求一次函数解析式专项练习
1．已知A（2，﹣1），B（3，﹣2），C（a，a）三点在同一条直线上．
（1）求a的值；
（2）求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积．
2．如图，直线l与x轴交于点A（﹣1.5，0），与y轴交于点B（0，3）
（1）求直线l的解析式；
（2）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的面积．
3．已知一次函数的图象经过（1，2）和（﹣2，﹣1），求这个一次函数解析式及该函数图象与x轴交点的坐标．
4．如图所示，直线l是一次函数y=kx+b的图象．
（1）求k、b的值；
（2）当x=2时，求y的值；
（3）当y=4时，求x的值．
5．已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B．若△AOB的面积为12，求一次函数的表达式．
6．已知一次函数y=kx+b，当x=﹣4时，y的值为9；当x=6时，y的值为3，求该一次函数的关系式．
7．已知y与x+2成正比例，且x=0时，y=2，求：
（1）y与x的函数关系式；
（2）其图象与坐标轴的交点坐标．
8．如果y+3与x+2成正比例，且x=3时，y=7．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）画出该函数图象；并观察当x取什么值时，y＜0？
9．直线y=kx+b是由直线y=﹣x平移得到的，此直线经过点A（﹣2，6），且与x轴交于点B．
（1）求这条直线的解析式；
（2）直线y=mx+n经过点B，且y随x的增大而减小．求关于x的不等式mx+n＜0的解集．
10．已知y与x+2成正比例，且x=1时，y=﹣6．
（1）求y与x之间的函数关系式，并建立平面直角坐标系，画出函数图象；
（2）结合图象求，当﹣1＜y≤0时x的取值范围．
11．已知y﹣2与2x+1成正比例，且当x=﹣2时，y=﹣7，求y与x的函数解析式．
12．已知y与x﹣1成正比例，且当x=﹣5时，y=2，求y与之间的函数关系式．
13．已知一次函数的图象经过点A（，m）和B（，﹣1），其中常量m≠﹣1，求一次函数的解析式，并指出图象特征．
14．已知一次函数y=（k﹣1）x+5的图象经过点（1，3）．
（1）求出k的值；
（2）求当y=1时，x的值．
15．一次函数y=k1x﹣4与正比例函数y=k2x的图象经过点（2，﹣1）．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）求这两个函数的图象与x轴围成的三角形的面积．
16．已知y﹣3与4x﹣2成正比例，且x=1时，y=﹣1．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）如果y的取值范围为3≤y≤5时，求x的取值范围．
17．若一次函数y=3x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为24，试求这个一次函数的解析式．
18．如果一次函数y=kx+b的变量x的取值范围是﹣2≤x≤6，相应函数值是﹣11≤y≤9，求此函数解析式．
19．某一次函数图象的自变量的取值范围是﹣3≤x≤6，相应的函数值的变化范围是﹣5≤y≤﹣2，求这个函数的解析式．
20．已知，直线AB经过A（﹣3，1），B（0，﹣2），将该直线沿y轴向下平移3个单位得到直线MN．
（1）求直线AB和直线MN的函数解析式；
（2）求直线MN与两坐标轴围成的三角形面积．
21．一次函数的图象经过点A（0，﹣2），且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3，求这个一次函数的解析式．
22．如果y+2与x+1成正比例，当x=1时，y=﹣5．
（1）求出y与x的函数关系式．（2）自变量x取何值时，函数值为4？
23．已知y﹣3与4x﹣2成正比例，且当x=1时，y=5，
（3）如果y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围；
（4）若函数图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，求S△AOB．
24．已知y﹣3与x成正比例，且x=2时，y=7．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当时，求y的值；
（3）将所得函数图象平移，使它过点（2，﹣1）．求平移后直线的解析式．
25．已知：一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点到原点的距离为3，且过A（2，1）点，求它的解析式．
26．已知一次函数y=（3﹣k）x+2k+1．
（1）如果图象经过（﹣1，2），求k；
（2）若图象经过一、二、四象限，求k的取值范围．
27．正比例函数与一次函数y=﹣x+b的图象交于点（2，a），求一次函数的解析式．
28．已知y+5与3x+4成正比例，且当x=1时，y=2．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设点P（a，﹣2）在这条直线上，求P点的坐标．
29．已知一次函数y=kx+b（k≠0）在x=1时，y=5，且它的图象与x轴交点的横坐标是6，求这个一次函数的解析式．
30．已知：关于x的一次函数y=（2m﹣1）x+m﹣2若这个函数的图象与y轴负半轴相交，且不经过第二象限，且m为正整数．
（1）求这个函数的解析式．
（2）求直线y=﹣x和（1）中函数的图象与x轴围成的三角形面积．
一次函数的解析式30题参考答案：
1．（1）设直线AB解析式为y=kx+b，
依题意，得，解得
∴直线AB解析式为y=﹣x+1
∵点C（a，a）在直线AB上，
∴a=﹣a+1，解得a=；
（2）直线AB与x轴、y轴的交点分别为（1，0），（0，1）
∴直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为
2．（1）设直线l的解析式为y=kx+b，
∵直线l与x轴交于点A（﹣1.5，0），与y轴交于点B （0，3），
∴代入得：，
解得：k=2，b=3，
∴直线l的解析式为y=2x+3；
（2）
解：分为两种情况：①当P在x轴的负半轴上时，
∵A（﹣1.5，0），B（0，3），
∴OP=2OA=3，0B=3，
∴AP=3﹣1.5=1.5，
∴△ABP 的面积是×AP×OB=×1.5×3=2.25；
②当P在x轴的正半轴上时，
∵A（﹣1.5，0），B（0，3），
∴OP=2OA=3，0B=3，
∴AP=3+1.5=4.5，
∴△ABP 的面积是×AP×OB=×4.5×3=6.25．
3．设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），
