形截面2400,1 h b l === m m 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳 2 0.040.02 min(,) 12 y z y I I I I ? ===，故： 2 29 2 22 0.040.02 20010 1252.7 1 cr EI P l π π ? ??? === N kN （3）16号工字钢，2 l=m 查表知：44 93.1,1130 y z I I == cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时 4 min(,)93.1 y z y I I I I ===cm，故： 2298 22 2001093.110 459.4 2 cr EI P l ππ- ???? === N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。 解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的 P λ 2 2 99.35 P P P E π σλ λ =→=== （2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于 P λ可采用欧拉公式计算临界力。故 0.7 80.83 1.229 0.03 99.35 x P y z l l l l i μ λλ ? ===>> =→mm，
《创新型力学实验》 压杆稳定临界载荷测定综合实验 一、实验目的 1. 熟悉动态应变仪的使用方法； 2. 掌握振动信号的测量方法； 3. 测量受压细长杆件失稳时的临界力； 4. 讨论不同杆端约束条件对临界力的影响； 5. 将材料力学方法与振动法测量结果进行比较，讨论两种方法的优缺点； 6. 计算临界力，验证欧拉公式，并分析产生误差的原因。 二、实验仪器设备 动态信号分析仪、压杆稳定综合实验装置、电阻应变片、电涡流传感器、力锤、力传感器读数器、电涡流读数器 矩形截面钢制细长杆件（弹性模量E=180GPa ） 三、实验原理 细长杆作垂直轴线方向的振动时，其主要变形形式是弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动，简称梁的振动。如果梁是直梁，而且具有对称面，振动中梁的轴线始终在对称面内。忽略剪切变形和截面绕中心轴转动的影响，即所谓的欧拉梁。它作横向振动时的偏微分方程为： ()()()()()t x q t t x y x A x t x y x EI x ,,,222222=???+?? ????????ρ (4-6) EI(x)为弯曲刚度(E 为纵向弹性模量，I(x)为截面惯性矩)，()x ρ为密度，A(x)为截面积，q(x,t)为分布干扰力，y(x,t)为挠度。若梁为均质、等截面时，截面积A(x)、弯曲刚度EI(x)、密度()x ρ均为与x 无关的常量，因此，式(4-6)可写成： ()()()()t x q t t x y x A x t x y EI ,,,2 244=???+??ρ (4-7) 如果梁在两端轴向力T 0的作用下自由振动，其振动的偏微分方程为： ()()()0,,,222202222 =???+??-?? ????????t t x y A x t x y T x t x y EI x ρ (4-8)
压杆稳定 【例1】 压杆的压力一旦达到临界压力值，试问压杆是否就丧失了承受荷载的能力？ 解：不是。压杆的压力达到其临界压力值，压杆开始丧失稳定，将在微弯形态下保持平衡，即丧失了在直线形态下平衡的稳定性。既能在微弯形态下保持平衡，说明压杆并不是完全丧失了承载能力，只能说压杆丧失了继续增大荷载的能力。但当压杆的压力达到临界压力后，若稍微增大荷载，压杆的弯曲挠度将趋于无限，而导致压溃，丧失了承载能力。且在杆系结构中，由于某一压杆达到临界压力，引起该杆弯曲。若在增大荷载，将引起结构各杆内力的重新分配，从而导致结构的损坏，而丧失其承载能力。因此，压杆的压力达到临界压力时，是其承受荷载的“极限”状态。 【例2】 如何判别压杆在哪个平面内失稳？图示截面形状的压杆，设两端为球铰。试问，失稳时其截面分别绕哪根轴转动？ 解：（1）压杆总是在柔度大的纵向平面内失稳。 （2）因两端为球铰，各方向的μ=1，由柔度知l i μλ= （a ）x y i i =，在任意方向都可能失稳。 （b ），x y i i ＜失稳时截面将绕x 轴转动。 （c ）x y i i ＞，失稳时截面将绕y 轴转动。 【例3】 细长压杆的材料宜用高强度钢还是普通钢？为什么？ 解：对于细长压杆，其临界压力与材料的强度指标无关，而与材料的弹性模量E 有关。由于高强度钢与普通钢的E 大致相等，而其价格贵于普通钢，故细长压杆的材料宜用普通钢。 【例4】 图示均为圆形截面的细长压杆（λ≥λｐ），已知各杆所用的材料及直径d 均相同，长度如图。当压力P 从零开始以相同的速率增加时，问哪个杆首先失稳？
