§6.5 三角形内角和定理的证明
教学目标
（一）教学知识点
三角形的内角和定理的证明. （二）能力训练要求
掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.
（三）情感与价值观要求
通过一题多解、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神。引导学生个性化的发展。
教学重难点
教学重点：三角形内角和定理的证明. 教学难点：三角形内角和定理的证明方法.
教学过程设计
1、温故求新
三角形三个内角有什么关系？你还记得这个结论的探索过程吗？ 回顾七年级采用撕纸、折纸的方法证明三角形内和定理的方法．
只是实验得出的结论，并不一定正确可靠，只有经过严格的几何证明，证明命题的正确性，才能作为几何定理，那么如何证明此命题是真命题呢？ 我们今天就来研究这个问题。
2、讲授新课
对于一个文字命题，证明时需要先做什么？
①画图；②分析命题的题设和结论，写出已知、求证，把文字语言转化为几何语言。 推理证明过程
已知：如图1，A B C ∠，∠，∠是ABC △的三个内角．
求证：180A B C ++=o
∠∠∠．
教师引导：有什么方法可以得到180°？
① 一个平角等于180°②两直线平行，同旁内角互补。
如果不实际移动角，那么你还有其他的办法达到同样的效果吗？从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗？
证明：延长BC 到D ，过点C 作CE ∥BA （如图2） ∵CE ∥BA （已作）
∴∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠2=∠B （两直线平行，同位角相等） 又∵∠1+∠2+∠ACB ＝180° （平角的定义） ∴∠A+∠B+∠ACB ＝180°（等量代换）
要把三角形三个内角转化为平角，就要在原图形上添加一些线，构造新图形，形成新关系，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线。
只有这一种做辅助线的方法吗？下面看看小明的做法：
小明的想法是把三个角“凑”到A 处，他过点A 作直线PQ BC ∥（如图3），他的想法可行吗？如果可行，请你写出证明过程。（学生板书证明过程）
图3
3、自主探索
前面的两种方法都是通过凑成一个平角来实现证明，你好有其他的方法吗？请大家在练习本上写出你的证明，并与同桌交流！
（学生小组内合作交流，探索其它方法来证明三角形内角和定理，通过展示自己的方法，互相交流，点评，对比中明确不足，拓宽思维面。教师巡看。）请学生展示自己的证明过程。
A
B
Q
P
1
2
A
B D
E
1
2
R
图2
4、课堂练习
（1）．直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度? 请证明你的结论.
（2）．已知：如图在ABC △中，DE BC ∥，60A =o
∠，70C =o
∠． 求证：50ADE =o
∠．
小结：谈谈你的收获！
这节课我们根据已学过的公理及定理证明了三角形内角和定理，证明思想是，运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角或同旁内角。了解了辅助线的用途：可以构造新图形，形成新关系，找到已知与未知桥梁，把新问题转化成已学过的旧问题。
作业：240页 读一读，241页 第1、2、3题 思维拓展：
把三个内角集中在一起有很多种方法，下面提供三种， 请各位同学仔细观察分析，口述证明过程。
证明三角形内角和定理时，不但可以把三角形的三个角“凑”到BC 边上的一点P ，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.
(1
A
B
C
P
Q R T
S
N
(3) A B
C
P Q R M
T
S
N
(2)
A C
P
Q M
B
初中数学《三角形内角和定理的证明》教案第六章证明（一） 5．三角形内角和定理的证明 一、学生知识状况分析 学生技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的，因此，学生具有优良的基础。 活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验． 二、教学任务分析 上一节课的学习中，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《三角形内角和定理的证明》旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及灵活运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是： 知识与技能：（1）掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。 （2）灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。 数学能力：用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能 力。 情感与态度：对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用． 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节：情境引入探索新知反馈练习课堂小结
