西南交通大学数值分析题库
题库分类 填空题
1. 绪论部分
(1). 设x =3.214, y =3.213，欲计算u =y x -
, 请给出一个精度较高的算式u = . u=
y
x y x +
-
(2). 设y =f (x 1,x 2) 若x 1,x 2,的近似值分别为x 1*, x 2*,令y *=f (x 1*,x 2*)作为y 的近似值,其绝对误差限的估计
式为:
ε ≤| |f (x 1*,x 2*)|x 1-x*1|+ |f (x 1*,x 2*)|x 2-x*2| (3). 要使20的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取_______位有效数字？
20＝0.4…?10, a 1=4, εr ≤
1
21
a ?10-(n-1)< 0.1% 故可取n ≥4, 即4位有效数字。
(4). 要使17的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取_________位有效数字？
17＝0.4…?10, a 1=4, εr ≤
1
21
a ?10-(n-1)< 0.1% 故可取n ≥3.097, 即4位有效数字。 (5). 对于积分I n =e
-1
?
1
x n e x dx 试给出一种数值稳定的递推公式_________。
I n -1=(1-I n )/n , I n ≈0 易知 I 0=1-e -1 I n =1-nI n -1 故I n -1=(1-I n )/n
0
选择填空
(6). 计算 f=(2-1)6 , 取2＝1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？(C)
(A)
6
121)(-, (B) (3-22)2,
(C)
3
2231)
(+, (D) 99-702
2. 方程的根
(1). 用N e w t o n 法求方程f (x )=x 3+10x -20=0 的根，取初值x 0= 1.5, 则x 1=x 1=1.5970149 (2). 迭代公式x k +1=x k (x k 2+3a )/(3x k 2+a )是求a 1/2的 (12) 阶方法 (3).
3. 方程组直接解法
4. 迭代解法
(1). 设线性方程组的系数矩阵为A =??
?
?
?
?
?
??-684715313148
3412,全主元消元法的第一次可选的主元素为 (13) ，
第二次可选的主元素为 (14) .列主元消元法的第一次主元素为 (15) ；第二次主元素为(用小数
表示) (16) ; 记此方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵为B G =(a ij )4?4，则a 23= (17) ； -8，或8； 8+7/8或-8-7/8； -8； 7 .5；
第 1 章 插值
§1. 填空
(1). 设P k (x k ,y k ) , k =1,2,…,5 为函数y =x 2-3x +1上的5个互异的点，过P 1,…,P 5且次数不超过4次的插
值多项式是 ______ 。 y =x 2-3x +1
(2). 设x 0, x 1,x 3是区间[a , b ]上的互异节点，f (x )在[a , b ]上具有各阶导数，过该组节点的2次插值多项式
的余项为： ______ .
R 2(x )= )(!3)(2
)3(k k x x f -∏=ξ
(3). 设)())(()()
())(()()(110110n i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+- (i =0,1,…,n )，则∑=n
k k k x l x 0
)(＝ ______ , 这
里（x i ≠x j ,i ≠j , n ≥2）。
x
(4). 三次样条插值与一般分段3次多项式插值的区别是_____
三次样条连续且光滑，一般分段3次连续不一定光滑。
(5). 插值多项式与最小二乘拟合多项式都是对某个函数f (x )的一种逼近，二者的侧重点分别为
________ 。
用1n +个作不超过n 次的多项值插值，分别采用Lagrange 插值方法与Newton 插 值方法所得多项式 相等 (相等, 不相等)
(6).
§2. 计算题
(1). (a10
3次的lagrange 插值多项式L 3(x).
解：基函数分别为
l 0(x)=-81x 3+87x 2-47
x+1 l 1(x)=x x x 3823123+-
l 2(x)=x x x -+-234
5
41
l 2(x)=x x x 1218124123+-
Lagrange 插值多项式
L 3(x)=
∑
=n
k k k x l x f 0
)()(=12
144541123+-+-
x x x . (2). (b10分)已知由插值节点(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)构造的3次插值多项式P 3(x)的x 3的系数为6，试确
定数据y.
解：P 3(x)＝∑=n
k k k x l x f 0)()(
故最高次项系数为
)
)()(()
()
)()(()
())()(()
()
)()(()
(2313033321202231210113020100x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x f ---+
+---++---++
---
带入数值解得y=4.25.
(3). (c15分)设l k (x )是关于互异节点x 0, x 1,…, x n , 的Lagrange 插值基函数，证明
?????+=-===∑=1
11,2,..., 0,0 10100n j x x x n j j l x n n
n
k k j
k ...)(,)( 证明： 11101)()!
()
()
()()(x w n f x l x x f n n k n
k n k ++=+++=∑
ξ 其中，w n +1(x )=
∏=-n
j j
x
x 0
)(
故当0≤j ≤n 时，
∑=n
k k j k x l x 0
)(=x j ,
当j=n+1时，x
n+1
=)()()(10
1x w x l x
x f n k
n
k n k +=++=
∑
将x=0带入ok!
(4). (c10分)设l k (x )是关于互异节点x 0, x 1,…, x n , 的Lagrange 插值基函数，证明
)()(x l x x f k n
k n k ∑=+=01
是n 次多项式，且最高次系数为x 0+…+ x n ,
证：查
1110
1
1
)()!
()
()
()(x w n f x l x x
n n k n
k n k n ++=++++=
∑
ξ--5分 注意余项 111)()!()
()(x w n f n n +++ξ=∏=+-=n
j j n x x x w 0
1)()(
)(x l x
x
k n
k n k n ∑=++-
1
1
=x
n+1-w n+1(x) ---5分
ok!
(5). (c10分)设函数f(x)是k 次多项式，对于互异节点x 1,…, x n ,， 证明当n>k 时，差商f [x , x 1,…,x n ]≡0，
当n ≤k 时，该差商是k-n 次多项式。
证明：因 1!
)
(],,,[)(n f x x x f n n ξ=
注意到n>k 时， f (n)(x)=0，
n=k 时， f (n)(x)=k!a k ，a k 为f(x)的k 次项系数。(7f) n ≤k-1 由差分定义递推,查n=k-1,k-2,… (3f)
ok!