1.6a P P 1.3a a P 解：方法一：用公式P lj = π2 EI ／（μl ）２ 计算，由于分子相同，则μl 越大，P lj 越小，杆件越先失稳。 方法二：运用公式P lj ＝σlj A ＝π2 EA /λ2 ，分子相同，而λ＝μl /i ,i 相同,故μl 越大，λ越大，P lj 越小，杆件越先失稳。 综上可知，杆件是否先失稳，取决于μl 。 图中，杆A ：μl ＝2×a ＝2 a 杆B ：μl ＝1×1.3a ＝1.3a 杆C ：μl ＝0.7×1.6a ＝1.12a 由(μl )A ＞(μl )B ＞(μl )C 可知，杆A 首先失稳。 【例5】 松木制成的受压柱，矩形横截面为b ×h ＝100mm ×180mm ，弹性模量E ＝10GPa ， λP ＝110，杆长l ＝7m 。在xz 平面内失稳时（绕y 轴转动），杆端约束为两端固定（图a ），在xy 平面内失稳时（绕z 轴转动），杆端约束为两端铰支（图b ）。求木柱的临界应力和临界力。
压杆稳定性实验 潘哲鑫2012011680 祝世杰2012010407 一.实验分析 对于立柱材料而言，损坏往往不是来源于直接受压的损坏，而大都来自于杆件失稳导致的折断或者倾倒。因此研究杆件在受压情况下的失稳特性就非常有意义。 在本实验中，我们使用的是环氧树脂杆，弹性模量59.2E GPa =，500MPa σ=???? 通过测量可知，杆的有效长度为，8412mm L cm d ==直径 实验一：双端铰支的情况下 临界载荷22(KL)K EI P π=其中K=1，故可算得，临界842.9K P N = 考虑杆件达到其许应力的最大值， K K P P A W δσ+=???? 则 3d ())42 K k P W W A P πδσ=-=????其中（ 则算得，9.86cm δ= 因此我们根据上述计算结果，进行了实验，为了防止实验材料被破坏，我们仅仅加载到最大横向位移的0.8倍。 可以观察到，当加载的力值迅速升高至临界载荷后，再继续向下加载，杆件上的力并不会变大，取而代之的是杆件向铰支允许的方向的的弯曲。 实验二：一端铰支，一段固支的情况下 临界载荷22(KL)K EI P π=其中K=0.7，故可算得，临界1720.1K P N = 同理可计算得，达到杆件的最大拉伸应力时， 4.78cm δ=，于是在实验中，我们加载到约3cm 处停止。 在第二次实验中，我们遇到一个问题，即当杆件开始弯曲时，由于可能杆件安装时的偏心误差，它弯曲的方向并不是我们希望测量的方向，因此，在弯曲过程中，为了能使其向我
们偏好的方向弯曲，我主动给它提供了一个水平方向的扰动的力，从而使得其改变弯曲的方向。 但这也导致了在我们实验的曲线上加载阶段，并不是完全和理论相符，而一定程度上小于本应该出现的值。而某种程度上，呈现出线性的关系。 不过可以解释为，由于我的外加力的作用，阻碍了杆件通过弯曲来抵抗载荷，因此，杆件此时纵向的形变完全来自于由于轴向应力产生的应变，满足胡克定律，故一定程度上呈现出线性的状态。 二．工程问题中的屈曲 1.欧拉公式的适用范围 本实验中我们的进行的压杆稳定性实验的工件是长细比很大的实心杆件，经过实验发现工件失稳的临界载荷和用欧拉公式计算的值比较接近，但还是有一定的误差。所以对于实际的工程问题，仅仅用欧拉公式指导设计是不够的。首先欧拉公式的导出建立在如下假设之上：○1杆件只发生了小挠度变形 ○2材料只发生了弹性变形 ○3杆件所加的外载荷没有任何偏心 ○4杆件没有任何初始缺陷 对于前两条，在一般情况下是合理的假设，因为如果前两条不能满足的情况下，我们可以认为杆件已经发生了屈曲或者失稳，但是后两条在实际工程中就不得不考虑了。经查阅资料发现，根据大量的实验和工程经验，在设计时一般都以下面的曲线为指导： 首先杆件非常粗短的时候，破坏方式并不是失稳，而是直接被压坏，也就是临界载荷等于屈服强度。杆件长细比很大时，欧拉公式与试验值符合地较好，而对于中等长细比的杆件，其
