苏科版九年级上册数学期末易错试题汇总(含答案)

苏科版九年级上册数学期末易错试题汇总（含答案）

一、选择题

1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的为（ ） A ．2

21

0x x

+

= B ．220x x --=

C ．2320x xy -=

D ．240y -=

2．当函数2

(1)y a x bx c =-++是二次函数时，a 的取值为（ ） A ．1a = B ．1a =- C ．1a ≠- D ．1a ≠ 3．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

4．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围

是（ ） A ．m ≥1 B ．m ≤1 C ．m ≥－1 D ．m ≤－1 5．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ） A ．9︰16 B ．3︰4 C ．9︰4 D ．3︰16 6．下列方程有两个相等的实数根是（ ）

A ．x 2﹣x +3＝0

B ．x 2﹣3x +2＝0

C ．x 2﹣2x +1＝0

D ．x 2﹣4＝0

7．已知OA ，OB 是圆O 的半径，点C ，D 在圆O 上，且//OA BC ，若

26ADC ∠=?，则B 的度数为（ ）

A ．30

B ．42?

C ．46?

D ．52?

8．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是

（ ）

A ．向左平移1个单位

B ．向右平移3个单位

C ．向上平移3个单位

D ．向下平移1个单位

9．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和

D 、

E 、

F ，且 1.5AB =，2BC =， 1.8DE =，则EF =（ ）

A．4.4 B．4 C．3.4 D．2.4

10．将二次函数y＝x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度，再沿x轴向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（）

A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣3）2+2C．y＝（x+2）2+3D．y＝（x﹣2）2+3 11．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（）

A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．AD AB

AE AC

=D．

AC BC

AE DE

=

12．如图，如果从半径为6cm的圆形纸片剪去1

3

圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个

圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的底面半径为( )

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm

13．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝1

3

，那么sin A的值是（）

A．1

2

B．

1

3

C．

10

10

D．

310

14．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）

A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2+1＝0 D．x2+2x+1＝0 15．如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（）

A．3:2 B．3:1 C．1:1 D．1:2

二、填空题

16．正方形ABCD的边长为4,圆C半径为1，E为圆C上一点，连接DE，将DE绕D顺时针旋转90°到DE’，F在CD上，且CF=3，连接FE’，当点E在圆C上运动，FE’长的最大值为____.

17．如图，已知正六边形内接于O，若正六边形的边长为2，则图中涂色部分的面积为______.

18．一个不透明的袋中原装有2个白球和1个红球，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸

出红球的概率为2

3

，则袋中应再添加红球____个（以上球除颜色外其他都相同）．

19．在△ABC中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则△ABC外接圆半径为________；

20．在?ABCD中，∠ABC的平分线BF交对角线AC于点E，交AD于点F．若AB

BC

＝

3

5

，则

EF

BF

的值为_____．

21．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______．

22．若

3

2

x

y

=，则

x y

y

+

的值为_____．

23．如图，O2ABCD内接于O，点E在ADC上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF.则CF长的最小值为________.

24．二次函数2

y x bx c =-++的部分图像如图所示，要使函数值3y >，则自变量x 的取

值范围是_______.

25．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC ，若sin C ＝12

13

，BC ＝12，则AD 的长_____．

26．如图，123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF 的长为______．

27．如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一个动点（不与点A 、B 重合），且AC+BC=8，若AB=m （m 为整数），则整数m 的值为______．

28．如图，1ABB △，12AB B ，△A 2B 2B 3 是全等的等边三角形，点 B ，B 1，B 2，B 3 在同一条 直线上，连接 A 2B 交 AB 1 于点 P ，交 A 1B 1 于点 Q ，则 PB 1∶QB 1 的值为___．

29．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．

30．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上的点，请补充一个条件，使△ACP ∽△ABC ，这个条件可以是：___(写出一个即可)，

三、解答题

31．某商店专门销售某种品牌的玩具，成本为30元/件，每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．

（1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）为了保证每天的利润不低于3640元，试确定该玩具销售单价的范围．

32．如图，在?ABCD 中，点E 是边AD 上一点，延长CE 到点F ，使∠FBC ＝∠DCE ，且FB 与AD 相交于点G ．

（1）求证：∠D ＝∠F ；

（2）用直尺和圆规在边AD 上作出一点P ，使△BPC ∽△CDP ，并加以证明．（作图要求：保留痕迹，不写作法．）

33．如图，⊙O 为ABC ?的外接圆，9012ACB AB ∠=?=，，过点C 的切线与AB 的延长线交于点D ，OE 交AC 于点F ，CAB E ∠=∠.