第一环节：情境引入 活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理．实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果 （1）（2）（3）（4） 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？ （2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？ 活动目的： 对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定 困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明．教学效果： 说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较烂熟地说出用撕纸的方法可以验证三角形内角和定理的原因。 第二环节：探索新知 活动内容： ① 用严格的证明来论证三角形内角和定理． ② 看哪个同学想的方法最多？ 方法一：过A点作DE∥BC ∵DE∥BC DAB=B，EAC=C（两直线平行，内错角相等）
北师大八年级下册数学 6.5《三角形内角和定理的证明》教学设计 西乡三中蒲忠明 教案背景：在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的本节课教学。 教学课题：北师大八年级下册数学6.5《三角形内角和定理的证明》教材分析： (一)教材的地位和作用： 这节内容是在前面学生对“三角形内角和是180°”这个结论有了一定直观认识的基础上编排的，以往对这个结论也曾进行过简单的说理，这里则以严格的步骤演绎证明，旨在让学生从实践操作转移到理性思维上来，使学生初步掌握证明的要求和格式，促使学生养成严谨的数学思维方法，发展学生的证明素养。 三角形内角和定理从数量角度揭示三角形三内角之间的关系，是三角形的一个重要性质，既是今后几何推理的重要依据，又是计算角度的重要方法。教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；其中辅助线的作法学生第一次接触，它集中了条件、构造了新图形、形了成新关系，实现了未知与已知的转化，起到了解决问题的桥梁作用；课本议一议引导学生一题多思，体现运动变化的观点，读一读为学生认识定理的发现过程另劈蹊径，渗透极限的思想，是学生认识客观世界、不断探求新知的一种重要途径。 因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位，而且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用。 (二)教学目标：
[知识与技能目标]：掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。 [过程与方法目标]： 1、对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。 2、通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。 3、引导学生应用运动变化的观点认识数学。 [情感与态度目标]：通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。 （三）教学重难点： 本节课的重点是：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。 本节课的难点是：应用运动变化的观点认识数学。从拼图过程中发现并正确引入辅助线是本节课的关键。 教学方法：引导发现法、尝试探究法。 教学过程： 一、创设情景、提出问题： “三角形内角和是180°”一定是个真命题吗？你是怎样知道的？ （学生回答：是个真命题。是从度量、折纸、拼角得到的）。教师指出：任何实验都会有误差，即使全班同学都各自剪出了不同形状的三角形，但也不能就此说明所有的三角形都具有这一共性。那么怎样才能说明“三角形内角和是180°”的真实性呢？（ 证明）由哪些公理、定理、定义可以得到一个角或几个角的和为180°？渗透公理化的思想，自然导入三角形内角和定理证明的学习。 二、探究新知
小学数学四年级三角形内角和的评课 评课人：王丽 刚才听了王老师的一节数学课，整节课程老师通过巧妙的设计，让学生经历了观察、发现、猜测、验证、归纳、概括等数学活动，切实体现了新课程的核心理念“以学生为本，以学生的发展为本”。具体体现在以下几个方面： 一、激趣导入,让学生乐于操作数学 王老师在《三角形内角和》的课堂教学中，从学生个体的经验出发，注重学生学习数学的态度、动机和兴趣，组织能够帮助学生获得经验的活动。采用“谜语激趣与导入”这一教学环节，激发学生学习兴趣和激活学生已有的经验和基本知识，来替代传统课堂教学中的“复习”这一环节。 通过让学生利用直角三角板，计算三角形的内角和，既激活了学生对三角形内角和的已有了解，初步感知三角形的内角和是180°这一数学规律，又激发了学生探索的积极性。 二、探索发现，让学生善于实验数学 数学的结论来源于学生的探索，对现象的观察，对数据的度量、统计与分析，对各种情况的归纳总结。王老师在本节课中非常重视学生的自主探究，让他们在经历探索三角形的内角和是180度的过程中，探讨和总结“三角形内角和”这一数学规律。
首先，学生利用量角器量出三角形三个内角的度数并算出三个内角的和，发现锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的内角和都是180°。但同时在有误差的情况下，学生也提出了不同的看法，引起争论，进入第二层次的探索。 其次、利用学生引发的争议，让学生动手操作，想办法把三角形的三个内角拼成一个平角，并进行交流。这样，引导学生通过撕拼、折拼等多种方式把三个内角拼成一个平角，验证“三角形的内角和是180°”这一数学规律。课堂上学生自始至终保持着浓厚的探究兴趣，学生通过动手操作，使实践能力、观察能力、归纳能力等都得到很好的锻炼，教学效果也比较好。 三、练习题迁移应用,让学生精于实践数学 学生的学习应强调应用数学的意识，让学生精于实践数学。在练习题环节，在学生探索发现数学规律后，王老师引导学生应用规律解决一些实际的问题，即求出三角形中未知角的度数。同时鼓励学生注意倾听他人的意见，把别人的思路同自己的想法联系起来。 四、拓展延伸环节，让学生勇于研究数学。在这次课堂教学中，拓展延伸部分解决了两个问题，让学生研究、交流，得出“不管是小三角形还是两个小三角形拼成的一个大三角形，三角形的内角和都是180°”；讨论“四边形、五边形、六边形的内角和是多少度？为什么？”这些题对发展学生的思
