第三章 质点系统的运动规律
思考题
3-19 在地球表面附近将物体以足够速度发射出去，物体可能以稳定轨道环绕地球运行，这就是所谓的“人造地球卫星”。试估算物体能够环绕地球所需的最小发射速度（第一宇宙速度）。
分析：将地球与物体看成一个封闭系统，系统不受外力，机械能守恒。 答：物体被抛出后以稳定的轨道环绕地球运动，那么物体所受到的重力提供物体
环绕地球运动的向心力：2
v mg m R =. 此时，系统的机械能为：212mgR mv +
初始时刻（物体被发射时）系统的机械能为：201
2
mgR mv + （R 为地球半径）
所以，07.9/v v m s =≈ （第一宇宙速度）
3-20 无风天气放烟花时，烟花质心的运动轨道如何？若将全部烟花微粒看作一组初速度相同，抛射监不同的斜抛运动，试证明在任何时刻所有烟花微粒都分布在同一球面上。
分析：这是一个质点组的问题。将所有的烟花颗粒看成一个质点组系统，在无风
天气，这个质点组系统爆炸之后只受到重力的作用，没有其他外力作用。本题采用质心系分析起来比较方便。
答：无风天气放烟花，说明烟花爆炸后除重力以外，不再受其它外力的作用。那么烟花爆炸
时，有一个爆炸力，使烟花产生一个向斜上方的运动速度，其后只受重力的作用，所以烟花质心的运动轨道为一抛物线，烟花质心作的是斜抛运动。
**此处应为初速率相同。我们选取烟花爆炸点作为坐标原点，建立直角坐标系。假设初速率为v 0,它与水平面(XOY)的夹角为α，与XOZ 平面的夹角为β。当抛射角不同时，角度α与β不同。在直角坐标系中的初始速度分量分别为：
α
βαβαsin sin cos cos cos 000000v v v v v v z y x === 各个烟花微粒在水平方向（x 和y 方向）不受力，作匀速直线运动，在竖直方向受重力，作竖直上（或下）抛运动（即匀减速直线运动）。烟花爆炸t 时间后，位移分别为：
2
02000002
1
sin 21sin cos cos cos gt t v gt t v z t v t v y t v t v x z y x -=-=====αβαβα
202
222)()2
1( x t v gt z y =+
++∴轨迹方程：
所以，在任何时刻，烟花微粒全部分布在一个以)2
1-
0, ,0(2
gt 为中心，半径为t v 0的球面上。
3-21 参见例3.1 若记m1，m2组成的系统的质心与m 1和m 2的距离分别为1l 和2l ，证明1122m l m l =，并试说明此式与参考系选择无关。
分析：本题已知一质点组系统，求质心。
答：如右图所示（蓝色位物体，黄色位质心），任意选择一个参照系，并建立坐标系 根据质心的定义，有
2
12
2110m m r m r m r ++=
于是，22110201r m r m r m r m
+=+
)()(011202r r m r r m -=-
根据右图可知，011r r l -=，202r r l
-= 所以，1122l m l m =
3-22 参照第二章习题2-25，试由质心的位矢、速度和加速度的定义给出：任一和质量分布有关的物理量B 对于给定质点系统的平均值的定义（分为质量分立和质量连续两种情况讨论）。
分析：根据质心定义列式子即可。
答： 对于质量分立的情况：∑∑=
??i
i
i
i i m
m B m B )
(
对于质量连续的情况：??=??dm
dm
m B B )(
3-23 将一个钢笔帽立于一张纸条上，试试看如何抽取桌面上的纸条能使钢笔帽保持静止，不致倒下。用动量定理解释其中的原因。
分析：动量定理即动量的增量等于冲量，而冲量与作用力之间有直接关系:冲量
等于力与力的作用时间的乘积。对于本题，力的作用时间越短，其动量的增量越小，那么钢笔帽越不容易倒下。 答：非常快速的抽取纸条时，可以使钢笔帽保持静止，不致倒下。
根据动量定理，动量的增量等于合外力的冲量。而冲量是力的时间积累结果，也就是说，冲量是力与力的作用时间的乘积，那么在相同大小的力的作用下，作用
时间越短，冲量越小。冲量越小，动量的增量就越小；动量的增量小，说明钢笔帽没有获得足够大的初速度，那么它就不至于倒下去。
3-24 一根绳的上端固定，下端系一重物m ，重物的下端系一根同样的绳， 如题3.24图所示。如果极其缓慢地往下拉下端的绳，则上面的绳被拉断；如果是突然用力往下拉下端的绳，则下面的绳将会先断。试解释这一现象。
分析：用隔离体法分析两条绳子的受力情况。
答：当用力拉下面的绳时，下面的绳只受到拉力F 的作用，而上端的绳受到的力为拉力与重物的重力的合力，即：F+mg
当及其缓慢的拉下端的绳子时，上端绳子受到的拉力比下端绳子受到的力大，所以上端的绳子先断；而当突然用力拉下端的绳子时，由于力的作用时间非常短，在拉力还没有来得及传递到上端绳子上的时候，下端的绳子已经被拉断了。所以，突然用力拉绳子时，下端的绳子先断。
3-25 火箭能够在真空中被加速吗？此时火箭的推力是指什么力？
分析：实际上也是受力分析的问题，不过本题中向火箭施加力的并不仅仅是空气，
燃料燃烧也会像火箭施加力的作用。
答：火箭当然可以在真空中被加速，因为火箭被加速的推力并不是空气给与它的，而是火箭自身携带的燃料燃烧并且喷出火箭主体，燃料向后喷出，从而给火箭主体一个反推力，因此火箭会产生一个向前的加速度。
3-26 对于可变质量系统，是否可用方程F 外=dv m
dt
来描述；又是否用方程F 外=
dmv dt 来描述，为什么？
分析：根据牛顿第二定律，施加在物体上的力使产生加速度：力等于质量与加速
度的乘积。但是这里的力士施加在某一个质量不变的物体上的。所以对于变质量系统，应该应用动量定理，即动量的变化量等于冲量。而冲量是力的时间积累效果。
答：不可以用dt
v
d M 外F 来描述,因为是可变质量系统，也就是说质量会随时间变化。
所以，
F
对变质量系统，应该用方程)v M (dt
d
外F 来描述
3-27 试试看如何能将一细长铁杆（例如一把细长状不锈钢饭勺）的中间部分扭成麻花状，并用力矩概念解释其中的原因。
分析：若要将杆扭曲，需要施加一力矩而不是单纯的力。力矩是力与作用距离的乘积。所以要想得到较大的力矩，除需要大的力之外，还需要大的作用距离。