工程力学第11章-压杆的稳定性问题答案
工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答（教师用书） (第11 章) 范钦珊唐静静 2006-12-18
2 第 11 章 压杆的稳定性问题 11－1 关于钢制细长压杆承受轴向压力达到临界载荷之后，还能不能继续承载有如下四 种答案，试判断哪一种是正确的。 （A ）不能。因为载荷达到临界值时屈曲位移将无限制地增加； （B ）能。因为压杆一直到折断时为止都有承载能力； （C ）能。只要横截面上的最大正应力不超过比例极限； 正确答案是 C 。 （D ）不能。因为超过临界载荷后，变形不再是弹性的。 11－2 今有两根材料、横截面尺寸及支承情况均相同的压杆．仅知长压杆的长度是短压 杆的长度的两倍。试问在什么条件下短压杆临界力是长压杆临界力的 4 倍?为什么? 解：只有当二压杆的柔度 λ ≥ λ 时，才有题中结论。这是因为，欧拉公式 F = π EI ， 只有在弹性范围才成立。这便要求 P λ ≥ λP 。 Pcr (μl ) 2 11－3 图示四根压杆的材料及横截面(直径为 d 的圆截面)均相同，试判断哪一根最容易 失稳，哪一根最不容易失稳。
习题11－3 解：计算各杆之柔度：λ= μl ，各杆之i 相同 i
3 3 （a ） λa = 5l i (μ = 1) （b ） λb （c ） λ = 4.9l i = 4.5l (μ = 0.7) (μ = 0.5) c （d ） λd i = 4l i (μ = 2) 可见 λa > λb > λc > λd ，故（a ）最容易失稳，（d ）最 不容易失稳。 11－4 三根圆截面压杆的直径均为 d =160mm ，材料均为 A3 钢，E ＝200GPa ，σs ＝ 240MPa 。已知杆的两端均为铰支，长度分别为 l 1、l 2 及 l 3，且 l 1=2l 2=4l 3 =5m 。试求各杆的临 界力。 解： i = d / 4 = 160 / 4 = 40mm ， μ = 1 λ = μl 1 1 i = 5 ×10 40 = 1.25 3 λ = μl 2 2 i μl λ = 3 3 i = 2.5 ×10 40 = 1.25 ×10 40 = 62.5 = 31.5
一、实验目的：1、观察压杆的失稳现象； 2、测定两端铰支压杆的临界压力； 3、观察改变支座约束对压杆临界压力的影响。 二、设备及装置： 1. 带有力传感和显示器的简易加载装置或万能电子试验机； 2. 数字应变仪； 3. 大量程百分表及支架； 4. 游标卡尺及卷尺； 5. 试样，压杆试样为由弹簧钢制成的细长杆，截面为矩形，两端加工成带有小 圆弧的刀刃。在试样中点的左右两端各贴仪枚应变片。 6. 支座，支座为浅V 性压杆变形时两端可绕Z 轴转动，故可作为铰支架。 三、实验原理和方法： 1、理论计算：理想压杆，当压力P 小于临界压力cr P 时，压杆的直线平衡是稳定的。这时压力P 与中点挠度δ的关系相当于右图中的直线OA 。当压力到达临界压力cr P 时，压杆的直线平衡变为不稳定，它可能转为曲线平衡。按照小挠度理论，P 与δ的关系相当于图中水平线AB 。两端铰支细长杆的临界压力由欧拉公式计算 2cr 2 P EI l π= ，其中I 为 横截面对z 轴的惯性矩。 2、实测时：实际压杆难免有初弯曲，材料不均匀和压力偏心等缺陷，由于这些缺陷，在P 远小于cr P 时，压杆已经出现弯曲。开始，δ很不明显，且增长缓慢，如图中的OCD 段。随着P 逐步接近cr P ，δ将急剧增大。只有弹性很好的细长杆才可以承受大挠度，压力才可能略微超过cr P ，实测时，在压杆两侧各贴一应变片，测定P-ε曲线，对前后应变ε取增量 ε?，当ε?大于上一个的ε?的2倍时即认为此时的压力为临界压力。 3、加载分两个阶段，在理论值cr P 的70%~80%之前，可采取大等级加载，载荷超过cr P 的80%以后，载荷增量应取得小些。在整个实验过程中，加载要保持均匀、平稳、缓慢。
第16章压杆稳定 16.1 压杆稳定性的概念 在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s(或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 图16－1 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。 图16-3 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。先用外加干