【第1部分 全等基础知识归纳、小结】 1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 概念深入理解： （1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像） （2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（位置变化） 2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质： 全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。 （1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。 （2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。 （3）全等三角形周长，面积相等。 4、寻找对应元素的方法 图 3 图 1 图2
（1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转； 5、全等三角形的判定：（深入理解） ①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS） ⑤斜边，直角边（HL） 注意：（容易出错） （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）； （2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。 6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F
7．5 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理 1．理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程；(重点) 2．能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明．(难点) 一、情境导入 星期天，小明和几位同学一起做作业时，其中一位同学不小心把三角板的两个角给压断了．小明将两个角和剩余的一个角放在一起，发现这三个角之和是一个平角．我们知道一个平角是180°，即这个三角形的三个内角之和为180°，那其他的三角形也是这样吗？如何证明呢？ 下面让我们一起进入本节的学习，一起探究如何证明三角形的内角和等于180°. 二、合作探究 探究点一：三角形内角和定理 在△ABC 中，如果∠A＝1 2∠B ＝1 2 ∠C ，求∠A、∠B、∠C 分别等于多少度？ 解析：这是一道利用三角形内角和求各角度的计算题，由已知得∠B ＝∠C ＝2∠A.因此 可以先求∠A ，再求∠B 、∠C. 解：∵∠A＝12∠B ＝1 2∠C(已知)，∴∠B ＝∠C＝2∠A(等式的性质)．∵∠A＋∠B＋∠C ＝180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠A ＋2∠A＋2∠A＝180°(等量代换)．∴∠A＝ 36°，∠B ＝72°，∠C ＝72°. 方法总结：求三角形内角度数时，要充分利用各角之间的关系，用其中一个角表示另外两个角，再借助三角形的内角和定理构建方程． 探究点二：三角形内角和定理的证明 已知：如图，在△ABC 中． 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 解析：要证明三角形的内角和是180°，需要从涉及180°角的知识去考虑，涉及180°角的知识有：①平角；②邻补角；③两直线平行下的同旁内角．可从这三个方面分别考虑，
“三角形的内角和”评课稿 《数学课程标准》反映出：“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义富有挑战性的，这些内容主要有利于学生主动地进行观察、猜测、验证、交流等数学活动。” 1、在讲“三角形的内角和”时，教者开始就引用数学家的故事,让学生的注意一下子被吸引了.处于这种状态的学生注意力特别集中，学习兴趣异常高涨，到了一触即发的地步。于是教者及时揭示课题，提出学习目标，引导学生讨论学习方法。当学生通过量一量、拼一拼、折一折之后得出自己的结论时，他们体验了成功，也学会了学习。在这节课中师生互动交流，共同找到了几种验证”三角形内角和是180°”方法，很好地体现了师生的双边活动。 2、《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖与记忆，动手实践自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式”。要使学生逐步探究发现三角形三个内角的度数和等于180°，最有效方法是让学生真正投入到探究活动的全过程中，本节课教者让学生寻求剪、拼的方法来求出三角形的内角和。通过小组讨论，学生从已有的知识出发，很快推理出三角形的内角和是180度。温故而知新，让学生在自主探究，合作交流中经历，猜想、验证、结论这一个过程，体验探究学习的乐趣。 3、、练习设计层次分明，把课堂延伸到生活中 练习题的设计，体现了教学的全部内容。根据练习题的不同难度，为兼顾到不同层次的学生，使每一位学生都有收获，都有机会体会到成功的喜悦。设计练习也注意坡度，既有基本练习，也有发展性练习。尽量努力体现因材施教。练习不光注意了形势变化，更注意了练习坡度。使学生的思维得到了提高，课堂气氛活跃，学生在交流切磋中迸发出思维的火花。 本节课在教学时，由于有一些胆怯的孩子还处在配合中，很少主动发现问题，在今后的教学中，应更加关注他们，让每一个孩子都能主动地参与到活动中来。