（1）判断OE 与BC 的位置关系，并说明理由； （2）若3

tan 4

BCD ∠=

，求EF 的长. 34．如图，直线y ＝x ﹣1与抛物线y ＝﹣x 2+6x ﹣5相交于A 、D 两点．抛物线的顶点为C ，连结AC ．

（1）求A ，D 两点的坐标；

（2）点P 为该抛物线上一动点（与点A 、D 不重合），连接PA 、PD ． ①当点P 的横坐标为2时，求△PAD 的面积； ②当∠PDA ＝∠CAD 时，直接写出点P 的坐标．

35．如图，点P 是二次函数21

(1)14

y x =-

-+图像上的任意一点，点()10

B ,在x 轴上.

（1）以点P 为圆心，BP 长为半径作

P .

①直线l 经过点()0,2C 且与x 轴平行，判断P 与直线l 的位置关系，并说明理由.

②若

P 与y 轴相切，求出点P 坐标；

（2）1P 、2P 、3P 是这条抛物线上的三点，若线段1BP 、2BP 、3BP

的长满足123

23

BP BP BP BP ++=，则称2P 是1P 、3P 的和谐点，记做()13,T P P .已知1P 、3P 的横坐

标分别是2，6，直接写出()13,T P P 的坐标_______.

四、压轴题

36．如图①，

O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与

AB ，CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．

（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．

（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．

37．翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此初三（5）班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究。你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可。）

（1）如图①，小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB ）放在直线l 1上，OA 边与直线l 1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O 所经过的路程；并求顶点O 所经过的路线；

图①

（2）小菲进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC 放在直线l 2上，OA 边与直线l 2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干次．她提出了如下问题：

图②

问题①：若正方形纸片OABC 接上述方法翻转一周回到初始位置，求顶点O 经过的路程； 问题②：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是

41202

π+。 （3）①小菲又进行了进一步的拓展研究，若把这个正三角形的一边OA 与这个正方形的一边OA 重合（如图3），然后让这个正三角形在正方形上翻转，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB 的相对位置和初始时一样），求顶点O 所经过的总路程。

图③

②若把边长为1的正方形OABC 放在边长为1的正五边形OABCD 上翻转（如图④），直到正方形第一次回到初始位置，求顶点O 所经过的总路程。

图④

（4）规律总结，边长相等的两个正多边形，其中一个在另一个上翻转，当翻转后第一次回到初始位置时，该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的___________。 38．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝23．点P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ． （1）若DQ ＝3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；

（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．

39．平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(2,0)，(0,3)，点D 是经过点B ，C 的抛物线2

y x bx c =-++的顶点． （1）求抛物线的解析式；

（2）点E 是（1）中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB 的周长最小时点E 的坐标； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD 上移动，若平移后的抛物线与射线．．BD 只有一个公共点，直接写出平移后抛物线顶点的横坐标m 的值或取值范围．

40．抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ，作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交

于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4． （1）请直接写出a 的值____________； （2）若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等， ①求b 的值；

②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴，交抛物线于M 、N 两点，且4QM QN +=，求

c 的取值范围；

（3）若1c b =--，b -<

tan 2

α=

，此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点，若点D 在点C 上方，请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上，并求CD 的最大值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】

根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】 解：A.2

2

1

0x x +

=,是分式方程, B.220x x --=,正确,

C.2320x xy -=,是二元二次方程,

D.240y -=,是关于y 的一元二次方程, 故选B 【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．

解析：D 【解析】 【分析】

由函数是二次函数得到a-1≠0即可解题. 【详解】

解：∵2

(1)y a x bx c =-++是二次函数,

∴a-1≠0, 解得：a≠1, 故选你D. 【点睛】

本题考查了二次函数的概念,属于简单题,熟悉二次函数的定义是解题关键.

