高等数学（一）上期末复习题汇总
第一章：极限与连续
一、选择题
1．
设()ln(ln f x x a =-是（ ）.
（A ）偶函数 （B ）非奇非偶函数 （C ）奇函数 （D ）奇偶性取决于a 值 2. 设()tan x f x x x e =??，则()f x 是( ).
(A)偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数
3. 设)(x f 是定义在对称区间),(l l -内的任意函数，则)]()([)(x f x f x --=?为( ). （A ）偶函数 （B ）非奇非偶函数 （C ）奇函数 （D ）常数
4. ()arcsin ,()2,f x x x x ?==-则[()]f x ?的定义域是( ）.
（Ａ）[1,3] （Ｂ）(,)-∞+∞ （Ｃ）[2,2]2
2
π
π
-
+
（D ）(1,3)
5. 当0x →时，无穷小sin x x -与x 比较是（ ）.
（A ）同阶无穷小 （B ）等价无穷小 （C ）高阶无穷小 （D ）低阶无穷小 6．当0x →时下列无穷小中哪一个比其他三个高阶无穷小（ ）. （A ）2
x （B ）1cos x - （C
1 （D ）tan sin x x -
7．当0x →时，2(1)x e ax bx -++是比2
x 高阶无穷小则( ).
(A)1,12a b =
= (B)1a b == (C)1
,12
a b =-= (D)1,1a b =-= 8. 当0x →时，下列无穷小量中不是同阶无穷小的是( ).
(A) 1sin x x
(B) 1cos x -
1 (D) (1)x
x e -
9.设当0→x 时，)1ln ()co s 1(2x x +-是比n x x si n 高阶的无穷小，而n x x sin 是比
)1(2
-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于 （ ）. （A ）1 （B ）2 (C) 3 （D ）4 10. 设sin 0()20x
x f x x x ?≠?
=??=?
，则0
lim ()x f x →=（ ）.（A ）2（B ）1 （C ）0（D ）不存在
11. ?
??????>+-<=0321301arctan 2
)(11
x x x x f x
x
π，则间断点0=x 的名称是( ).
（A ）可去间断点 （B ）无穷间断点 （C ）振荡间断点 （D ）跳跃间断点
12. 设21()lim
1n
n x
f x x →∞+=+，讨论()f x 的间断点，其结论为（ ）.
(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1x =； (C) 存在间断点0x =； (D) 存在跳跃间断点1x =-.
13. 设22lim
6,2
x x ax b
x →++=-则常数a 和b 是（ ）. （A ）2,8a b == （B ）2,5a b == （C ）0,8a b ==（D ）2,8a b ==-
14. 设)(x f 连续，且12)
(lim 0=→x x f x ，则=-+→x
x f x 2)(8lim 30 ( ).
(A)
3
4
(B) 1 (C) 0 (D) ∞ 15．设1()(1)x
f x x =-在点0x =连续，则应补充定义(0)f =( )． (A) 1 (B) e (C) 1
e - (D) 0
16．2lim()27,x
x x a x a
→∞+=-则a = ( ). (A) ln 3 (B) 1 (C) 0 (D) ∞
17．22212lim()n n n n n
→∞+++= ( ). (A) 2 (B) 0 (C) 1 (D) 1
2
18. 221
lim sin 2
x x x x x →∞+=++（ ）． （Ａ）２ （Ｂ）１ （Ｃ）０（D ）不存在
19.设(1)(2)(3)(4)(5)
lim
0(32)x x x x x x x α
β→∞-----=≠-，则( ). (A) 11,3αβ==
(B) 15,3αβ== (C) 51
5,3
αβ== (D) 以上均不对 20. 设数列}{n x 与}{n y 满足0lim =∞
→n n n y x ，则下列正确的是 （ ）. （A ）若}{n x 发散，则}{n y 必发散 （B ）若}{n x 无界，则}{n y 必有界 (C) 若}{n x 有界，则n y 必为无穷小 （D ）若1
{
}n
x 为无穷小，则n y 必为无穷小
二、填空题
1. 设()f x 的定义域为[0,1]，则函数(ln )f x 的定义域为 .
2. 为使函数1
()ln(1)x f x xe x
=
+在0x =处连续，则应补充定义 (0)f = ； 3 设21()ln 111
x a x f x x
x x ?+≤?
=?+
>?-?连续，则a = .
4. 设0
1sin
)(=≠?????=x x x
x x f α
，当α满足条件 时，)(x f 在0=x 连续. 5. 函数n
n
n x x x f 2211lim )(+-=∞→的间断点是 .
6. 当0x →
时，12
x 是等价无穷小，则a = .