(6). (c10分)设g(x)和h(x)分别是f(x)关于互异节点x 1,…, x n -1以及互异节点x 2,…, x n 的插值多项式，试
用g(x)和h(x)表示f(x)关于互异节点x 1,…, x n 的插值多项式. 解：令q(x)=Ag(x)(x-x n )+Bh(x)(x-x 1)
为待定n 次多项式，A,B 为待定系数，注意到 g(x k )=f(x k ), k=1,…,n-1
h(x k )=f(x k ), k=2,…,n -------(7f) 带入得A=1/x 1-x n ,B=1/x n -x 1, 带入ok!
(7). (a10f)设l k (x )是关于互异节点x 0, x 1,…, x n , 的Lagrange 插值基函数，证明
(1)
m n
k k m
k
x x l x =∑=0
)( m=0,1,…,n
(2)
∑=-n
k k m k x l x x 0
)()(≡0 m=1,2,…,n
证明：由插值唯一性定理知(1)。展开知（2） (8). (a10f )证明对于不超过k 次的多项式p(x)有
),()()(x p x l x p n
k k k =∑=0
k ≤n
l k (x )是关于互异节点x 0, x 1,…, x n , 的Lagrange 插值基函数 证明：由插值唯一性定理知。
(9). (a10f)设p(x)是任意首次项系数为1的n+1次多项式，l k (x )是关于互异节点x 0, x 1,…, x n , 的Lagrange
插值基函数
证明 ∑=+=-n
k n k k x w x l x p x p 0
1)()()()(
其中∏=+-=n
j j n x x x w 0
1)()(
证明：插值余项直接计算ok!
(10). (a10f)已知函数y =f (x )在点x 0的某邻域内有n 阶连续导数，记x k =x 0+kh (k=1,2,…,n), 证明
0100!
)
(],,,[lim )(n x f x x x f n n h =→ 证明：因!
)
(],,,[)(n f x x x f n n ξ= 10 ξ∈(x 0,x 0+nh)注意到n 阶导数连续性，两边取极限ok!
(11). (c10f)用等节距分段二次插值函数在区间[0,1]上近似函数e x , 如何估算节点数目使插值误差
≤1?10-6 . 解：考虑子区间[x i-1,x i ]二次插值余项
63121121321
))()((max ))()((!)()
()(//)(++≤≤++---≤
---=-+i i i x x x i i i x x x x x x e
x x x x x x f x P x f i i ξ
令x=x i+1/2+s(h/2) 上式化简为
9
3248 81163
311eh h s s s e s =-+≤≤-)()(max
令63102
193248-?≤eh 得h ≤0.028413
故子区间个数为N=2/h ≈70.4, 取N=71 故插值节点数为2N+1=143
(12). (b10分)设f(x) 在区间[a,b]上有二阶连续导数，P 1(x)为其以a,b 为节点的一次插值多项式，证明
],[)(max )()()(b a x x f a b x P x f b x a ∈''-≤-≤≤ 8
2
1证明：利用插值余项结果可得线性插值多项式P 1(x )
在子区间[a ,b ]上的余项估计式，再估计最值o k ! ]
,[)(max ))((!
)
()()(//b a x x f h b x a x f x P x f b
x a i ∈≤--''=-≤≤ 8
221ξ
(13). (b10分)已知s(x)是[0,2]上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定
s(x)=?????≤≤-+-+-+≤≤-+2
1 111210 213
23
x x d x c x b x x x ,)()()(, 中的参数b,c,d
解：利用边界条件s /(2-0)=0 及样条函数定义可得 b=-1,c=-3,d=1
(14). (b10分)判断下面2个函数是否是[-1,1]上以0为内节点的三次样条函数。设
(1) S(x)=?????≤<+--≤≤+---10 230
1- 232
32
3x x x x x x x x ,, (2) S(x)= ?????≤<+--≤≤+-+1
0 230
1- 2352
323x x x x x x x x ,,
解：(1)是，(2)否。
(15). (a10f)令f(x)=x 7+ x 4+3x+1
求f[20, 21,...,27]及f[20, 21, (28)
解：!
)
(],,,[)(n f x x x f n n ξ= 10
f[20, 21,…,27]=1 f[20, 21,…,28]=0
(16). (a10f)证明n 阶均差有下列性质：
(1) 若F(x)=cf(x), 则
F [x 0, x 1,…,x n ]=c f [x 0, x 1,…,x n ]
(2) 若F(x)=f(x)+g(x), 则
F [x 0, x 1,…,x n ]= f [x 0, x 1,…,x n ]+ g [x 0, x 1,…,x n ]
证明：∑==n
k k k
n x f a
x x x f 0
10)(],,,[
其中， a k =
)
())(()(1
110n k k k k k k x x x x x x x x ----+-
ok!
(17). (a10f )回答下列问题：
（1）什么叫样条函数？
（2）确定n+1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要多少？ （3） 三转角法中参数m i 的数学意义是什么？ 答：（1）略 （2）4n 个
（3） m i =S /(x i ) 即样条函数在节点x i 处的一阶导数。 (18). (a10f)回答下列问题：
（1）何谓Hermite 插值问题？
（2）Hermite 插值与一般多项式插值有什么区别？
第 2 章 拟合
(1). 采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的 (9) 问题.
(2). 在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数. 在函数的最佳平
方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (11) 范数. 无穷范数 ||f||∞；2-范数 (3).
§3. 计算题
(1). (b10f)设f(x)∈[-a,a]的最佳一致逼近多项式为P(x),试证明
(1) f(x)是偶函数时P(x)也是偶函数； (2) f(x)是奇函数时P(x) 也是奇函数。 证明：（1）令t=-x, 考查
a
x a ≤≤-max |f(x)-P(x)|= a
t a ≤≤-max |f(-t)-P(-t)|= a
t a ≤≤-max |f(t)-P(-t)|, 故P(-x)也是f(x)∈[-a,a]的最佳一致逼近多项式，由
最佳一致逼近多项式的唯一性知P(-x)=P(x).
