2019 初三数学中考专题复习 二次函数和圆 专题综合检测 1.下列关系式中,属于二次函数的是(x 为自变量)( ) =18x 2 =-x 2
-1 =1x
2 =a 4x 4 2.抛物线y =2x 2
,y =-2x 2
,y =12
x 2
的共同性质是( )
A.开口向上
B.对称轴是y 轴
C.都有最高点 随x 的增大而增大 3.若二次函数y =(x -m)2-1,当x≤1时,y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是( )
=1 >1 ≥1 ≤1
4.如图,AB 是⊙O 的直径.若∠BAC =35°,那么∠ADC =( )
° ° ° °
5.在同圆中,下列四个命题:①圆心角是顶点在圆心的角;②两个圆心角相等,它们所对的弦也相等;③两条弦相等,它们所对的弧也相等;④等弧所对的圆心角相等.其中真命题有( )
个 个 个 个
6.如图,CD 是⊙O 的直径,弦AB ⊥CD 于E ,连接BC 、BD.下列结论错误的是( )
=BE B.
=DE D. .∠DBC =90°
7.如图,AD 、AE 、CB 均为⊙O 的切线,D 、E 、F 分别是切点,AD =8,则△ABC 的周长为( )
D.不能确定
8.如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,那么一次函数y =bx +c 和反比例函数y =b
x
在同一坐标系中的图象大致是( )
9.如图,圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为O ,三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处,铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处,铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是( )
A.圆形铁片的半径是4cm
B.四边形AOBC 为正方形
C.弧AB 的长度为4πcm
D.扇形OAB 的面积是4πcm 2
10.已知二次函数y =ax 2+bx +c(a≠0)的图象如图所示,并且关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c -m =0有两个不相等的实数根,下列结论:①b 2-4ac <0;②abc >0;③a -b +c <0;④m >-2,其中正确的个数有( )
11.如图,扇形OAB 的圆心角为120°,半径为3,则该扇形的弧长为 (结果保留π).
12.已知抛物线y =x 2
-4x 上有两点P 1(3,y 1)、P 2(-1
2
,y 2),则y 1与y 2的大
小关系为:y 1 y 2(填“>”“<”或“=”).
13.如图,⊙I 是△ABC 的内切圆,D 、E 、F 为三个切点,若∠DEF =52°,则∠A 的度数为 .
14.某软件商店销售一种益智游戏软件,如果以每盘50元的售价销售,一个月能售出500盘,根据市场分析,若销售单价每涨价1元,月销售量就减少10盘,当每盘的售价涨x 元(x 取整数)时,该商店月销售额y(元)与x 的函数关系式为 ,自变量x 的取值范围是 .
15.设A 、B 、C 三点依次分别是抛物线y =x 2-2x -5与y 轴的交点以及与x 轴的两个交点,则△ABC 的面积是 .
16. 已知二次函数y =-x 2+2x +m 的部分图象如图所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+2x +m =0的解为 .
17. 已知抛物线y =12x 2+x -5
2
.
(1)用配方法求出它的顶点坐标和对称轴;
(2)若抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ,求线段AB 的长.
18. 如图,AB 是半圆O 的直径,C 、D 是半圆O 上的两点,且OD ∥BC ,OD 与AC 交于点E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度数;
(2)若AB=4,AC=3,求DE的长.
19. 已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x…
-
1
01234…
y…
1
52125…
(1)
(2)当x为何值时,y有最小值,最小值是多少
(3)若A(m,y1)、B(m+1,y2)两点都在该函数的图象上,试比较y1与y2的大小.
20. 如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠D=60°且AB=6,过O点作OE⊥AC,垂足为E.
(1)求OE的长;
(2)若OE的延长线交⊙O于点F,求弦AF、AC和围成的图形(阴影部分)的面积.
21. 某公司经销一种绿茶,每千克成本为50元,市场调查发现,在一段时间内,销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化,具体关系为w=-2x+240,且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元),解答下列问题:
(1)求y与x的函数关系式;
(2)当x取何值时,y的值最大
(3)如果公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润,销售单价应定为多少元
22. 如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且BD=BC,延长AD到E,且有∠EBD=∠CAB.
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)若BC=3,AC=5,求圆的直径AD及切线BE的长.
23. 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-3,0)、B(5,0)、C(0,5)三点,O为坐标原点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若把抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移13
3
个单位长度,再向右平移
n(n>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点M在△ABC内,求n的取值范围;
(3)设点P在y轴上,且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA,求CP的长.
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.
中考二次函数压轴题经典题型 1、如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB上的一点P,使矩形PNDM 有最大面积,求矩形PNDM的面积最大值? 2、如图,二次函数的图象经过点D(0, 3 9 7 ),且顶点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由. 3.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(1 2 , 5 2 )和B(4,m),点P是线段AB 上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值,若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由; (3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.
