目录
1.引言 (2)
2.行列式的概念 (2)
2.1排列与逆序 (2)
2.2 n阶行列式的定义 (2)
2.3 行列式的基本性质 (3)
2.4 行列式按行（列）展开定理 (4)
2.5 重要公式与结论 (5)
2.6 范德蒙德行列式的性质 (6)
3.行列式的若干应用 (6)
3.1行列式在线性方程组中的一个应用（克拉默法则的应用） (6)
3.2行列式在初等代数中的几个应用 (7)
3.2.1用行列式分解因式 (8)
3.2.2用行列式证明不等式和恒等式 (8)
3.3.行列式在解析几何中的几个应用 (8)
3.3.1用行列式表示公式（泰勒公式的行列式表示法） (8)
3.3.2用行列式表示三角形面积 (8)
3.3.3用行列式表示直线方程 (9)
4.范德蒙德行列式的若干应用 (10)
4.1范德蒙德行列式在行列式计算中的应用 (10)
4.2范德蒙德行列式在微积分中的应用 (11)
4.3范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用 (12)
4.4范德蒙德行列式在线性变换理论中的应用. (13)
结论 (14)
致谢 (14)
行列式及其应用
任兰兰,数学计算机科学学院
摘要:行列式是线性代数一个重要的基本工具.本文首先对行列式的相关概念做了介绍,包括行列式的定义,性质,常见公式及结论等,然后通过例题详细介绍了行列式在线性方程组,初等代数以及解析几何中的应用,以及范德蒙行列式在微积分以及向量空间等方面的应用等.文章最后对行列式及其应用做了总结.
关键词:行列式;范德蒙德行列式;克拉默法则
The Determinants and Their Applications Abstract:The determinant is one of the elementary tools in linear algebra. We first introduce the corresponding conceptions of the determinants, such as the definition, the properties, the ordinary formulas and conclusions, then we discuss in detail the applications of the determinants in linear equations, elementary algebra, and analytic geometry and so on, we also discuss the applications of the Vandermonde determinant in calculus and vector space. Finally we summarize the advantages of the determinants.
Key words:Determinant; Vandermonde determinant; Cramer rule
1.引言
行列式是研究数学问题的重要工具之一,行列式的运算使问题的解决变得简单,让我们首先来介绍行列式有关的重要概念,定理,公式及其性质.其次我们介绍行列式的若干应用.
2.行列式的概念
2.1排列与逆序
定义1 n 级排列:由n 个自然数1,2,,n 组成的一个无重复的有序数组
12n i i i 称为一个n 级排列,n 级排列共有!n 个.
定义2 逆序:在一个n 级排列中,如果一个较大的数排在一个较小数之前,就称这两个数构成一个逆序,一个排列中逆序的总数,称为这个排列的逆序数.用
12()n i i i τ 或τ表示排列12n i i i 的逆序数.
如果排列12n i i i 的逆序数为偶数,则称它为偶排列.如果排列的逆序数为奇数,则称它为奇排列.
定义3 对称:排列12n i i i 中,交换任意两数t i 与s i 的位置,称为一次对换.对换改变排列的奇偶性.任何一个排列都可经过若干次对换变成自然顺序,并且所作对换的次数与这个排列有相同的奇偶性.
例2.1.1 求下列排列的逆序数,并确定它们的奇偶性
(1)53214;(2)(1)321n n -?? ;(3)135(21)246(2)n n - 解 （1）(53214)=4+2+1+0=7τ为奇排列. （2）(1)
((1)321)=(n-1)+(n-2)++2+1=2
n n n n τ--?? 由于
(1)
2
n n -的奇偶性需根据n 而定,故讨论如下： 当4n k =时,(1)2(41)2n n k k -=-是偶数;当41n k =+时,(1)
2(41)2
n n k k -=+是偶数;
当42n k =+时,(1)
(21)(41)2
n n k k -=++是奇数;当43n k =+时,
(1)
(21)(43)2
n n k k -=++是奇数. 综上所述,当4n k =或41n k =+时,此排列为偶排列;当42n k =+或43k +时,
此排列为奇排列,其中k 为任意非负整数. （3）该排列中前n 个数1,3,5,,(2
1n -
之间不构成逆序,后n 个数
2,4,6,,2
n 之间也不构成逆序,只有前n 个数与后n 个数之间才构成逆序. (1)
(135(21)246(2))012(1)2
n n n n n τ--=++++-=
,
奇偶性情况与（2）完全一样. 2.2 n 阶行列式的定义
由2n 个元素(,1,2,,)ij a i j n = 组成的记号
121211121212221212=
=
(1)n n
n n t p p np p p p n n nn
a a a a a a D a a a a a a -∑
其中12,n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列,t 为这个排列的逆序数,求和 符号
12n
p p p ∑
是对所有排列12n p p p 求和.
n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素,位于第i 行第j 列的元素ij a 叫做D 的(,)i j 元.
例2.2.1 若12335544i i a a a a a 是五阶行列式中带有正号的一项,求,i j 的值? 解 由行列式的定义知,每一项应取自不同行不同列的五个元素之积,因此
,i j 只能取,i j ,当2,1i j ==时，此时应取负号;当1,2i j ==时,11233552441123354452a a a a a a a a a a =,且(13542)4τ=为偶排列.所以1,2i j ==. 2.3 行列式的基本性质
（1）行列式与它的转置行列式的值相等,即T D D =.