答：由于细长铁杆的横截面积很小，直接扭动不能获得很大的力矩。如图a 所示，直接扭动时，其作用距离即力臂仅为铁杆横截面积的半径。力矩等于力乘以力臂，力臂很小，力矩也就不会很大，那么就不可能达到扭转的目的。
如果我们改变力的方向，则同时改变了力的作用距离，如图
力矩也会大大增加。细铁杆很容易被扭曲。
用如图b 所示的力将杆扭成如图c 铁杆，直至铁杆再次展开。此时，在杆的中间有一个“结”，如图d 所示。
如此反复操作，即可将细铁杆扭成麻花状。
3-28 一对大小相等、方向相反的力对某参考点产生的力矩一定
为零吗？举例说明之。
分析：本题考察力矩的概念。构成力矩，需要有两个要素：一是力；二是力的作
用距离，这二者缺一不可。
答：不一定。如果这对力作用在同一点上，那么它们对任一参考点产生的力矩均为零。如果这对力的作用点不同，那么它们对某一参考点产生的力矩不一定为零。由于力矩是力与力臂的乘积，只有力的大小相等和方向相反还不能说明力矩也是大小相等方向相反。
3-29 直升机是靠什么力停止在空中的？它为什么要用很大的螺旋桨？直升机尾端的小的辅助螺旋桨又起到什么作用？
分析：仍然是受力分析得问题。
答：燃料燃烧驱动螺旋桨旋转，形成气流，飞机给气流一个向下的力，那么反之，气流就会给飞机一个向上的反冲力--浮力，使飞机停在空中。
大螺旋桨使气流顺利通过，产生升力。如果螺旋桨很小，飞机就会受到局部的力，不容易保持平衡。
发动机带动大螺旋桨高速旋转，即系统内力使得螺旋桨产生了一个对直升机质心的很大的角动量。由于内力不改变系统的角动量（或者由于系统不受外力，因此系统的总角动量不变），因此，该内力势必使机身产生一个相反方向的角动量，它将导致机身绕质心转
动，则直升机无法保持稳定。如果在直升机尾部装有辅助螺旋桨，它的转动将平衡大螺旋桨转动产生的角动量，保持机身的稳定。所以小螺旋桨的作用是为了使飞机保持平衡。
3-30 通过船舱一个不大的洞进一股水，一个人想用木板堵住洞，单无力克服水流的 力量，可是，在另一个人的帮助下将木板堵上了，这时，只原来的一个人便能推住木板，为什么？
分析：本题实际上是要分析流体在不同情况下（船上的洞堵住和未堵住时）的压
力。流体的压力可用伯努力方程来分析。
答：根据伯努利方程，常量=+
+2
2
1v gh p ρρ 当船上的洞未被堵住时，此处的水与空气接触，压力为大气压p 0，假设此时水的速度为0v 当船上的洞被堵住后，水不再与空气接触，这时船洞处水的压力(p )就是与同一液面高度处压力相同，大于水面大气压，假设此时水的速度为v 。
这里船的高度不变，所以在船上洞被堵住前后h 相同。所以，0v v >
而堵住速度快的水流（使水的速度减小到0）比堵住速度慢的水流需要的力要大（同样时间内要将动量大的水堵住需要的冲量大，力就大），所以，开始洞未堵住时，一个人的力量不够，而当洞堵住后，一个人的力量就可以按住木板。
3-31 只有外力才能改变物体质心的运动状态，为什么制动及对车轮所时的内力能使车停下
来？
分析：本题是内力和外力的区别问题。题目中有一个概念的模糊，就是使车停下
来的力是地面给它的摩擦力，是外力，而不是制动机对车轮所施加的内力。
答：只有外力才能改变物体质心的运动，这句话是对的。但是制动机对车轮施加的内力使车停下来这句话是错误的。使车停下来的是地面的摩擦力，而非制动力。假设车在一个无限光滑，没有摩擦力的平面上运动，无论制动力多大，车都不会停下来。摩擦力越大，车停的越快。
3-32 在质心参考系中角动量定理和动能定理具有和惯性系相同的形式，这是不是说明质心
系一定是惯性系呢？若设想人站在某质心系内部，他可以通过什么力学实验来判定该系是否为惯性系，举例说明之。
分析：本题是质心系和惯性系的关系问题。虽然质心系中角动量定理和动能定理
具有和惯性系相同的形式，但是质心系不一定是惯性系。判断一个参考系是否为惯性系，要根据其定义，即看此参照系中不受力的物体是否有加速度，来判定。
答：质心系不一定是惯性系。因为我们在推导角动量定理和动能定理得时候，选择的质心系具有普遍性，我们当时并未用到质心系是惯性系这一条件。 质心系内部的人如果想判断这个参照系是否为惯性系，他只需要看这个参照系中不受力的物体是否有加速度即可。例如，我们取一列火车的车厢作为参照系，取火车车厢的质心处作为
坐标原点，建立坐标系，我们就可以认为这样一个参照系是质心参照系。那么我们只需要站在火车车厢中，看车厢内部受理的小球是否有加速度，就可以知道这个参照系是否为惯性系。如果不受力的小球处于静止或匀速直线运动状态不变，那么此参照系为惯性系。如果小球的运动状态发生了改变，有加速度，那么说明这个质心系是一个非惯性系。不管质心系是否是惯性系，角动量定理和动能定理在质心系中均成立。
3-33 有些矢量是相对于原点确定的，而有些矢量与原点的选择无关，说明下列各矢量：位
矢、位移、速度、动量、力、力矩、角动量、角速度，属于这两类中的那一种？
分析：对于一些绝对量，其选区与位置有关，则与原点的选择有关；而对一些量，
是变化量，则它们的选取与位置无关。
量，动量是速度和质量的函数，角速度也是一种速度，是角为一的变化量，所以他们都与原点的选取无关，但是他们与参照系的选区有关。而力是一种相互作用，它与坐标原点及参考系的选择都没有关系。
3-34 若不计原子间举例的改变，求双原子分子（如氢原子）的自由度；以水分子为例（参见本章习题3-2），求多原子分子的自由度。
分析：求自由度的问题。
答：不计原子间距离的改变，即没有振动自由度，任何分子都有3个平动自由度，在x 、y 、z 三个方向上。
双原子分子，有两个原子，有2个转动自由度，所以总共有5个自由度。
多原子分子，有很多个原子，但是无论有多少个原子，其转动自由度最多只有3个，再加3个平动自由度，总共有6个自由度。
习题
3-1 一条均匀的,深长量忽略不记的绳子,质量为m,长度为? ,一端栓在转动轴
上，并以匀角速率ω在一光滑水平面内旋转，问转动轴为r 处的绳子中张力是多少？
解: 整条绳在光滑水平面内作圆周运动，绳上 的每一小段（质元）都作圆周运动，如图。
r d r l
m dT r dm dT T T 2 2)()(ωω=-∴=+- 积分得：
r
o
dT
T
T+dT
)
22(221 0
2r l m l
T T r
l
rdr l m dT -=∴=
-?