由已知得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y=x+1，
当y=0时，x+1=0，4．（1）由图象可知，直线l过点（1，0）和（0，），则，解得：，
即k=，b=；
（2）由（1）知，直线l的解析式为
y=x+，当x=2时，有y=×2+=；
（3）当y=4时，代入y=x+得：4=x+，
解得x=﹣5．
5．∵图象经过点A（﹣6，0），
∴0=﹣6k+b，
即b=6k ①，
∵图象与y轴的交点是B（0，b），
∴?OB=12，
即：，
∴|b|=4，
∴b1=4，b2=﹣4，
代入①式，得，，
一次函数的表达式是或
6．根据题意，得，
解得．
故该一次函数的关系式是y=
﹣x+．
7．（1）根据题意，得y=k（x+2）（k≠0）；
由x=0时，y=2得2=k（0+2），解得k=1，
所以y与x的函数关系式是y=x+2；
（2）由，得；
由，得，
所以图象与x轴的交点坐标是：（﹣2，0）；与y轴的交
∴设y+3=k（x+2）（k≠0），
∵当x=3时，y=7，
∴7+3=k（3+2），
解得，k=2．
则y+3=2（x+2），即y=2x+1；
（2）由（1）知，y=2x+1．
令x=0，则y=1，．
令y=0，则x=﹣，
所以，该直线经过点（0，1）和（﹣，0），其图象如图所示：
由图示知，当x ＜﹣时，y＜0
9．（1）一次函数y=kx+b的图象经过点（﹣2，6），且与y=﹣x的图象平行，
则y=kx+b中k=﹣1，
当x=﹣2时，y=6，将其代入y=﹣x+b，
解得：b=4．
则直线的解析式为：y=﹣x+4；
（2）如图所示：
∵直线的解析式与x轴交于点B，
∴y=0，0=﹣x+4，
∴x=4，
∴B点坐标为：（4，0），
∵直线y=mx+n经过点B，且y随x的增大而减小，∴m＜0，此图象与y=﹣x+4增减性相同，
∴关于x的不等式mx+n＜0的解集为：x＞4
10．（1）设y=k（x+2），
∵x=1时，y=﹣6．
∴﹣6=k（1+2）
k=﹣2．
∴y=﹣2（x+2）=﹣2x﹣4．
图象过（0，﹣4）和（﹣2，0）点
（2）从图上可以知道，当﹣1＜y≤0时x的取值范围﹣2≤x ＜﹣．
11．∵y﹣2与2x+1成正比例，
∴设y﹣2=k（2x+1）（k≠0），
∵当x=﹣2时，y=﹣7，
∴﹣7﹣2=k（﹣4+1），
∴k=3，
∴y=6x+5．
12．设y=k（x﹣1），
把x=﹣5，y=2代入，得2=（﹣5﹣1）k，
解得．
所以y与x 之间的函数关系式是
13．设过点A，B的一次函数的解析式为y=kx+b，
则m=k+b，﹣1=k+b，
两式相减，得m+1=k+k，即m+1=（m+1），
∵m≠﹣1，则k=2，
∴b=m﹣1，
则函数的解析式为y=2x+m﹣1（m≠﹣1），其图象是平面内平行于直线y=2x（但不包括直线y=2x﹣2）的一切直线
14．（1）∵一次函数y=（k﹣1）x+5的图象经过点（1，3），
∴3=（k﹣1）×1+5．
∴k=﹣1．
（2）∵y=﹣2x+5中，当y=1时，1=﹣2x+5
∴x=2．
15．（1）把点（2，﹣1）代入y=k1x﹣4
得：2k1﹣4=﹣1，
解得：k1=，
所以解析式为：y=x﹣4；
把点（2，﹣1）代入y=k2x
得：2k2=﹣1，
解得：k2=﹣，
（2）因为函数
y=x﹣4与x 轴的交点是（，0），且
两图象都经过点（2，﹣1），
所以这两个函数的图象与x轴围成的三角形的面积是：S=××1=．
16．（1）设y﹣3=k（4x﹣2），（2分）
当x=1时，y=﹣1，
∴﹣1﹣3=k（4×1﹣2），
∴k=﹣2（4分），
∴y﹣3=﹣2（4x﹣2），
∴函数解析式为y=﹣8x+7．（5分）
（2）当y=3时，﹣8x+7=3，
解得：x=，
当y=5时，﹣8x+7=5，
解得：x=，
∴x 的取值范围是≤x ≤．
17．当x=0时，y=b，
当y=0时，x=﹣，
∴一次函数与两坐标轴的交点为（0，b）（﹣，0），
∴三角形面积为：×|b|×|
﹣|=24，
即b2=144，
解得b=±12，
∴这个一次函数的解析式为y=3x+12或y=3x﹣12 18．根据题意，①当k＞0时，y随x增大而增大，∴当x=﹣2时，y=﹣11，x=6时，y=9
∴解得，
∴函数解析式为
y=x﹣6；
②当k＜0时，函数值随x增大而减小，∴当x=﹣2时，y=9，x=6时，y=﹣11，
∴函数解析式为y=﹣x+4．
因此，函数解析式为
y=x﹣6或y=﹣x+4
19．设一次函数解析式为y=kx+b，根据题意
①当k＞0时，x=﹣3时，y=﹣5，x=6时，y=﹣2，
∴解得，
∴函数的解析式为：y=x﹣4；
②当k＜0时，x=﹣3时，y=﹣2，x=6时，y=﹣5，
∴解得，
∴函数解析式为y=﹣x﹣3；
因此这个函数的解析式为
y=x﹣4或y=﹣x﹣3．
20．设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（﹣3，1），B（0，﹣2），
∴，
∴k=﹣1，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x﹣2，
∵将该直线沿y轴向下平移3个单位得到直线MN，∴直线MN的函数解析式为：y=﹣x﹣5；
（2）∵直线MN与x轴的交点为（﹣5，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣5），
∴直线MN 与两坐标轴围成的三角形面积为×|﹣5|×||
﹣5=12.5．
21．设与x轴的交点为B，则与两坐标轴围成的直角三角形的面积=AO?BO，
∵AO=2，∴BO=3，
∴点B纵坐标的绝对值是3，
∴点B横坐标是±3；
设一次函数的解析式为：y=kx+b，
当点B纵坐标是3时，B（3，0），
把A（0，﹣2），B（3，0）代入y=kx+b，
得：k=，b=﹣2，
所以：y=x﹣2，
当点B纵坐标=﹣3时，B（﹣3，0），
得k=﹣，b=﹣2，
所以：y=﹣x﹣2．
22．（1）依题意，设y+2=k（x+1），
将x=1，y=﹣5代入，得
k（1+1）=﹣5+2，
解得k=﹣1.5，
∴y+2=﹣1.5（x+1），
即y=﹣1.5x﹣3.5；
（2）把y=4代入y=﹣1.5x﹣3.5中，得
﹣1.5x﹣3.5=4，
解得x=﹣5，
即当x=﹣5时，函数值为4
23．（1）设y﹣3=k（4x﹣2），
∵x=1时，y=5，
∴5﹣3=k（4﹣2），
解得k=1，
∴y与x的函数关系式y=4x+1；
（2）将x=﹣2代入y=4x+1，得y=﹣7；
（3）∵y的取值范围是0≤y≤5，
∴0≤4x+1≤5，
解得﹣≤x≤1；
（4）令x=0，则y=1；令y=0，则x=﹣，∴A（0，1），B （﹣，0），
∴S△AOB =××1=．
24．（1）∵y﹣3与x成正比例，
∴y﹣3=kx（k≠0）成正比例，
把x=2时，y=7代入，得7﹣3=2k，k=2；
