专题15 巧用相似解二次函数与圆相关题型
解题方法：与圆相关的题型中借助相似三角形的性质将面积最值转化为线段最值求解，要灵活运用平行线切割线段成比例的性质.
下面具体看几个例子，帮助同学们加以理解.
1. （2019·江苏苏州中考）如图①，抛物线y =－x 2
+（a +1）x －a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ．已知△ABC 的面积是6．
（1）求a 的值；
（2）求△ABC 外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P 是抛物线上一点，Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，△QPB 的面积为2d ，且∠PAQ =∠AQB ，求点Q 的坐标．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵y =－x 2+（a +1）x －a
令y =0，即－x 2+（a +1）x －a =0，
解得x 1=a ，x 2=1，
由图象知：a ＜0，
∴A （a ，0），B （1，0）
∵S △ABC =6 ∴()()112
a a --=6，解得：a =－3， a =4（舍去）， 即a=－3.
（2）设直线AC 的解析式为：y =kx +b ，由A （－3，0），C （0，3），
可得－3k +b =0，且b =3，
解得：k=1，b=3 即直线AC：y=x+3，
∴A、C的中点D坐标为
33
22
??-
???
，，
∴线段AC的垂直平分线解析式为：y=－x，线段AB的垂直平分线为x=－1 联立解得：y=1，
即△ABC外接圆圆心的坐标（－1，1）
（3）过P作作PM⊥x轴于M，则S△BAP=1
2
2
AB PM d
??=，
∴S△BAP=S△BQP，
∴A、Q到PB的距离相等，
即AQ∥PB
设直线PB解析式为：y=x+b，
∵直线经过点B（1，0），
∴直线PB的解析式为y=x－1，
联立y=x－1，y=－x2－2x+3，
解得：x=－4，y=－5或x=1，y=0（舍），∴点P坐标为（－4，－5）
又∵∠PAQ=∠AQB
可得：△PBQ≌△ABP，
∴PQ=AB=4
设Q（x，x+3），
由PQ=4，得：（x+4）2+（x+8）2=42，
解得：m=－4，m=－8（舍去）
∴Q 坐标为（－4，－1）.
2. （2019·山东潍坊中考）如图，在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，点A （4，0），点B （0，
4），△ABO 的中线AC 与y 轴交于点C ，且⊙M 经过O ，A ，C 三点．
（1）求圆心M 的坐标；
（2）若直线AD 与⊙M 相切于点A ，交y 轴于点D ，求直线AD 的函数表达式；
（3）在过点B 且以圆心M 为顶点的抛物线上有一动点P ，过点P 作PE ∥y 轴，交直线AD 于点E ．若以PE 为半径的⊙P 与直线AD 相交于另一点F ．当EF ＝
P 的坐标．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）点B （0，4），则点C （0，2），
∵点A （4，0），则点M （2，1）；
（2）∵⊙P 与直线AD ，则∠CAD ＝90°，
设∠CAO ＝α，则∠CAO ＝∠ODA ＝∠PEH ＝α，
tan ∠CAO ＝12OC OA =，即tanα=12
，则sinα
，cosα
由勾股定理得：AC
则CD
＝10sin AC CDA ==∠， ∴点D （0，﹣8），
设直线AD 的解析式为：y ＝mx +n ，得：
408m n n +=??=-?
，解得：m =2，n =－8， ∴直线AD 的表达式为：y ＝2x ﹣8；
（3）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣2）2
+1， 将点B 坐标代入上式并解得：a ＝34
， 即抛物线的表达式为：y ＝34
x 2﹣3x +4，
过点P 作PH ⊥EF ，则EH ＝12
EF ＝
∴在Rt △PEH 中，cos ∠PEH ＝
EH PE = 解得：PE ＝5， 设点P （x ，34
x 2﹣3x +4），则点E （x ，2x ﹣8）， 则PE ＝34
x 2﹣3x +4﹣2x +8＝5， 解得x ＝
143，x =2（舍去）， 则点P （
143，193）．
3. （2019·湖南岳阳中考）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733
y x x =
+的图象上，点A 的横坐标为﹣4，点B 的纵坐标为﹣2．（点A 在点B 的左侧）
（1）求点A 、B 的坐标；
（2）将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '，抛物线F 2：2
4y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积；
（3）如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似．若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）在抛物线上，当x=－4时，y=－4，
即A(4,－4)，
当y=－2时，x=－1,或x=－6，
∵点A 在点B 的左侧，
∴B(－1，－2).