?
ωω 3-2一个水分子(H 2O)由一个氧原子（m o =30.2 ? 10-24
千克）和两个氢原子(m H =1.68
? 10-24千克 )组成，氧原子与氢原子的中心距离均为2.76埃(1埃= 10 -10米)，氧原子中心与两个氢原子中心的连线夹角为105o ，试求水分子的质心位置（如图所示）。
解: 以O 为坐标原点，如图:
y c =0
)
(101077.124
10)268.12.30(2
105cos 101076.2241068.12m X c x -=-??+?-??-??=
3-3一长为l 的细杆，若其密度按 0x
l
ρρ=变化，其中x 是从杆的一端算起的距离，ρ0为一常量。求它的质心位置。
解: 如右图所示建立坐标系 根据质心定义有：
l l xdx l dx x dx l l
x dx
l
l x
x l dx l
dx
x M
xdm c x 3
2002
0000
00===
==
?
?
?
?
??
?ρρρρ
3-4 在光滑的水平冰面上, 静放着质量为M 的大平板车, 车上站着一个质量为
m 的人，若人在车上走了l 后而停止，那么平板车相对地走了多远.
解: 水平方向合外力为零, 根据质心运动定理, 有: a c =0 初始时刻: Vc=0 ，所以 △xc=0 质心位置：
O
X
l
m
M mx Mx c x ++=
2
1初始 m
M x x m x x M c x +?++?+=
)
22()11(终了 由相对运动可知 △x1+ l =△x2 由△xc=0，得： xc 初始=xc 终了
l M m m
+=?∴1x
3-5两个小球用一细杆连结起来，它们静止于一无摩擦的水平面上，m 1=4.0千
克，m 2=2.0千克，第三个小球的质量为0.5千克，它以 i v ?
20= (米/秒)
趋近这系统，并与2千克的小球相撞，如果0.5千克的小球以 j f v ?
跳开
(v f =1.0米/秒)，问这二小球系统的质心速度如何？
解: m 1和m 2为子系统，杆中张力为内力， m 1与m 2 碰撞前后动量守恒，有：
')21(0c v m m f v m v m ++=
)1.(12161)24/()12()
21/()0('--=+-=+-=s m j i j i m m m f v m v m c v
( Vc / 是子系统质心速度）
3-6一条质量为m ，长为l 的细绳，拉直后平放在光滑的桌面上，让其一端略沿
桌面垂下，则细绳会顺其滑下，求细绳在滑下过程中的速率v 与垂下部分绳长的关系。
解: 取桌面所在的平面为零势能面,
单位长度绳的质量为m/l , 当绳 的下垂部分长为x 时, 其质量为 xm/l , 于是由机械能守恒, 可得:
)2
1(2210x g l m x mv -+= 得,
x l g
v =
m
3-7 在地面上竖直向上发射火箭，已知火箭的初始质量 M0，喷气相对于火箭主
体的速度为u ，不计空气阻力，求使火箭刚能离开地面的最低喷气流量qm 应为多大？
解: 设火箭在地面发射时只受引力M 0g ， 其它各量如图所示（竖直向上为 x 轴
正向），由动量定理：
dt g M v M dv v dM M u v dm ?-=-+++-00))(0()( 略去二阶无穷小量d M dv ，dM dm -=
dt g M dv M u dm ?-=+-00
dt d M g M dt dm u v 00+=∴
0≥dt
dv g u
M dt dm m q 0
≥=∴
3-8 有一个6.0千克的质点，位矢为r =(3t2-6t)i-4t3j+(3t+2)k （米） 试求 （1）作用在这质点上的力；
（2）作用在质点上的力矩（对原点）； （3）这质点的动量和角动； （4）验证 和
解: k )t (j t i t)t (r 233
4623+---=
k j t i )t (dt r d 32
1266 v ---==∴
j t i dt
v d a 246-==
(1) j
t i j t i (a m F
14436) 2466-=-== (2) F
r M
?=
v
M t
x
dt
t +P dt
d F =L
dt
d M =
k t t j t i t t k
t t t t j t i t t t
t t t t k j i ?)28643288(?)72108(?)2882432(?)]34(36)623(144[?)23(36?)23(1440
14436
2334623???+-++++=-?---++++=-+--=
(3) k j t i (t v m P 182
72)136 +--==
p
r v m r L ?=?=
k
t t j t t i t t k t t t t t j t t t t i
t t t t t t t t
t k j
i
L ?)3288472(?)7272254(?)1(2144?)]3636(34)623(272[?)]623(18)23)(1(36[?)]23(272)34(18[18
2
72)1(36233
4623???+-+-+++=-+--+--+-+++-=--+--=
(4) F j t i k j t i t dt
d
dt P d
=-=??