∴y与x的函数关系式为：y=2x+3，
（2）把x=﹣代入得：y=2×（﹣）+3=2；
（3）设平移后直线的解析式为y=2x+3+b，把点（2，﹣1）代入得：﹣1=2×2+3+b，
解得：b=﹣8，
故平移后直线的解析式为：y=2x﹣5 25．根据题意得：
当b=3时，
y=kx+3，过A（2，1）．
1=2k+3
k=﹣1．y=kx﹣3，
过A（2，1），
1=2k﹣3，
k=2．
故解析式为：y=2x﹣3．
26．（1）∵一次函数y=（3﹣k）x+2k+1的图象经过（﹣1，2），
∴2=（3﹣k）×（﹣1）+2k+1，即2=3k﹣2，
解得k=；
（2））∵一次函数y=（3﹣k）x+2k+1的图象经过一、二、四象限，
∴，
解得，k＞3．
故k的取值范围是k＞3．
27．根据题意，得
，解得，，
所以一次函数的解析式是y=﹣x+3．
28．（1）∵y+5与3x+4成正比例，
∴设y+5=k（3x+4），即y=3kx+4k﹣5（k是常数，且k≠0）．∵当x=1时，y=2，
∴2+5=（3×1）k，
解得，k=1，
故y与x的函数关系式是：y=3x﹣1；
（2）∵点P（a，﹣2）在这条直线上，
∴﹣2=3a﹣1，
解得，a=﹣，
∴P 点的坐标是（﹣，﹣2）
29．把（1，5）、（6，0）代入y=kx+b中，得
，解得，
∴一次函数的解析式是y=﹣x+6．
30．（1）由题意得：，
解得：＜m＜2，
又∵m为正整数，
∴m=1，函数解析式为：y=x﹣1．
（2）由（1）得，函数图象与x轴交点为（1，0）与y 轴交点为（0，﹣1），
一次函数 解析式求法专题练习 1.已知52)2(--+=m m x m y 是正比例函数,若A(a,10)在此直线上,求a 的值. 2.已知直线经过原点及另一点A(-2，4)，求此直线解析式。 3.已知y 与2x-1成正比例,当x=-1时,y=9,求y 与x 的函数关系式. 4.已知2y-1与3-4x 成正比例,当x=2时,y=-7,求y 与x 的函数关系式.
5.已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x-3成正比例,当x=1时,y=-4;当x=-3时,y= 6.求y与x的函数关系式. 6.如图,已知菱形ABCD在平面直角坐标系中,B(6,2),C(12,6). (1)求D点坐标及菱形ABCD的面积; (2)若直线y=kx始终与线段CD有交点,求k的取值范围. 7.已知直线与坐标轴交于A、B两点,A(-4，0),已知△OAB的面积为12,求直线AB的解析式.
8.已知直线AB,当-2≤x≤4时,函数值y的取值范围为-1≤x≤8,求直线AB的解析式. 9.如图,已知矩形OABC在坐标系中,A(10，0)，C(0，6)，E在AB上,连接CE,将△BCE沿CE折叠,使B点落在OA的F点处. (1)求F点及E点坐标; (2)求直线CE解析式.
10.已知直线经过点)2 321(， A 和点B(1，6). (1)求直线AB 的解析式; (2)求直线AB 与x 轴、y 轴的交点坐标C 和D,并求CD 的长; (3)若点E 在y 轴上,当C 、D 、E 三点围成的三角形是等腰三角形,求满足条件的E 点坐标. 11.如图,直线y=kx+6与x 轴、y 轴分别交于点E,F.点E 的坐标为(-8,0)，点A 的坐标为(-6,0). （1）求k 的值； （2）若点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点.当点P 运动过程中,试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； （3）探究:当P 运动到什么位置时,△OPA 的面积为8 27,并说明理由．
二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点
用待定系数法求函数解析式 姓名 一、填空： 1、抛物线832 +-=x y 的开口 ，对称轴方程．．．．． 是 ，顶点坐标为 。 2、已知()1222---=n n x n y 是二次函数，且它的开口向上，则n ＝ ，解析式为 ， 此抛物线顶点坐标是 。 3、把抛物线23x y -=向左平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的解析式是 ， 此函数图象的顶点坐标是： 。 4、与抛物线22 1x y =的形状和开口方向相同，顶点为(3，1)的二次函数解析式为 。 5、把函数253212--- =x x y 配方成()k h x a y +-=2的形式为 ， 当x ＝ 时，函数y 有最 值，为 ；当x 时，y 随x 增大而减小。 6、抛物线652--=x x y 与x 轴交点坐标是 ，与y 轴交点坐标为 。 7、二次函数()4122 ++-=x k x y 顶点在y 轴上，则k ＝ ；若顶点在x 轴上，则k ＝ 。 8、抛物线c bx x y ++=2的顶点是(2，4)，则b ＝ ，c ＝ 。 9、二次函数c bx ax y ++=2图象如图所示，则a 0，b 0，c 0，b 2－4ac 0， a ＋ b ＋ c 0，a －b ＋c 0。 10、已知二次函数c bx ax y ++=2 中，a <0，b >0，c <0，则此函数图象不经过第 象限。 二、解答下列各题： 1、已知抛物线c bx ax y ++=2经过三点A(0，2)、B(1，3)、C(－1，－1)， 求抛物线解析式以及图象与x 轴的交点坐标。 2、已知抛物线c bx ax y ++=2中，21=a ，最高点的坐标是??? ? ?-251，，求此函数解析式。 3、已知抛物线经过以下三点(－1，0)，(3，0)，(1，－5)。 求该抛物线的解析式。
求二次函数的解析式 专题练习题 姓名： 班级： 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2，点A ，C 分别在 y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A ，B 和 D(4，－)，求抛物线的解析式． 23 2．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中点 A(－1，0)，点C(0，5)，D(1，8)都在抛物线上，M 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求直线CM 的解析式； (3)求△MCB 的面积． 3．已知一个二次函数，当x ＝1时，y 有最大值8，其图象的形状、开口方向与 抛物线y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的解析式是( ) A ．y ＝－2x 2－x ＋3 B ．y ＝－2x 2＋4 C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8 D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6 4．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经 过点(2，1)，求二次函数的解析式． 5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 与y 的部分对应值如下表： x … －4 －3 －2 －1 0 …