（2）略。
(2). (a10f)试确定[0,1]区间上2x 3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x), 该多项式唯一否？ 解： p(x)=(3/2)x, 唯一。
(3). 求f (x )=2x 3+x 2+2x -1在[-1,1]上的最佳二次逼近多项式P (x )。已知
T 0(x)=cos0=1 T 1(x)=cos θ=x
T 2(x)=cos2θ=2x 2-1 T 3(x)=cos3θ=4x 3-3x T4(x)=cos4θ=8x 4-8x 2+1 解: f (x )=2x 3+x 2+2x -1-P (x )
=2.1321-T 3(x )= 21
T 3(x )
故P (x )= f (x )-21T 3(x )= 2x 3+x 2+2x -1-2 x 3+2
13x = x 2+
2
7
x -1 (4). 求f (x )=2x 4在[-1,1]上的3次最佳一致逼近多项式P (x )。已知
T 0(x)=cos0=1 T 1(x)=cos θ=x
T 2(x)=cos2θ=2x 2-1 T 3(x)=cos3θ=4x 3-3x T4(x)=cos4θ=8x 4-8x 2+1 解：P (x )= 2x 2-1/4
(5). 求f (x )=2x 4在[0,2]上的3次最佳一致逼近多项式P (x )。已知
T 0(x)=cos0=1 T 1(x)=cos θ=x
T 2(x)=cos2θ=2x 2-1 T 3(x)=cos3θ=4x 3-3x T4(x)=cos4θ=8x 4-8x 2+1
解：令x=t+1, t ∈[-1,1], f(x)=g(t)=(t+1)4 故g(t)的3次最佳一致逼近多项式为 P 3(t)=4t 3+7t 2+4t+7/8
故f (x )的3次最佳一致逼近多项式为 P (x )=P 3(x-1)= 4x 3-5x 2+2x-1/8
(6). 设f(x)∈C[a,b], ,证明f(x)的最佳零次一致逼近函数为s(x)=(M+m)/2 ,其中M 和m 分别为f(x)在[a,b]
上的最大与最小值。
(7). 证明[a,b]上的正交函数系H={h 1(x), h 2(x),…, h m (x)}是线性无关的函数系。
证：写出线性组合式子 ――――2分 作内积求系数―――――――――2分
(8). （10分）求f (x )=ln x ,x ∈[1,2]上的二次最佳平方逼近多项式的法(正规)方程组。（要求精确表示，即
不使用小数）
解：取Φ=span{1,x,x 2},[a,b]=[1,2] 法方程组为
()()
()()()
()()()
()?????
?? ??=????
?
?? ?????????
??),(),(),(,,,,,,,,,101010
1110101000n n n n n n n n f f f a a a ?????????????????????
计算知
??
????
?
??--=????? ??????? ??97238
43222253141537415372337231
210/ln /ln ln ////////a a a 解之得：
a 0=-1.142989, a 1=1.382756, a 2=-0.233507
最佳平方逼近多项式为P 2(x)=-1.42+1.38x-0.233x 2 平方误差为
||f-P 2||22=(f,f)-a 0(f,?0) –a 1(f,?1) –a 2(f,?2)≈0.4?10-5
(9). 设f(x)在有限维内积空间Φ＝span{?0,…,?n }上的最佳平方逼近为p(x),试证明，f(x)-p(x)与Φ中所有
函数正交。 证明：查∑==
n
k k
k x a x p 0
)()(?
(f(x)-p(x), ?j ) =(f, ?j )- (p(x), ?j )
注意到a k 是法方程组的解。而法方程组
()()
()()()
()()()
()????
?
?? ??=????
?
?? ?????????
??),(),(),(,,,,,,,,,101010
1110101000n n n n n n n n f f f a a a ?????????????????????
两边的j -th 分量为 ((?j ,?0) (?j ,?1) …(?j ,?n )) =(p(x), ?j ) ok!
(10). 设∑==
n
k k
k x a x p 0
)()(?
是在空间Φ＝span{?0,…,?n }中对f(x)∈C[a,b]的最佳平方逼近,证明：(f-p,
f-p)=(f,f)-
∑=n
k k k f a
),(?
证：注意到a k 是法方程组的解。而法方程组
()()
()()()
()()()
()????
?
?? ??=????
?
?? ?????????
??),(),(),(,,,,,,,,,101010
1110101000n n n n n n n n f f f a a a ?????????????????????
故?k=1,…n, (f(x)-p(x), ?k )=0, ------------(5分) (p-f),p)=0 -------------------(5分) (f-p, f-p)
=(f,f)-2(f,p)+(p,p) =(f,f)-(f,p)+(p-f),p)
=(f,f)-(f,p) -------------------(5分)
(11). 求下列矛盾方程组的最小二乘解
???
??
?
?=+-=-=+-=-433222
12121
2121x x x x x x x x 解：x 1=-29/12, x 2=-39/12
写出相应的法方程组A T Ax=A T b ――――5分 求解x 1=-29/12, x 2=-39/12 ――――5分
(12). 推导用最小二乘法解矛盾方程组Ax=b 的法方程组A T Ax=A T b 解：给出目标函数
h (x)=||Ax-b||2 ------------------5 =x T A T Ax-2x T A T b+b T b ----------5 求偏导得到驻点方程组
A T Ax-A T b=0 ---------------5
(13). 证明：{?0,…,?n }为点集{x i }m i=1上的线性无关族?法方程G T Ga =G T y 有唯一解。其中
?
?????? ??=)()()()()()()()()(101111000100m n m m
n n x x x x x x x x x G ?????????
证：充分性）。首先注意到若a 0,a 1,..,a n
为方程组
a 0?0+a 1?1+…+a n ?n =0 （9）
的解，则必为方程组
(?0,?0) a 0+ (?1,?0)a 1 +…+(?n ,?0)a n =0
的解。事实上，令?0, ?1,…,?n 分别与(9)两端作内积得(10)，知也！ 设|G T G |≠0?（10）仅有0解?(9) 也仅有0解故{?0,…,?n }无关。 证必要性）。 {?0,…,?n }无关? (9)仅有0解 即 ?a =(a 0,a 1,..,a n )≠0?Ga ≠0?a T G T Ga =(Ga )T (Ga ) =||Ga ||22>0?G T G 正定?|G T G |>0∴|G T G |≠0.
(14). 若{?0(x ), ?1(x ),…, ?n (x )}是点集{x 1,x 2,…,x m }上的离散正交族。∑==
n
k k
k x a x 0
)()(?
?为给定数据对
(x i ,y i ) (i =1,2,…,m )的最小二乘拟和函数。 证明： ,,1,0 )
,()
,(n k y a k k k k ==
???
证：法方程系数矩阵为Q T Q=()()()()()
()()()
()??
??
?
?
?
??n n n n n n ??????????????????,,,,,,,,,101110101000
=()()
()??
?
?
?
?
?
?