3．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据极差的概念最大值减去最小值即可求解． 【详解】

解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4． 故选A ． 【点睛】

本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小． 【详解】

解：∵函数的对称轴为x=222

b m m a -=-=-， 又∵二次函数开口向上，

∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大， ∵x ＞1时，y 随x 的增大而增大， ∴-m≤1，即m ≥-1 故选：C ． 【点睛】

本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

解析：B 【解析】

试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果． 因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B. 考点：本题主要考查了相似三角形的性质

点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方

6．C

解析：C 【解析】 【分析】

先根据方程求出△的值，再根据根的判别式的意义判断即可． 【详解】 A 、x 2﹣x+3＝0，

△＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，

所以方程没有实数根，故本选项不符合题意； B 、x 2﹣3x+2＝0，

△＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，

所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； C 、x 2﹣2x+1＝0， △＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，

所以方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意； D 、x 2﹣4＝0，

△＝02﹣4×1×（﹣4）＝16＞0，

所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； 故选：C ． 【点睛】

本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的意义是解此题的关键．

7．D

解析：D 【解析】 【分析】

连接OC ，根据圆周角定理求出∠AOC ，再根据平行得到∠OCB ，利用圆内等腰三角形即可求解. 【详解】 连接CO ， ∵26ADC ∠=? ∴∠AOC=252ADC ∠=? ∵//OA BC

∴∠OCB=∠AOC=52?

∵OC=BO，

∴B=∠OCB=52?

故选D.

【点睛】

此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆的基本性质及圆周角定理的内容. 8．D

解析：D

【解析】

A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A点，故A不符合题意；

B.平移后，得y=(x?3)2，图象经过A点，故B不符合题意；

C.平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；

D.平移后，得y=x2?1图象不经过A点，故D符合题意；

故选D.

9．D

解析：D

【解析】

【分析】

根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．

【详解】

解：∵////

a b c

∴AB DE

BC EF

=即

1.5 1.8

2EF

=

解得：EF=2.4

故答案为D．

【点睛】

本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．

10．A

解析：A

【解析】

【分析】

直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．

【详解】

解：将二次函数y＝x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度，得到：y＝x2+2，

再沿x轴向左平移3个单位长度得到：y＝（x+3）2+2．

故选：A．

【点睛】

解决本题的关键是得到平移函数解析式的一般规律：上下平移，直接在函数解析式的后面上加，下减平移的单位；左右平移，比例系数不变，在自变量后左加右减平移的单位．11．D

解析：D

【解析】

【分析】

先求出∠DAE＝∠BAC，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．

【详解】

∵∠1＝∠2，

∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，

∴∠DAE＝∠BAC，

A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得

△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；

B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得

△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；

C、添加AD AB

AE AC

=可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形

相似，故此选项不合题意；

D、添加AC BC

AE DE

=不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．

12．B

解析：B

【解析】

【分析】

因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，首先求得留下的扇形的弧长，利用勾股定理求圆锥的高即可.

【详解】

解：∵从半径为6cm的圆形纸片剪去1

3

圆周的一个扇形，

∴剩下的扇形的角度=360°×2

3

=240°， ∴留下的扇形的弧长=2406

1880

ππ?=， ∴圆锥的底面半径248r π

π

==cm ； 故选：B. 【点睛】

此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

13．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据正切函数的定义，可得BC ，AC 的关系，根据勾股定理，可得AB 的长，根据正弦函数的定义，可得答案． 【详解】 tan A ＝

BC

AC ＝13

，BC ＝x ，AC ＝3x ， 由勾股定理，得

AB x ，

sin A ＝

BC AB 故选：C ． 【点睛】

本题考查了同角三角函数的关系，利用正切函数的定义得出BC=x ，AC=3x 是解题关键．

14．A

解析：A 【解析】 【分析】

逐项计算方程的判别式，根据根的判别式进行判断即可． 【详解】 解：

在x 2﹣x ﹣1＝0中，△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故A 符合题意；

在x 2+x +1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，故该方程无实数根，故B 不符合题意； 在x 2+1＝0中，△＝0﹣4×1×1＝0﹣4＝﹣4＜0，故该方程无实数根，故C 不符合题意； 在x 2+2x +1＝0中，△＝22﹣4×1×1＝0，故该方程有两个相等的实数根，故D 不符合题意； 故选：A ．

【点睛】

本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，△＞0有两个不相等实数根，△＝0有两个相等实数根，△＜0没有实数根，属于中考常考题型．