y …－5 0 3 4 3 … (1)求此二次函数的解析式； (2)画出此函数图象； (3)结合函数图象，当－4＜x≤1时，写出y的取值范围． 6．已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，－3)三点； (1)求此二次函数的解析式； (2)对于实数m，点M(m，－5)是否在这个二次函数的图象上？说明理由．7．已知抛物线在x轴上截得的线段长是4，对称轴是x＝－1，且过点 (－2，－6)，求该抛物线的解析式． 8．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝x2－2x－3. (1)b＝____，c＝____； (2)求原函数图象的顶点坐标； (3)求两个图象顶点之间的距离． 9．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式．
求一次函数解析式专项练习 1．已知A（2，﹣1），B（3，﹣2），C（a，a）三点在同一条直线上． （1）求a的值； （2）求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积． 2．如图，直线l与x轴交于点A（﹣1.5，0），与y轴交于点B（0，3） （1）求直线l的解析式； （2）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的面积． 3．已知一次函数的图象经过（1，2）和（﹣2，﹣1），求这个一次函数解析式及该函数图象与x轴交点的坐标． 4．如图所示，直线l是一次函数y=kx+b的图象． （1）求k、b的值； （2）当x=2时，求y的值； （3）当y=4时，求x的值． 5．已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B．若△AOB的面积为12，求一次函数的表达式． 6．已知一次函数y=kx+b，当x=﹣4时，y的值为9；当x=6时，y的值为3，求该一次函数的关系式．
7．已知y与x+2成正比例，且x=0时，y=2，求： （1）y与x的函数关系式； （2）其图象与坐标轴的交点坐标． 8．如果y+3与x+2成正比例，且x=3时，y=7． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）画出该函数图象；并观察当x取什么值时，y＜0？ 9．直线y=kx+b是由直线y=﹣x平移得到的，此直线经过点A（﹣2，6），且与x轴交于点B． （1）求这条直线的解析式； （2）直线y=mx+n经过点B，且y随x的增大而减小．求关于x的不等式mx+n＜0的解集． 10．已知y与x+2成正比例，且x=1时，y=﹣6． （1）求y与x之间的函数关系式，并建立平面直角坐标系，画出函数图象； （2）结合图象求，当﹣1＜y≤0时x的取值范围． 11．已知y﹣2与2x+1成正比例，且当x=﹣2时，y=﹣7，求y与x的函数解析式． 12．已知y与x﹣1成正比例，且当x=﹣5时，y=2，求y与之间的函数关系式． 13．已知一次函数的图象经过点A（，m）和B（，﹣1），其中常量m≠﹣1，求一次函数的解析式，并指出图象特征． 14．已知一次函数y=（k﹣1）x+5的图象经过点（1，3）． （1）求出k的值； （2）求当y=1时，x的值．
求二次函数解析式分类练习题 类型一：已知顶点和另外一点用顶点式 例1、已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数关系式． 练习： 1．已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10），求其解析式 类型二：已知图像上任意三点（现一般有一点在y轴上）用一般式 例2、已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 练习： 1、已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．求解析式 类型三：已知图像与x轴两个交点坐标和另外一点坐标，用两根式 例3、已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 练习：已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）． （1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）.写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）.这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 巩固练习： 1、已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．
2、 已知二次函数的图象过（3，-2）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 3、已知二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 。若AC=20,BC=15, ∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式 4、已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式． 小测： 1、二次函数y=0.5x 2-x-3写成y=a(x-h)2+k 的形式后,h=___,k=___ 2、抛物线y=－x 2－2x ＋3的开口向 ，对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y 最__值 = ,与x 轴交点 ,与y 轴交点 。 3、二次函数y=x 2－2x －k 的最小值为－5，则解析式为 。 4、已知抛物线y=x 2+4x+c 的的顶点在x 轴上，则c 的值为_________ 6、抛物线 的顶点是(－2,3)，则m= ,n= ;当x 时,y 随x 的增大而增大。 7、已知二次函数 的最小值 为1，则m= 。 8、m 为 时，抛物线 的顶点在x 轴上。 