压杆稳定实验 姓名： 学号: 班级: 同组者: 一.实验目得 1．观察压杆失稳现象； 2．通过实验确定临界载荷Fｃｒ,并与理论结果比较； 3．自主设计实验步骤，进行实验结果处理与撰写实验报告。 二.实验设备与仪器 1．压杆失稳试验装置； 2．电阻应变仪； 三.实验试件 板条材料6５Mn弹簧钢，调质热处理,达到,,弹性模量、
电桥图: 四．实验步骤 １、测板条长L,宽B，厚H；
2、拧螺母加压力,为防粘片开胶，压头下移最大1ｍm,对3中安装状态，各实验两遍,用百分表测压头得位移，用应变仪测压力与纯弯应变,画曲线，定失稳压力,算相对理论值得误差. 五.数据处理 压条尺寸:， 1、两端固支 压条长度:L=430mm、 （1）数据列表: 19 ３２１4８１ 709 4 —1０5 -259 —４ ２７ －4 ７1 -474 —47 5 － 478 －4 ８０ —48 １ -482 ８５６2 38 ８５ 6 3８ ６４ 3872 曲线为: 由图线可得失稳压力、
理论失稳压力为： 相对误差: 2、一端铰支,另一端固定 压条长度:L=4６4ｍm、: （1）数据列表: １４ 9 3３5 523 ６62 ７72 865 9６１ 1 —９9 -14８-171 -180 —178 -１89 -１9 ３ -19６－199 -2０0 8 61６ 曲线为: 由图线可得失稳压力P=16１４N、
理论失稳压力为： 相对误差： 3、两端铰支 压条长度：L=４98ｍｍ、 （１)数据列表: ５５27 58８667 752 83９921 -４8 -7２—83 -９０－96 -9８－98 -99 －99 －１０0 ４78６8 ８１6 曲线为： 由图线可得失稳压力Ｐ＝8１4Ｎ、
压杆稳定实验 一、实验目的： 1、观察压杆的失稳现象 2、测定两端铰支压杆的临界压力 二、实验原理和方法： 1、理论计算：理想压杆，当压力P 小临界压力cr P 时，压杆的直线平衡是稳定的。当压力到达临界压力cr P 时，压杆的直线平衡变为不稳定，它可能转为曲线平衡。两端铰支细长杆的临界压力由欧拉公式计算 ，其中I 为横截面对z 轴的惯性矩。 2、实测时：实际压杆难免有初弯曲，材料不均匀和压力偏心等缺陷，由于这些缺陷，在P 远小于cr P 时，压杆已经出现弯曲。开始，δ很不明显，且增长缓慢。随着P 逐步接近cr P ， δ将急剧增大。只有弹性很好的细长杆才可以承受大挠度，压力才可能略微超过cr P ，实测 时，在压杆两侧各贴一应变片，测定P-ε曲线，当施加压力增量很小而变形突增时即可得出临界压力。 三、实验结果： 1、理论计算 参数记录：b=15.30mm, h=1.80mm, l=391mm, E=210GPa 由欧拉公式计算得出临界压力的理论值为：100.81N 2、实验数据记录： 力-应变曲线图
四、实验结果分析： 数据处理得到以下“力-应变曲线图”。通过曲线可以发现临界压应力为81N左右。其结果小于根据公式计算得出的理论值。 分析实测值小于理论值的原因有： 1、该试件已被使用多次，由于疲劳效应，更容易产生变形。 2、两端V形支座的底线不在压杆的同一纵向对称平面内，则有一扭矩产生，会使得压杆更容易失稳，故实测临界压力降低。 3、有可能是V形支座的底线不在压杆的同一纵向对称平面内，也有可能是材料的不均匀程度较大，压力偏心现象严重，导致临界压力实测值远低于理论值。
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？ 解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。 15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。 解：(a) 柔度： 230 1500.4 λ?= = 相当长度：20.30.6l m μ=?= (b) 柔度： 150 1250.4 λ?== 相当长度：10.50.5l m μ=?= (c) 柔度： 0.770 122.50.4 λ?= = 相当长度：0.70.70.49l m μ=?= (d) 柔度： 0.590 112.50.4 λ?= = 相当长度：0.50.90.45l m μ=?= (e) 柔度： 145 112.50.4 λ?== 相当长度：10.450.45l m μ=?= 由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。即：() 22 cr EJ P l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为： () 2948 2 2 2 320010 1.610640.617.6410cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==?