111211121121222122221212=
n n n n n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
（2）互换行列式的任意两行（列）,行列式的值将改变正负号.
111212122221222111211212=n n n n n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
—
特别地,如果行列式有两行（或两列）完全相同,则行列式的值等于零.
（3）行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号外面. （数乘行列式等于用这个数乘该行列式中的某一行（列）.
1112121111211212222212221121122=n n n n
n n n i
i n n nn
n n n nn
b a b a b a a a a b a b a b a a a a b a a a b a b a b a =∏
特别地,若行列式中有一行（或列）元素全为零,则该行列式的值为零.
（4）行列式具有分行（列）相加性.
111211112111121212222122221222112212121
12122=+n n n n n n i i i i in in i i in
i i in
n nn
n n nn
n n nn
n a a a a a a a a a a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++
（5）行列式中若有两行（或两列）元素对应成比例,则该行列式的值为零.
（6）将行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数k 后加到另一行（列） 对应的元素上,行列式的值不变.
1112121222111212122211221212
1
2
12=n
n n n i j i j in jn i i in
j j jn
n nn
n n n nn
a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a
a a a a a a a +++
（7）分块行列式的值等于其主对角线上两个子行列式的值的乘积. 例2.3.1 （1）设A 是33?矩阵,B 为44?矩阵,且1A =，2B =-,求B A ?
（2）设A 是33?矩阵,=-2A ,把A 按列分块为123(,,A A A A =）,其中 (1,2,3)j A j =是A 的第j 列,求31212,3,A A A A -.
（3）设αβγ，，是方程30x px q ++=的三个根,求行列式αβγ
γαββγα
?
解 （1）3
3(2)18B A B A ==-?=-.
（2）31213211212,3,=,3,-2,3,A A A A A A A A A A -+,对于1212,3,A A A -,第一列和最后一列对应元素成比例,故其值为零,而
321123123,3,=,3,=3,,=3=6A A A A A A A A A A ---.
（3）由根与系数的关系知0αβγ++=,于是
0==00αβγαβγβγβγγαβαβγαβαββγααβγγαγα
++++++. 2.4 行列式按行（列）展开定理
定义4 在n 阶行列式中,把,)i j （元ij a 所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的1n -阶行列式叫做(,)i j 元ij a 的余子式,记作ij M .
111211111(1)1(1)2(1)1(1)1(1)(1)1(1)2(1)1(1)1(1)1
2(1)
(1)j j n i i i j i j i n ij i i i j i j i n n n n j n j nn
a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a a -+-----+-+++-+++-+=
(1)i j ij ij A M +=-,ij A 叫做,)i j （元ij a 的代数余子式.
引理1 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除(,)i j 元ij a 外都为零，那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij D a A =
定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和;
推论3行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即
11221,
++(1,2,,)0,n
ij kj i k i k in kn j D i k a A a A a A a A i n i k ==?=+==?≠?∑ 或11221,
++(1,2,,)0.n
ij ik j k j k nj nk i D j k a A a A a A a A j n j k ==?=+==?
≠?
∑ 例 2.4.1设1578
111120361234
D =
,求41424344A A A A +++,其中4j A 为元素4j a ,
1,2,3,4j =的代数余子式.
解 4142434441424344
1578
1111=1111020361111
A A A A A A A A +++?+?+?+?=
=.
例 2.4.2 设n 阶行列式000101
0002
1
00001
1
0000
A n n
=-
,求A 中所有元素的代数余
子式之和.
解 A 中所有元素的代数余子式,即A *中的所有元素.而
(1)(2)
1
2
000
10002001==(1)
!100000000n n n n A A A n n --*--??
??-????-??
?????
?
A 中的所有元素的代数余子式之和,即A *
的所有元素之和为(1)(2)
2
(1)
(1)
2!
n n n n n --+-? 2.5 重要公式与结论
（1）设A 为n 阶方阵,则det()A (或A )表示对应的行列式,记为
'T A A A ==（“T ”,”’”均表示转置）
（2）设方阵A 可逆,则11A A
-=
（3）设*A 为A 的伴随矩阵,ij A 为ij a 的代数余子式.
1121112
222*12n n n n nn A A A A A A A A A A ??
??
??=??
??
??
,则1
*n A A -=.
（4）n kA k A =,(A 为n 阶方阵).
（5）00,,(1)00
mn A C A B
A B A B A B B C B A ===-,其中A 为m 阶方阵,B 为n 阶方阵.
（6）范德蒙德（Vandermonde ）行列式
1
22
22121
111
12111()n
n n i j n i j n n n n x x x D x x x x x x x x ≥≥---==
-∏
2.6 范德蒙德行列式的性质
利用行列式的性质容易推得：
（1）若将范德蒙德行列式n D 逆时针旋转90 ,可得：
11
n(1)
112
1
1111-11n n n n n n n n n x x x x D x x ------=
（）
（2）若将范德蒙德行列式n D 顺时针旋转90 ,可得：
1111n(1)
222
111-11
n n n n n n n x x x x D x x ----=
（）
（3）若将范德蒙德行列式n D 旋转180 ,可得：
11111111
1
1n n n n n n n n x x x D x x x -----=
3.行列式的若干应用
3.1行列式在线性方程组中的一个应用
线形方程组
11112211211222221122......()...n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=?*???+++=?