三角形角和180°证明方法 1.如图，证明∠B+∠C+∠BAC=180° 证明：过A 点作DE ∥BC ∵DE ∥BC ∴∠B=∠DAB ，∠C=∠EAC （两直线平行，错角相等） ∵D,A,E 三点共线 ∴∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DAB+∠BAC +∠CAE ∴∠DAB+∠BAC +∠CAE=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180° 2.如图，证明：∠B+∠A+∠ACB=180° 证明：过C 点作CD ∥AB ，延长BC 交CD 于C ∵CD ∥AB ∴∠A=∠ACD （两直线平行，错角相等） ∠B=∠DCE （两直线平行，同位角相等） ∵B,C,E 三点共线 ∴∠BCE=180° ∵∠BCE=∠ACB+∠ACD+∠DCE ∴∠ACB+∠ACD+∠DCE=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° 3.如图，证明：∠C+∠BAC+∠B=180° 证明：过A 点作AD ∥BC ∵AD ∥BC ∴∠C=∠ADC （两直线平行，错角相等） ∠DAC+∠B=180°（两直线平行，同旁角互补） ∵∠DAC=∠DAC+∠CAB ∴∠DAC+∠CAB+∠B=180° ∵∠C=∠ADC ∴∠C+∠CAB+∠B=180° 4.如图，证明：∠BAC+∠C+∠B=180° 证明：过A 点作DE ∥BC ，延长AC 、BC 交DE 于A 点 ∵DE ∥BC ∴∠C=∠FDA ，∠B=∠GAE （两直线平行，同位角相等） ∵D,A,E 三点共线 ∴∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DFA+∠FAG+∠GAE ∴∠DFA+∠FAG+∠GAE=180° ∵·∠GAE=∠BAC （对顶角相等）
三角形三边关系、三角形角和定理 三角形边的性质 （1）三角形三边关系定理及推论 定理：三角形两边的和大于第三边。 推论：三角形两边的差小于第三边。 （2）表达式：△ABC中，设a＞b＞c 则b-c＜a＜b+c a-c＜b＜a+c a-b＜c＜a+b （3）应用 1、给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。 方法（设a、b、c为三边的长） ①若a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a都成立，则以a、b、c为三边的长可构成三角形； ②若c为最长边且a+b＞c，则以a、b、c为三边的长可构成三角形； ③若c为最短边且c＞|a-b|，则以a、b、c为三边的长可构成三角形。 2、已知三角形两边长为a、b，求第三边x的围：|a-b|＜x＜a+b。 3、已知三角形两边长为a、b(a＞b)，求周长L的围：2a＜L＜2(a+b)。 4、证明线段之间的不等关系。 复习巩固，引入新课 1画出下列三角形是高 2、已知：如图△ABC中AG是BC中线，AB=5cm AC=3cm，则△ABG和△ACG的周长的差为多少？△ABG和△ACG的面积有何关系？ 3、三角形的角平分线、中线、高线都是（） A、直线 B、线段 C、射线 D、以上都不对 4、三角形三条高的交点一定在（） A、三角形的部 B、三角形的外部 C、顶点上 D、以上三种情况都有可能 5、直角三角形中高线的条数是（） A、3 B、2 C、1 D、0 6、判断： （1）有理数可分为正数和负数。
（2）有理数可分为正有理数、正分数、负有理数和负分数。 7、现有10cm的线段三条，15cm的线段一条，20cm的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？ 三角形三边的关系 一、三角形按边分类（见同步辅导二） 练习 １、两种分类方法是否正确： 不等边三角形不等三角形 三角形三角形等腰三角形 等腰三角形等边三角形 2、如图，从家A上学时要走近路到学校B，你会选哪条路线？ ３、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？ （1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm （3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ 应用举例1 已知△ABC中，a=6，b=14，则c边的围是 练习 １、三角形的两边为3cm和5cm，则第三边x的围是 ２、果三角形的两边长分别为７和２，且它的周长为偶数，那么第三边的长为 3、长度分别为12cm，10cm，5cm，4cm的四条线段任选三条线段组成三角形的个数为 （） A、1 B、2 C、3 D、4 4、具备下列长度的各组线段中能够成三角形的是（） A、5，9，3 B、5，7，3 C、5，2，3 D、5，8，3 应用举例2 1、已知一个等腰三角形的两边分别是8cm和6cm，则它的周长是 ______cm。 分析：若这个等腰三角形的腰长为8cm,则三边分别为8cm,8cm,6cm，满 足两边之和大于第三边，若腰长为7cm,则三边分别为6cm，6cm,8cm，也 成立。 解：这个等腰三角形的周长为22cm或20cm。 2、已知：△ABC的周长为11，AB=4，CM是△ABC的中线，△BC M的周 长比△ACM的周长大3，求BC和AC的长。 分析：由已知△ABC的周长=AB+AC+BC=11，AB=4，可得 BC+AC=7。 又△BCM的周长-△ACM的周长=(BC+CM+MB)-(AC+CM+MA)=3，而AM=MB，