() 2948 2 2 2 320010 1.610640.4531.3010cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==? 15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。 解： 92.6 33827452.5 p s s a λπσλ===--=== 15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr P 。若实际作用于挺杆的最大压缩力P =2.33kN ，规定稳定安全系数W n =2~5。试校核此挺杆的稳定性。 解：(1)
9-1(9-2)图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与成反比，此处，为与约束情况有关的长度系数。 （a）=1×5=5m （b）=0.7×7=4.9m （c）=0.5×9=4.5m （d）=2×2=4m （e）=1×8=8m （f）=0.7×5=3.5m 故图e所示杆最小，图f所示杆最大。 返回 9-2(9-5) 长5m的10号工字钢，在温度为时安装在两个固定支座之间， 这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定？ 解： 返回 9-3(9-6) 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力的算式。 解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况： （a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：
（b）两根立柱一起作为下端固定而上 端自由的体系在自身平面内失稳 失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆 组成一组合截面。 （c）两根立柱一起作为下端固定而上 端 自由的体系在面外失稳 故面外失稳时最小 返回 9-4(9-7)图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在点B铰支，而在点A和点C固定，D为铰接点，。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。 解：杆DB为两端铰支，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取。此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故 返回 9-5(9-9) 下端固定、上端铰支、长m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。 已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力，试求压杆的许可荷载。解： m 返回 9-6(9-10)如果杆分别由下列材料制成： （1）比例极限，弹性模量的钢； （2），，含镍3.5%的镍钢；
压杆稳定小结 1、 压杆稳定的概念 稳定平衡是指干扰撤去后可恢复的原有平衡；反之则为不稳定平衡。 压杆稳定性是指压杆保持或恢复原有平衡状态的能力。 压杆的临界压力是指压杆由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受轴向压力的界限值，用cr F 来表示。 2、 细长中心受压直杆的临界力 在线弹性和小变形条件下，根据压杆的挠曲线近似微分方程，结合压杆的边界条件，可推导得到使压杆处于微弯状态平衡的最小压力值，即压杆的临界压力欧拉公式可写成统一的形式： 2 2 ) (l EI F cr μπ= 式中μ为长度因数。几种常见细长压杆的临界力可见，杆端约束越强，杆的长度因数越小。l μ为相当长度，可理解为压杆的挠曲线两个拐点之间的直线距离。 (d) (d)表13-1 (d) 表13-1