（2）过点B 作BE ⊥x 轴于E ，过B’作B’G⊥x 轴于G ，
∴OE=1，BE=2，∠BEO=∠B’GO=90°，
由旋转性质知，OB=OB’，∠BOB’=90°，
∴∠B’OG=∠OBE ，
∴△B’OG≌△OBE ，
∴OG=BE=2，B’G=OE=1，
∴B’(2，－1)，A’(4，－4)，
，
将A’，B’坐标代入抛物线F 2：2
4y ax bx =++，得： 164444241a b a b ++=-??++=-?，解得：143
a b ?=???=-?， 即抛物线F 2：21344
y x x =-+，对称轴为：x=6， 设M(6，m)，则OM 2=m 2+36，A’M 2=m 2+8m+20，
∵点A’在以OM 为直径的圆上，
∴∠OA’M=90°，
OA’2+A’M 2=OM 2
，
(222+m +8m+20=36+m ，
解得：m=－2，
∴S △OA’M
=1
1''22
OA A M ?=?(3)由A(－4,4)，得OA 与x 轴的夹角为45°，
①当点D 在x 轴负半轴或y 轴负半轴时，∠AOD=45°，
由B’(2,－1)得直线OB’的解析式为：y=12
-x ， 联立：2121344
y x y x x ?=-????=-+??，得：C(8，－4)， ∴A’C∥x 轴，
∴∠OA’C=135°，
∠A’OC≠45°，∠OCA’ ≠45°，
即此时△ADO 和△OA’C 不会相似；
②当点D 在x 轴正半轴或y 轴正半轴时，
若△AOD ∽△OA’C，
则1''
OD OA A C OA ==， 则OD=A’C=4，
∴D(4,0)或（0,4）；
若△DOA ∽△OA’C，
则''4
OD OA A O CA ===
∴OA’=8，
∴D(8,0)或（0,8），
综上所述，点D 的坐标为：(4,0)，（0,4），(8,0)，（0,8）.
4. （2019·湖北鄂州中考）如图，已知抛物线y =-x 2
+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，AB ＝4，交y 轴于点C ，对称轴是直线x =1.
（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；
（2）连接BC ，E 是线段OC 上一点，E 关于直线x =1的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标；
（3）动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，交线段BC 于点Q .设运动时间为t (t >0)秒.
①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出t 的值；
②△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵点A 、B 关于直线x=1对称，AB ＝4，
∴A （－1，0），B （3，0），
代入y=-x 2
+bx+c 中，得：b=2，c=3
∴抛物线的解析式为y=-x 2
+2x+3，
∴C 点坐标为（0，3）.
（2）设直线BC 的解析式为y=mx+n ，则有：m=－1，n=3
∴直线BC 的解析式为y=-x+3
∵点E 、F 关于直线x=1对称，E 到对称轴的距离为1，
∴ EF=2
∴F 点的横坐标为2，将x=2代入y=-x+3中，
得：y=-2+3=1
∴F （2，1）.
（3）①t=1
②∵M （2t,0），MN ⊥x 轴
∴Q （2t,3-2t ）
∵△BOQ 为等腰三角形,
∴分三种情况讨论
第一种，当OQ ＝BQ 时，
∵QM ⊥OB
∴OM ＝MB
∴2t=3-2t ∴t=34
， 第二种，当BO ＝BQ 时，在Rt △BMQ 中
∵∠OBQ ＝45°
∴BQ ＝，
即3＝√2(3?2t)，
∴t 第三种，当OQ ＝OB 时，则点Q 、C 重合，此时t=0，
而t>0，故不符合题意，
综上，当t=34BOQ 为等腰三角形.