克拉默法则：如果线性方程组()*的系数行列式不等于零。即0D ≠
那么，方程()*有唯一解：1212,,,n n D D D
x x x D D D
===
利用行列式求解n 元线性方程组得1,2,,i i D
x i n D
== ,其中
11121(1)11(1)11112121222(1)22(1)2212221212(1)(1)1,2,,i i n n
i i n n
i n n nn n n n i n n i nn
a a a
b a a a a a a a a b a a a a a D D i n a a a a a a b a a -+-+-+===
例 3.1.1 设曲线230123y a a x a x a x =+++通过四点(1,3),(2,4),(3,3),(4,3)-, 求系数0123,,,a a a a .
解 把四个点的坐标代入曲线方程,得线性方程组
01230123
012301233
2+48439273416643a a a a a a a a a a a a a a a a +++=??++=??
+++=??+++=-? 其系数行列式11
11
124813927141664
D =
是一个范德蒙德行列式, 123121=12D =?????,而
43
12
12
3133111
0100
224
0243242482224
=(-1)6618
06183392763618151248
31248
-341664
1541248
=
c c c c c c c c
D -+----=
--
----= 21
32424=(3)
336;618
06
r r ---==
2341311
1131
1113
144812481244=-18=24=-6.139271332713931-31664
14-364
1416-3
D D D =
=
=
；；
因此按克拉默法则,得唯一解01233,32,2,12a a a a ==-==-.即曲线方程为23313222
y x x x =-+-.
3.2行列式在初等代数中的几个应用 3.2.1用行列式分解因式
例3.2.1.1 分解因式3292448x x x --.
解 原式2
22
3163(38)(3)163(3816)338x x x x x x x x x x x
=--?==---
12443(4)
3[(38)44]=3()=33(34)(4)438438x x x x x x x r r x x x x x x ---=--?-=+---.
3.2.2用行列式证明不等式和恒等式
例3.2.2.1 已知0a b c ++=,求证3333a b c abc ++=. 证明 令3333D a b c abc =++-,则
123
000=0r r r a b c a b c a b c a b c D c a b
c a b c a b b c a
b
c
a
b c a
++++++++===
. 例3.2.2.2 已知1,1,1ax by bx cy cx ay +=+=+=，求证222ab bc ca a b c ++=++. 证明 令222()D ab bc ca a b c =++-++,则
3121101
1001
1
c c x c y
a b a b ax by a b D c a c a cx ay c a b c b c bx cy b c ++-+-=-+-==-+-=
. 3.3.行列式在解析几何中的几个应用 3.3.1用行列式表示公式[9]
设函数()f x 在0x 的某一领域内有定义,在0x 处有n 阶导数,则有
'''()2
00000000()()()(,,)()()()()1!2!!n n n f x f x f x P f x x f x x x x x x x n =+-+-++-
121200000(1)(2)
'1
22
0000''
2
2
00
()001()1()
(1)210(1)
1!2!!
()(1)(1)(2)2!00()
!
00
n n n n n n n n n n n x x x x f x x x x x f x nx n x x n f x n n x n n x f x n ----------=
---
3.3.2用行列式表示三角形面积
例3.3.2.1 已知平面中不共线的三点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ， 由这三点构成的三角形面积为1122331
1
12
1ABC x y S x y x y =
. 证明 如下图所示
2121313111(,)(,)sin 22
ABC
AB x x y y AC x x y y S AB AC AB AC θ→→
→→→
→=--=--==?，， 令AB AC AD →→→
?=,则
2121212121213131
3131
3131=0000
i j k
x x y y x x y y AB AC AD x x y y i j k k x x y y x x y y x x y y →
→
→
----?---=++
=
------
因此有
21213131
111sin 22212ABC
S AB AC AB AC AD x x y y x x y y θ→→→→→==?==--=
--
可以看出AD →
的大小与,i j 无关.现在取11(,,1)AD x y →
=即11,,1i x j y k ===. 则有
11112121212122313131313311
11101222
01
ABC
x y x y x x y y S x x y y x y x x y y x x y y x y --==--=---- 即1122331
1
12
1
ABC x y S x y x y =
,得证. 3.3.3用行列式表示直线方程
例3.3.3.1直线方程通过两点11(,)A x y 和22(,)B x y 的直线AB 的方程为
1122110()1
x y x y x y =*.
证明 由两点式,我们得直线AB 的方程为
212
212y y y y x x x x --=
--.
将上式展开并化简,得021122121=+-+--y x y x y x y x xy xy ,此式可进一步变形为
1
11
12
2
112121=+-y x y x x x y
y y x
此式为行列式()*按第三行展开所得结果.原式得证.
4.范德蒙德行列式的若干应用
4.1范德蒙德行列式在行列式计算中的应用
例4.1.1 求22223
3
3
3
+c
a b c
d a b c d D a
b
c
d
b c d a c d a b d a b =
+++++++
解 41
42222()
3
3
3
3
()1111
r r r a b c d a b c d
a b c d D a b c d a b c d
+÷++++++
把上式等号右边的行列式的最后一行依次与前面的行交换,共交换3次,得
2
2
2
2
3333
1111
()
a b c d D a b c d a b c d
a b c d =-+++
此为4阶范德蒙德行列式,得
()()()()()()()D a b c d b a c a d a c b d b d c =-+++------.