3、 压杆的临界应力总图 (1) 压杆的临界应力 压杆在临界力作用下，其横截面上的平均应力称为压杆的临界应力， cr cr F A σ= (2) 欧拉公式的适用范围 线弹性范围，()22cr cr p 22 F EI E A l A ππσσλμ===≤ 即 p λλ≥ = 时，欧拉公式才能适用。通常称p λλ≥的压杆为大柔度压杆或细长压杆。 (3) 压杆的柔度（或长细比） i l μλ= 是一无量纲的量。一般情况下，由于杆端约束(μ)或惯性半径(i )的不同，压杆在不同的纵向平面内具有不同的柔度值，压杆失稳首先发生在柔度最大的纵向平面内。
(4) 临界应力总图 压杆的临界应力随柔度λ变化的λσ-cr 图称为临界应力总图。 大柔度杆p λλ≥，临界应力低于比例极限，可按欧拉公式计算，2 2 λπσE cr = ； 中柔度杆p s λλλ≤≤，临界应力超过比例极限，可按经验公式计算，如直线公式： λσb a cr -=，其中a 、b 为与材料有关的常数。或钢结构设计中采用的抛物线公式，以及折减弹性模量理论进行计算； 小柔度杆s λλ≤(或b λ)，临界应力达极限应力：塑性材料s cr σσ=，脆性材料 cr b σσ=，属于强度问题。 其中，p p E σπλ2=，s s a b σλ-=为材料常数，仅与压杆的材料有关。 4、 压杆的稳定计算 （1） 压杆的稳定条件 采用稳定安全因数法，压杆的稳定条件为： []st st n n ≥ 或 []st st cr F n F F =≤ ][ 或 []st st cr n σσσ=≤][ 式中，[]st n 为规定的稳定安全因素。st n 为工作安全因数，由下式确定： 图13-12
第十一章 压杆的稳定 承受轴向压力的杆，称为压杆。如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。本章研究细长压杆的稳定。 §11.1 稳定的概念 物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。 上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a )所示。当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。若轴向压力F 较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a )，平衡是稳定的；若轴向压力F 足够大，即使 (a ) 稳定平衡 图11.1 稳定平衡与不稳定平衡
微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。压杆保持稳定与发生屈曲间的力F cr 称为压杆的临界载荷或临界压力。 建筑物中的立柱、桁架结构中的受压杆、液压装置中的活塞推杆、动力装置中的气门挺杆等都是工程中常见的压杆，细长压杆的稳定是设计中必需考虑的。 §11.2 两端铰支细长压杆的临界载荷 压杆是否能保持稳定，取决于压杆的临界载荷或临界压力F cr 。当F =F cr 时，压杆处于如图11.2(b)所示的微弯平衡状态。现将二端铰支的细长压杆重画于图11.3，用静力学的方法研究其平衡问题。 一、力的平衡 取任一截面，由力的平衡方程可知，杆在任一距原点o 为x 处的弯矩为： M (x )=-Fy 二、物理方程 讨论弹性小变形情况，有线弹性应力-应变关系： (a ) 图11.2 压杆稳定概念 (b) (c) 图11.3 二端铰支的细长压杆
压杆稳定实验讲义 3-9 压杆稳定性实验 工程实际中，失稳破坏往往是突然发生的，危害性很大，因此充分认识压杆的失稳现象，测定压杆的临界载荷，具有十分重要的工程意义。 一、试验目的 1(测定两端铰支细长压杆的临界载荷F，并与理论值进行比较，验证欧拉公式。 cr 2(观察两端铰支细长压杆的失稳现象。 二、设备和仪器 1(力学实验台; 2(百分表(或电阻应变仪); 3(游标卡尺、钢板尺。 三、试样 弹簧钢(60SiMn)制成的矩形截面细长杆，经过热处理。两端制成刀刃，以便安装在2 试验台的V形支座内。 四、实验原理 对于轴向受压的理想细长直杆，按小变形理论其临界载荷可由欧拉公式求得: 2,EI (3-32) ,Fcr2()L, 式中:E为材料的弹性模量，I为压杆横截面的最小惯性矩，l为压杆的长度;为长度系,数，对于二端铰支情况，=1。 , 当载荷小于F时，压杆保持直线形状的平衡，即使有横向干扰力使压杆微小弯曲，cr