5.（2019·台州模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB＝10．sinA＝3
5
，点D为线段AC上
一动点（不运动至端点A、C），作DF⊥AB于F，连结BD，井延长BD交⊙O于点H，连结CF．（1）当DF经过圆心O时，求AD的长；
（2）求证：△ACF∽△ABD；
（3）求CF?DH的最大值．
【答案】见解析.
【解析】（1）解：当DF经过圆心O时，AF＝OA＝5，
∵AB为直径，AB＝10，
∴∠ACB＝90°，
∴sinA＝
3
5 BC
AB
=，
∴BC＝6，
由勾股定理得：AC＝8，∵AB⊥DE，
∴∠AFD＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，
∴△ADF∽△ABC，
∴AD AF AB AC
=，
∴AD＝
25
4 AF AB
AC
?
=；
（2）证明：由（1）得：AD AF AB AC
=，
即: AD AB AF AC
=，
又∵∠A为△ACF和△ABD的公共角，∴△ACF∽△ABD；
（3）解：连接CH，如图所示,
由（2）知△ACF∽△ABD，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠ABD＝∠ACH，
∴∠ACH＝∠ACF，
又∵∠CAF＝∠H，
∴△ACH∽△HCD，
∴CF AF
CD DH
，即CF?DH＝CD?AF，
设AD＝x，则CD＝8﹣x，AF＝4
5
x，
∴CF?DH＝4
5
x（8﹣x）
＝﹣4
5
x2+
32
5
x
＝﹣4
5
（x﹣4）2+
64
5
，
∴当x＝4时，CF?DH的最大值为64
5
．
6. （2019·湖南怀化中考）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意知，OB ＝1，tan ∠ABO ＝3， ∴OA ＝3，OC ＝3，
即点A 、B 、C 的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0）， 将点（0，3）、（﹣1，0）代入y ＝﹣x 2
+bx +c
得二次函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3，
顶点坐标为：P （1，4）；
（2）联立y ＝﹣x 2+2x +3，y =kx －k +3得： x 2﹣（2﹣k ）x ﹣k ＝0，
设点M 、N 的坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），
则x 1+x 2＝2﹣k ，x 1x 2＝﹣k ，
y 1+y 2＝k （x 1+x 2）﹣2k +6＝6﹣k 2，
同理：y 1y 2＝9﹣4k 2，
①y ＝kx ﹣k +3，当x ＝1时，y ＝3，即点Q （1，3）， ∵S △PMN ＝2
∴2＝12
PQ ×（x 2﹣x 1），即x 2﹣x 1＝4， ∴（x 2﹣x 1）2＝16，即（x 1+x 2）2－2x 1x 2=16，
可得：k ＝±
②点M 、N 的坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、点P （1，4）， 由勾股定理得：()()2221114PM x y =-+-，()()2222214PN x y =-+-, ()()22
21212MN x x y y =-+-,
∴()()222222121212122834PM PN x x y y x x y y +=+++-+-++
=()()222221212228634x x y y k k +++----+ =2222212128218x x y y k k +++++- ()()2221212MN x x y y =-+-
=()()2222212122294x x y y k k +++---- =22222
12128218x x y y k k +++++- ∴222PM PN MN +=,
故无论k 为何值，△PMN 恒为直角三角形；
③取MN 的中点H ，则点H 是△PMN 外接圆圆心，
设点H 坐标为（x ，y ），
则x ＝12222
x x k +-=， y ＝2
12622
y y k +-=， 整理得：y ＝﹣2x 2+4x +1，
即：该抛物线的表达式为：y ＝﹣2x 2+4x +1．
学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此 抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：
已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解? ?? ?==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。 （3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法 三角形的面积求解常用方法：如右图，S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2 ）与一次函数（h kx y ＋＝） （1）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。 （2）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2，即()02 ＝－＋－＋h c x k b ax ，通过?可判断两个图象的交点 的个数 有两个交点 ? 0＞?