《三角形内角和》评课稿 数学组吴志慧 5月19日上午在我校青年教师过关课比赛中，张毅老师执教了四年级下册《三角形》这一单元中“三角形内角和”一课。在整个教学过程中上张老师充分体现“以学生发展为本”教育理念，将教学思路拟定为“谈话激趣设疑导入——猜想——验证{自主探究}——巩固内化——拓展延伸”，努力构建小组合作、自主探究的课堂教学模式。现将听课感受分享如下： 1、善用激趣设疑导入 教学的艺术不在于传授知识，而在于唤醒、激发和鼓励。刚开始上课，张老师利用故事情境巧设悬念，两种类型的角在激烈的争执，到底谁的内角和大呢？这样，在很短的时间内最大限度的激发学生探究数学的愿望和兴趣，而且也很自然地揭示了课题。 2、巧用猜想，从特殊到一般。 学生有了探索的愿望和兴趣，可是不能没有目标的去探索，那样只会事倍功半，甚至没有结果。张老师先让学生从熟知的三角板入手，进行探究。由于学生对三角板的认识，很轻易的就得出了直角三角形的内角和是180°。但是这种认识太片面，并不能说明任意一个三角形的内角和都是180°？怎样才能证明所有三角形内角和都是180°
呢？抑或到底三角形的内角和是不是180度呢？我们总不能口说无 凭吧？这样的疑问极大的激发了学生探究的欲望，促使学生积极思考，主动寻找验证的方法，使后边的探索和验证活动有了明确的目标。 3、自主探索，善用验证 学生形成统一的猜想即“三角形的内角和等于180度”后，张老师就把课堂大量的时间和空间留给学生，让他们开展有针对性的数学探究活动即“验证三角形的内角和是否是180度？”，在活动中，把放和引有机的结合，鼓励学生积极开动脑筋，从不同的途径探索解决问题的方法。不但让每个学生自主参与验证活动，而且使学生在经历观察、操作、分析、推理和想象活动过程中解决问题，发展空间观念和论证推理能力。具体过程为：量一量——拼一拼——看一看。 4、学以致用，巩固提高。 新课程标准提出：“让学生学习有用的有价值的数学”。为了是学生体会学习数学知识的有用性，张老师引导学生思考：“我们为什么要学习三角形的内角和？学习了三角形的内角和能帮助我们解决什 么问题？”在精心设计的一番练习后，学生自会找到答案。课程标准提倡练习的有效性。对此，张老师非常注意将数学的思考融入不同层次的练习之中，很好的发挥练习的作用，如第1题给出一个三角形的两个角度，学生求第三个角，从中培养学生应用意识和解决问题的能力；第2题，让学生求直角三角形中的一个锐角的度数。在学生用一
初二数学 七年级第八章三角形内角和定理及推论 一、三角形三个内角的关系 三角形三个内角的和等于_____.在小学，我们已通过下列三种实验，观察猜想得到。 ⑴ 折叠 本册教材P 70图______示意。（填图序号。下同） （2）剪拼 本册教材P 70图______示意或本册教材 P 75图______示意。 （3）度量 实际上，有可能： 折叠时，边缝不易平齐，难以拼成一个平角; 剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个角； 度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是很准确地都得180°。 以致于怀疑我们的猜想：三角形的内角的和等于180°。 事实上，它是真命题，并且曾多次运用它求三角形内角的度数。要判断它的“真“，必须进 行 _________。 二、证明三角形的内角的和等于180° 1、分析 要想求得三角形的内角的和等于180°，三角形纸片的折叠、剪拼过程给我们这 样的提示： 把三角形三个分散的角，全部或部分适当地集中起来，利用平角定义或两直线平行，同 旁内角互补来证明。这就需要在原来的图形上，添画一些线，转化为易于证明的情况。 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线，叫做__________.为了区别于原图形中 的线，辅助线一般画成____线。 由剪、拼角给我们的提示，得到辅助线的添法，如图（1）、（2）、（3）、（4） 所示。 （2） （1） 图（1）：剪掉三个角，拼接在它的一边BC 上，∠B 放在∠CDF 上，∠C 放在∠BDE 上 E B C A D
图（2）剪掉两个角（∠A 与∠B ），拼接在它的顶点C 处，其中∠A 放在∠1上 图（3）剪掉两个角（∠B 与∠C ）,拼接在它的顶点A 处，∠B 放在∠BAD 上 （3） （4） 图（4）剪掉∠C 放在∠DAC 上。 作辅助线是几何证明常用的方法，在书写几何证明时，首先应该写明辅助线的画法。上面四 个图辅助线的添法，可用下面的几何语言表达： 1、作BC 的延长线CD ，在△ABC 的外部，以CA 为一边，CE 为另一边，画∠1=∠A 。< > 2、作BC 的延长线CD ，过C 点作CE ∥AB 。 < > 3、过A 点作DE ∥BC 。 < > 4、过A 点作射线AD ∥BC 。 < > 5、在BC 上任取点D ，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F 。 < > 请在上面五句话后面的< >内填上对应的图号。 2.证明： 请你根据图（4）证明“三角形的内角的和等于180°” 至此，我们明白，“三角形的内角的和等于180°”是一个真命题，并且，常被选作解决其他 问题的依据，所以课本上，把它称之为_______。 三角形内角和定理 表达式： △ABC 中 ∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理） 根据图（3），证明三角形内角和定理：______________________________________________. 三． 推论1：直角三角形的两个锐角互余。 表达式∵在Rt △ACB 中，∠C=90°（已知） ∴∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余） 推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 表达式：∵△ACB 中，∠A +∠ B=90° E B C B