在撤除干扰力以后压杆仍能回复直线形状，是稳定平衡。 当载荷等于F时，压杆处于临界状态，可在微弯情况下crF保持平衡。 如以压力F为纵坐标，压杆中点挠度为横坐标。按小wBEA变形理论绘出的F-w 图形可由二段折线和来描述，ABOADC如图3-32所示。 而实际压杆由于不可避免地存在初始曲率，或载荷可能 有微小偏心以及材料不均匀等原因，在加载初始就出现微小0W挠度，开始时其挠度w增加较慢，但随着载荷增加，挠度也不断增加，当载荷接近临界载荷时，挠度急速增加，其F-w5.15 F-w 曲线图3-32 F-W 曲线曲线如图3-32中OCD 所示。实际曲线OCD与理论曲线之 间的偏离，表征初始曲率、偏心以及材料不均匀等因素的影 响，这种影响愈大，偏离也愈大。显然，实际曲线的水平渐进线即代表压杆的临界载荷F。 cr 工程上的压杆都在小挠度下工作，过大的挠度会产生塑性变形或断裂。仅有部分材料制成的细长杆能承受较大的挠度使载荷稍高于(图3-32中虚线DE所示)。Fcr 实验测定临界载荷，可用百分表测杆中点处挠度w，如图3-33a所示。绘制F-w曲线，作F-w曲线的水平渐近线就得到临界载荷F。 cr 当采用百分表测量杆中点挠度时，由于压杆的弯曲方向不能预知，应预压一定量程，以给杆向左、右弯曲留有测量余地。 由于弯曲变形的大小也反映在试件中点的应变 上，所以，也可在杆中点处两侧各粘贴一枚应变片， F见图3-33b，将它们接成半桥，记录应变仪读数，,duF 绘制F-曲线，作F-曲线的水平渐近线，就得,,dudu 到临界载荷F。 cr
压杆稳定实验 一、实验目的 1．观察压杆失稳现象，理解压杆“失稳”的实质。 2．测定四种刚性支承条件下压杆失稳的临界载荷F jx，分析支承条件对压杆失稳临界载荷的影响，并与相应的欧拉载荷F cr进行比较。 3．绘制出四种刚性支承条件下压杆失稳的屈曲模态。 二、预习思考要点 1．欧拉的理想压杆模型有何特征？实验中的压杆与理想压杆有何区别？ 2．为什么说欧拉压杆承载力公式是在小变形条件下导出的？ 3．不同的支承方式对压杆的临界载荷有何影响？材料力学中是以什么参量来表示这种影响的？ 三、实验仪器和装置 1．微型计算机 2．压杆稳定试验台 试验台的结构简图如图（1-35）所示，它由底板、顶板和四根立柱构成加力架。在顶板上安装了加力和测力系统。采用螺旋加力方式，拧进顶部的旋钮使丝杠顶推压头向下运动，即可对压杆加载。测力传感器中的弹性敏感元件置于丝杠和压头的芯轴之间。位移传感器为机电百分表，也装于顶板，通过承托卡感应压头的位移。这两种传感器的弹性元件上的电阻应变计均联接成全桥电路，输出的应变信号通过电缆接入仪器的相应插座，经放大和模数（A/D）转换，在计算机上直接显示为力值和位移值。
图1-35 压杆稳定试验台 图1-36 压杆稳定试样 试验台配备的支承有：下铰支承2副，中间支承卡1副；上铰支承（滚珠帽）1副。 3．压杆试件 压杆试件如图1-36所示，其压杆和托梁均由弹簧钢制成，其弹性模量E=210GPa ，试件截面尺寸：20×2mm 2，各种支承条件下压杆的计算长度参考图中的有关尺寸（L i ）。 4．游标卡尺、钢直尺 四、实验原理 对于轴向受压的理想细长直杆（即柔度λ≥λP ），按小变形理论，其临界载荷可由欧拉公式求得： 2min 2)(l EI F cr μπ= （1-67） 式中：E 为材料的弹性模量；I min 为压杆截面的最小轴惯性矩；l 为压杆长度；μ为长度系数。
压杆稳定实验 1 实验目的 ⑴．观察细长中心受压杆丧失稳定的现象。 ⑵．用电测实验方法测定各种支承条件下压杆的的临界压力Pcr实，增强对压杆承载及失稳的感性认识。 ⑶．实测临界压力P cr实与理论计算临界压力P cr理进行比较，并计算其误差值。 2 设备和仪器 ⑴．50KN微机控制电子万能试验机。 ⑵．计算机。 ⑶．游标卡尺。 3 实验原理及试件 当细长杆受轴向压力转小时，杆的轴向变形较小，它与载荷是线弹性关系。即使给杆以微小的侧向干扰力使其稍微弯曲，解除干扰后，压杆最终将恢复其原形既直线形状，如图11－1a所示，这表明压杆平衡状态是稳定的。 （a）（b） 图11－1 压杆的稳定(a)与失稳(b)现象图11－2 应变片粘贴位置