二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2
P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x
二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函
数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．
二次函数综合题常见题型 一、线段最值 1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）． （1）求直线BC与抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．
7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截2、如图，二次函数的图象经过点D(0，3 9 得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
3、如图，已知直线 1 1 2 y x =+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2 1 2 y x bx c =++与直 线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。 ⑴求该抛物线的解析式； ⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|| AM MC -的值最大，求出点M的坐标。
4、如图，已知ABC =,点A、C在x轴上，点B坐标 ∠=?，AC BC ACB ?为直角三角形，90 为（3，m）（0 m>），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ Array并延长交AC于点F，试证明：() FC AC EC +为定值．
【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0.
二次函数综合题（共30题） 1．（2011?遵义）已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标； （2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标． 2．（2011?淄博）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣2），与直线y=x交于点A（﹣2，﹣2），B（2，2）．（1）求抛物线的解析式； （2）如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点N与点B不重合），且MN=，若M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由． 3．（2011?资阳）已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点． （1）如图1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式； （2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′的解析式； （3）在（2）的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得PB=PA'的点P的坐标．
4．（2011?株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得（如图1），求a的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标_________； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标． 5．（2011?漳州）如图1，抛物线y=mx2﹣11mx+24m （m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°． （1）填空：OB=_________，OC=_________； （2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式； （3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值． 6．（2011?湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形； （3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
周村区城北中学二次函数综合提升寒假作业题 一、顶点、平移 1、抛物线y ＝－(x ＋2)2 －3的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 2、若,,,,,123351A y B y C y 444??????- ? ? ??????? 为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是 A.123y y y << B. 213y y y << C.312y y y << D.132y y y << 3、二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为（ ）A ． B ．2 C ． D ． 4、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y = (x ? 2)2 + 1 B ．y = (x + 2)2 + 1 C ．y = (x ? 2)2 ? 3 D ．y = (x + 2)2 ? 3 5、将二次函数2 45y x x =-+化为2 ()y x h k =-+的形式，则y = ． 6二次函数与y=kx 2﹣8x +8的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ） A ．k ＜2 B ．k ＜2且k ≠0 C ．k ≤2 D ．k ≤2且k ≠0 7、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线3-=x C ．其最小值为1 D ．当3 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P 的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣1 2 时，△APC的面积取最大值， 最大值为27 8 ，此时点P的坐标为（﹣ 1 2 ， 15 4 ）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1， 2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为10 2 【解析】 【分析】 （1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得 出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣3 2 x2﹣ 3 2 x+3，再利用二次函数的性 质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论． 