????+--=
14436 18272)1(36 M
k t t j t i t t dt L d
=-++++=)3(2 288)23(36)23(144
3-9 两质点的质量分别为m 1=4.0千克, m 2=6.0千克，位矢分别为j r ?0.31= 米，
i r ?0.32= 米。它们的速度分别为i v ?0.21= 米/秒，j v ?0.32= 米/秒。
(1) 试求这系统相对于O 和相对于质心的总角动量，并验证它们之间的关系； (2) 求这系统相对于O 和相对于质心的动能并验证它们之间的关系。
解: (1) j r ?
0.31= i r ?0.32=
i i v m
123411=?=
j j v m
183622=?=
1
m 2
)12(48184832
2110-??=?+?=?+?=∴s m kg k j i i j v m r v m r L
)
21(2
121)21(12 12v v m m m m r r v r L -+?-=?=μ内 )12( 4.14-??=s m kg k L 内
i j i j c r
51256644634+=+?+?=
j
i j i c v
595464188+=++=
)12(6.33-??=?=s m kg k c v M c r L 外
)12( 480-??=+=s m kg k L L L 内外
(2)
)(352221
11210J v m v m k E =+=
)(4.192
)5954)(46(21221J j i c v M k E =++== 平
)
(6.152)21(2
12121212v 21J v v m m m m k E =-+==
μ内 ∴
）（内平J k E k E k E 350=+=
3-10 在中间有一光滑小孔的水平光滑桌面上放置着一个用绳子联结的质量为
4.0千克的物体，绳的另一端穿过小孔下垂且用手握住，开始时，物体以半径为0.5米，速率为4.0米/秒在桌面上作匀速圆周运动，然后，将手极其缓慢地向下移动，直至运动半径变为0.1米 (1) 求这时物体的速度，
(2) 在这一过程中，手的拉力作功多少？ (3) 写出拉力F 与角动量L ，质量m 以及
半径 r 的关系。
解: (1) 绳拉力为有心力，物体的角动量守恒 R m v mv R =00
(m /s ) 2041
.05
.00R 0R v =?==∴v (2)
在物体运动中， 不垂直于 , 拉力作功。等于动能的增量。
)1220(20212021221 -=-=?=R
R mv mv mv k E W (3) 缓慢地拉绳，物体做近似圆周运动，得：
3
2)(2222mr rmv mr r mv m r r v m F =
?=≈
32
mr L F =
∴
3-11 一个人从10米深的井中提水,起始桶内装有25千克的水.由于水桶漏水,没
升高1.0米要漏区0.5千克的水,求水桶匀速提升到井台上时这个人所作的功.
解: 选地面为参照系。
因为是匀速提升，所以提升时用常力：mg y F = 又因变质量：y m m η-=0 米/5.0kg =η
?
?-=?=∴h
gdy y m h y d F W 0
)0(0η )(220522
1
J h g gh o m =-=η
3-12 一个质量为5.0千克的环m 在一固定的光滑的金属环ABC 上滑动，ABC
是半径为1.2米的一个半圆的弧，作用在这小环m 上的两个分力 F 和 F ’的大小分别为40牛顿和150牛顿，力F 始终保持与圆相切，力F ’的作用方向恒定，始终与直径AOC 构成30度角，当这物体从A 运动到B 和从A 运动到C 时，如图所示，试计算作用在这物体上的这两个分力分别所做的
m
F r d
总功。
解: 对于力
??
==?=Fl Fdl r d F F W
A 到
B 的过程中，
)(4.752
1
J r F F W =?=π A 到C 的过程中，
)(151J r F F W =?=π
对于力 ?
??=??=?=)''c o s (''''r F
r F r F r d F F W
A 到
B 的过程中，
)(9.65)4530cos(2''J o
o r F F W =+=
A 到C 的过程中，
)(76.31130cos 2'J o
r F F W =='
3-13一橡皮绳原长l 0=20cm,上端固定在O 点,当下端拴一质量为 m =50g 的物体时,
其长度为l 1=22cm 。若使这一物体在水平面内做匀速圆周运动,当橡皮绳与竖直方向成60度角时, 求：(1) 橡皮绳长度l ; (2) 物体的动能 ; (3) 橡皮绳的弹性势能。
解: 由题意, )01(l l k mg -=
)2(5.24)01/(-?=-=∴m N l l mg k
物体做圆周运动 (1
) c o s mg T =θ (2) s i n
2
2s i n θθl v m R v m T ==
B
F
F '
(3) )0(l l k T -=
联立解得: 0l k T l += (1) cm l l l l 240cos 01=+-=θ
(2)
(1)
cos mg T =θ (2)
sin 22sin θ
θl v m R v m T ==
J l mg
l T mv 2108.82sin cos 22sin 21221-?===θθ
θ
J
mv k E 2108.822
1 -?==∴
(3) J l l k p E 21096.12)0(2
1-?=-= 3-14 质量分别为m 1和m 2的两个球沿一条直线分别以速度v 10和v 20运动，求它
们发生完全弹性的对心碰撞后的速度，并就两个球质量相等和两个球质量相差甚远两种情况作出讨论。
解: 完全弹性的对心碰撞，即碰撞前后速度均在联线上。碰前速度为V 10， V 20 碰
后的速度为v 1 ,v 2 。则系统动量守恒、动能守恒:
2v 21v 120v 210v 1 m m m m +=+
22v 22121v 121220v 221210v 121m m m m +=+
2
120
v 2210v )21(1v m m m m m ++-=
∴
2
120v )12(10v 122v m m m m m +-+=
讨论：
(1) 时21m m = 20v 1v
= 10v 2v
=
(2) 时21m m << 2
20
v 2210v 21v m m m
+-= 2
20v 210v 122v m m m
+=
3-15 如图所示,质量为m 的小球以速度 v 0 射向靶 m ’ 的弹簧上，设弹簧的弹性
系数为k , 靶m ’ 原来静止在光滑的水平面上,求弹簧被压 缩的最大位移。
解: 最大压缩时,小球与靶有共同的速度v
v m m mv ),(0+=
在此过程中,内力(弹力)做功
202
12),(21221mv v m m kx -+=- 联立解得:
21])
,(, [
v m m k mm x +=
3-16 一个盛饮水的大圆桶，横截面积S =0.060m 2，圆桶底部有一面积为
S 0=1.0?10-4 m 2水龙头。打开水龙头，圆桶中的水流完需3分钟。问：原来桶内水面到桶底的高度是多少？
解: 如图示坐标
在水箱任意处满足伯努利方程
2
0v 2
1002v 21ρρρρ++=++g p gx p 在出水口处各量标有0角码；任意时刻水面x 处也满足该方程： 0p p = 20ρv 2
1
2ρv 21ρgx =+
∴ 由于水的不可压缩性 d t 0v 0S S vd t =
gx
22v 20
S 2S 2v -=
/
gx
2v 20
S 20
S 2S =-∴ 20
S 2S x 20gS 2v -=∴
d x
d t v -=
dx dt 20S 2S x 20
gS 2dt v -=-=
∴ dx
x
20gS 220
S 2S dt --=∴ ?