4、如图,二次函数y=a+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0). (1)求a,b的值; (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB 的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值。 5、如图1,对称轴x=为直线的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式; (2)若点P为第一象限内抛物线上一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值; (3)如图2,若M是线段BC上一动点,在轴上是否存在这样有点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=
12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1-
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0)(OA<OB),与y轴交于点C,且满足x12+x22﹣x1x2=13. (1)求抛物线的解析式; (2)以点B为直角顶点,BC为直角边作Rt△BCD,CD交抛物线于第四象限的点E,若EC =ED,求点E的坐标; (3)在抛物线上是否存在点Q,使得S△ACQ=2S△AOC?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)E 113 +113 + 3)点Q的坐 标为(﹣3,12)或(2,﹣3).理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1?x2=﹣(m+1),代入x12+x22﹣x1x2=13,求出m1=2,m2=﹣5.根据OA<OB,得出抛物线的对称轴在y轴右侧,那么m=2,即可确定抛物线的解析式; (2)连接BE、OE.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE=1 2 CD=CE.利 用SSS证明△OBE≌△OCE,得出∠BOE=∠COE,即点E在第四象限的角平分线上,设E点坐标为(m,﹣m),代入y=x2﹣2x﹣3,求出m的值,即可得到E点坐标; (3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,根据三角形的面积公式可得S△ACQ=S△ACF.由S△ACQ=2S△AOC,得出S△ACF=2S△AOC,那么AF=2OA=2,F(1,0).利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣3x﹣3.根据AC∥FQ,可设直线FQ的解析式为y=﹣3x+b,将F(1,0)代入,利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y=﹣3x+3,把它与抛 物线的解析式联立,得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ,求解即可得出点Q的坐标. 【详解】 (1)∵抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0), ∴x1+x2=m,x1?x2=﹣(m+1),
初三数学知识点总结 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时,ax 2 +bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ; 其中a 、 b,、c 可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用, 其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用范围较大,且计算简便,是首选方法;配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0)时,Δ=b 2 -4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题: Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根; Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等). 4. 一元二次方程的根系关系: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时,如Δ≥0,有下列公式: .a c x x a b x x )2(a 2ac 4b b x ) 1(212122,1= -=+-±-=, ; ※ 5.当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0) 时,有以下等价命题: (以下等价关系要求会用公式 a c x x a b x x 2121=-=+,;Δ=b 2 -4ac 分析,不要求背记) (1)两根互为相反数 a b -= 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0; (2)两根互为倒数 a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0; (3)只有一个零根 a c = 0且a b -≠0 c = 0且b ≠0; (4)有两个零根 a c = 0且a b -= 0 c = 0且b=0; (5)至少有一个零根 a c =0 c=0; (6)两根异号 a c <0 a 、c 异号; (7)两根异号,正根绝对值大于负根绝对值 a c <0且a b ->0 a 、c 异号且a 、b 异号; (8)两根异号,负根绝对值大于正根绝对值 a c <0且a b -<0 a 、c 异号且a 、b 同号; (9)有两个正根 a c >0,a b ->0且Δ≥0 a 、c 同号, a 、b 异号且Δ≥0;
抛物线与圆、动点 1、如图,在直角坐标系中,⊙C过原点O,交x轴于点A(2,0),交y轴于点B(0,23)。 ⑴求圆心的坐标; ⑵抛物线y=ax2+bx+c过O、A两点,且顶点在正比例函数y=- 3 3 x的图象上, 求抛物线的解析式; ⑶过圆心C作平行于x轴的直线DE,交⊙C于D、E两点,试判断D、E两点是否 在⑵中的抛物线上; ⑷若⑵中的抛物线上存在点P(x0,y0),满足∠APB为钝角,求x0的取值范围。 2、已知:在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A,抛物线y ax bx c =++ 2经过O、A两点。 ⑴试用含a的代数式表示b; ⑵设抛物线的顶点为D,以D为圆心,DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折,翻折后的劣弧落在⊙D内,它所在的圆恰与OD相切,求⊙D半径的长及抛物线的解析式; ⑶设点B是满足⑵中条件的优弧上的一个动点,抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得∠∠ POA OBA = 4 3 ?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。 3、A、B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,且经过点(b-2, b2-2b-3). x y O A C B
(1)求这条抛物线的解析式; (2)⊙M 过A 、B 、C 三点,交y 轴于另一点D ,求点M 的坐标; (3)连接AM 、DM ,将∠AMD 绕点M 顺时针旋转,两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ,若△DMF 为等腰三角形,求点E 的坐标. 4、如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O ,A , 以AB 的中点P 为圆心,AB 为直径作⊙P 的正半轴交于点C . (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线所对应的函数解析式; (2)设M 为(1)中抛物线的顶点,求直线MC 对应的函数解析式; (3)试说明直线MC 与⊙P 的位置关系,并证明你的结论. 5、已知:一元二次方程x 2+kx+k ﹣1=0. (1)求证:不论k 为何实数时,此方程总有两个实数根; (2)设k <0,当二次函数y=x 2+kx+k ﹣1的图象与x 轴的两个交点A 、B 间的距离为4时, 求此二次函数的解析式; (3)在(2)的条件下,若抛物线的顶点为C ,过y 轴上一点M (0,m )作y 轴的垂线l ,当m 为何值时,直线l 与△ABC 的外接圆有公共点? x y A B E F D C M O x y A B C O x=1
二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0