4.2范德蒙德行列式在微积分中的应用
例4.2.1确定常数,,,a b c d 使()cos()cos(2)cos(3)cos(4)f x a x b x c x d x =+++. 当0x →时为最高阶的无穷小,并给出其等价表达式.
解 对()f x 的各项利用泰勒公式,有
2462466
6(2)(2)(2)()[1()][1()]2!4!6!2!4!6!
x x x x x x f x a O x b O x =-+-++-+-+
2462466
6(3)(3)(3)(4)(4)(4)[1()][1()]2!4!6!2!4!6!
x x x x x x c O x d O x +-+-++-+-+
2222424411
(234)(234)24!a b c d a b c d x a b c d x =+++-+++++++
666661
(234)()6!
a b c d x O x -++++ 当0x →时,若()f x 最高阶无穷小在6阶以上,则有方程组
222
444
66602340
23402340a b c d a b c d a b c d a b c d +++=??+++=??+++=??+++=?
其系数行列式2224
4
4
666
111112341234
1234D =为范德蒙德行列式,由于0D ≠.故以,,,a b c d 为未知
数的方程组只有零解.0;0;0;0a b c d ====;从而()0f x ≡.这显然不合题意.故以下考虑()f x 当0x →时,最高阶无穷小为6阶的情形.
令222444023402340a b c d a b c d a b c d +++=??
+++=??+++=?,这等价于 222
444234234b c d a b c d a b c d a ++=-??++=-??++=-?
此时,,b c d 为未知数的线性方程组,其系数行列式为范德蒙德行列式
2221444
1111
123401234D =≠
方程组有唯一一组依赖于a 的解：92
2,,77
b a
c a
d a =-==-,从而()f x 在0x =的
领域内的最高阶无穷小,有下述形式的表达式：
76666661921
()=-[234]()()6!772
f x a a a a x O x ax O x -+??-??+=+
例4.2.2 设()f x 至少有k 阶导数,对某个实数α有
lim ()0,lim ()0k x x x f x x f x αα→∞
→∞
==
证明 ()lim ()00,1,2,,i x x f x i k α→∞
== .其中(0)()f x 表示()f x
证明 由已知条件,要证明()lim ()0i x x f x α→∞
=,只要将()()i f x 写成()f x 与()()
k f x 的线性组合即可.利用泰勒公式
21'''
(1)()
()()()()()()2!(1)!!
k k k k m m m m f x m f x mf x f x f x f k k ξ--+=+++++-
其中1,2,,m x x m m k ξ<<+= .这是关于'''(1)(),(),,()k f x f x f x - 的线性方程组.其系数行列式为
2(1)
2(1)
2(1)2(1)2(1)
2(1)
11112!(1)!2211
11122!(1)!
122233113
13332!(1)!1!2!(1)!
112!(1)!
k k k k k k k k D k k k k k
k k k
k --------==---
后一行列式为范德蒙德行列式,其值为1!2!(k-1)! ,故1D =,于是可从方程组(1)把
'''(1)(),(),,()k f x f x f x - 写成()(1,2,
,)f x m m k += 与()()(1,2,,)
k m f m k ξ= 的线性组合.我们只要证明()lim ()lim ()0(1,2,,)k m x x x f x m x f m k ααξ→∞
→∞
+=== 即可.事实上,设x t x k ≤≤+，于是
()()()lim ()lim()()lim()lim ()0(0,)i i i x x x x x x
x f t t f t t f t i k t t ααααα→∞→∞→∞→∞
==== 在此式中,分别令,0t x m i =+=和令,m t i k ξ==.则得
()lim ()lim ()0(1,2,,)k m x x x f x m x f m k ααξ→∞
→∞
+===
4.3范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用
例4.3.1 设v 是数域F 上的n 维向量空间,任给正整数m n ≥.则在v 中存m 个向量,其中任取n 个向量都线性无关.
证明 因为n F F ?,所以只须在n F 中考虑即可.取
21222122112(1,2,2,,2),(1,(2),(2),,(2)),,(1,(2),(2),,(2))n n m m n m m ααα---===
令1112222121122112(2)(2)12(2)(2)112(2)(2)n n n
k k k n k k k n n n k k k n D k k k m ---=≤≤≤≤≤
.则n D 是范德蒙德行列
式,且0n D ≠.所以123,,,,n k k k k a a a a 线性无关.
4.4范德蒙德行列式在线性变换理论中的应用
例4.4.1 设数域F 上的n 维向量v 的线性变换σ有n 个互异的特征值
12,,n λλλ ，,则
（1）与α可交换的v 的线性变换都是21,,,,n e σσσ- 的线性组合,这里e 为恒等变换.
（2）2
1
,,,,n ανασασασ
α-?∈ 线性无关的重要条件为1
n
i i αα==∑,这里
()1,2,,i i i x i n σλα== .
证明 （1）设δ是与σ可交换的线性变换,且=,1,2,,.i i i i n σαλα= （）则 1{}i k k F λα?=∈ 是δ的不变子空间,令21121n n xe x x x δσσσ--=++++ 且
()1,2,,i i i k i n σαα== .则由以下方程组
21
1112111212122212
21
121n n n n n n
n n n n k x x x x k x x x x k x x x x λλλλλλλλλ------?=++++?=++++??
??=++++?