7. 01cos 2lim sin x x x x →-=? . 1.2lim sin 1
n n n n →∞=+ .
8. 若 21sin (1)
lim
11
x a x x →-=-，则常数a = . 9. 2lim 1n
n n n →∞+??
= ?+??
. 10. 1lim()1x n x x →∞+-＝ . 11. 1
lim[(2)]x
x x e x →∞
+-= . 12. =--→)1
11(
lim 0
x x e x . 13. 1lim (1)n
n n e →∞
-= . 14.设0ln[1()]
lim
531
x x f x →+=-，则0lim ()x f x →= .
15. 111
lim(
...)1223(1)
n n n →∞+++=???+ .
16. 2
2212lim()12n n
n n n n n n n
→∞++???+=++++++ .
17. n = (其中0a b >>)；
18. 设)(lim 1
x f x →存在，又)(lim 23)(1
2
x f x x x f x →?+=，则)(x f = .
三、计算题
1.求极限)
cos 1(cos 1lim 0
x x x
x --+
→.
2. 求极限的值
(1)
x x e →-.
第二章：一元函数微分学
一、选择题
1. 设()f x 可微，()()y f x x f x ?=+?-，dy 为()f x 的微分，则0lim x y dy
x
?→?-=?（ ）.
（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）不存在 2. 已知()y f x =可导且满足0
(1)(1)
lim
12x f f x x
→--=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 的
切线斜率k = ( ). (A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) -2 3．设()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处 ( ).
(A) 必可导 (B) 连续但不一定可导 (C) 一定不可导 (D) 不连续 4. 设()f x 在点0x 处连续，则00()()y f x x f x ?=+?-.则当0x ?→时y ? ( ). (A) 只可能是比x ?高阶无穷小量 (B) 只可能是比x ?同阶无穷小量
(C) 只可能是比x ?低阶无穷小量 (D) 是无穷销量但与x ?相比的阶数不能确定 5. 设()f x 在点x a =处可导，则0
()()
lim
x f a x f a x x
→+--= ( ).
(A)
1
'()2
f a (B) 2'()f a (C) '()f a (D) '()f a - 6. 函数)(x f 在0x 点可导是)(x f 在0x 点可微的( ).
（A ）充要条件 （B ）必要条件 （C ）充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 7.
y 1,0.03x x =?=时，dy = ( ).
(A) 0.01 (B) 0.03 (C) 0.01dx (D) 0.03dx
8. 若()02,f x '=，则当0x ?→时()y f x =在点0x x =处的微分dy 是x ?的（ ）. （A ） 等价无穷小 （B ）同阶无穷小 （C ） 低阶无穷小 （D ）高阶无穷小
9. 函数)(x f 对任意x 均满足等式)()1(x af x f =+，且有b f =')0(，其中b a ,为非零常数，则( ).
(A) )(x f 在1=x 处不可导 (B) )(x f 在1=x 处可导，且a f =')1( (C) )(x f 在1=x 处可导，且b f =')1( (D) )(x f 在1=x 处可导，且ab f =')1( 10. 设2()3sin ||f x x x x =+，则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为（ ）. （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
11. 设()211,1
21
x x f x x x ?-?
≠=?-?=?
则()f x 在点1x =处 ( ).
(A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C)且可导 (D) 可导但导数不连续
12.设()0
,0
x e x f x ax b x ?≤=?+>?在点0x =处可导，则( ).
(A) 1a ,b=0= (B) 1a =,b=1 (C) 0a =,b=1 (D) 1a =,b=2
13. 设()f x 二阶可导，且0()0f x ''<，则（ ）.
（A ）0()f x 是()f x 的极大值 （B ）0()f x 是()f x 的极小值 （C ）0()f x 是()f x 的极值 （D ）0()f x 可能是()f x 的极值
14．若曲线32y x ax bx =++在点1x =处有极值2-,则常数,a b 为( ). (A) 1,1a b =-=- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 0,3a b ==- 15. 设()()f x f x =--且在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''>>,则在(,0)-∞内必有( ). (A) ()0,()0f x f x '''<< (B) ()0,()0f x f x '''<> (C) ()0,()0f x f x '''>< (D) ()0,()0f x f x '''>> 16. 设2
()()
lim
3,()
x a
f x f a x a →-=-- 则()f x 在点x a =处 ( ). (A) 不可导 (B) 可导且'()0f a ≠ (C) 取得极大值 (D) 取得极小值 17.设函数()f x 在(0,)u σ内连续，且0()
(0)0,lim
21cos x f x f x
→==-，则0x =处()f x （ ）.
