课时跟踪检测（三十一） 弧度制
A 级——学考合格性考试达标练
1.
3π
4
对应的角度为( ) A ．75° B ．125° C ．135°
D ．155°
解析：选C 由于1 rad ＝???
?180
π°，
所以3π4＝3
4π×????180π°＝135°，故选C.
2．与角－π
6终边相同的角是( )
A.5π6
B.π3
C.11π6
D.2π3
解析：选C 与角－π6终边相同的角为2k π－π6，k ∈Z ，当k ＝1时，此角等于11π
6.
故选C.
3．把角－570°化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为( ) A ．－3π－1
6π
B ．－4π＋150°
C ．－3k π－30°
D ．－4π＋5
6
π
解析：选D 因为－570°与5
6π的终边相同，所以把角－570°化为2k π＋α(0≤α<2π)
的形式为－4π＋5
6
π.
4．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是( ) A.π3 B ．－
π3 C.π6
D ．－
π6
解析：选B 分针拨快10分钟，决定了分针转动的方向是顺时针，即转过的弧度数是负的．因为分针拨快60分钟时转过弧度数为－2π，所以拨快10分钟转过的弧度数为－π
3
.
5．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( ) A ．{α|α＝k π，k ∈Z }
B.????
??α??α＝k π＋π
2，k ∈Z
C ．{α|α＝2k π，k ∈Z }
D.????
??α??α＝2k π＋π
2，k ∈Z
解析：选D A 选项表示的角的终边在x 轴上，B 选项表示的角的终边在y 轴上；C 选项表示的角的终边在x 轴的非负半轴上；D 选项表示的角的终边在y 轴的非负半轴上．故选D.
6．－105°化为弧度为________，11π
3化为角度为________．
解析：－105°＝－105×
π180＝－7
12
π， 113π＝11
3×180°＝660°. 答案：－7
12
π 660°
7．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则该扇形的周长为________ cm.
解析：因为1°＝
π180 rad ，所以54°＝π180×54＝3π10，则扇形的弧长l ＝αr ＝3π
10
×20＝ 6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm.
答案：40＋6π
8．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．
解析：设原来圆的半径为r ，弧长为l ，弧所对的圆心角为α(0<α<2π)，则现在的圆的半径为3r ，弧长为l ，设弧所对的圆心角为β(0<β<2π)，于是l ＝αr ＝β·3r ，∴β＝1
3
α.
答案：1
3
9．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)23
6
π.
解：(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π
3，
∴－1 500°与5π
3
终边相同，是第四象限角． (2)∵
236π＝2π＋11
6
π， ∴236π与11
6π终边相同，是第四象限角．
10.如图，扇形AOB 的面积是4 cm 2，它的周长是10 cm ，求扇形的
圆心角α的弧度数及弦AB 的长．
解：设弧AB 长为l cm ，扇形半径为r cm ，
则由题意，得?????l ＋2r ＝10，12l ·r ＝4，
解得?????r ＝1，l ＝8(不合题意，舍去)或?????r ＝4，l ＝2.∴α＝24＝1
2(rad)．
∴弦AB 的长为2r sin α2＝2×4×sin 14＝8sin 1
4
(cm)．
B 级——面向全国卷高考高分练
1．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C 设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r ，由题意知????
?αr ＝6，12
αr 2＝6，解得α＝
3，故选C.
2．若α3＝2k π＋π3(k ∈Z )，则α
2
的终边在( )
A ．第一象限
B ．第四象限
C ．x 轴上
D ．y 轴上
解析：选D ∵α3＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴α＝6k π＋π(k ∈Z )，∴α2＝3k π＋π2
(k ∈Z )．当
k 为奇数时，α2的终边在y 轴的非正半轴上；当k 为偶数时，α
2的终边在y 轴的非负半轴上．综
上，
α
2
的终边在y 轴上，故选D.
3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π
4
有相同的终边，那么α与β间的关系为( )
A ．α＋β＝0
B ．α－β＝0
C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )
D ．α－β＝π
2
＋2k π(k ∈Z )
解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z )，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z )，∴α－β＝π2
＋2(k 1－k 2)π(k 1∈Z ，k 2∈Z )．
∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z . ∴α－β＝
π
2
＋2k π(k ∈Z )． 4.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所
示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转π
2
，则从动轮N 逆时针旋转( ) A.π8 B.π4 C.π2
D ．π
解析：选B 设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等，所以1502×π2＝300
2×θ，解得θ＝π4
，选B.
5．若角α的终边与8
5π角的终边相同，则在[0，2π)上，终边与α4
角的终边相同的角是
____________．
解析：由题意，得α＝
8π5＋2k π(k ∈Z )，∴α4＝2π5＋k π
2
(k ∈Z )．令k ＝0，1，2，3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π
10
. 答案：
2π5，9π10，7π5，19π
10
6．在直径为10 cm 的轮上，有一长为6 cm 的弦，P 为该弦的中点，轮子以每秒5 rad 的角速度旋转，则经过5 s 后点P 转过的弧长是________cm.
解析：点P 在以轮的中心为圆心，半径为4 cm 的圆上，5 s 后点P 转过的圆心角为 25 rad ，由弧长公式知，该弧长为100 cm.
答案：100 7．已知α＝1 690°.
(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0，2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋
25
18
π. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋25
18π(k ∈Z )．
又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋25
18π<4π(k ∈Z )．
解得－9736 36(k ∈Z )，∴k ＝－2，－1，0，1. ∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118 π. 8.用弧度表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在图中阴影部分的角的集合． 解：以射线OB 为终边的225°角与－135°角的终边相同，－135°＝－135×π180＝－3π4 ，而135°＝ 3π4，阴影部分(包括边界)位于－3π4与3π 4 之间且跨越x 轴的非负半轴．所以，终边在阴影部分(包括边界)的角的集合为???α??? ??－3π4＋2k π≤α≤3π 4＋2k π，k ∈Z . C 级——拓展探索性题目应用练 如图，一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为π 6，试求点A 走过的路程及走过的弧所 在的扇形的总面积．(圆心角为正) 解：在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝π2·AB ＝π 2·3＋1＝π，面积S 1＝ 12·π2·AB 2＝12·π 2·4＝π.在扇形A 1CA 2中，圆心角也为π2，弧长l 2＝π2·A 1C ＝π2·1＝π2，面积S 2＝12·π2·A 1C 2＝12·π 2·12＝π4.在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝π3·A 2D ＝π3·3＝33π，面积S 3＝12·π3·A 2D 2＝12·π 3·(3)2＝π2，∴点A 走 过的路程长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋π2＋3π3＝（9＋23）π 6 ，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋ π4＋π2＝7π4 .
相关主题
文本预览