22 (3.14)..()E I l μ 图11－3 应变片组成的全桥 当轴向压力逐渐增大，超过某一值时，压杆受到微小的干扰力后弯曲，解除干扰后，压杆不能恢复直线形状，将继续弯曲，产生显著的弯曲变形，既丧失了原有的平衡状态，这表明压杆的平衡状态是不稳定的。使压杆直线形态的平衡状态开始由稳定转变为不稳定的轴向压力值，称为压杆的临界载荷，用P cy 实表示，如图11－1 b 所示。压杆丧失其直线形状的平衡而过度为曲线平衡，称为丧失稳定或简称失稳，由失稳造成的失效，失效并非强度不足，而是稳定性不够。 在压杆中部两面纵横粘贴四枚应变片组成全桥，如图11－2、图11－3所示，应变片的阻值是350Ω，电桥的AC 和BD 端的输出信号输入计算机进行数据处理并放大3.76х103倍，经窗口显示压杆的变形量，将变形量除以放大倍数3.76х103可计算出压杆的应变ε。再由应变算出压杆在临界力作用下的应力σ=Еε。从压杆的临界应力可见，细长杆弹簧钢的临界应力比比例极限应力小得多。所以细长压杆丧失承载能力并不是材料强度不够，而是由于稳定性不够。 试件：材料为弹簧钢，E=210GP a ，长度L=300mm ，宽度b=20mm ，厚度h=2.96mm 。在试件的中部粘贴四枚应变片组成全桥，用来测量压杆的变形。 试验采用50KN 微机控制电子万能试验机对试件施压，压力的大小通过测力传感器经计算机负荷区显示，变形是将压杆中部所贴应变片接入计算机中进行数据处理，将变形结果显示出来。在计算机上观察试验曲线和测得各临界载荷N ，输出的图形是负荷-变形曲线。 4 实验步骤 ⑴．选定实验组合方式，根据需要任选1—2种组合方式进行实验，在实验台上装夹好试件及配件。压杆稳定有四种情况：（1）两端铰支。（2）一端固定另一端自由。（3）一端固 定另一端铰支。（4）两端固定。它们的临界载荷的一般表达方式为cr F = 式中μ为长度因素，支承不同μ值不同（μ=1、2、2 1、0.7）。 ⑵．打开计算机，双击桌面上WinWdw-PCI 图标，进入实验操作系统，点击试验操作，点击位移控制，选用0.2-0.5mm ╱min 的速度，选用压向。 ⑶．点击开始即可缓慢加载试验，观察试验曲线，在实验过程中左上边显示压力载荷，
09工程力学答案第11章压杆稳定
11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1 d l == mm m；（2）矩形截面2400,1 h b l === m m；（3）16号工字钢，2 l=m l 解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力： （1）圆形截面，25,1 d l == mm m： 2 29 2 22 0.025 20010 6437.8 1 cr EI P l π π π ? ??? === N kN （2）矩形截面2400,1 h b l === m m 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳 2 0.040.02 min(,) 12 y z y I I I I ? ===，故： 2 29 2 22 0.040.02 20010 1252.7 1 cr EI P l π π ? ??? === N kN （3）16号工字钢，2 l=m 查表知：44 93.1,1130 y z I I == cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时4 min(,)93.1 y z y I I I I ===cm，故： 2298 22 2001093.110 459.4 2 cr EI P l ππ- ???? === N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。 解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的 P λ 2 2 99.35 P P P E π σλ λ =→=== （2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于 P λ可采用欧拉公式计算临界力。故