?
--
=∴末初x x 2/1x dx
20
gS 220S 2S t
0dt h
20
gS 220
S 2S 2}x x {20gS 220S 2S 2t -=---=∴初末 米44.02)8
104103628106.19180(2)20S 2S 220
gS 2t (h =---?-??=-=∴
3-17 质量为m 的物体以初速度v 0从地面竖直向上发射. 若发射后物体只受地球
万有引力作用, 求物体所能上升的最大高度, 及逃逸地球的最小发射速度v.
解: 依题意作如图所示,设地球质量为M, 半径为R 。 物体最大高度为h 可由机械能守恒求得:
h R Mm G 0R Mm G 20mv 21+-=-
R 20
v GM 22R 20v h -=
∴ 逃逸的条件是机械能≥0, 最小发射速度v 应满足:
)s /km (8.9R
2GM
v 0R Mm G 2mv 21≈=∴=- 3-18 如图所示,绳的两端均系有两个物体,但右边的物体m 是用棉线系于盘上l
高处的盘架上,开始时系统是静止的,并且滑轮和绳的质量, 绳的伸长量以及滑轮轴处摩擦均忽略不计.若用火将棉线烧断 。 求: (1) 右边的物体m 在撞击底盘前一瞬时,系统的总动能; (2) 碰撞前后,系统的总动量(碰撞是完全非弹性的)和碰后速度。
解: (1) 从动能定理看, 因系统只有重力作功： (2m-m)g 位移S 1, 做功 mgs 1；
设右边物体下落 S 2, 与盘相碰, 此过程中做功 mgs 2 显然s1+s2=l 故:
k E k E m g l 2
m g s 1gs )m m 2(=?==+- (2) 动量是矢量, 以向下为正, 在碰撞瞬时
v v v 2m 1m 1m
20p +-=
系统对轴o 的力矩 ： 碰撞后, 两边的速度相反, 质量相等,
mv 2R mv 2R 2Rm 1Rm 1m
2R 0v v v +=-+=∴
碰后瞬时 0v = 碰前瞬时 1v 32v =
又碰前瞬时 v
v
v
21m 62
2
m 2
121)m 3(2
1
m g l =+=
21)gl 61(m 40p 21)gl 61(1v
==∴
3-24 如图所示装置，所有的表面都是光滑的，滑轮的轴处无摩擦，滑轮和绳的
质量可忽略不计，且m1=m2=m3=m ，问水平拉力F 多大时才可以维持不升不降？
解: 根据题意：33m g T =
M =0
P =
21a a = 222m a T = 32T T = 3
122
m a a a g m ∴=== 根据牛顿第二定律，可得到 水平拉力 123()3 F m m m a mg =++=
习 题 1 1.1选择题 (1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r 的端点处，其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d | | (D) 22)()(dt dy dt dx [答案：D] (2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2 ，瞬时加速度 2/2s m a ，则一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案：D] (3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为 (A) t R t R 2, 2 (B) t R 2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R [答案：B] 1.2填空题 (1) 一质点，以1 s m 的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小是 ；经过的路程是 。 [答案： 10m ； 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初
始时刻质点的速度v 0为5m ·s -1 ，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。 [答案： 23m ·s -1 ] (3) 轮船在水上以相对于水的速度1V 航行，水流速度为2V ，一人相对于甲板以 速度3V 行走。如人相对于岸静止，则1V 、2V 和3V 的关系是 。 [答案： 0321 V V V ] 1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定： (1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。 解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。 1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为 t=3s 时的速度和加速度分别为v =20m/s ，a =4m/s 2。因加速度为正所以是加速的。 1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零
习题八 8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷 2 220)3 3( π4130cos π412a q q a q '=?εε 解得 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图 题8-2图 8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示 ?? ? ?? ===220)sin 2(π41 sin cos θεθθl q F T mg T e 解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式2 04r q E πε= ，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?