（Ａ）不可导 （Ｂ）可导，且'(0)0f ≠ （Ｃ）取极小值 （D ）取极大值 18.若()f x 的二阶导数存在,''()0,(0)0,f x f >=则()
()f x F x x
=
在(0,)+∞内是( ). （Ａ）单调增加 （Ｂ）单调减少 （Ｃ）是有极大值的函数 （D ）是有极小值的函数 19.设)(x f 满足x x f x f ='+''2)]([)(,且0)0(='f ,则( ). (A) )0(f 是极大值 (B) )0(f 是极小值
(C)点))0(,0(f 是拐点 (D) )0(f 不是极值, ))0(,0(f 也不是拐点 20. 函数()x
f x xe -=在（ ）.
（A ）在(-∞,2]是下凸的，在[2，+∞）是上凸的 （B ）在（-∞，+∞）是下凸的 （C ）在（-∞,2]是上凸的，在[2，+∞）是下凸的 （D ）在（-∞，+∞）是上凸的
21. 设()x
f x e =与()1.
g x x =+ 则当0x >时()f x 与()g x 的关系是( ).
(A) ()()f x g x < (B) ()()f x g x > (C) ()()f x g x = (D) 无法确定 22.设()arctan f x x =在[]0,1上，满足拉格朗日中值定理的ξ=( ).
(A) π
23. 设()()()()123f x x x x ---=, 则()'
0f x =有( ).
(A) 一个实根 (B) 二个实根 (C) 三个实根 (D) 无实根
24. 若)(x f 在),(b a 内可导，且对任意的))(,(,2121x x b a x x <∈，都有12()()f x f x -
12()()f x x ξ'=-，则ξ必满足( ).
（A ）;a b ξ<< （B ）1;a x ξ<< （C ）2;x b ξ<< （D ）12;x x ξ<< 25. 下列函数中在[1,1]-上满足罗尓定理条件的是( ). (A) 1()f x x
=
(B) ()f x x = （C) 2
1()1f x x =
- (D) 2
1()1f x x =
+
26. 设0
)0()()(=≠???
?
??
?=x x f x x f x F ， 且)(x f 在0=x 处可导，0)0(≠'f ，0)0(=f ，则
0=x 是)(x F 的( ).
(A)连续点 (B)第一类间断点 (C)第二类间断点 (D)连续性不能由此确定
二、填空题
1. 设()f x 可导，则2()x df e -= .
2. 设1
()21
df x dx x =
+，则[()]x d f e =____________. 3. 设11(),()1x f x y f x x +=
=-，则dy dx
= . 4. 由方程xy
y x e =+确定的隐函数()y y x =，则dy dx
= . 5. 设方程2,xy x y =+确定()y y x =，则0|x dy == . 6. 曲线sin cos 2x t y t
=??
=?在4t π
=的切线方程为 .
7. 函数2
1ln 2
y x x =
-的单调增区间是 . 8．函数()2cos f x x x =+在[0,
]2
π
上的最大值为 ．
9. 曲线1)1(3
--=x y 的拐点是 .
10.已知2
1sin 0(),00x
x f x x x ?≠?=??=?则(0)f '= .
11.()x f x xe =的n 阶导数()
()n f x = .
12.设2132
y x x =-+，则()
n y = ；
13. 设401()(1)(),()f x x g x g x =-在1x =处连续且(1)5,g =则'(1)f =___________. 14. 方程ln 20x x +-=在（1，2）内的实根个数为 . 15. 设x xe x f 2)(=展开为n 阶麦克劳林公式，含4
x 项的系数=4a . 16. 设),0(+∞∈x ，)(x f 有定义且)(x f '，)(x f ''存在，又0)(lim =''+∞
→x f x ，则对任意正
常数a ，='-+'+∞
→)]()([lim x f a x f x .
17.
设y =，则=dy ；18.21lim(
)2x
x x x
→∞
+=+ ；
三、计算题
1. 求极限的值1
1lim(
)1ln x x x x →--. 2. 求极限的值011lim 1x
x x e →??- ?-??
. 3. 求极限值21lim ln(1)x x x x →∞??-+???
?. 4. 求极限21
lim (1sin )x x x x
→∞
-. 5.
求极限的值0
x →. 6. 求极限的值
01
lim (1)
x x x e →-. 7. 求()
20arcsin 22arcsin lim ln 1x x x
x x →-+. 8. 求极限.arcsin sin lim 20x x x x x -→ 9. 求极限2lim (arctan )x x x π
→+∞. 10.求极限x x x tan 0)1(lim +→. 11.求极限3
1
01tan lim()1sin x x x x →++.