?n n ??????,0
00,00
,1100
此时法方程为
?????
?
?
??=??????? ????????? ??),(),(),(),(),(),(10101100n n n n y y y a a a ?????????
故 ,,1,0 )
,()
,(n k y a k k k k ==
???
(15). 若{?0(x ), ?1(x ),…, ?n (x )}是[a,b]上的正交族。∑==
n
k k
k x a x 0
)()(?
?为f(x)的最佳平方逼近。
证明： 10 n k f a k k k k ,,,)
,()
,( ==
???
证：法方程系数矩阵为Q T Q=()()()()()
()()()
()??
??
?
?
?
??n n n n n n ??????????????????,,,,,,,,,101110101000
=()()
()??
?
?
?
?
?
?
?n n ??????,0
00,00
,1100
此时法方程为
????
?
?
?
??=??????? ????????? ??),(),(),(),(),(),(n n n n f f f a a a ?????????
10101100故 ,,1,0 ),(),(n k y a k k k k ==??? (16). 求函数f(x)=|x| 在[-1,1]上求关于函数族s p an {1,x 2,x 4}的最佳平方逼近多项式。 解：由内积(f ,g )=
?
-1
1
dx x g x f )()(, 令?0=1，?1=x 2, ?2=x 4,
计算知法方程()()
()()()
()()()
()?????
?? ??=????
??? ?????????
??),(),(),(,,,,,,,,,101010
1110101000n n n n n n n n f f f a a a ?????????????????????
得 ????
? ??=????? ??????? ??3121192725272523252322
210//////////a a a
解之得：
a 0=15/185=0.117… a 1=105/64=1.64… a 2=-105/128=-0.820…
最佳平方逼近多项式为: 0.117+1.64x 2-0.820x 4 (17). 求函数f(x)=x
1
在[1,3]上求关于函数族s p an {1,x }的最佳平方逼近多项式。 解：由内积(f ,g )= ?
3
1
dx x g x f )()(, 令?0=1，?1=x,
计算法方程
()()
()()()
()()()
()?????
?? ??=????
?
?? ?????????
??),(),(),(,,,,,,,,,101010
1110101000n n n n n n n n f f f a a a ?????????????????????
得???
? ??=???? ??????
??23326442
10ln /a a 解之得：
a 0=(13/2)ln3-6=1.14… a 1=3-3ln3=0.295…
最佳平方逼近多项式为: 1.14-0.295x (18). 求a,b,c 的值，使
?
---π
22dx cx bx a x )(sin 达到最小
解：就是求f(x)=sinx 关于函数族s p an {1,x,x 2 }在[0,π]上的最佳平方逼近。 由内积(f ,g )=
?
π
dx x g x f )()(, 令?0=1，?1=x, ?2=x 2
计算知法方程
()()
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??),(),(),(,,,,,,,,,101010
1110101000n n n n n n n n f f f a a a ?????????????????????
为???
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???=++=++=++054314322225
241304231203
2210πππππππππa a a a a a a a a
解之得：a 0=-14/π, a 1=72/π2, a 2=-60/π3
(19). 求a,b,c 的值，使
?
---π
2223dx cx bx a x )(达到最小
解：由唯一性知，a=0,b=0,c=3
(20). 什么是非线性最小二乘拟合问题？ (21). 回答下列问题：
（1） 求解线性最小二乘问题遇到的主要困难是什么？ （2） 用离散正交多项式进行拟合的主要优点是什么？
(22). 回答下列问题：
（1） 什么叫最佳多项式平方逼近？ （2） 什么叫最佳多项式一致逼近？ (23). 回答下列问题：
（1） 最佳平方逼近多项式与最小二乘拟合多项式在计算方法上有何相似之处？ （2） 二者区别是什么？ (24).
5. 数值积分
6. 微分方程数值解 答案 (2).
(3). 插值节点函数值相等最小二乘拟和乃综合偏差最小。
(4). 法方程组病态 (5). (6). (7). 3 (8).
(9). -17/4 正误题 (1). ( √ ) 线性方程组的条件数与其解法无关。
(2). (√ ) 设A 为可逆矩阵，α ∈ R 则 cond (α A ) = c ond (A ) 。 (3).
(√ ) R n 上一切向量范数都等价。 (4). (√ ) 矩阵A 的谱半径不超过||A ||1 。 (5).
(?) 在等式∑==
n
k k k
n x f a
x x x f 0
10)(],,,[ 中, 系数a k 与函数f (x )有关。
(6).( ?)说微分方程初值问题的数值方法是p阶的，指的是其局部截断误差是与h p同阶的无穷
小,其中h为步长。
(7).( ? ) Gauss点与积分区间无关但与被积函数有关。
(8).( √ ) 微分方程初值问题的Euler方法第一步的局部截断误差等于第一步的整体截断误差。1.