（*） 因为方程组（*）的系数行列式是范德蒙德行列式,且
1()i j j i n
D λλ≤≤=
-∏
所以方程组（*）有唯一解,故δ是21,,,,n e σσσ- 的线性组合.
（2）充分性:因为1=n
i i αα=∑，所以
1
111122121
11(,(),,())(,,,)
1n n n n n n n λλλλασασααααλλ----=
并且
1
1112211
11=
()01n n i j j i n
n n n λλλλλλλλ--≤≤--≠∏
,所以
1
111221
111n n n n n λλλλλλ---
是可逆矩阵.又因为
12,,,n ααα 是v 的一组基，1,(),,()n ασασα- 线性无关.
必要性:设12,,,n e e e 是分别属于12,,n λλλ 的特征向量,则12,,,n e e e 构成v 的一个基,因而有1122n n k e k e k e α=+++ .若01,2,,i k i n ≠= .则i i k e 是σ的属于
i λ的特征向量,故结论成立.若存在{1,2,,}j n ∈ 使0j k ≠，不防设12,,,r k k k 全不为零.而10r n k k +=== .因而有1122r r k e k e k e α=+++ .则
1
1111111
2222212121
(,(),,())(,,,)
=(,,,)n n n n n n r r r r r k k k k k k e e e e e e A k k k λλλλασασ
αλλ----=?
利用范德蒙德行列式可知A 有一个r 阶子式不为零,所以()r A r =.从而
1(,(),,())n r ασασα-= .又因为r n 线性无关,所以1(,(),,())n ασασα- 线性无关,矛盾.从而1=n
i i αα=∑这里=1,2,,i i i i n σαλα= （）.
结论
在我们计算行列式时，可以根据行列式的性质进行化简繁杂的行列式，熟悉掌握某些特殊行列式的运用,比如范德蒙德行列式，若注意到行列式的行（列）含有从高到低或从低到高的幂次,可以考虑使用范德蒙德行列式.在解决线性方程组时,我们可以考虑克拉默法则的应用,在某些证明题中我们也可以利用行列式进行证明,只要我们熟练掌握行列式在数学中的应用方法,可以帮助我们解决好多繁杂的问题,由于行列式本身运算的简便性及可移植性,使得行列式的应用成为未来的研究领域.
参考文献:
[1]同济大学数学系著.工程数学线性代数[M].高等教育出版社,2003.
[2]同济大学数学系著.线性代数附册学习辅导与习题全解[M].高等教育出版社,2003. [3]华东师范大学数学系著.数学分析[M].高等教育出版社,2001. [4]邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉大学出版社,2001.
[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,1993.
[6]吴良森,毛羽辉,宋国栋,魏木生.数学分析习题精解[M].科学出版社,2002. [7]毛纲源.线性代数解题方法和技巧[M].湖南大学出版社,1987. [8]杨儒生,朱平天.线性代数习题集[M].江苏教育出版社,1996.
[9]王贵保.泰勒公式的行列式表示与应用[J].张家口师专学报,2003,19(3):150-153.
致谢
衷心感谢我的指导老师程智.他渊博的专业知识,严谨科学的治学态度,精益求精的工作作风,一丝不苟、锲而不舍的精神,和对数学研究的独到见解,对我产生了深远的影响,使我终身受益.
感谢他指引我进入一个崭新的研究方向,感谢他时刻关心着我的论文进度.并认真耐心地指导毕业论文,使得本文能够顺利完成.在程智老师的指引下,我对行列式有了进一步的了解,具有了一定的独立科研能力.在此成文之际,谨向导师程智老师致以我最崇高的敬意和衷心的感谢!并祝程智老师及家人身体健康,生活幸福！
几种特殊行列式的巧算 摘要：在高等代数课程中，n阶行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论 的重要组成部分。计算n阶行列式的一般方法有：按行（列）展开,化三角行列式法，降阶法等。对于这些解法，高等代数课本已做了详细介绍，本文重点探索关于三对角，爪型等具有一定特征的行列式的计算，跟几种具有特殊解法的行列式（如范德蒙行列式）计算，突出一个“巧”字，从而提高解题速度。 关键词：“三对角”行列式分离线性因子法“爪型”行列式范德蒙行列式等. 引言： n阶行列式
11121212221 2 n n n n nn a a a a a a a a a 是所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 的代数和，其中12 n j j j 是一 个n 阶排列，每个项1212n j j nj a a a 前面带有正负号.当12n j j j 是偶排列时， 项1212n j j nj a a a 前面带有正号，当12 n j j j 是奇排列时，项12 12n j j nj a a a 前面带有负号.即 11 121212221 2 n n n n nn a a a a a a a a a = 121212 () 12() (1) .n n n j j j j j nj j j j a a a τ-∑ 这里 12 () n j j j ∑ 表示对所有的n 阶排行求和. 行列式的计算是高等代数的一个重要内容，同时也是在工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对行列式的几种特殊类型，给出了每一种类型特殊的计算方法，具体如下： 一 三对角行列式的计算 形如 b a b a b a b a b a b a b a b a D n +++++= 0000000000000的行列式称为“三对角”行列式.该 类行列式的计算方法有：猜想法, 递推法, 差分法.下面我们首先用猜想法来解一下这个行 列式. 当b a ≠时 b a b a b a b a b a b a b a b D b a D n n ++++-+=- 000000000000)(1 =21 )(---+n n abD D b a . 即有递推关系式21)(---+=n n n abD D b a D ,为了得到n D 的表达式,可先设b a ≠,采用
行列式的计算及应用毕业论文 目录 1. 行列式的定义及性质 (1) 1.1 行列式的定义 (1) 1.1.1 排列 (1) 1.1.2 定义 (1) 1.2 行列式的相关性质 (1) 2. 行列式的计算方法 (5) 2.1 几种特殊行列式的结果 (5) 2.1.1 三角行列式 (5) 2.1.2 对角行列式 (5) 2.2 定义法 (5) 2.3 利用行列式的性质计算 (5) 2.4 降阶法 (6) 2.5 归纳法 (7) 2.6 递推法 (8) 2.7 拆项法 (9) 2.8 用德蒙德行列式计算 (10) 2.9 化三角形法 (10) 2.10 加边法 (11) 2.11 拉普拉斯定理的运用 (12) 2.12 行列式计算的Matlab实验 (13) 3. 行列式的应用 (15) 3.1 行列式应用在解析几何中 (15) 3.2 用行列式表示的三角形面积 (15) 3.3 应用行列式分解因式 (16) 3.4 利用行列式解代数不等式 (17) 3.5 利用行列式来证明拉格朗日中值定理 (17) 3.6 行列式在实际中的应用 (18) 总结 (20) 参考文献 (21) 附录1 (22) 附录2 (22)
附录3 (23) 谢辞 (24)
1. 行列式的定义及性质 1.1 行列式的定义 1.1.1 排列[1] 在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数. 1.1.2 定义[1] n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 就相当于全部不同行、列的n 个元素的乘积 n nj j j a a a 2121 (1-1-1) 的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，（1-1-1）是正值，当n j j j 21是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为 n n n nj j j j j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212121) (21 22221 11211 )1(∑-= = τ ， (1-1-2) 这里 ∑ n j j j 21表示对所有n 级排列求和. 由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为 n i i i i i i i i i nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a D 21)(21 22221 11211 212121)1(∑-== τ. （1-1-3） 1.2 行列式的相关性质 记 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 112 11 = ,nn n n n n a a a a a a a a a D 212 2212 12111 '=,