12.设2
arctan ,ln(1)x t y t t =??=-+?求22,dy d y dx dx . 13. 设(sin ),(1cos )x a t t y a t =-??=-?
求22,dy d y
dx dx . 14.设22
12
12
x t t y t t ?
=-????=+??，求 22,dy d y dx dx . 15.设cos ,sin t t
x e t y e t ?=??=??求22,dy d y dx dx . 16.设2arctan ,1t
x t y e =??=+?求22,dy d y dx dx . 17. 设???-=+=)
cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x ，求.|,22π=t dx y
d dx dy 18. 已知方程sin()y y x =+确定了()y y x =，求dy .
19. 已知方程20xy e x y --=确定了()y y x =,求
dy
dx 及1(,0)2
|dy .
20. 已知方程tan()y y x =-确定了()y y x =，求dy . 21. 已知方程
221ln()arctan 2y
x y x
+=确定了()y y x =，求dy .
22. arctan
y
x
e =确定了()y y x =，求dy .
23.求由tan()y arc x y =+确定的隐函数()y y x =的微分dy 和22d y
dx
.
24. 设32()3arcsin (f x x x x =++''()f x . 25. 设()(sin cos ),d ().2
x
f x lnx lnx f x =
-求及)(''1f . 26. 求()3
1x f x x
=-的三阶导数)('''x f .
27. 求曲线03633=---y x y x 在（2，－1）点的切线方程和法线方程. 28. 已知曲线2y ax =与ln y x =相切，求常数a 并写出切线方程.
29. 设121,2x x ==均为函数2
ln 3y a x bx x =++的极值点，求a b 、的值.
30. 设32
()f x x ax bx =++在1x =处有极值2-，试确定系数,,a b 并求出()f x 所有极值.
31. 设曲线c bx ax y ++=2在1-=x 处取得极值，且与曲线2
3x y =相切于点（1，3），
试求c b a ,,的值，并求出极值，指出是极大值或是极小值.
32.在曲线2(0)y x x =>上求一点C ，使2
y x =在点C 的切线与直线8x =和0y =围成的
三角形面积最大.
33. 已知()f x 是连续函数，在0x =的某邻域内满足关系式:
()()1318()f x f x x x α+--=+,其中()x α是当0x →时比x 高阶无穷小。且()f x
在1x =处可导，求（1）()1f 的值. （2）曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程.
34. 确定b a ,的值，使????
???>+=<-=0)1ln(1
00)cos 1(1
)(2x x x
x b x ax x x f 在0=x 处可导.
35. 设有一个正圆锥，其底半径以1.5cm/s 的速度增加，其高以3cm/s 的速度在减少。当半径为40cm ，高为30cm 时及体积的变化率.
36.讨论21
x y +=
的单调区间，极值以及拐点，并填写下表。
四、证明题
1. 证明不等式：当0x ≠，1x e x >+.
2.证明：当1x >时，x
e ex >. 3.证明：当0x >时，1ln(x x +>. 4.证明:当0x >时，arctan ln(1)1x
x x +>+.
5.证明：arctan cot ,(,).2
x arc x x π
+=∈-∞∞
6. 证明：当0a b >>时ln a b a a b
a b b
--<<. 7.设
()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导且()0f a =， 证明：存在一点(0,)a ξ∈使()()0f f ξξξ'+=.