名师精编优秀教案 北师大八年级下册数学 6.5《三角形内角和定理的证明》教学设计 西乡三中蒲忠明 在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础教案背景：上展开的本节课教学。 北师大八年级下册数学6.5《三角形内角和定理的证明》教学课题：教材分析： (一)教材的地位和作用： 这节内容是在前面学生对“三角形内角和是180°”这个结论有了一定直观认识的基础上编排的，以往对这个结论也曾进行过简单的说理，这里则以严格的步骤演绎证明，旨在让学生从实践操作转移到理性思维上来，使学生初步掌握证明的要求和格式，促使学生养成严谨的数学思维方法，发展学生的证明素养。 三角形内角和定理从数量角度揭示三角形三内角之间的关系，是三角形的一个重要性质，既是今后几何推理的重要依据，又是计算角度的重要方法。教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；其中辅助线的作法学生第一次接触，它集中了条件、构造了新图形、形了成新关系，实现了未知与已知的转化，起到了解决问题的桥梁作用；课本议一议引导学生一题多思，体现运动变化的观点，读一读为学生认识定理的发现过程另劈蹊径，渗透极限的思想，是学生认识客观世
界、不断探求新知的一种重要途径。 因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位，而且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用。 教学目标：)二( 名师精编优秀教案 [知识与技能目标]：掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。 [过程与方法目标]： 1、对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。 2、通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。 3、引导学生应用运动变化的观点认识数学。 [情感与态度目标]：通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。 （三）教学重难点： 本节课的重点是：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。 本节课的难点是：应用运动变化的观点认识数学。从拼图过程中发现并正确引入辅助线是本节课的关键。 引导发现法、尝试探究法。教学方法：教学过程： 一、创设情景、提出问题：
三角形内角和180°证明方法1
三角形内角和180°证明方法 1.如图，证明∠B+∠C+∠BAC=180° 证明：过A 点作DE ∥BC ∵DE ∥BC ∴∠B=∠DAB ，∠C=∠EAC （两直线平行，内错角相等） ∵D,A,E 三点共线 ∴∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DAB+∠BAC +∠CAE ∴∠DAB+∠BAC +∠CAE=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180° 2.如图，证明：∠B+∠A+∠ACB=180° 证明：过C 点作CD ∥AB ，延长BC 交CD 于C ∵CD ∥AB ∴∠A=∠ACD （两直线平行，内错角相等） ∠B=∠DCE （两直线平行，同位角相等） ∵B,C,E 三点共线 ∴∠BCE=180° ∵∠BCE=∠ACB+∠ACD+∠DCE ∴∠ACB+∠ACD+∠DCE=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° 3.如图，证明：∠C+∠BAC+∠B=180° 证明：过A 点作AD ∥BC ∵AD ∥BC ∴∠C=∠ADC （两直线平行，内错角相等） ∠DAC+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠DAC=∠DAC+∠CAB ∴∠DAC+∠CAB+∠B=180° ∵∠C=∠ADC ∴∠C+∠CAB+∠B=180° 4.如图，证明：∠BAC+∠C+∠B=180° 证明：过A 点作DE ∥BC ，延长AC 、BC 交DE 于A 点 ∵DE ∥BC ∴∠C=∠FDA ，∠B=∠GAE （两直线平行，同位角相等） ∵D,A,E 三点共线 ∴∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DFA+∠FAG+∠GAE ∴∠DFA+∠FAG+∠GAE=180° ∵·∠GAE=∠BAC （对顶角相等） C B A D E A D A B C A B C D E F G
认识三角形评课 Prepared on 24 November 2020
《认识三角形》评课 三角形的认识》评课稿 三角形是常见的一种图形，也是最基本的多边形，三角形的认识是学习平面图形知识的起点，是学习研究其他几何图形的基础，在实践中有着广泛的应用。本节课是在学生已经学习了线段、角和直观认识了三角形的基础上进行教学的，是三角形认识的第二阶段。本节课的教学主要包括三角形的意义、特征、特性、画高等内容。刘老师的这节课整个教学过程始终围绕教学目标展开，层次比较清楚，环节紧凑，并注意引导学生通过观察、分析、动手实践、自主探索、合作交流等活动，突出体现了学生对知识的获取和能力的培养。具体体现在以下几个方面： 1、充分展现概念的生成过程。刘老师在教学三角形的意义时，没有直接把“由三条线段围成的图形叫做三角形”这个定义直接地呈现给学生，而是紧紧围绕“三条线段”、“围成”这两个关键词进行教学，使学生认识到三角形必须具备两个条件：一、是否具有三条线段；二、是否围成封闭的图形。接着安排判断练习，从正反两方面，同时还出现用曲线围成的图形。进一步加深对三角形意义的理解。 2、充分运用比较的方法，突出重点。老师在教学中多次用到了比较的方法，（1）、通过比较，揭示三角形的共性。如在教学三角形的特征时，让学生观察这些三角形都有哪些相同的地方从而得出三角形都有三条边、三个角、三个顶点。（2）、通过比较，揭示三角形的特性。如出示三角形和四边形的学具，让学生拉一拉，有什么不同使学生深刻体验到四边形易变形，而三角形不易变形。