1 行列式的概念及性质 1.1 行列式的概念 n 级行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a 2121的代数和，这里的n j j j 21是1，2，…，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，带有正号；当n j j j 21是奇排列时，带有负号。这一定义可写成 ， 这里 ∑ n j j j 21表示对所有n 级排列的求和。 1.2 行列式的性质[1] 性质1 行列互换，行列式值不变，即 =nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a 212 22121 2111 性质2 行列式中某一行（列）元素有公因子k ，则k 可以提到行列式记号之外， 即 =nn n n in i i n a a a ka ka ka a a a 2 1 2111211nn n n in i i n a a a a a a a a a k 21 21 11211 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个 n n n nj j j j j j r j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a 21212121) (2 1 2222111211) 1(∑-=
数乘以此行列式。 事实上， nn n n in i i n a a a ka ka ka a a a 212111211=11i i A ka +22i i A ka +in in A ka + =21(i i A a k +22i i A a +)in in A a + nn n n in i i n a a a a a a a a a k 2121 11211= ， 令k =0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。 性质3 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即 ),,2,1(n i c b a ij ij ij =+=，则这个行列式等于另两个行列式之和。 即 nn nj n n j n j nn nj n n j n j nn nj nj n n j j n j j a c a a c a a c a a b a a b a a b a a c b a a c b a a c b a 12221111112221111112222111111+ =+++ 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而 这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。 性质4 如果行列式中有两行（列）相同，则行列式等于零。所谓的两行相同就是 说两行的对应元素都相等。 性质5 如果行列式中两行（列）成比例，则行列式等于零。 性质6 如果行列式中的某一行（列）的各元素同乘数k 后加到另一行（列）的对 应元素上去，则行列式不变。 性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。 2 行列式的计算方法 行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n 阶行列式的展开式有n ！项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应
摘要 行列式是高等代数中重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用.通过对行列式基本理论的介绍，针对不同类型的行列式，结合具体例题，介绍行列式的计算方法，其中包括降阶法，升阶法，数学归纳法等. 关键词：行列式；范德蒙行列式；计算
Abstract The determinant is an important content of higher algebra, which having wide application in mathematics. Through the introduction of the basic theory of the determinant, combined with concrete examples, the calculation for different types of determinant are introduced, which including the reduction method, order method, mathematical induction, and so on. Key words: determinant；vandermonde determinant；calculation
目录 摘要 ................................................................................................................................I Abstract ....................................................................................................................... II 第1章行列式的形成和性质 .. (1) 第1节行列式的发展史 (1) 第2节行列式的性质 (2) 第2章行列式的计算方法 (4) 第1节化三角形法 (4) 第2节降阶法 (8) 第3节递推法 (9) 第4节加边法 (11) 第5节拆行（列）法 (12) 第6节数学归纳法 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
行列式计算7种技巧7种手段 编者:Castelu 韩【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读 一.7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a
技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 21 2n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 111112111112122122222212221 121 2n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a ==∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 1112111121111211122121 21 2 1 21 2n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变 1112111 12112112212121 21 2 n n s s sn s t s t sn tn t t tn t t tn n n nn n n nn a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++= 技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值
行列式的若干应用 The Number of Applications of The Determinants 专业: 数学与应用数学 作者: 指导老师:
摘要 行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下三个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式; 最后综述了行列式在解析几何中的若干应用. 关键词: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组
Abstract Determinant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following three aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations; examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; in the final, we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry. Keywords:Determinant; Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; Point group
计算技巧及方法总结 一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式 2112221122 2112 11a a a a a a a a -= 2、三阶行列式 33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6 01504 321 - 解 =-6 015043 21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??- 4810--=.58-= 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。 计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ2211222112110 0= 下三角形行列式 nn n n a a a a a a Λ ΛΛΛΛΛΛ2122 21 110 00.2211nn a a a Λ= 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ221121 222111000= 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提 将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若