计算方法实验报告 专业班级：医学信息工程一班姓名：陈小芳学号：201612203501002 实验成绩： 1．【实验题目】 插值法与曲线拟合 2．【实验目的】 3．【实验内容】 4. 【实验要求】
5. 【源程序（带注释）】 （1）拉格朗日插值 #include
插值法和拟合实验报告 一、 实验目的 1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性； 2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理； 3.利用matlab 编程，学会matlab 命令； 4.掌握拉格朗日插值法； 5.掌握多项式拟合的特点和方法。 二、 实验题目 1.、插值法实验 将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点 k x 的值，进行不同类型 的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： ;11)(2x x f += ;a r c t a n )(x x f = .1)(42 x x x f += (1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值. 2、拟合实验 给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数 ),(i i y x 和拟合函数的图形。 三、 实验原理 1.、插值法实验
∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--= =-= ==-=-=----==++==j i j j i i i i i n i i n n j i j j n j i j j i i n j i j j n i i i n i i n n n o i n i i n x x x x x y x l x L x x c n i x x c x x x c x x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00 ,0,0,01100 00 )(l )()() (1 ,1,0, 1)()(l ) ()())(()()()()()()()(， 故， 得 再由，设 2、拟合实验
实验三 插值法与拟合实验 一、实验目的 1. 通过本实验学会利用程序画出插值函数，并和原图形相比较 2. 通过本实验学会拟合函数图形的画法，并会求平方误差 二、实验题目 1. 插值效果的比较 实验题目：区间[]5,5-10等分，对下列函数分别计算插值节点k x 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： 2 11)(x x f +=； x x f arctan )(=； 4 41)(x x x f += （1） 做拉格朗日插值； （2） 做三次样条插值. 2. 拟合多项式实验 实验题目：给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形. 三、实验原理 本实验应用了拉格朗日插值程序、三次样条插值程序、多项式拟合程序等实验原理. 四、实验内容 1（1） figure x=-5:0.2:5; y=1./(1+x.^2); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=1./(1+x1.^2); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25);
m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 1（2） x=-5:0.2:5; y=atan(x); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=atan(x1); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 1（3） x=-5:0.2:5; y=x.^2./(1+x.^4); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=x1.^2./(1+x1.^4); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 2. x=[-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5]'; y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55]'; plot(x,y,'or'); hold on %三次多项式拟合 p1=mafit(x,y,3);
利用matlab实现插值与拟合实验 张体强1026222 张影 晁亚敏 [摘要]：在测绘学中，无论是图形处理，还是地形图处理等，大多离不开插值与拟合的应用，根据插值与拟合原理，构造出插值和拟合函数，理解其原理，并在matlab平台下，实现一维插值，二维插值运算，实现多项式拟合，非线性拟合等，并在此基础上，联系自己所学专业，分析其生活中特殊例子，提出问题，建立模型，编写程序，以至于深刻理解插值与拟合的作用。 [关键字]: 测绘学插值多项式拟合非线性拟合 [ Abstract]: in surveying and mapping, whether the graphics processing, or topographic map processing and so on, are inseparable from the interpolation and fitting application, according to the interpolation and fitting theory, construct the fitting and interpolation function, understanding its principle, and MATLAB platform, achieve one-dimensional interpolation, two-dimensional interpolation, polynomial fitting, non-linear fitting, and on this basis, to contact their studies, analysis of their living in a special example, put forward the question, modeling, programming, so that a deep understanding of interpolation and fitting function. [ Key words]: Surveying and mapping interpolation polynomial fitting nonlinear
MATLAB中的插值、拟合与查表 插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。 如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。用简单函数y=φ(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的。φ(x)可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；φ(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。在许多应用中，通常要用一个解析函数（一、二元函数）来描述观测数据。 根据测量数据的类型： 1．测量值是准确的，没有误差。 2．测量值与真实值有误差。 这时对应地有两种处理观测数据方法： 1．插值或曲线拟合。 2．回归分析（假定数据测量是精确时，一般用插值法，否则用曲线拟合）。 MATLAB中提供了众多的数据处理命令。有插值命令，有拟合命令，有查表命令。 2.2.1 插值命令 命令1 interp1 功能一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。各个参量之间的关系示意图为图2-14。 格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y的内插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩阵，则按Y的每列计算。yi是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。 yi = interp1(Y,xi) %假定x=1:N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数。 yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；