8.证明：当20π<
x x x 2cos tan <<. 9.证明：cos cos a b a b -≤-. 第三章：一元函数积分学 一、选择题 1. ()()x a F x xf t dt = ? ，其中()f x 连续，则()F x '=（ ）. （A ）()xf x （B ）()()x a f x - （C ）()()xf x af a - （D ）()()x a xf x f t dt +? 2. 设 ()f x 连续且220 ()()x F x tf x t dt =-?.则()F x '= ( ). （A ）()xf x (B) ()2xf x (C) ()xf x - (D) ()2xf x - 3.设 ()f x 连续, ,则1 lim ()x a x a f t dt x a →=-? ( ). (A) 0 (B) a (C) ()af a (D) ()f a 4. 设01()(0,0),st x I f t dx s t s s =+>>? 则I ( ). (A) 依赖于x s,t, (B)依赖于s,t (C)依赖于t ，不依赖于s (D) 依赖于x s, 5. 函数2 1 ()22x t f x dt t t += ++ò 在[]0,1 上最小值是( ). (A) 1 ln 52 (B) 0 (C) 1 (D) 2 6. 111lim( ...)12n n n n n →∞ +++=+++ ( ). (A) 0 (B)1/2 (C)ln 2 (D) 1 7.()f x 在[],a b 上有界是定积分 ()b a f x dx ? 存在的( ). (A) 必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D) 无关条件 8. 设()f x 连续且对非零常数a 及任意x 有 ()0x a x f t dt +=? ,则()f x 为( ). (A) 非零常数 (B) 偶函数 (C) 奇函数 (D) 周期函数 9. 下列积分值为0的是（ ）. （A ）1 211x dx x -+? （B ）22 1sin x xdx ? （C ）21211x dx x -+? （D ）11 x xe dx -? 10. 若广义积分 3 1 (ln )P dx x x +∞? 收敛，则有（ ）. （A ）1P > （B ）1P ≥ （C ）01P << （D ）0P > 11. 广义积分 1 101 (1)q dx x +-?收敛，则q 的取值应为（ ）. （A ）0q > （B ）01q << （C ） 10q -<< （D ）1q > 12. 已知'(ln )f x x =，其中0x <<+∞及()00f =，则()f x = ( ). (A) x e (B) 1x e + (C) 1x e - (D) x ce 13.设ln 3x 是 ()f x 的一个原函数,则()f x '= ( ). (A) 1x (B) 21 x - (C) ln 3x (D) ln33x x x - 14. 设()sin f x x '=，则()f x 的一个原函数是 ( ). (A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x - 15. 比较下列积分大小，其中4 22 2 sin M cos 1x xdx x p p -= +ò ，3422 N sin cos x x dx p p -=+ò （）， 23422 P sin cos x x dx p p -= -ò （x ），则有( ). (A)N 曲线2 x y π- = ? 的全长为（ ）. （A ）1 （B ）2 （C ） 3 （D ）4 17. 由,,0x y e y ex x ===围成的平面图形的面积S = ( ). (A) 12e - (B) 1e - (C) 1 2 e - (D) 1e - 18. 由曲线2y x =与直线1x =及x 轴围成的图形绕x 轴旋转的旋转体体积V 为 ( ). (A) π (B) 2π (C) 3π (D) 5 π 19. 曲线)0(2 >=x x y ，1=y 及y 轴围成的图形绕y 轴旋转的旋转体体积y V 为( ). （A ）π (B)2π (C)3π (D) 5 π 二、填空题 1. 0 ()(cos cos3)x f x a t t dt = +? 在3 x π = 处取得极值，则a = . 2. 设()f x 可微且()()(),x a F x x t f t dt x '= -=? 则()F x '= . 3. 设()f x 连续，且(0)2f =，又2 sin ()()x x F x f t dt =? ，则(0)F '= . 4. 已知[]0 ()2, ()''()sin 5f f x f x xdx =+=?π π.则(0)f = . 5．设x e -是() f x 的一个原函数，则()xf x dx =? ． 6. 已知x xe 是()f x 的一个原函数，则()xf x dx '=? . 7. x 是()f x 的一个原函数，则 (3)f x dx =? . 8. 设反常积分 1 (ln )k e dx x x +∞? 收敛，则常数k 的取值范围是 . 9. 反常积分 20 148 dx x x +∞=++? . 10. 反常积分21x x dx e e +∞-=+? . 11.反常积分 x xe dx +∞-=? . 12. 22 1 (1) dx x x =+? . 13. 设()f x 且当0x >时(1)0 ()x x f t dt x +=? ，则()f x = . 14.函数2 ()1x t f x dt t =+?在]1,0[上的最大值为 . 15. 20 3 sin lim x x x - →=? . 16. 222 (sin x x dx -+=? . 17. 12 1 (x dx -=? . 18. 2 22 2 sin (1)cos 1x xdx x - +=+? π π . 19. 0)y a >与x 轴及直线3x =所围成的平面图形的面积为6，则a = . 20. 由ln ,1,0y x y e x y ==+-=围成图形的面积S = . 21. 抛物线x x y 22 -=与直线x y =围成图形的面积S= . 22.抛物线2 y x =与直线y x =围成图形的面积S = . 23. 抛物线2y x =与2 y x =围成的图形绕x 轴旋转的体积S = . 24. 曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的图形绕x 轴旋转的旋转体的体积x V = . 25.由曲线)0(2 >=x x y 、直线1=y 及y 轴围成的图形绕x 轴旋转的旋转体体积V= . 26. 曲线2 x y - = ? π的全长S = . 27. 沿x 轴作直线运动的质点在位置x 处所受的力为()1x F x e -=-，则质点从0x =移动到 1x =，力()F x 所作的功W = . 1. 计算不定积分? . 2. 计算不定积分2. 3. ?. 4. 计算不定积分 . 5. 计算不定积分dx ? . 6. 计算不定积分2(sec x x dx ? . 7. 计算不定积分 ? . 8. 计算不定积分(tan x dx +?. 9. 计算不定积分dx x x ?+1arcsin . 10. 计算不定积分dx e xe x x ?