,21 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a D Λ Λ ΛΛΛΛΛ= 则 nn n n n n T a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 212 22 12 12111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即 .21 21 112112 1 21 112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n ===Λ ΛΛ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 第i 行(列)乘以k ,记为k i ?γ(或k C i ?). 推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, nn n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D Λ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ2 1 221111211+++=. 则 2121 21 11211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n +=+=Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛ Λ Λ Λ. 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +. 2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:
行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 定义法 利用行列式的性质 降阶法 升阶法（加边法） 数学归纳法 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 拆行（列）法 构造法 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 降阶法和递推法 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 构造法和套用范德蒙德行列式
行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11 =0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即
昆明学院2010 届毕业设计（论文） 设计（论文）题目行列式的计算方法研究 姓名 学号 S006054127 所属系数学系 专业年级数学与应用数学2006级数学<1>班 指导教师 2010年 5 月
摘要 在线性代数中，行列式是个函数。在本质上，行列式描述的是在n维空间中一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式的概念出现的根源是解线性方程组。本论文首先，对行列式的计算方法进行总结，并对计算方法进行举例。其次，n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法。最后，值得注意的是，在同一个行列式有时会有不同的求解方法，这就要根据行列式的特点选择适当的方法了。 关健词：行列式计算方法方法举例
Abstract In linear algebra, the determinant is a function.In essence, the determinant dimensional space described in a linear transformation.The formation of "parallel polyhedron" and "volume".The concept of the root of the determinant there is solution of linear equations.The paper on the summary of the calculation of the determinant and the calculation method for example.n-order determinant have many the calculation methods,Fewer non-zero elements Can be calculated using the definition(1.In accordance with the start of a column or a row. 2.Full expansion.). More determinant of the nature of the calculation is to use.In particular, observe the characteristics of the subject request,Flexible Selection Method.It is to be noted that In the same determinant sometimes will have different methods for solving. Here are some commonly used methods and illustrate with examples.
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
行列式计算方法研究毕业论文 目录 摘要………………………………………………………………………………………...I Abstract…………………………………………………………………………………….. .II 第1章行列式的计算方法 (1) 第1节利用行列式定义与性质计算 (1) 第2节化三角形法 (3) 第3节降阶法 (4) 第4节递推公式法及数学归纳法 (5) 第5节利用德蒙行列 (7) 第6节行列式的特殊计算法 (8) 第2章行列式的应用 (11) 第1节行列式在代数中的应用 (11) 第2节行列式在几何中的应用 (12)
第3节行列式在多项式理论中的应用 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
第１章 行列式的计算方法 第1 节 利用行列式定义与性质计算 定义1[1] 对任何n 阶方阵()ij n A a =，其行列式记为ij n A a = ． () ( ) 12 1212 121n n n n t p p p ij p p p n p p p A a a a a == -∑ ． 其中12 n p p p 是数组1，2，…，n 的全排列，∑表示对关于这些全排列的项(共有!n 项)全体求和． 性质1 行列互换，行列式不变，即 nn n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212 2212 1211121 22221 11211= . 性质1表明，行列式中行与列的地位是对称的，所以凡是有关行的性质，对列同样成立． 性质2 对换行列式两行的位置，行列式反号． 性质3 若行列式有两行相同，则行列式等于0． 性质4 用一个数乘以行列式的某一行，等于用这个数乘以这个行列式，或者说某一行的公因式可以提出来，即 nn n n in i i n nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 212111************ =. 推论1 若行列式某行（列）元素都是0，则行列式等于0． 推论2 若一个行列式的任两行成比例，则行列式值为0． 性质5 行列式具有分行相加性，即
1 行列式的定义及性质 1.1 定义[3] n 级行列式 1112121 22 212 n n n n nn a a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积12 12n j j nj a a a (1)的代数和,这里12 n j j j 是 1,2, ,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当 12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成 () () 121212 1112121 22 21212 1n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里 12 n j j j ∑ 表示对所有n 级排列求和. 1.2 性质[4] 性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变. 性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外. 性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同. 性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.