解: 02 0π4r r q E ε= 仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电 荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f = 2 024d q πε,又有人 说，因为f =qE ,S q E 0ε=，所以f =S q 02 ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少? 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S q E 0ε= 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S q E 02ε= ，另一板受它的作用 力S q S q q f 02 022εε= =，这是两板间相互作用的电场力． 8-5 一电偶极子的电矩为l q p =，场点到偶极子中心O 点的距离为r ,矢量r 与l 的夹角为θ,(见题8-5图)，且l r >>．试证P 点的场强E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r 的分量θE 分别为 r E = 302cos r p πεθ, θ E =3 04sin r p πεθ 证: 如题8-5所示，将p 分解为与r 平行的分量θsin p 和垂直于r 的分量 θsin p ． ∵ l r >>
作业 1-1填空题 (1) 一质点，以1-?s m π的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大 小是 ；经过的路程 是 。 [答案： 10m ； 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间 的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻 质点的速度v 0为5m 2s -1，则当t 为3s 时， 质点的速度v= 。 [答案： 23m 2s -1 ] 1-2选择题 (1) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时 速度s m v /2=，瞬时加速度2/2s m a -=，则 一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案：D] (2) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运 动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其
平均速度大小和平均速率大小分别为 (A)t R t R ππ2,2 (B) t R π2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R π [答案：B] (3)一运动质点在某瞬时位于矢径) ,(y x r 的端点处，其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d || (D) 22)()(dt dy dt dx + [答案：D] 1-4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3） x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的 速度和加速度，并说明该时刻运动是加速 的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于
习题2 2.1 选择题 (1) 一质点作匀速率圆周运动时， (A)它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 (B)它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 (C)它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 (D)它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 [答案：C] (2) 质点系的内力可以改变 (A)系统的总质量。 (B)系统的总动量。 (C)系统的总动能。 (D)系统的总角动量。 [答案：C] (3) 对功的概念有以下几种说法： ①保守力作正功时，系统内相应的势能增加。 ②质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。 ③作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。 在上述说法中： (A)①、②是正确的。 (B)②、③是正确的。 (C)只有②是正确的。 (D)只有③是正确的。 [答案：C] 2.2填空题 (1) 某质点在力i x F )54(+=（SI ）的作用下沿x 轴作直线运动。在从x=0移动到x=10m 的过程中，力F 所做功为。 [答案：290J ] (2) 质量为m 的物体在水平面上作直线运动，当速度为v 时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动，经过距离s 后速度减为零。则物体加速度的大小为，物体与水平面间的摩擦系数为。 [答案：2 2 ;22v v s gs ] (3) 在光滑的水平面内有两个物体A 和B ，已知m A =2m B 。（a ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为；（b ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全非弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为。 [答案：2; 3 k k E E ] 2.3 在下列情况下，说明质点所受合力的特点： （1）质点作匀速直线运动； （2）质点作匀减速直线运动； （3）质点作匀速圆周运动； （4）质点作匀加速圆周运动。 解：（1）所受合力为零；
习题八 8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q'为负电荷 2 2 2 0) 3 3 ( π4 1 30 cos π4 1 2 a q q a q' = ? ε ε 解得q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图题8-2图 8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取? Rd dl= 题8-7图 ? λ λd d d R l q= =，它在O点产生场强大小为
2 0π4d d R R E ε? λ= 方向沿半径向外 则 ??ελ ?d sin π4sin d d 0R E E x = = ??ελ ?πd cos π4)cos(d d 0R E E y -= -= 积分R R E x 000 π2d sin π4ελ ??ελπ == ? 0d cos π400 =-=? ??ελ π R E y ∴ R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向． 8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强． 解: 高斯定理0 d ε∑? = ?q S E s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2= 则 rl E S E S π2d =?? 对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ ∴ r E 0π2ελ = 沿径向向外
1 习题解答 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ? 有无不同? t d d r 和 t d d r 有无不同? t d d v 和 t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1） r ?是位移的模，? r 是位矢的模的增量，即r ?1 2r r -=，1 2r r r -=?； （2） t d d r 是速度的模，即 t d d r = =v t s d d .t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中t r d d 就是速度径向上的分量， ∴ t r t d d d d 与 r 不同如题1-1图所示 . 题1-1图 (3) t d d v 表示加速度的模，即t v a d d = ， t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢） ，所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中dt dv 就是加速度的切向分量. (t t r d ?d d ?d τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y = y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r ＝2 2y x +，然后根据v = t r d d ，及a ＝ 2 2d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v = 2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 及a = 2 22222d d d d ??? ? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r +=， j t y i t x t r a j t y i t x t r v 222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为
习题11.1选择题(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径的端点处，其速度大小为),(y x r (A) (B)dt dr dt r d (C) (D) dt r d || 22)()(dt dy dt dx +[答案：D](2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度，瞬时加速度，则s m v /2=2/2s m a -=一秒钟后质点的速度(A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。[答案：D](3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为(A) (B) t R t R ππ2,2t R π2,0(C) (D) 0,00,2t R π[答案：B]1.2填空题(1) 一质点，以的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小1 -?s m π是 ；经过的路程是 。 [答案： 10m ； 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度v 0为5m·s -1，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。[答案： 23m·s -1 ](3) 轮船在水上以相对于水的速度航行，水流速度为，一人相对于甲板以速度行走。 1V 2V 3V 如人相对于岸静止，则、和的关系是 。1V 2V 3V [答案： ]0321=++V V V 试卷相力保
1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：(1) 物体的大小和形状；(2) 物体的内部结构；(3) 所研究问题的性质。解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？（1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ）解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。其速度和加速度表达式分别为22484dx v t dt d x a dt ==+==t=3s 时的速度和加速度分别为v =20m/s ，a =4m/s 2。因加速度为正所以是加速的。1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；(2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零；(3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；(4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。1.6 ｜｜与 有无不同?和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?r ?r ?t d d r d d r t t d d v t d d v 试举例说明．解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，；r ??r r ?12r r -=12r r r -=?（2）是速度的模，即.t d d r t d d r ==v t s d d 只是速度在径向上的分量.t r d d ∵有（式中叫做单位矢），则r r ?r =r ?t ?r ?t r t d d d d d d r r r +=式中就是速度在径向上的分量，t r d d
习题1 1.1选择题 (1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r 的端点处，其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d | | (D) 22)()(dt dy dt dx + [答案：D] (2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2=，瞬时加速度2 /2s m a -=，则 一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案：D] (3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为 (A) t R t R ππ2, 2 (B) t R π2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R π [答案：B] 1.2填空题 (1) 一质点，以1 -?s m π的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小是 ；经过的路程是 。 [答案： 10m ； 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的 速度v 0为5m ·s -1 ，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。 [答案： 23m ·s -1 ] (3) 轮船在水上以相对于水的速度1V 航行，水流速度为2V ，一人相对于甲板以速度3V 行走。如人相对于岸静止，则1V 、2V 和3V 的关系是 。 [答案： 0321=++V V V ]
1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定： (1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。 解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。 1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2 -4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为 2 2484 dx v t dt d x a dt = =+== t=3s 时的速度和加速度分别为v =20m/s ，a =4m/s 2 。因加速度为正所以是加速的。 1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？ (1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。 解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零； (2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零； (3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零； (4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。 1.6 ｜r ?｜与r ? 有无不同?t d d r 和d d r t 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即r ?12r r -=，12r r r -=?； （2） t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中 t r d d 就是速度在径向上的分量，
大学物理第三版下册 答案
习题八 8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q'为负电荷 2 2 2 0) 3 3 ( π4 1 30 cos π4 1 2 a q q a q' = ? ε ε 解得q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图题8-2图 8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示 ?? ? ? ? = = = 2 2 ) sin 2( π4 1 sin cos θ ε θ θ l q F T mg T e 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢103
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢103 解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式2 04r q E πε= ，当被考察的场点距源点电荷 很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解? 解: 02 0π4r r q E ε= 仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电 荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说 f = 2 02 4d q πε,又有人说，因为f =qE ,S q E 0ε=，所以f =S q 02 ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少? 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S q E 0ε= 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S q E 02ε= ，另一板受它的作 用力S q S q q f 02 022εε= =，这是两板间相互作用的电场力．
大学物理学习题答案 习题一答案 习题一 1.1 简要回答下列问题： (1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？ (2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？ (3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？ (4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？ (5) r ?v 和r ?v 有区别吗？v ?v 和v ?v 有区别吗？0dv dt =v 和0d v dt =v 各代表什么运动？ (6) 设质点的运动方程为：()x x t = ，()y y t =，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r = dr v dt = 及 22d r a dt = 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v = 及 a = 你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？ (7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性 的？ (8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度 也一定为零.”这种说法正确吗？ (9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？ (10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？ 1.2 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为224t t x -=，式中t x ,分别以m 、s 为单位，试计算：(1)在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度；(2)s 1末到s 3末的平均加速度；(3)s 3末的瞬时加速度。 解： (1) 最初s 2内的位移为为： (2)(0)000(/)x x x m s ?=-=-= 最初s 2内的平均速度为： 0(/)2 ave x v m s t ?= ==?