-1 . 11. 计算不定积分 . 12. 计算0 π?. 13. 计算 3 ||sin )x x dx π π - ?. 14. 求 10 tan(1)xarc x dx -? . 15. 计算定积分 1|ln |e e x dx ?. 16. 求定积分1 e ? 的值. 17. 求定积分20?的值. 18. 已知()2 10 101x e x f x x x ?+ 1f x dx -?的值. 19.设??? ? ???<+≥+=011 011 )(x e x x x f x ，求定积分20 (1)f x dx -?. 20. 设()2 0,10 x e x f x x x -?≥?=?+ (2)f x dx -?. 21.设?? ? ? ?≥<+=-0 1)(2x e x x x f x ，求定积分 31 (2)f x dx -? . 22. 设()f x 连续，2 01()()()2 x F x x t f t dt =-?，求()F x ''. 23. 求20 1 ()22 x t f x dt t t +=++? 在[0,1]上的最大值和最小值. 1. 求曲线20 x y =? (02)x π≤≤的弧长. 2. 求曲线y = ? 的全长. 3. 求摆线(sin ) (1cos )x a t t y a t =-??=-? 一拱2t π≤≤(0)的全长. 4.求曲线0 y = ? 从0=x 至3=x 所对应曲线的弧长。 5. 求心形线(1cos )(0)r a a ?=+>的全长. 6.设曲线(0)x y e x -=>：（1）由曲线x y e -=，x 轴、y 轴和直线x t =所围成的图形的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积()v t ；并求满足lim ()2()t v t v a →∞ =的a ； （2）在此曲线上求一点，使过该点的切线与两坐标轴所围的平面图形面积最大. 7.设抛物线2y ax bx c =++过原点，且当01x ≤≤时0y ≥，又已知该抛物线与x 轴及直线 1x =所围成的图形的面积为1 3 ，试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的 体积最小. 8. 在曲线24(1)(0)y x x =->上一点A （0，2）处作曲线的切线，试求： （1）曲线过A 点的切线方程；（2）该切线与曲线以及X 轴围成的图形的面积；（3）由上 述的平面图形绕X 轴旋转一周所成的旋转体的体积. 五、证明题 1. 证明不等式2 12 24 22x x e e dx e --≤≤?. 2.设()f x 在[],a b 上连续，证明()()x a f t dt a x b ≤≤? 一定可导且 ()()x a d f t dt f x dx =?. 3.设()f x 为连续函数，证明： () ()()()x x t f t x t dt f u du dt -=?? ? 4.设)(x f 在),(+∞-∞内连续,且0 ()(2)()x F x x t f t dt =-? ,证明:若)(x f 为偶函数, 则)(x F 也是偶函数. 5. 设 [,]f C a b ∈且()0f x >，[,]x a b ∈，1 ()(),() x x a b F x f t dt dt f t =+?? 证明：（1）()2F x '≥；（2）方程()0F x =在区间(,)a b 内有且仅有一个根. 第四章：微分方程 一、选择题 1. 通解为221x x y C e C e -=+的微分方程是( ). (A) '''0y y += (B) 2'''0y y += (C) 2'''0y y y -++= (D) 2'''0y y y -+= 2. 微分方程32 2 4129(32)x y y y x e '''-+=+ 的特解形式为 ( ). (A) 32 2 ()x ax bx c e ++ (B) 32 2 ()x x ax bx c e ++ (C) 32 2 2 ()x x ax bx c e ++ (D) 32 2 x ax bx c de +++ 3. 微分方程1xy y '''+= 通解为( ). (A) 12(ln )y x c x c =+ (B) 12ln y c x c x =+ (C) 12ln y c x x c =+ (D) 12ln y x c x c =++ 4.微分方程21y y +='满足1)0(=y 的特解为（ ） （A ）x y =arctan (B)arctan()4 y x π += (C)tan 4 y x π + = (D)tan()4 y x π =+ 二、填空题 1. 微分方程20xy y '-=的通解为y = . 2. 微分方程(sin )0y x x dx xdy -+=的通解为 . 3.微分方程y xy y '+=的通解y = . 4. 微分方程2(1)0xydy y dx ++=的通解为 . 5. 微分方程30xy y '''+=的通解为 . 6. 微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy ++-=的通解为 . 7. 微分方程(1)(1)0x x y y x x '+--+=的通解y = . 8. 微分方程2xy y '-=-的通解y = . 9.微分方程0)1()1(2 2 =-++dy x y dx y x 的通解为 . 10.微分方程0)1(2 =++dx y xydy 的通解为 . 11. 微分方程x y y e -'+=的通解为 . 三、计算题 1. 求微分方程32(21)x y y y x e '''-+=+的通解. 2. 求微分方程25(32)x y y y x e '''-+=+的通解. 3. 求解微分方程256(12)x y y y e x '''-+=-. 4. 求解微分方程6(65)x y y y e x '''--=+． 5. 求解微分方程32(61)x y y y e x '''++=-. 6. 求解微分方程22x y y e '''-=满足(0)0,(0)1y y '==的解. 7.求解微分方程：(0)(0)1 x y y e y y ''?+=? '==? 8. 一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任意切线段均被切点所平分，求该曲线方程. 9. 求曲线方程使得该曲线通过原点，且其上任意一点(,)x y 切线斜率为2x y +. 10. 在曲线()y f x =上任意一点(,)x y 切线斜率为x e y -.求()y f x = 11.设有连接点)0,0(O 和)1,1(A 的一段向上凸的曲线弧OA ,对OA 上任一点),(y x P ，曲线弧OP 与直线段OP 所围成图形的面积为2 x ，求曲线弧OA 的方程。 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x = - 。 3． 函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4． 1 1 dx =? 。 5． 函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π，上的最大值为 6 π +。 6． 