3、注重数学知识与生活实践的联系。刘老师在教学三角形的特性时分为四个层次，先用媒体出示生活中电线杆、桥等图片，提出问题：“为什么要做成三角形”以此激发学生的求知欲；然后通过拉三角形、四边形的学具得出三角形具有稳定性；再让学生利用三角形的稳定性来解释生活中用到三角形的道理，加上及时操作，应用三角形的稳定性固定四边形，使学生更深的体会到数学知识来源于生活、应用于生活的道理。 4、注重学生的自主探索。学生所要学习的知识不应当都以定论的形式呈现，而是应当给学生提供进行探索性的学习的机会，作为教师需要的是加以适当的点拨。刘老师先出示三角形让学生画高同时还指出三角形有几条高可以画。并展示学生的作品让学生观察交流这些高画得对不对。这样不仅使学生经历了知识的形成过程，而且使学生在获取知识的过程中，学会了与他人的合作与交流，有助于自身素质的提高。 5、注重练习的层次性和趣味性。由最基本的判断、三角形的稳定性，画高、找高、挑《三角形的分类》评课 《三角形的分类》是人教版版小学四年级下册的教学内容，本节课是在学生学习了锐角、钝角、直角、和三角形的特性的基础上学习的；马俭老师执教的这节课教学主要是通过观察、操作、比较发现三角形角和边的特征，会给三角形进行分类，并理解掌握特殊三角形特征。 1.教师注重了以学生为主体，通过学生的动手操作和实物展示、合作交流等各种教学手段，促进学生的思维能力、合作能力的发展，培养了学生的动手能力，更重要的是展现知识形成的过程，让学生亲身体验知识的形成，体现了
1. 如何证明这个结论的正确性? 已知：△ ABC. 求证：/ A+Z B+Z C=180 证法 证明： 在厶ABC 的外部以CA 为边 作Z ACE Z A.延长BC 至D 贝 U C E // B A （内错角相等，两直线平行） ???Z DCE Z B （两直线平行，同位角相等） vZ BCA Z ACE Z ECD=80 （平角定义） ? Z BCA +Z A + Z B=180 （等量代换） 证明： 延长BC 至D ，过C 作CE// BA. 则 Z A = Z ACE （两直线平行，内错角相等） Z B = Z ECD （两直线平行，同位角相等） vZ BCA Z ACE Z ECD=80 ? Z BCA +Z A + Z B = 180 A B C E. 证法二 B C E. 讲授新课 2.同学想一想还有没有其他的方法 证明这个结论的正确性？
证明： 过A 作EF// BC. 则Z EAB =Z B. Z FAC = Z C （两直线平行，内错角相等） vZ EAB-Z BAC Z CAF=80 ???Z B+Z BAC Z C=180 1?三角形内角和定理: 三角形的内角和等于180 即厶ABC中, / A+Z B+Z C=180 2.推论： 直角三角形中，两锐角互余。 即Rt △ ABC中Z C=90 则Z A+Z B=90 例1.在厶ABC中: ①Z A=35 Z C=90 则Z B=? 55 ②Z A=50 Z B=Z C 则Z B=? 65 ③Z A : Z B : Z C=3: 2: 1 问厶ABC是什么三角形？ 直角三角形 ④Z A- Z C =35 Z B- Z C =10 贝UZ B =? 55证法三 B C F 巩固练习
《三角形的内角和》评课稿 在整个教学设计上唐老师充分体现“以学生发展为本”教育理念，将教学思路拟定为“有趣的情景激趣设疑导入——自学猜想——验证{自主探究}——展示交流——反馈训练——小结”，努力构建探索型的高效课堂课堂教学模式。具体体现在以下几点： 1、善用情景激趣设疑导入：教学艺术不在于传授知识，而在于唤醒、激发和鼓励。刚开始上课，唐老师用兄弟之争设悬念，三兄弟分别代表三种类型的角在激烈的争执，到的谁的内角和大呢？这样，在很短的时间内最大限度的激发学生探究数学的愿望和兴趣，而且也很自然地揭示了课题。 2、巧用猜想：学生有了探索的愿望和兴趣，可是不能没有目标的去探索，那样只会事倍功半，甚至没有结果，这时唐老师就出示了自学提示，一方面给学生一个有方向的思考，另一方面也明确了学习的任务和步骤，让学生能够有计划、有方法的进行自学。在自学提示中老师提到到底三角形的内角和是不是180度呢，我们总不能口说无凭吧？使后边的探索和验证活动有了明确的目标。 3、善用验证{自主探索}：学生形成统一的猜想：即三角形的内角和等于180度后，唐老师就把课堂大量的时间和空间留给学生，让他们开展有针对性的数学探究活动“即验证三角形的内角和是否是180度？”在活动中，把放和引有机的结合，鼓励学生积极开动脑筋，从不同的途径用不同的方法探索解决问题。不但让每个学生自主参与验证活动，而且使学生在经历观察、操作、分析、推理和想象活动过程中解决问题，发展空间观念和论证推理能力。具体过程为：量一量——拼一拼——看一看。而且在这一环节中唐老师注重了小组的合作学习，抓住了合作的时机，但是在小组合作的过程中真正发挥了每个学生的主观能动性吗？在学生进行要验证的时候，教师首先应该放手，通过学生自己发现、验证，这样的合作才能发展学生的思想，学生才会有学习的动力，才能让学生经历思考、探究、验证的过程，其次，注重学生的个人认识和小组认识的结合，最后，综合认识，让学生的思想进行碰撞、交流，达到合作的有效性。 4、展示交流：展示是高效课堂的重要环节，是检验和评价学习效果的核心，是解决学生学习内驱力的金钥匙。因此，高效课堂主张人人参与，个个展示，突出学生的“展示性”学习。在这一节课中，唐老师引导学生进行的展示我认为很到位，各个小组利用了各自喜欢的方法，展示内容丰富多彩，而且配合老师的鼓励和评价，同学们的展示交流更加的激烈；不过还是兼顾不到那些性格有些孤僻的，胆子小的一些学生，还是有一部分学生不太敢上台