习题1 1.1选择题 (1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r 的端点处，其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d | | (D) 22)()(dt dy dt dx [答案：D] (2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2 ，瞬时加速度2 /2s m a ，则一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案：D] (3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为 (A) t R t R 2, 2 (B) t R 2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R [答案：B] 1.2填空题 (1) 一质点，以1 s m 的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小 是 ；经过的路程是 。 [答案： 10m ； 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度v 0为5m·s -1，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。 [答案： 23m·s -1 ] (3) 轮船在水上以相对于水的速度1V 航行，水流速度为2V ，一人相对于甲板以速度3V 行走。如人相对于岸静止，则1V 、2V 和3V 的关系是 。 [答案： 0321 V V V ]
1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定： (1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。 解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。 1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为 2 2484 dx v t dt d x a dt t=3s 时的速度和加速度分别为v =20m/s ，a =4m/s 2。因加速度为正所以是加速的。 1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？ (1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。 解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零； (2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零； (3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零； (4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。 1.6 ｜r ｜与r 有无不同?t d d r 和d d r t 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1）r 是位移的模， r 是位矢的模的增量，即r 12r r ，12r r r ； （2） t d d r 是速度的模，即t d d r v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r （式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r 式中 t r d d 就是速度在径向上的分量，
习题3 3.1选择题 (1) 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转 动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台 中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 (A)02ωmR J J + (B) 02)(ωR m J J + (C) 02ωmR J (D) 0ω [答案： (A)] (2) 如题3.1（2）图所示，一光滑的内表面半径为10cm 的半球形碗，以匀角 速度ω绕其对称轴OC 旋转，已知放在碗内表面上的一个小球P 相对于碗静止， 其位置高于碗底4cm ，则由此可推知碗旋转的角速度约为 (A)13rad/s (B)17rad/s (C)10rad/s (D)18rad/s (a) (b) 题3.1（2）图 [答案： (A)] (3)如3.1(3)图所示，有一小块物体，置于光滑的水平桌面上，有一绳其一端 连结此物体，；另一端穿过桌面的小孔，该物体原以角速度w 在距孔为R 的圆周 上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体 （A ）动能不变，动量改变。 （B ）动量不变，动能改变。 （C ）角动量不变，动量不变。 （D ）角动量改变，动量改变。 （E ）角动量不变，动能、动量都改变。 [答案： (E)] 3.2填空题 (1) 半径为30cm 的飞轮，从静止开始以0.5rad ·s -2的匀角加速转动，则飞轮边缘 上一点在飞轮转过240?时的切向加速度a τ= ，法向加速度
a n= 。 [答案：0.15; 1.256] (2) 如题3.2（2）图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O转动，今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的守恒，原因是。木球被击中后棒和球升高的过程中，对木球、子弹、细棒、地球系统的守恒。 题3.2（2）图 [答案：对o轴的角动量守恒，因为在子弹击中木球过程中系统所受外力对o 轴的合外力矩为零，机械能守恒] (3) 两个质量分布均匀的圆盘A和B的密度分别为ρA和ρB (ρA>ρB)，且两圆盘的总质量和厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为J A 和J B，则有J A J B 。（填>、<或=） [答案： <] 3.3刚体平动的特点是什么？平动时刚体上的质元是否可以作曲线运动？ 解：刚体平动的特点是：在运动过程中，内部任意两质元间的连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置保持平行。平动时刚体上的质元可以作曲线运动。 3.4刚体定轴转动的特点是什么？刚体定轴转动时各质元的角速度、线速度、向心加速度、切向加速度是否相同？ 解：刚体定轴转动的特点是：轴上所有各点都保持不动，轴外所有各点都在作圆周运动，且在同一时间间隔内转过的角度都一样；刚体上各质元的角量相同，而各质元的线量大小与质元到转轴的距离成正比。因此各质元的角速度相同，而线速度、向心加速度、切向加速度不一定相同。 3.5刚体的转动惯量与哪些因素有关？请举例说明。 解：刚体的转动惯量与刚体的质量、质量的分布、转轴的位置等有关。如对过圆心且与盘面垂直的轴的转动惯量而言，形状大小完全相同的木质圆盘和铁质圆盘中铁质的要大一些，质量相同的木质圆盘和木质圆环则是木质圆环的转动惯量要大。
大学物理上册答案详解 习题解答 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ? 有无不同? t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即r ?12r r -=， 12r r r -=?； （2） t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中 t r d d 就是速度径向上的分量， ∴ t r t d d d d 与r 不同如题1-1图所示. 题1-1图 (3)t d d v 表示加速度的模，即t v a d d =，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中 dt dv 就是加速度的切向分量.