9、已知一个二次函数的图象经过点(6,0), 且抛物线的顶点是(4,－8)，求它的解析式。 10、已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1，且通过点(2,8). 1．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式； 2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式． 4． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。 5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时有最小值－4，且图象在x 轴上截得线段长为 4，求函数解析式． 6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 7.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 8. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切．(1)求二次函数的解析式。 n m x y ++=2)(2m x x y +-=624 22++=mx x y
二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2 y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2 y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若 与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．
求二次函数解析式练习题 1.已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式． 2.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式． 3.已知一个二次函数对称轴x=8,函数最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式 4.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．
5.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 6.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）、二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 7. 已知二次函数的图象过（3，-2）、（2，-3）、二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 8.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点，与x轴交于点C。若 AC=20,BC=15,∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式
9.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.（1）.已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；（2）.已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）；（3）.已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3） ． 10.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）.写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）.这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 11.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式：（1）.已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）；（2）.已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）；（3）.已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数21(1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线223y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线()4222-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．21xy x += B ． 220x y +-= C ． 22y ax -=- D ．2210x y -+= 12．在同一坐标系中，作22y x =、22y x =-、212 y x =的图象，它们共同特点是 ( ) 22 3x y -=
求函数的解析式 （1）配凑法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足等量关系间接获得其解析式． （2）换元法：已知(())()f h x g x =求()f x 时，往往可设()h x t =，从中解出x ，带入()g x 进行换元，求出()f t 的解析式，再将t 替换为x 即可，注意新元t 的取值范围．
（3）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可． （4）解方程组法：已知关于()f x 与1()f x （或()f x -）的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程，构成方程组求出()f x ．
练习题：
答案解析：