【详解】 （1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得： 二次函数与几何综合 学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 课 题 函数的综合压轴题型归类 教学目标 1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 2、 掌握特殊图形面积的各种求法 重点、难点 1、 利用图形的性质找点 2、 分解图形求面积 教学内容 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。 二次函数综合练习题附答案 ●基础巩固 1.如果抛物线y =－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m =______. 2.二次函数y =－2x 2+x － 2 1，当x =______时，y 有最______值，为______.它的图象与x 轴______交点(填“有”或“没有”). 3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示. ①这个二次函数的表达式是y =______；②当x =______时，y =3；③根据图象回答：当x ______时，y >0. 4.某一元二次方程的两个根分别为x 1=－2，x 2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可) 5.不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是______(填“有解”或“无解”). 6.某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”). 7.如图2，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m). 8.若抛物线y=x 2－(2k+1)x+k 2+2，与x 轴有两个交点，则整数 k 的最小值是______. 9.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图1所示，由抛物线的特征你能得到含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可). 10.等腰梯形的周长为60 cm ，底角为60°，当梯形腰x=______ 二次函数典型中考试题解析及训练 [解读中考要点] 1、二次函数 一般地，形如 2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的函数叫做x 的二次函数。 解读：在函数中注意二次项系数0a ≠，,b c 是任意的实数即可。 2、二次函数 2y ax =（0a ≠）的性质 解读：（1）二次函数2y ax =的图象是抛物线，它的顶点是原点，对称轴是y 轴。 （2）当0a >时， 抛物线2y ax =的开口向上，并且向上无限延伸，顶点是它的最低点；当0a <时，抛物线2 y ax =的开口向下，并且向下无限延伸，顶点是它的最高点。 3、二次函数 2y ax k =+（0a ≠）的图象与性质 解读：（1）二次函数2y ax k =+的图象与2y ax =的图象的形状完全一样，可以通过平移二次函数2y ax =的图 象得到 2y ax k =+的图象。当0k >时，向上平移k 个单位长度；当0k <时，向下平移k 个单位长度。 （2）当0a >时，抛物线的开口向上；当0a <时，抛物线的开口向下。 （3）抛物线的顶点是 ()0,k ，对称轴是y 轴。 4、二次函数 ()2 y a x h k =-+（0a ≠）的图象与性质 解读：（1）它的图象与2y ax =的图象的形状完全一样，可以通过二次函数2 y ax =的图象得到()2 y a x h k =-+的图象。 （2）当0a >时，抛物线的开口向上；当0a <时，抛物线的开口向下。 （3）抛物线的顶点是 (),h k ，对称轴是y 轴。 5、关于二次函数 2y ax bx c =++（0a ≠）的图象 解读：（1）二次函数 2y ax bx c =++（0a ≠）的图象是与2y ax =的图象的形状完全一样的一条抛物线。 （2）抛物线2 y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴是直线2b x a =-，顶点是24,24b ac b a a ??-- ???。 （3）当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点。当2b x a =-时，函数有最小值 244ac b a -；当2b x a <- 时， y 的值随x 值的增大而减小；当2b x a >- 时，y 的值随x 值的增大而增大。 2015年初三数学《二次函数综合题》归类复习 1．图像与性质： 例1．(2014年四川资阳，第24题12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标； （3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3． （2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标． （3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x 轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S． 解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则，解得． 故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3． （2）①当MA=MB时，M（0，0）；②当AB=AM时，M（0，﹣3）；③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）． （3）平移后的三角形记为△PEF．设直线AB的解析式为y=kx+b，则 ，解得．则直线AB的解析式为y=﹣x+3． △AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m． 设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； 一、应用题型： 1、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间 会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客 居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于340 元。设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)。 (1) 设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式； (3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 2、近年来，政府大力投资改善学校的办学条件，并切实加强对学生的安全管理和安全教 育．