(t t r d ?d d ?d τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加 速度时，有人先求出r ＝2 2 y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝22d d t r 而求 得结果；又有人 v =2 2 d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 及a = 2 222 22d d d d ??? ? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标 系中，有j y i x r +=， j t y i t x t r a j t y i t x t r v 22 2222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为 2 222 22222 2 2 2d d d d d d d d ? ?? ? ??+???? ??=+=? ? ? ??+??? ??=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x 而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 22d d d d t r a t r v == 其二，可能是将22d d d d t r t r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明 t r d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，22d d t r 也不是加速
第三版物理 1．8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为 x =3t +5, y =21 t 2+3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式) 1．10 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -?，开始运动时，x ＝5 m v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置． 2.7 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为1m 的物体，另一边穿在质量为2m 的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a '下滑，求1m ，2m 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)． 2.9 质量为16 kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为x f ＝6 N ，y f ＝-7 N ，当t ＝0时，==y x 0，x v ＝-2 m ·s -1，y v ＝0．求 当t ＝2 s 时质点的 (1)位矢；(2)速度
. 学习帮 2.15 一颗子弹由枪口射出时速率为1 0s m -?v ，当子弹在枪筒内被加速 时，它所受的合力为 F =(bt a -)N(b a ,为常数)，其中t 以秒为单 位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全 长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 2.17 设N 67j i F -=合 ．(1) 当一质点从原点运动到m 1643k j i r ++-=时，求F 所作的功．(2)如果质点到r 处时需0.6s ， 试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg ，试求动能的变化． 2.23 质量为M 的大木块具有半径为R 的四分之一弧形槽，如题2.23 图所示．质量为m 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水 平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离 大木块时的速度． 5.7 质量为kg 10103-?的小球与轻弹簧组成的系统，按 )SI ()3 28cos(1.0ππ+=x 的规律作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动 能与势能相等? (3)s 52=t 与s 11=t 两个时刻的位相差； 6.8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为 y =A cos(Cx Bt -)，其中A ，B ，C 为正值恒量．求： (1)波的振幅、波速、频率、周期与波长； (2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程； (3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d 的两点的位相差． 6.9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为
大学物理学第三版修订版下册第章答案(赵近芳)
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
习题11 11.1选择题 (1）一圆形线圈在磁场中作下列运动时，那些情况会产生感应电流（） （A ）沿垂直磁场方向平移；（B ）以直径为轴转动，轴跟磁场垂直； （C ）沿平行磁场方向平移；（D ）以直径为轴转动，轴跟磁场平行。 [答案：B] (2)下列哪些矢量场为保守力场（） （A ） 静电场；（B ）稳恒磁场；（C ）感生电场；（D ）变化的磁场。 [答案：A] (3) 用线圈的自感系数 L 来表示载流线圈磁场能量的公式22 1LI W m =（） ( A )只适用于无限长密绕线管； ( B ) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺线环； ( C ) 只适用于单匝圆线圈； ( D )适用于自感系数L 一定的任意线圈。 [答案：D] (4)对于涡旋电场，下列说法不正确的是（）： （A ）涡旋电场对电荷有作用力； （B ）涡旋电场由变化的磁场产生； （C ）涡旋场由电荷激发； （D ）涡旋电场的电力线闭合的。 [答案：C] 11.2 填空题 (1)将金属圆环从磁极间沿与磁感应强度垂直的方向抽出时，圆环将受到 。 [答案：磁力] (2)产生动生电动势的非静电场力是 ，产生感生电动势的非静电场力是 ，激发感生电场的场源是 。 [答案：洛伦兹力，涡旋电场力，变化的磁场] (3)长为l 的金属直导线在垂直于均匀的平面内以角速度ω转动，如果转轴的位置在 ，这个导线上的电动势最大，数值为 ；如果转轴的位置在 ，整个导线上的电动势最小，数值为 。 [答案：端点，2 2 1l B ω；中点，0] 11.3一半径r =10cm 的圆形回路放在B =0.8T 的均匀磁场中．回路平面与B ? 垂直．当回路半 径以恒定速率 t r d d =80cm ·s -1 收缩时，求回路中感应电动势的大小． 解: 回路磁通 2 πr B BS m ==Φ
第1章 质点运动学 P21 1.8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为：x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计。⑴以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；⑵求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶ 计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。 解：（1）j t t i t r )432 1()53(2-+++=m ⑵ 1=t s,2=t s 时，j i r 5.081-= m ；2114r i j =+m ∴ 213 4.5r r r i j ?=-=+m ⑶0t =s 时，054r i j =-；4t =s 时，41716r i j =+ ∴ 140122035m s 404 r r r i j i j t --?+= ===+??-v ⑷ 1d 3(3)m s d r i t j t -==++?v ，则：437i j =+v 1s m -? (5) 0t =s 时，033i j =+v ；4t =s 时，437i j =+v 24041 m s 44 j a j t --?= ===??v v v (6) 2d 1 m s d a j t -==?v 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。 1.9 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为2 26a x =+，a 的单位为m/s 2， x 的单位为m 。质点在x =0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。 解：由d d d d d d d d x a t x t x ===v v v v 得：2 d d (26)d a x x x ==+v v 两边积分 210 d (26)d x x x =+? ?v v v 得：2322 250x x =++v ∴ 1m s -=?v 1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为θ=2+33t ，式中θ以弧度计，t 以秒计，求：⑴ t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度 的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解： t t t t 18d d ,9d d 2==== ωβθω ⑴ s 2=t 时，2 s m 362181-?=??==βτR a 2 222s m 1296)29(1-?=??==ωR a n ⑵ 当加速度方向与半径成ο45角时，有：tan 451n a a τ?== 即：βωR R =2 ，亦即t t 18)9(2 2=，解得：9 23= t 则角位移为：32 2323 2.67rad 9 t θ=+=+? = 1.13 一质点在半径为0.4m 的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为α=0.2 rad/s 2，求t ＝2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。 解：s 2=t 时，4.022.0=?== t αω 1s rad -? 则0.40.40.16R ω==?=v 1s m -? 064.0)4.0(4.022=?==ωR a n 2 s m -? 0.4 0.20.0a R τα==?=2s m -? 22222 s m 102.0)08.0()064.0(-?=+=+= τa a a n 与切向夹角arctan()0.06443n a a τ?==≈?