6 解析：设2 ()(0) f x ax bx c a =++≠，则 22 (1)()(1)(1)()2 f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++-++=++由题意可知 (0)1 22 f c a a b == ? ? = ? ?+= ? ，解得 1 1 1 a b c = ? ? =- ? ?= ? 2 ()1 f x x x ∴=-+． 答案：21 x x =-+ 7 解析： 1 3()5()21 f x f x x +=+…………① 用 1 x 替换x得 12 3()5()1 f f x x x +=+……② 35 ①-② ??得 10 16()62 f x x x -=-- 即 153 () 888 x f x x =+-． 答案： 153 () 888 x f x x =+- 8 解析：()2()31 f x f x x --=-…………① 用x -替换x得()2()31 f x f x x --=--……② 两式联立解得()1 f x x =+． 答案：A 数学浪子整理制作，侵权必究
求二次函数解析式练习题 1. 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示对称轴为x=﹣．下列结论中，正确的是（ ） A ．abc ＞0 B ．a+b=0 C ．2b+c ＞0 D ．4a+c ＜2b 【答案】D 2.二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2－4ac >0；② 2a +b <0；③ 4a －2b+c =0；④ a ︰b ︰c = －1︰2︰3.其中正确的是( ) (A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④ 【答案】D 3.已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函 数的关系式． 4.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数 的关系式． 5.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 6.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 7.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 8.已知二次函数的图象与x 轴交于A,B 两点，与x 轴交于点C 。若AC=20,BC=15,∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式 9.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.（1）.已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）； （2）.已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）； （3）.已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3） 10.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2）.写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）.这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 11.如图，在平面直c bx ax y ++=2角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2 经过A （-2，-4），O （0，0），B (2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线对称轴上一点，求AM +OM 的最小值． 【答案】 解：（1）把A （-2，-4），O （0，0），B （2，0）三点代入c bx ax y ++=2中，得 ?? ???==++-=+-0024424c c b a c b a ………………3分 解这个方程组，得21-=a ，b =1，c =0. 所以解析式为x x y +-=22 1 （2）由x x y +-=221=2 1)1(212+--x ，可得 抛物线的对称轴为x=1,并且对称垂直平分线段OB ． ∴OM =BM ，OM +AM =BM +AM 连接AB 交直线x =1于M ，则此时OM +AM 最小．
1、如图9（1），在平面直角坐标系中，抛物线经过A （-1，0）、B （0，3）两点， 与x 轴交于另一点C ，顶点为D ． （1）求该抛物线的解析式及点C 、D 的坐标； （2）经过点B 、D 两点的直线与x 轴交于点E ，若点F 是抛物线上一点，以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标； （3）如图9（2）P （2，3）是抛物线上的点，Q 是直线AP 上方的抛物线上一动点，求△APQ 的最大面积和此时Q 点的坐标． 2、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资成本x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y 2与投资成本x 成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资成本的单位：万元） 图① 图② （1）分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式； （2）如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，请求出他所获得的总利润Z 与投入种植花卉的投 资量x 之间的函数关系式，并回答他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
3、如图，为正方形的对称中心，，，直线交于，于，点 从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点从出发沿方向以 个单位每秒速度运动，运动时间为．求： （1）的坐标为； （2）当为何值时，与相似？ （3）求的面积与的函数关系式；并求以为顶点的四边形是梯形时的值及 的最大值． 4、如图①，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为，顶点C,D在第一象限．点P从点 A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E(4,0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P,Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． （1）求正方形ABCD的边长． （2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P,Q两点的运动速度． （3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标． （4）若点P,Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而减小．当点沿着这两边运动时，使∠OPQ=90°的点有个．