某中学新建了一栋教学大楼，进出这栋教学大楼共有2道正门和2道侧门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生；当同时开启一道正门和两道侧门时，3分钟可以通过840名学生． （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门分别可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%．安全检查规定：在紧急情况下，全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教 学大楼的教学室里最多有1500名学生，试问建造的这4道门是否符合安全规定？ 请说明理由． 练习1：某儿童服装店欲购进A、B两种型号的儿童服装．经调查：B型号童装的进货单价是A型号童装的进货单价的两倍，购进A型号童装60件和B型号童装40件共用去2100元． (1)求A、B两种型号童装的进货单价各是多少元？ (2)若该店每销售1件A型号童装可获利4元，每销售1件B型号童装可获利9元，该 店准备用不超过6300元购进A、B两种型号童装共300件，且这两种型号童装全部售出后总获利不低于1795元．问该店应该怎样安排进货，才能使总获利最大？最大总获利为多少元？ 读书破万卷下笔如有神 二次函数型综合问题 这类综合题是以二次函数为中心，综合二次方程、二次三项式、不等式或几何、三角等知识，组成一个题组，重点、难点集中，综合性较强，灵活性较大，是当前各地中考命题的一个热门题型。3．2．1直接与代数知识相结合的问题 这类问题主要是代数知识的综合，解题时牢牢抓住二次函数的有关性质和其它二次三项式的有关知识和解题方法，并结合函数的图象就能找到解题的思路。 2?(m?1)2xx?m?1y?。（1）求证：无论m为何值时，函数y的图象与1例．已知二次函数x 轴总有交点，并指出当m为何值时只有一个交点？（2）当m为何值时，函数y的图象经过原点，并求出此时图象与x 轴的另一个交点的坐标。（3）如果函数y的图象的顶点在第四象限，求职m的取值范围。 2?(m?2)x?(m?1)x1(m?y为实数）。求：（1）m取何值时，抛物线与x例2．已知二次函数轴2?(m?2))xx?1?0(m?1的两个不相等的实的一元二次方程）如果关于x有两个交点？（2数根倒数平方和等于2，求m的值。（3）如果抛物线与x 轴相交于A、B两点，与y轴交于C S?2确定m点，且的值。ABC? 3)02,32,?),(?0(,),(）（13例．（）已知一个二次函数的图象经过三点。求这个二次函数的解析式；22）中所求的二次函数图象的开口方向和形状保持不变，平行移动这个函数的图象，使之1如果（)1,0?(，求此时二次函轴交于两点，与，轴交于与xAByC|AC|=|AB|点坐标为B点，若，且数的解析式。 下笔如有神读书破万卷 22)?3?4)x?(mmy??xm?(2?2的整数，它0m中，例4．以x为自变量的二次函数为不小于）求这个二次函数的解析1B在原点右边。（A，B，点A在原点左边，点的图象与x轴交于点10?S b?y?kx，C式；（2）一次函数A，与这个二次函数的图象交于点，且的图象经过点ABC?求一次函数的解析式。 221mmmx??y?x??2轴有交点，那）求证：如果抛物线与x例5．设抛物线为实数）。（1（m 轴的所有交点中，求与原点距离最近的交点坐）在抛物线与x轴的正半轴上；（2x么交点都在m 的值。标，并求此时 2)a?0?bx?c(?yax与坐标轴有两个且只有两个公共点，这两个公共点到原点已知抛物线．例622dd,dd,0?7???x4x2?5xx?5求符合的两个实数根。的距离分别为是方程，而2211条件的抛物线的解析式。 习题：20m?xy?）求平1（两点。)(）m,0（，）0，0轴相交于（x的图象平移，使它与把二次函数．1． 下笔如有神读书破万卷 ）若平移后函数图象的顶点在第三象限内两条坐标轴夹角的平分线2移后函数图象的解析式；（的值。上，求m 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线22343 23y x x =- -+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ． （1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标； （3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2323 y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）； （3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】 【分析】 （1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可 【详解】 （1）∵2343 2333y x x =- -+a=233 - ，则抛物线的“衍生直线”的解析式为 中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析 一、二次函数 1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2 y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两 点，其中A 点的坐标为（－3，0）． （1）求点B 的坐标； （2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点． ①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ??=，求点P 的坐标； ②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94 . 【解析】 【分析】 （1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标． （2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ?，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ??=列式求解即可求得点P 的坐标． ②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】 解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）. （2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1 b 12a 9a 3b c 0 =??? -=-??-+=??，解得a 1b 2c 3=??=??=-?.中考数学二次函数综合经典题附答案解析
二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C二次函数和几何综合压轴题题型归纳
人教版数学九年级上册《二次函数》综合练习题及答案
二次函数典型中考试题解析和训练
苏科版数学九下第五章二次函数综合经典题归类复习(附练习及解析)
中考数学二次函数压轴题题型归纳
应用题和二次函数综合题型归纳汇总
二次函数型综合问题
中考数学二次函数综合练习题附答案
中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析
相关主题
文本预览