几何证明——中点模型(中级)
【知识要点】
1、中位线定理：如图，在ABC ?中，若AD BD =，AE CE =，则//DE BC 且1
2
DE BC =
。
2、中线倍长(倍长中线)： 如图（左图），在ABC ?中，D 为BC 中点，延长AD 到E 使AD DE =，连接BE ，则有：ADC ?≌EDB ?。 作用：转移线段和角。
注意：
①在实际运用中，与某个中点相连的线段，都可以将其看作“中线”，从而都可以考虑将它倍长（需要的话）。 ②如上右图，如果出现“两条平行线夹中点”的情形，一定会出现“X 全等”或“叉叉全等”或“8字型全等”， 有时这个“叉叉”需要我们自己画出来（辅助线）. 3、直角三角形斜边中线定理：
如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，D 为AB 中点，则有：1
2
CD AD BD AB ===
。
4、三线合一：
在ABC ?中:（1）AC BC =；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD BD =，（4）CD AB ⊥.
“知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。
A
请牢记：当你发现有某一条线同时具备了“垂线”、“角平分线”、“中线”三种功能当中的任意两种功能时，那么这条线就一定是某个等腰三角形的对称轴，换句话说，以这条线为对称轴必定有等腰三角形出现.
【经典例题】
例1、如图所示，已知D 为BC 中点，点A 在DE 上，且CE AB =，求证：CED BAD ∠=∠.
D
B
E
例2、如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且AC BE =，延长BE 交AC 于F ，求证：EF AF =。
B
例3、如图，在ABC ?中，AD 为A ∠的平分线，M 为BC 的中点，ME AD //， 求证：()AC AB CF BE +=
=2
1
。
B
C
例4、如图,已知ABC ?中，CE BD ,为高线，点M 是DE 的中点，点N 是BC 的中点.求证： DE MN ⊥。
M
B
C
A
例5、如图所示，在ABC ?中，AB AC >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若AD CF ⊥且交
AD 的延长线于F ，求证：)(2
1
AB AC MF -=。
B
例6、如图所示，在ABC ?中，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，AD ME ⊥且交AC 的延长线
于E ，CE CD 2=，求证：B ACB ∠=∠2。
B
【提升训练】
1、已知如图，ABC ?中，AD 是BC 边上的中线 ,求证：2
AC
AB AD +<
.
B
2、已知：如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EC EF ⊥交AB 于F 连结()AE AB FC >。求证：
ECF AEF ∠=∠.
F
D
A
3、已知如图，ABC ?中，D 是BC 边的中点，E 是AD 边的中点，连结BE 并延长交AC 于点F . 求证：AF FC 2=。
D
B
4、在梯形ABCD 中，BC AD //，BC AD AB +=，E 为CD 的中点，求证：BE AE ⊥。
B
5、已知：在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AF 为BAC ∠的平分线，交BD 于E ，BC 于F ． 求证：FC OE 2
1
=．
A
B
6、如图，ABC ?中，B ∠的平分线BE 与BC 边的中线AD 垂直，垂足为F ，且4==AD BE ，求ABC ?的三边长。
A
C
7、如图，在ABC ?中，5==AC AB ，6=BC ，点M 为BC 中点，AC MN ⊥于点N ，求MN 的长。
8、如图，已知ABC ?中，AD 是BAC ∠的平分线，AD 又是BC 边上的中线，求证AC AB =。
B
C
9、如图，已知ABC ?中，BC AC AB ,3,5==上的中线2=AD ,求BC 的长.
B
C
10、如图，在ABC ?中，D 是AB 的中点，CD AC ⊥，3
1
tan =∠BCD ，求A ∠的正切值.
A
B
11、已知：如图，ABC ?中，BC AB =，在AB 上取点D ，在AC 延长线上取点E ，连结DE 交BC 于点F ，若F 是DE 中点，求证：CE BD =．
B
12、如图，M 是ABC ?的边BC 的中点，AN 平分BAC ∠，AN BN ⊥于点N ，且10=AB ，15=BC ，
3=MN ，求ABC ?的周长。
C
13、如图，已知：ABC ?中,D A ,90ο
=∠是BC 的中点，DF DE ⊥。求证：2
22EF CF BE =+。
B
C
14、如图,已知ABC ?中，D 是BC 的中点，DF DE ⊥。求证：EF CF BE >+。
B
C
15、如图，D 是ABC ?中BC 边上的一点，且AB CD =，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ?的中线， 求证：AE AC 2=。
E
B
C
16、如图，已知等腰三角形ABC 中，BD AC AB A ,,90==∠ο
平分BD CE ABC ⊥∠,，垂足为点E ，
求证：CE BD 2=。
B
17、已知：如图，AD CD AC AB CAD BAD ⊥>∠=∠,,于点H D ,是BC 中点，
求证：()AC AB DH -=
2
1
。
C
A
B
18、如图，在正方形ABCD 中，F 是AB 中点，连接CF ，作CF DE ⊥交BC 于点E ，交CF 于点M ，求证：AD AM =。
F
19、已知：ABD ?和ACE ?都是直角三角形，点C 在AB 上，且ο
90=∠=∠ACE ABD ，如图，连接DE ，
设M 为DE 的中点，连接MC MB ,。求证：MC MB =。
D
E
20、如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD BD 2=，E 、F 、G 分别是OC 、
OD 、AB 的中点。求证：（1）AC BE ⊥（2）EF EG =.
B
21、请阅读下列材料：问题：如图，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点E B A ,,在同一条直线上，P 线段DF 的中点，连结PC PG ,．若ο
60==∠BEF ABC ,探究PG 与PC 的位置关系．
D
E
22、如图，ABC ?中，D 是边BC 的中点，AC BE ⊥于点E ，若 ο
30=∠DAC ,求证：BE AD =。
B
23、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 中点，CD EF ⊥于F ，4,6==EF CD ，求ABCD S 梯形。
B
24、如图，三角形ABC ，D 为BC 上的点，过B 作AE BE ⊥，交AD 延长线于E ，作AD CF ⊥交AD 于F ，G 为BC 中点，连接FG 与GE ，求证：GE FG =
25如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+
F
E
D
C
B
A
26、如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N．
（1）求证：AD=NE（2）求证：①DM=MF；②DM⊥MF．
27、如图，等腰梯形ABCD中，AB
CD//，对角线ABCD相交于O，?
=
∠60
ACD，点S，P，Q分别是OD，OA，BC的中点，求证：PQS
?是等边三角形.
28、已知如图，ABC
?的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，
（1）判断EF和DG有何关系并证明；（2）求证：
ABC
OGD
S
S
△
△12
1
=。
G
F
O
D
E
B C
29、如图，在梯形ABCD中，BC
AD//，DC
AD
AB=
=，?
=
∠60
C，BD
AE⊥于点E，F是CD的中点，DG是梯形的高。
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；