二次函数表达式的确定练习题 姓名__________ 1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 2．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式． 3． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 ． 4．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式． 7．把抛物线y ＝(x －1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式． 8．二次函数y ＝x 2－mx ＋m －2的图象的顶点到x 轴的距离为,16 25求二次函数解析式． 9．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值． 10．函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别为( ) A ．4和－3 B ．5和－3 C ．5和－4 D ．－1和4 11．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( ) 12.已知抛物线y=-x 2+mx+n 的顶点坐标是（-1，- 3 )，则m 和n 的值分别是（ ） A.2,4 B.-2,-4 C.2,-4 D.-2,0 13.已知二次函数2 y ax bx c =++的图象经过原点和第一、二、三象限，则（ ） （A ）0,0,0a b c >>> （B ）0,0,0a b c <<= （C ）0,0,0a b c <<> （D ）0,0,0a b c >>=
二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式 ))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式 ))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3） 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点八、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a b x 2-=时，a b a c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2- 是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而 增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如 果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2 x x =时，c bx ax y ++=222最小。 知识点九、二次函数的性质 1、二次函数的性质
2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ． 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴?? ? =+=3 42b ab a ， ∴????? ?=-===3 2 1 2b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ． 二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域． 例2 已知221 )1(x x x x f + =+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2-=∴x x f )2(≥x ． 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解 析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表 示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ． x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ． 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点． 则 ?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2． 把???-='--='y y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ． 整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ． 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置
知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程02 =++c bx ax 有 实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数 c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点三、二次函数的最值