15．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据题意得出△DEF ∽△BCF ，进而得出=DE EF

BC FC

，利用点E 是边AD 的中点得出答案即可． 【详解】

解：∵?ABCD ，故AD ∥BC ， ∴△DEF ∽△BCF ， ∴

=DE EF

BC FC

， ∵点E 是边AD 的中点， ∴AE=DE=1

2

AD ， ∴

1

2EF FC =． 故选D ．

二、填空题

16．【解析】 【分析】

先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解. 【详解】

解：如下图,过点F 作FP⊥AB 于P,延长DP 到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,

由题可知,PF=4,DF=

1

【解析】 【分析】

先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解. 【详解】

解：如下图,过点F 作FP ⊥AB 于P ,延长DP 到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大, 由题可知,PF=4,DF=1,

∴DP=22

41

+=17,

∴FE’=171+,

故答案是：171

+

【点睛】

本题考查了图形的旋转,圆的基本性质,勾股定理的应用,中等难度,准确找到点P的位置是解题关键.

17．【解析】

【分析】

根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.

【详解】

解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点

∵正

解析：2 3π

【解析】

【分析】

根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.

【详解】

解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点

∵正六边形内接于O,

∴∠BOA=∠AOC=60°,OA=OB=OC=4,

∴∠BOC=120°，OD⊥BC,BD=CD

∴∠OCB=∠OBC=30°,

∴OD=11

22

OB OA DA ,

∵∠CDA=∠BDO,∴△CDA≌△BDO,∴S△CDA=S△BDO,

∴图中涂色部分的面积等于扇形AOB的面积为：

2

6022 3603π

π

?

=.

故答案为：2

3π.

【点睛】

本题考查圆的内接正多边形的性质，根据圆的性质结合正六边形的性质将涂色部分转化成扇形面积是解答此题的关键.

18．3

【解析】

【分析】

首先设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得：，解此分式方程即可求得答案．

【详解】

解：设应在该盒子中再添加红球x个，

根据题意得：，

解得：x=3，

经检验，x=3是原分

解析：3

【解析】

【分析】

首先设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得：

12

123

x

x

+

=

++

，解此分式方程即可求

得答案．

【详解】

解：设应在该盒子中再添加红球x个，

根据题意得：

12

123

x

x

+

=

++

，

解得：x=3，

经检验，x=3是原分式方程的解．

故答案为：3．

【点睛】

此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19．5

【解析】

【分析】

先确定外接圆的半径是AB，圆心在AB的中点，再计算AB的长，由此求出外接圆的半径为5.

【详解】

∵在△ABC中，∠C=90°，

∴△ABC外接圆直径为斜边AB、圆心是AB的

解析：5

【解析】

【分析】

先确定外接圆的半径是AB，圆心在AB的中点，再计算AB的长，由此求出外接圆的半径为5.

【详解】

∵在△ABC中，∠C=90°，

∴△ABC外接圆直径为斜边AB、圆心是AB的中点，

∵∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴2222

6810

AB AC BC，

∴△ABC外接圆半径为5.

故答案为：5.

【点睛】

此题考查勾股定理的运用、三角形外接圆的确定.根据圆周角定理，直角三角形的直角所对的边为直径，即可确定圆的位置及大小.

20．．

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系，进而利用相似三角形的性质求解．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AFB＝∠EBC，

∵B

解析：3

8

．

【解析】【分析】

根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系，进而利用相似三角形的性质求解． 【详解】

解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠AFB ＝∠EBC ， ∵BF 是∠ABC 的角平分线， ∴∠EBC ＝∠ABE ＝∠AFB ， ∴AB ＝AF ，

∴3

5AB AF BC BC ==， ∵AD ∥BC ，

∴△AFE ∽△CBE ，

∴3

5AF EF BC BE ==， ∴

3

8

EF BF =； 故答案为：38

． 【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质、角平分线的性质及相似三角形的判定定理.

21．【解析】 【分析】 【详解】

解：如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时， 过点M 作MF ⊥DC 于点F ，

∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 为AD 中点， ∴2

解析：2 【解析】 【分析】 【详解】

解：如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时， 过点M 作MF ⊥DC 于点F ，

∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 为AD 中点， ∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°， ∴∠FMD=30°，