插值和拟合 实验目的：了解数值分析建模的方法，掌握用Matlab进行曲线拟合的方法，理解用插值法建模的思想，运用Matlab一些命令及编程实现插值建模。 实验要求：理解曲线拟合和插值方法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。 实验内容： 一、插值 1．插值的基本思想 ·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数y= f （x）产生； ·构造一个相对简单的函数y=P(x)； ·使P通过全部节点，即P (xk) = yk，k=0,1,…, n ； ·用P (x)作为函数f ( x )的近似。 2．用MA TLAB作一维插值计算 yi=interp1(x，y，xi，'method') 注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值方法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值；缺省时：线性插值）。注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。 练习1：机床加工问题 每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步。 表3-1给出了下轮廓线上的部分数据 但工艺要求铣床沿x方向每次只能移动0.1单位. 这时需求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。 试完成加工所需的数据，画出曲线. 步骤1：用x0，y0两向量表示插值节点； 步骤2：被插值点x=0:0.1:15; y=y=interp1(x0,y0,x,'spline'); 步骤3：plot(x0,y0,'k+',x,y,'r') grid on 答：x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ]; x=0:0.1:15; y=interp1(x0,y0,x,'spline'); plot(x0,y0,'k+',x,y,'r') grid on
m a t l a b实现插值法和 曲线拟合
插值法和曲线拟合 电子科技大学 摘要：理解拉格朗日多项式插值、分段线性插值、牛顿前插，曲线拟合，用matlab编程求解函数，用插值法和分段线性插值求解同一函数，比较插值余项；用牛顿前插公式计算函数，计算函数值；对于曲线拟 合，用不同曲线拟合数据。 关键字：拉格朗日插值多项式；分段线性插值；牛顿前插；曲线拟合 引言： 在数学物理方程中，当给定数据是不同散点时，无法确定函数表达式，求解函数就需要很大的计算量，我们有多种方法对给定的表格函数进行求解，我们这里，利用插值法和曲线拟合对函数进行求解，进一步了解函数性质，两种方法各有利弊，适合我们进行不同的散点函数求解。 正文： 一、插值法和分段线性插值 1拉格朗日多项式原理 对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点： 其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。 假设任意两个不同的x j都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为： 其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为： [3] 拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点 上取值为0。 2分段线性插值原理 给定区间[a,b], 将其分割成a=x 0 第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。 插值和拟合区别 运输1203黎文皓通过这个学期的《科学计算与数学建模》课程的学习，使我掌握了不少数学模型解决实际问题的方法，其中我对于插值与拟合算法这一章，谈一谈自己的看法可能不是很到位，讲得不好的地方也请老师见谅。 首先，举一个简单的例子说明一下这个问题。 如果有100个平面点，要求一条曲线近似经过这些点，可有两种方法：插值和拟合。 我们可能倾向于用一条（或者分段的多条）2次、3次或者说“低次”的多项式曲线而不是99次的曲线去做插值。也就是说这条插值曲线只经过其中的3个、4个（或者一组稀疏的数据点）点，这就涉及到“滤波”或者其他数学方法，也就是把不需要90多个点筛选掉。如果用拟合，以最小二乘拟合为例，可以求出一条（或者分段的多条）低次的曲线（次数自己规定），逼近这些数据点。具体方法参见《数值分析》中的“线性方程组的解法”中的“超定方程的求解法”。经过上面例子的分析，我们可以大致的得到这样一个结论。插值就是精确经过，拟合就是逼近。 插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分。他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律目的，即通过"窥几斑"来达到"知全豹"。 所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调 整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λ3), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。 而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。 从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个(或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。 不过是插值还是拟合都是建立在一定的数学模型的基础上进行的。多项式插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数的近似表达式的问题，但是在逼近曲线上有明显的缺陷，很可能不能很好的表示函数的走向，存在偏差，在实际问题中我们往往通过函数近似表达式的拟合法来得到一个较为准却的表达式。 第七讲插值方法与数据拟合 § 7.1 引言 在工程和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据(x i , y i ) (i= 1, 2, …, n) 揭示自变量x与因变量y 之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式y = f (x) 来表示。函数f (x) 的产生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可采用两种方法：插值与数据拟合。 § 7.1.1 插值方法 1．引例1 已经测得在北纬32.3?海洋不同深度处的温度如下表： 根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度（如500米、600米、1000米…）处的水温。 解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。 2．插值问题的基本提法 对于给定的函数表 其中f (x) 在区间[a, b] 上连续，x0，x1，…，x n为[a, b] 上n + 1个互不相同的点，要求在一个性质优良、便于计算的函数类{P(x)} 中，选出一个使 P(x i ) = y i，i= 0, 1, …, n(7.1.1) 成立的函数P(x) 作为 f (x) 的近似，这就是最基本的插值问题（见图7.1.1）。 为便于叙述，通常称区间[a, b] 为插值区间，称点x0，x1，…，x n为插值节点，称函数类{P(x)} 为插值函数类，称式(7.1.1) 为插值条件，称函数P(x) 为插值函数，称f (x) 为被插函数。求插值函数P(x) 的方法称为插值法。 § 7.1.2 数据拟合 1．引例2 在某化学反应中，已知生成物的浓度与时间有关。今测得一组数据如下： 根据这些数据，我们希望寻找一个y = f (t) 的近似表达式（如建立浓度y与时间t之间的经验公式等）。从几何上看，就是希望根据给定的一组点（1, 4.00），…,（16, 10.60），求函数y = f (t) 的图象的一条拟合曲 实验报告三 一、实验目的 通过本实验的学习，各种插值法的效果，如多项式插值法，牛顿插值法，样条插值法，最小二乘法拟合（即拟合插值），了解它们各自的优缺点及插值。 二、实验题目 1、 插值效果比较 实验题目：将区间[]5,5-10等份，对下列函数分别计算插值节点k x 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： 211)(x x f +=；x x f arctan )(=；4 2 1)(x x x f +=。 （1） 做拉格朗日插值； （2） 做三次样条插值。 2、 拟合多项式实验 实验题目：给定数据点如下表所示： i x -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 i y -4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55 分别对上述数据做三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数()i i y x ,和拟合函数的图形。 三、实验原理 n 阶拉格朗日插值 设已知n x x x ,,,10 及()()()x L n i x f y n i i ,,,1,0 ==为不超过n 次的多项式，且满足 插值条件()().,,1,0n i y x L i i n ==由对()x L 2的构造经验，可设 ()()()()(),11000 n n n i i i n y x l y x l y x l y x l x L +++==∑= 其中，()()n i x L i ,,1,0 =均为n 次多项式且满足() .,,1,0,, ,0, ,1n j i j i j i x l j i =?? ?≠==不难验 证，这样构造出的()x L n 满足插值条件。因此问题归结为求()()n i x l i ,,1,0 =的表达式。