待定系数法求一次函数得解析式练习题 一、旧知识回顾 1,填空题: (1)若点A(-1,1)在函数y=kx得图象上则k= 、 (2)在一次函数y=kx-3中,当x=3时y=6则k= 、 (3)一次函数y=3x-b过A(-2,1)则b= ,。 3、解方程组: 3.练习: (1)已知一次函数得图象经过点(1,-1)与点(-1,2)。求这个函数得解析式。 (2)已知一次函数y=kx+b中,当x=1时,y=3,当x=-1时,y=7。求这个函数得解析式。且求当x=3时,y得值。 (3)师:已知直线上两点坐标,能求出这条直线得解析式,若不直接告诉两点得坐标,已知这条直线得图象,能否求出它得解析式？ 如: 5.练习: 1.选择题: 1)一次函数得图象经过点(2,1)与(1,5),则这个一次函数( ) A、y=4x+9 B、 y=4x-9 C、 y=-4x+9 D、 y=-4x-9 (2)已知点P得横坐标与纵坐标之与为1,且这点在直线y=x+3上,则该点就是( ) A、(-7,8) B、 (-5,6) C、 (-4,5) D、 (-1,2) 3)若点A(-4,0)、B(0,5)、C(m,-5)在同一条直线上,则m得值就是( ) A、8 B、4 C、-6 D、-8 (4)一次函数得图象如图所示,则k、b得值分别为( ) A、k=-2,b=1 B、k=2,b=1 C、k=-2,b=-1 D、k=2,b=-1 2、尝试练习: (1)已知一次函数 y=kx+2,当x=5时,y得值为4,求k得值。 (2)已知直线y=kx+b经过(9,0)与点(24,20),求这个函数得解析式。 (3)一次函数y=kx+5与直线y=2x-1交于点P(2,m),求k、m得值、 (4)一次函数y=3x-b过A(-2,1)则b= ,该图象经过点B( ,-1)与点C(0, )、 (5)已知函数y=kx+b得图象与另一个一次函数y=-2x-1得图象相交于y轴上得点A,且x轴下方得一点B(3,n)在一次函数y=kx+b得图象上,n满足关系n2=9、求这个函数得解析式、
二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线 y = (x - 2) 2 + 3 的对称轴是（ ） A. 直线 x = -3 B. 直线 x = 3 C. 直线 x = 2. 二 次 函 数 y = ax 2 + bx + c 的 图 象 如 右 图 ， 则 M (b , c ) 在（ ） a A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ，且 a < 0 ， a - b + c > 0 ，则一定有（ ） A. b 2 - 4ac > 0 B. b 2 - 4ac = 0 C. b 2 - 4ac < 0 D. b 2 - 4ac ≤0 4. 把抛物线 y = x 2 + bx + c 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是 y = x 2 - 3x + 5 ，则有（ ） A. b = 3 ， c = 7 C. b = 3 ， c = 3 B. b = -9 ， c = -15 D. b = -9 ， c = 21 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系内， 二次函数 y = ax 2 + (a + c )x + c 与一次函数 y = ax + c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） D 6. 抛物线 y = x 2 - 2x + 3 的对称轴是直线（ ） A. x = -2 B. x = 2 C. x = -1 D. x = 1
7. 二次函数 y = (x - 1) 2 + 2 的最小值是（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 8. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，若 M = 4a + 2b + c N = a - b + c ， P = 4a - b ，则（ ） A. M > 0 ， N > 0 ， P > 0 B. M < 0 ， N > 0 ， P > 0 C. M > 0 ， N < 0 ， P > 0 D. M < 0 ， N > 0 ， P < 0 二、填空题： 9. 将二次函数 y = x 2 - 2x + 3 配方成 y = (x - h )2 + k 的形式，则 y = . 10. 已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴有两个交点，那么一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的根 的情况是 . 11. 已知抛物线 y = ax 2 + x + c 与 x 轴交点的横坐标为-1 ，则 a + c = . 12. 请你写出函数 y = (x + 1) 2 与 y = x 2 + 1 具有的一个共同性质： . 13. 已知二次函数的图象开口向上，且与 y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次 函数的解析式： . 14. 如图，抛物线的对称轴是 x = 1 ，与 x 轴交于 A 、B 两点，若 B 点坐标是( 3,0) ，则 A 点 的坐标是 . 三、解答题： 1. 已知函数 y = x 2 + bx - 1 的图象经过点（3，2）. （1）求这个函数的解析式； （2）当 x > 0 时，求使 y ≥2 的 x 的取值范围.
待定系数法求函数的解析式练习题集
待定系数法求一次函数的解析式练习题 一、旧知识回顾 1，填空题： （ 1）若点 A（ -1，1）在函数 y=kx 的图象上则 k= . （ 2）在一次函数 y=kx-3 中，当 x=3 时 y=6 则 k= . （ 3）一次函数 y=3x-b 过 A（ -2， 1）则 b=,。 3.解方程组 : x y 7 (4) 3x y 17; 3．练习： （ 1）已知一次函数的图象经过点（1，-1）和点（ -1，2）。求这个函数的解析式。 （2）已知一次函数 y=kx+b 中，当 x=1 时，y=3，当 x=-1 时， y=7。求这个函数的解析式。且求当 x=3 时 ,y 的值。 （3）师：已知直线上两点坐标，能求出这条直线的解析式，若不直接告诉两 点的坐标，已知这条直线的图象，能否求出它的解析式？ 如：
5．练习： 1．选择题： 1)一次函数的图象经过点 (2,1) 和(1,5) ，则这个一次函数 ( ) A.y=4x+9 B. y=4x-9 C. y=-4x+9 D. y=-4x-9 (2) 已知点P 的横坐标与纵坐标之和为1，且这点在直线y=x+3 上，则该点是( ) A.(-7,8) B. (-5,6) C. (-4,5) D. (-1,2) 3)若点 A(-4,0) 、 B(0,5) 、 C(m,-5) 在同一条直线上，则 m的值是 ( ) A.8 B.4 C.-6 D.-8 (4) 一次函数的图象如图所示，则 k、 b 的值分别为 ( ) A.k=-2,b=1 B.k=2,b=1 C.k=-2,b=-1 D.k=2,b=-1 2.尝试练习： （ 1）已知一次函数y=kx+2, 当 x=5 时， y 的值为 4，求 k 的值。 （ 2）已知直线 y=kx+b 经过（ 9，0）和点（ 24， 20），求这个函数的解析式。（ 3）一次函数 y=kx+5 与直线 y=2x-1 交于点 P(2， m)，求 k、m的值 . （ 4）一次函数 y=3x-b 过 A（-2 ， 1）则 b= , 该图象经过点 B（，-1 ）和点 C（0，）.