2 行列式的分类及其计算方法 2.1 箭形（爪形）行列式 这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零. 例1 计算n 阶行列式 ()1 2323111100 1 0001 n n n a a D a a a a a =≠. 解 将第一列减去第二列的 21a 倍，第三列的3 1a 倍第n 列的 1 n a 倍，得 1 223 111110 000 000 n n n a a a a D a a ?? -- - ?? ? = 1221n n i i i i a a a ==?? =- ?? ? ∑ ∏. 2.2 两三角型行列式 这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当 b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算. 例2 计算行列式
行列式的求法有多种，以下简单进行总结。 一、逆序定义法 行列式的逆序法定义如下： 1212121112121222(,,......,)12,,......,1 2(1)......n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里，12,,......,n j j j 为1,2,...,n 的任一排列，12(,,......,)n j j j τ为该排列的逆序数，求和是对所有的排列求的，因此，该和式一共有!n 项，每项都是n 个数相乘，并得计算逆序数，计算量巨大。因此，一般而言，逆序法定义具有理论上研究的意义，而比较少用于求行列式。但是，如果行列式的项中有大量的0，那么用逆序法计算可能会很简单。以下举例如下： 例1：求 11 22 nn a a a 。 解答： 12121211 22 (,,......,)12,,......,(1)......n n n j j j j j nj j j j nn a a a a a a τ= -∑ 只当11j =，22j =，……，n j n =，其项才可能非零。因此， 11 22 (1,2,......,)01,12,2,1,12,2,1,12,2,(1)......(1)............n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a τ=-=-= 例2、求 1 2 n d d d 。 解答： 1212121 2 (,,......,)12,,......,(1)......n n n j j j j j nj j j j n d d a a a d τ= -∑ 只当1j n =，21j n =-，……，1n j =，其项才可能非零。因此，
行列式的解法小结 摘要：本文列举了行列式的几种计算方法：如化三角形法，提取公因式法等， 并指明了这几种方法的使用条件。 关键词：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循环行列式 行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定义求值。对于一般n 阶行列式，特别是当n 较大时，直接用定义计算行列式几乎是不可能的事。因此，研究一般n 阶行列式的计算方法是十分必要的。由于不存在计算n 阶行列式的一般方法，所以，本文只给出八种特殊的计算方法，基本上可解决一般n 阶行列式的计算问题。 1 升阶法 在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展 开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上 添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种 计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除 主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升 阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点 作出选择。 例1计算n 阶行列式 2 2 1 222 1212121 n n n n n n a c a a a a a a a c a a a a a a a c D +++= ，其中0≠c 解 2 212221 212121 210001n n n n n n n a c a a a a a a a c a a a a a a a c a a a D +++= c a c a c a a a a n n 0000001212 1---= 将最后一个行列式的第j 列的11--j a c 倍加到第一列（)13,2+=n j ，就可以
计算n 阶行列式的若干方法举例 1．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 2．化为三角形行列式 例2 计算n 阶行列式123123 1 23 1 2 3 1111n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++． 解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． [][]()()()()()()122323122 3231223231122 3 2 3 211 12, ,2,,11 111 1 1111 1111 11 1n n n n n n n n n i n i n n n n i i i i i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==+++ +++++++??+++++=++ ??? +++ +++?? + ??? ∑∑3110100 111 . 00100 1 n n n i i i i a a a ==?? =+=+ ??? ∑∑
怀化学院本科毕业论文任务书 论文题目行列式的计算 学生姓名系别数学系专业数学与应用数学指导老师姓名职称 题目来源1. 科学技术□ 2. 生产实践□ 3. 社会经济□4. 自拟■ 5. 其他□ 毕业论文（设计）内容要求： 1 选题内容符合专业培养目标要求. 2 主题突出，层次清晰，结构合理，无科学性错误，并能做一些适当的创新. 3 文字简练、通顺，格式符合规范要求. 主要参考资料 : [1]北京大学数学系 . 高等代数 ( 第三版 )[M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2003. [2]张禾瑞 , 郝鈵新 . 高等代数 [M]. 北京 : 高等教育出版社 ,1993. [3]同济大学数学系 . 线性代数 ( 第五版 )[M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2007. [4]方文波 . 线性代数及其应用 [M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2011. [5]卢刚，冯翠莲 .线性代数 [M]. 北京大学出版社， 2006. [6]万勇，李兵 . 线性代数 [M]. 上海：复旦大学出版社， 2006. 毕业论文（设计）工作计划： 1、 2013.11.14接受毕业论文任务； 2、 2013.11.15-11.28完成开题报告书； 3、 2013.11.29-2014.2.11完成论文初稿； 4、 2014.2.12-4.30 在指导老师的指导下修改、完善论文,论文定稿； 5、 2014.5.1-5.10论文答辩. 接收任务日期2013 年 11 月14 日要求完成任务日期2014 年 5 月 1 日 学生（签名）年月日 指导教师（签名）年月日 系主任（签名）年月日 说明：本表为学生毕业论文（设计）指导性文件，由指导教师填写，一式两份，一份交系（部）存档备查，一份发给学生。
几种不同类型行列式的计算 摘要:行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。 关键字:排列；行列式；范德蒙行列式；拉普拉斯定理；加边法（升阶法）；数学归纳法。 The calculation method of N determinant Abstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding o the determinat,on our learning will bring very useful help. Keywords: Determinant; Vandermonde Determinant;Matrix; Eigenvalue; Laplace theorem;Factorial;Auxiliary determinant method 前言 行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题方法进行总结归纳。 我们可以这样来理解行列式，它是在实数（复数）的基础上定义的一个独立结构。作为行列式本身而言，我们可以发现它的二个基本特征，当行列式是一个三角形行列式（上三角或下三角形行列式，对角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想。这也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它们衍生出的具体方法。作为特殊的行列式当然也有其它方法，如用范德蒙公式计算某些行列式。上面这些方法是基于行列式这一结构内部的，作为行列式与其它知识的联系，特别是多项式、矩阵的密切关系，我们将得到一些其它的方法，这将在文中一一讨。