因 ()i j x i ≠是n 次多项式()x l i 的n 个根，故可设 试验二 插值法 一、 实验目的 （1） 学会Lagrange 插值和牛顿插值等基本插值方法； （2） 讨论插值的Runge 现象，掌握分段线性插值方法 （3） 学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。 二、 实验要求 （1） 按照题目要求完成实验内容； （2） 写出相应的Matlab 程序； （3） 给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； （4） 分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。 （5） 写出实验报告。 三、 实验步骤 1、用编好的Lagrange 插值法程序计算书本P66 的例1、用牛顿插值法计算P77的例1。 2、已知函数在下列各点的值为： 试用 4 次牛顿插值多项式4()P x 对数据进行插值，根据 ｛(,),0.20.08,0,1,2, ,10i i i x y x i i =+=｝ ，画出图形。 3、在区间[-1,1]上分别取10,2n =用两组等距节点对龙格函数 2 1 (),(11)125f x x x = -≤≤+作多项式插值，对不同n 值，分别画出插值函数及()f x 的图 形。 4、下列数据点的插值 可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。 （1）用这9个点作8次多项式插值 8() L x。 附：试验报告格式样本（正式报告这行可删除） 佛山科学技术学院 实 验 报 告 课程名称 数值分析 实验项目 插值法 专业班级 姓名 学号 指导教师 成 绩 日 期 月 日 一、实验目的 1、学会Lagrange 插值、牛顿插值和 分段线性插值等基本插值方法； 2、讨论插值的Runge 现象，掌握分段线性插值方法 3、学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。 二、实验原理 1、拉格朗日插值多项式 2、牛顿插值多项式 3、分段线性插值 三、实验步骤 1、用MA TLAB 编写独立的拉格朗日插值多项式函数 2、用MA TLAB 编写独立的牛顿插值多项式函数 3、利用编写好的函数计算本章P66例1、P77例1的结果并比较。 4、已知函数在下列各点的值为： 试用 4 次牛顿插值多项式4()P x 对数据进行插值，根据 ｛(,),0.20.08,0,1,2, ,10i i i x y x i i =+=｝ ，画出图形。 实验 2 插值与拟合 系班姓名学号 【实验目的】 1、掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目， 对三种插值结果进行初步分析。 2、掌握用MATLAB作线性最小二乘的方法。 3、通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。 【实验内容】 预备：编制计算拉格朗日插值的M文件： 以下是拉格朗日插值的名为y_lagrl的M文件： function y=y_lagr1(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end 第1题（d） 选择函数y=exp(-x2) (-2≤x≤2),在n个节点上（n不要太大，如5~11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m要适中，如50~100）。通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。适当增加n，在作比较，由此作初步分析。 运行如下程序： n=7;m=61;x=-2:4/(m-1):2; y=exp(-x.^2); z=0*x; x0=-2:4/(n-1):2; y0=exp(-x0.^2); y1=y_lagr1(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x); y3=interp1(x0,y0,x,'spline'); [x'y'y1'y2'y3'] plot(x,z,'w',x,y,'r--',x,y1,'b:',x,y2,'m',x,y3,'b') gtext('y=exp(-x^2)'),gtext('Lagr.'),gtext('Piece.-linear.'),gtext ('Spline'), 将三种插值结果y1,y2,y3与精确值y 项比较，显然y1在节点处不光滑,拉格朗日插值出现较大的振荡,样条插值得结果是最好的.增加n 值（使n=11），再运行以上程序，得到的图形如右图所示，比较这两个图可发现，节点增加后，三种插值方法结果的准确度均有所提高，因此可近似地认为：增加节点个数可以提高插值结果的准确程度。 第3题 用给定的多项式，如y=x 3-6x 2+5x-3，产生一组数据（x i ,y i ,i=1,2,…,n ），再在yi 上添加随机干扰（可用rand 产生（0，1）均匀分布随机数，或用randn 产生N （0，1）分布随机数），然后用x i 和添加了随机干扰的y i 作3次多项式拟合，与原系数比较。如果作2或4次多项式拟合，结果如何？ 解：2 编制y_2_3.m 文件 n=15; x=0:8/(n-1):8; y=x.^3-6*x.^2+5*x-3; z=0*x; y0=y+rand(1,15); f=polyfit(x,y0,m); r=polyval(f,x) pl2ot(x,z,'k',x,y,'r:'r,'b') 程序及运行结果如下：m=2 ,y_2_3 f = 5.9888 -31.9916 17.6679 m=3 ,y_2_3 Matlab中插值拟合函数汇总和使用说明 命令1 interp1 功能一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。 x：原始数据点 Y：原始数据点 xi：插值点 Yi：插值点 格式 (1)yi = interp1(x,Y,xi) 返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y 的内插值决定。参量x 指定数据Y 的点。 若Y 为一矩阵，则按Y 的每列计算。yi 是阶数为 length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。 (2)yi = interp1(Y,xi) 假定x=1:N，其中N 为向量Y 的长度，或者为矩阵Y 的行数。(3)yi = interp1(x,Y,xi,method) 用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算； ’spline’：三次样条函数插值。对于该方法，命令interp1 调用 函数spline、ppval、mkpp、umkpp。这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。命令spline 用它们执行三次样条函数插值； ’pchip’：分段三次Hermite 插值。对于该方法，命令interp1 调用函数pchip，用于对向量x 与y 执行分段三次内插值。该方法保留单调性与数据的外形； ’cubic’：与’pchip’操作相同； ’v5cubic’：在MATLAB 5.0 中的三次插值。 对于超出x 范围的xi 的分量，使用方 法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值算法，相应地将返回NaN。对其他的方法，interp1 将对超出的分量执行外插值算法。 (4)yi = interp1(x,Y,xi,method,'extrap') 对于超出x 范围的xi 中的分量将执行特殊的外插值法extrap。(5)yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval) 确定超出x 范围的xi 中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN 或0。 例1 1. 2.>>x = 0:10; y = x.*sin(x); 3.>>xx = 0:.25:10; yy = interp1(x,y,xx); 4.>>plot(x,y,'kd',xx,yy) 例2 1. 1 山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表：(平面区域1200<=x<=4000,1200<=y<=3600)，试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。 2 用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi 和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。如果作2或4次多项式拟合，结果如何？ 3 用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为，其中V0是电容器的初始电压，是充电常数。试由下面一组t，V数据确定V0，。 2用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。 分别作1、2、4、6次多项式拟合，比较结果，体会欠拟合、过拟合现象。 解：程序如下： x=1:0.5:10; y=x.^3-6*x.