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。 二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? + 暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号： 3. 1 +∞=? C 。 A ．不存在 B ．0 C ．2π D ．π 4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0 lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 C ．(0)f 不是()f x 的极值 D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =- ，92b = B. 32a =，9 2b =- C ．32a =- ，92b =- D. 32a =，92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分， 第6~7题每小题8分，共46分） 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解：()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= （3分） t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = （6分） 《高等数学（一）》期末复习题 一、选择题 1、极限)x x →∞ 的结果是 （ C ） （A ）0 （B ） ∞ （C ） 1 2 （D ）不存在 2、方程3 310x x -+=在区间(0,1)内 （ B ） （A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 3、)(x f 是连续函数, 则 ?dx x f )(是)(x f 的 （ C ） （A ）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线)0(sin π<<=x x y 和直线0=y 所围的面积是 （ C ） （A ）2/1 (B) 1 (C) 2 (D) π 5、微分方程2 x y ='满足初始条件2|0==x y 的特解是 ( D ) （A ）3 x （B ） 331x + （C ）23+x （D ）23 1 3+x 6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ） (A) )1(ln →x x (B) )0(1ln +→x x (C) cos (0)x x → (D) )2(4 2 2→--x x x 7、极限0 11 lim(sin sin )x x x x x →- 的结果是（ C ） （A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在 8、函数arctan x y e x =+在区间[] 1,1-上 （ A ） （A ）单调增加 （B ）单调减小 （C ）无最大值 （D ）无最小值 9、不定积分 ?+dx x x 12= （ D ） (A)2 arctan x C + (B)2 ln(1)x C ++ (C)1arctan 2x C + (D) 2 1ln(1)2 x C ++ 10、由曲线)10(<<=x e y x 和直线0=y 所围的面积是 （ A ） （A ）1-e (B) 1 (C) 2 (D) e ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 欢迎来主页 一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim() x x x e x →-= . 2． ()()120051 1x x x x e e dx --+-= ? . 3．设函数()y y x =由方程2 1 x y t e dt x +-=?确定，则0 x dy dx == . 4. 设()x f 可导，且1 ()()x tf t dt f x =?，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1．设常数0>k ，则函数 k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ） x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ; （B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b a f x dx ≥?; （C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ; （D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0x t f t dt ?也为奇函数. 4. 设 ()x x e e x f 11 321++= , 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分2 230 x x e dx -? . 2．计算不定积分dx x x x ? 5cos sin . 本页满分36分 本页得分 本页满分 12分 本页得分 北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分） 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 高数下-章节复习 一 解析几何 向量的内积外积计算，几何意义 例填空 已知b a b a ,,2,1==夹角为4 π，求b a + 例填空 设{}{ }3,,1,1,2,y b x a -=-= ，当y x ,满足 时，两向量垂直，当y x ,满足 时，两向量平行。 例证明 设平面π与两个向量j i a +=3，k j i b 4-+=平行， 证明向量k j i c --=62与平面垂直。 直线方程的计算 例解答 求过点()1,1,1-M ，且与直线? ??=++-=-+-093240632z y x z y x L 平行的直线方程 例解答 求过点()4,2,0，且平行于平面12=+z x ，23=-z y 的直线方程。 例解答 已知直线 451457-=-=-z y x 和平面0523=-+-z y x 的交点为0M ，在平面上求一条过0M 且和已知直线垂直的直线方程 平面方程的计算 例证明 证明直线p z z n y y m x x 000-=-=-落在平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件是0=++Cp Bn Am 且0000=+++D Cz By Ax 例解答 求过直线12011--=-=z y x 且平行于直线2 1111z y x =-=-+的平面方程 夹角（向量的夹角） 例()()1,1,0,0,1,1==，则两向量之间的夹角为 ，以两向量为邻边的平行四边形的面积为 距离（点到点，点到面，面到面，点到线） 例填空 已知两点()()2,0,3,1,2,421p p = 例解答 求点()1,1,2到平面01=+-+z y x 的距离 求旋转面方程，二次曲线，二次曲面的投影 例填空 曲面1222=--z y x 是由（）绕（）轴旋转而成 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。 