^2+5*x-3; y0=y+rand; f1=polyfit(x,y0,1)%输出多项式系数 y1=polyval(f1,x);%计算各x点的拟合值 plot(x,y,'+',x,y1) grid on title('一次拟合曲线'); figure(2); f2=polyfit(x,y0,2)%2次多项式拟合 y2=polyval(f2,x); plot(x,y,'+',x,y2); 计算方法实验 题目： 班级： 学号： 姓名： 目录 计算方法实验 (1) 1 实验目的 (3) 2 实验步骤 (3) 2.1环境配置： (3) 2.2添加头文件 (3) 2.3主要模块 (3) 3 代码 (4) 3.1主程序部分 (4) 3.2多项式方程部分 (4) 3.3核心算法部分 (8) 3.4数据结构部分 (13) 4运行结果 (19) 4.1拉格朗日插值法运行结果 (19) 4.2牛顿插值法运行结果 (20) 4.3多项式拟合运行结果 (20) 5总结 (21) 拉格朗日插值法 (21) 牛顿插值法 (21) 多项式拟合 (21) 6参考资料 (22) 1 实验目的 1.通过编程对拉格朗日插值法、牛顿插值法以及多项式拟合数据的理解 2.观察上述方法的计算稳定性和求解精度并比较各种方法利弊 2 实验步骤 2.1环境配置： VS2013，C++控制台程序 2.2添加头文件 #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "stdafx.h" 2.3主要模块 程序一共分成三层，最底层是数据结构部分，负责存储数据，第二层是交互部分，即多项式方程部分，负责输入输出获得数据，最上层是核心的算法部分，负责处理已获得的数据。具体功能如下： ●数据结构部分 数据结构部分是整个程序的最底层，负责存储部分。因方程系数作为数据元素插入和删除操作较少，而顺序表空间利用率大且查看方便，故此程序选用顺序表保存系数。数据结构文件中写的是有关顺序表的所有基本操作以供其他文件调用。本次实验使用列主元高斯消元法作为求解方程组的方法，所以也用了二维顺序表存储数组。综上，数据结构部分文件是前两个试验的文件内容和，稍作修改。 ●常系数微分方程部分 多项式方程部分是程序的第二层，内容主要是常系数微分方程导数的计算和显示菜单部分。 ●算法部分 算法部分分为两个文件，一个是插值部分，一个是拟合部分。 插值部分文件负责有关插值的核心算法，处于整个程序最上层部分，负责拉格朗日插值法和牛顿插值法的具体实现过程。调用方程文件的函数，将获得的数据进行处理运算，将结果返回给方程主函数和输出的第二层。每种方法有两个函数，一个为仅仅实现一次插值的算法，另一个是和方程部分联系的 关于几种曲线拟合基本方法的比较 学院：材料科学与工程学院专业：材料学（博）姓名：郑文静学号：1014208040 在实际工作中，变量之间的关系未必都是线性关系，更多时候，它们之间呈现出了曲线关系，在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到一些x和y数据，为了对位置点进行研究，很多时候，我们通过曲线拟合的方式，将这些离散点近似为一条连续的曲线，从而来预测或者得到所需结果。曲线拟合的方法很多，本文中，主要讨论了曲线拟合的三种基础方法--插值法、磨光法、最小二乘法的特点，并对其在科学实验和生产实践中的应用性进行了比较。 插值法是函数逼近的一种基本方法，插值法就是通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。插值法中，选取不同的插值公式，来满足实际或运算需求，得到拟合的函数。其中，最基础的插值方法是三弯矩法，该方法是利用拉格朗日插值为基础，已知平面中的n+1个不同点，寻找一条n次多项式曲线通过这些点。该曲线具有唯一性。另外，还有三转角法，该方法是利用Henmiter插值为基础，其思路与三弯矩法相同，已知条件有所差别，在Henmiter插值中，不仅已知函数在一些点的函数值，而且，还知道它在这些点的导数值，甚至知道其高阶导数值，要求所求函数不仅满足过这些点，同时也要求其导函数，甚至高阶导函数满足条件。采用Henmiter插值法求得的多项式比拉格朗日法求得的多项式有较高的光滑逼近要求。此外，还有以分段和B-样条函数为基础的δ-基函数法，其中，样条函数是：对于[a,b]上的划分，称函数S(x)为[a,b]上关于划分△的k次样条函数，记做S k，△[a,b]。该方法避免了高次插值可能引起的大幅度波动现象，在实际中通常采用分段低次插值来提高近似程度。插值法常用于填充图像变换时像素之间的空隙。 磨光法是适应保凸性要求的数据拟合方法。积分可以改变函数的光滑度，而微商是积分的逆运算，对函数进行积分，然后在微商，可以将函数还原。而差商近似为微商，对函数积分后差商，可以将函数近似还原，同时可以更光滑，这种变换就是磨光。可以采用其他方法拟合得到函数，对于不光滑的点采用一次或多次磨光，得到更加光滑连续的函数。这种方法常用于外形设计。 最小二乘法也是函数逼近的一种基本方法。该方法不要求拟合曲线通过已知点，而是通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。其解题步骤是：首先通过数据点，确定其可能所属的函数类型；然后，设出函数，并求出误差平方和的表达式；之后，由表达式对函 曲线拟合的数值计算方法实验 郑发进 2012042020022 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i，Y i)（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c1，c2，…c n)是一些待定参数。 第三章 插值方法与数据拟合 所讨论的问题给复杂的函数 ()f x 找一简单的函数()p x 如多项式、三角函数 等，并让其满足一定的条件，让其近似的取代原函数 ()f x 。 或 有一数据表格，我们需要找一函数取近似的表征该表数据。 §1 拉格朗日（L a g r a n g e ）插值 在函数类中多项式具有最简单的性质。 1230123()...n n p x a a x a x a x a x =+++++ 设 ()y f x =在区间[a ，b ]连续的实函数已知在该区间上n +1个不同点i x 的函 数值()1,2,...,i i y f x i n == 或 有数据表有1n +对数据 1,2,...,i i x y i n →= 插值节点 我们需要找一个n 次多项式 1230123()...n n p x a a x a x a x a x =+++++ 使得在这些点上函数值等于插值节点的值。 ()i i y p x = 1、线性插值 已知两个点的函数值：0 011x y x y →→ 做一线性函数使得在两个节点上函数值为节点值。 0011() ()y p x y p x == 函数为： 0011 01 010110 ()()()p x l x y l x y x x x x y y x x x x =+--=+-- 基函数()i l x 为一次函数，且在节点上 1()0j i i j j i x x l x x x =??=?≠?? 几何意义：过两点做直线。按x 变化量平均。 2、抛物线插值 已知三个点的函数值：0 01122x y x y x y →→→ 做二次函数使得在三个节点上函数值为节点值。 001122() ()()y p x y p x y p x === 函数为： 001122 0012 21012010210122021 ()()()()p x l x y l x y l x y x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x =++------=++------ 基函数()i l x 为二次函数，且在节点上 1()0j i i j j i x x l x x x =??=?≠?? 3、拉格朗日插值 已知n +1个点的函数值：0 011,....,n n x y x y x y →→→ 做n 次函数使得在n +1个节点上函数值为节点值。 0011() (),...,()n n y p x y p x y p x === 函数为： 插值法与曲线拟合上机报告 江帆2010042020009 电子科技大学，物理电子学院,四川,成都 摘要：本文对插值法和曲线拟合进行了研究和分析，对拉格朗日插值法、分段线性插值法，就实例计算了拉格朗日插值法的五次插值函数和分段线性插值插值函数，画出了两者图像，比较了他们的插值余项。对于牛顿前插公式的插值余项进行了研究。就实例对给定的数据进行了二次拟合和指数函数拟合，比较了他们的拟合优劣。 关键字：雅各比迭代法，高斯迭代法，LU分解法，追赶法，线性方程组 引言 在生产实际以及科学实验中经常要研究变量之间的函数关系，但是在很多情况下很难找到具体的函数表达式，往往只能用测量或者观察获得一张数据表，即根据这种用表格形式给出的函数无法得到不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的分析性质，。有的虽然能给出一个函数的分析表达式，但是式子很复杂,不适合使用。为了解决这些问题，我们设法通过这张表格求出一个简单函数P(x)，使这种球P(x)的方法称为插值法。 对于插值法由于节点上的函数值一般测量或实验得到的数据，如果个别点的误差较大插值函数保留了这些误差，影响逼近的精度。为此我们希望用另外的方法构造逼近函数，使得从总体上趋势上更能反映被逼近函数的特性，希望求得的逼近函数与已给的函数总体上来说其偏差按某种方法度量能达到最小。这就是曲线拟合。 1.拉格朗如插值法 1.1 理论原理 通常我们采用构造法，即直接构造一个满足差值条件式的n次插值多项式。若令则有，和被称为一次差值的基本插值多项式。利用基本插值多项式容易得出满足条件的n次插值多项式。常n次拉格朗日插值多项式，常记为，即 1.2 算法描述 设方程组的系数矩阵的对角线元虚为迭代次数容许的最大值，为容许误差。 （1）取Xi初值0.25到0.75，步长为0.001，令。数学建模案例分析插值与拟合方法建模1数据插值方法及应用
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