大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。). 大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e 《高等数学》试卷（同济六版上） 一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1、若函数x x x f =)(，则=→)(lim 0 x f x （ ）. A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）. A 、1ln (0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4 x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）. A 、极大值点 B 、极小值点 C 、驻点 D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）. A 、必要但非充分条件 B 、充分但非必要条件 C 、充分必要条件 D 、既非充分又非必要条件 5、下列无穷积分收敛的是（ ）. A 、?+∞0 sin xdx B 、dx e x ?+∞-0 2 C 、dx x ? +∞ 1 D 、dx x ?+∞01 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 6、当k= 时，2 , 0(), x e x f x x k x ?≤?=?+>??在0=x 处连续. 7、设x x y ln +=,则 _______________dx dy =. 8、曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是 . 9、若?+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则()____________f x = 10、定积分dx x x x ?-+5 54231 sin =____________. 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 11、求极限 x x x 2sin 2 4lim -+→. 12、求极限 2 cos 1 2 0lim x t x e dt x -→? . 13、设)1ln(25x x e y +++=，求dy . 14、设函数)(x f y =由参数方程? ??=+=t y t x arctan )1ln(2所确定，求dy dx 和22dx y d . 《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?，则=（ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设2 2()D I x y dxdy =+??，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 22 4 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ??-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 10 1 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分 步骤四： 4.1上臂油缸的设计 设液压缸单活塞杆双向运动时的负载力相同,不记执行件质量。液压系统工作压力为P=MPa。 3.1.1 确定液压缸类型和安装方式 根据主机的运动要求,按《机械设计手册4》表23.6—39,选择液压缸类型为单杆活塞式双作用液压缸[4]。 下图为单杆活塞式双作用液压缸示意图： （图3.1.1） 此类液压缸特点为活塞双向运动产生推、拉力。活塞在行程终了时不减速。 将缸体固定，活塞杆运动，按《机械设计手册4》表23.6—40 液压缸的安装方式，选择合适的安装方式[4]。考虑机构的结构要求，上臂起升、下降时液压缸的活塞杆进行伸缩实现运动需求。查《机械设计手册4》表23.6-40 液压缸的安装 (P23-176)选择耳环型安装方式，这种安装方式使液压缸在垂直面内可摆动,满足上臂动作要求[4]。 3.1.2 确定液压缸的主要性能参数和主要尺寸 根据主机的动力分析和运动分析,确定液压缸的主要性能参数和主要 尺寸 1) 液压缸内径D的计算 根据载荷力的大小和选定的系统压力来计算液压缸内径D 计算公式： =3.57 （3.1） 式中--液压缸内径（m）； --液压缸推力（kM）； --选定的工作压力（MPa）。 其中的计算过程如下： 当高空作业车上下臂处于如下状态时，如图3.1.2。上臂液压缸所受的力最大，即液压缸具备的最大力必须大于此时的力。 ( 图3.1.2) 有: （3.2） 其中:--上臂自重,由计算为7.5310。 --上臂长度，为5.950m。 --高空作业车吊篮最大承受力，由计算知为2.0。 --点到力的垂直距离，由计算得=1.796m。 代入公式(3.2)得: 将,代入式(3.1), 得: 按《机械设计手册4》表23.6-33给出的缸筒内径尺寸系列圆整成 标准值[4]。 表23.6--33 液压缸内径尺寸系列 (摘自GB/T2348—1993) () 第一学期高等数学期末考试试卷答案 一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）， 1．求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→． 解： ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x ． 2．设0→x 时，()x f 与2 2 x 是等价无穷小， ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，求常数k 与A ． 解： 由于当0→x 时， ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f ．而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6 1 ,1==A k ． 3．如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件． 解： 大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 . 高等数学上（1） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x高等数学1试卷(附答案)
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