三角形内角和180°证明方法 1. 如图，证明/ B+Z C+Z BAC=180 证明：过A点作 DE// BC ??? DE// BC ???Z B=Z DAB Z C=Z EAC （两直线平行，内错角相等） ??? D,A,E三点共线 ?Z DAE=180 vZ DAE Z DAB Z BAC+Z CAE ?Z DAB Z BAC+Z CAE=180 ?Z B+Z C+Z BAC=180 2. 如图，证明：Z B+Z A+Z ACB=180 证明：过C点作CD// AB,延长BC交CD于 C v CD// AB ?Z A=Z ACD（两直线平行，内错角相等）Z B=Z DCE（两直线平行，同位角相等）v B,C,E三点共线 ?Z BCE=180 vZ BCE Z ACB Z ACD Z DCE ?Z ACB Z ACD Z DCE=180 ?Z A+Z B+Z ACB=180 3. 如图，证明：Z C+Z BAC Z B=180° 证明：过A点作AD// BC v AD// BC ?Z C=Z ADC（两直线平行，内错角相等） Z DAC Z B=180°（两直线平行，同旁内角互补） vZ DAC Z DAC Z CAB ? Z DAC Z CAB Z B=180° vZ C=Z ADC ?Z C+Z CAB Z B=180° 4. 如图，证明：Z BAC Z C+Z B=180° 证明：过A点作DE// BC,延长AC BC交DE于A点 v DE// BC ?Z C=Z FDA Z B=Z GAE （两直线平行，同位角相等） v D,A,E三点共线 ?Z DAE=180 vZ DAE Z DFA Z FAG Z GAE ?Z DFA+Z FAG Z GAE=180 v?Z GAE Z BAC（对顶角相 等） ?Z BAC Z C+Z B=180° 5. 如图，证明：Z A+Z C+Z B=180° E E A
人教版八上《数学》《11.2.1三角形的内角和定理》教学设计 第十一章《三角形》 一、内容分析 “三角形内角和定理”这一内容，上承平行线的判定与性质，下启外角、多边形的内角和.这一内容是几何学习的核心知识点、基础知识点.它的推导，是建立在学生学习了平行 线的性质与判定之后，由180角联想到同旁内角、平角，利用平行线的性质与判定转化、构造.对学生的知识迁移能力、转化思想、数形结合思想的培养起到了很重要的作用? 二、目标解析 （一）知识与技能 （1）掌握推导三角形内角和定理的方法 （2）会利用内角和定理解决实际问题 （二）过程与方法 学生经历“实验一一探究一一解决一一运用”的学习过程，从中感悟证明结论的方法的多样性和获得成功的乐趣，初步了解作平行线（辅助线）的魅力，培养“转化”的数学思想方法?（三）情感、态度与价值观 （1）学生经历自主、合作、探究的学习过程体验获取数学知识的成就感 （2）通过对三角形内角和定理的推导，体会新知识的形成来源于旧知识的灵活运用，渗透运用转化的观点? （3）在和谐、活跃的探究氛围中，弓I导学生对图形去质疑、发现，激发学生的求知欲和学习兴趣，帮助其养成良好的学习习惯和勤于思考，勇于探索的思想品质，建立学习的自信心. 三、教学重难点 定理的推导证明方法是重点； 教师如何引导学生获取推导的方法以及感悟其中的数学思想与方法是难点. 四、学情分析 1. 小学已经学过三角形内角和为180°这一 结论，并会用剪、拼的方法直观验证. 2. 由180°角联想到平角和两平行线所截形成的同旁内角 3. 了解平行线的性质，会利用平行线将内角和转化为平角或同旁内角 4. 学生重“结论”轻“过程”现象普遍；学生自主探究意识不强，钻研精神不够。 本节课选择小学都已熟知的定理一一“三角形内角和为180。”的证明为素材，学生通过动手拼一拼，教师适时引导，引领学生思考，生成新的解题思路与方法，同时为学生质疑引导方向。 五、教学具的准备 教具：多媒体课件、几何画板课件 学具：一个三角形制片 六、设计主线 以“剪一剪，模型验证一一证一证，理论推导一一说一说，归纳方法一一用一用，学以致用”为主线. 学生通过动手拼一拼模型，感知三角形内角和为180。，将实物模型抽象概括为几何模型；根据剪拼的模型，抽象概括出两种思路，学生动手证一证，进一步感知数学的严谨性，体会数学中的乐趣；“由180 °想到了什么”“有多余的”“如何转化” “其他点可以吗”等问题串连整个证明环节之中，学生在同组议一议、全班论一论中，寻找碰撞，探索推 导三角形内角和定理的方法，感悟角与角之间的转化，培养学生的逻辑推理和创新能力? 七、教学过程： （一）剪一剪，模型验证
三角形的内角和的评课稿 一堂好课不应是自始至终的高潮和精彩，也不必是高科技现代教育技术的集中展示。一堂好课不是看它的热闹程度，而在于学生从中得到了什么，它留给人们的应是思考、启示和回味。2月19日上午，在沈家门第一小学，我有幸聆听了赵斌娜老师执教的《三角形的内角和》一课，这就是一堂好课。 一、具备民主和谐的有效学习氛围 赵老师营造了宽松和谐的课堂气氛，让学生能主动参与学习活动，既关注了学生的个人差异和不同的学习需求，又注重了学生的个体感悟，强调情感体验的过程。确立了学生在课堂教学中的主体地位，使学生在学习过程中既调动了积极性，又激发了学生的主体意识和进取精神。学生在自主、合作、探究的学习方式中互相激励，取长补短，能团结协作，最终形成了相应能力；同时培养了学生刻苦钻研，事实求是的态度。 二、学习途径——动手操作是有效的 教学过程是一堂课关键中的关键，新课标提出数学教学是数学活动的教学，而数学活动应是学生自己建构知识的活动。教师让学生“在参与中体验，在活动中发展”。本节课有操作活动、自主探索与合作交流、应用活动三个方面，下面我重点谈谈操作活动。 1、在实践材料上下了工夫 操作实践的材料是精心选择的，老师为学生准备了用卡纸制作的形状、大小、颜色不同的三角形各几个，这样学生在操作时候，便
于选择、测量、拼摆、观察、思考问题，而且这些三角形颜色醒目、比较大，学生应用起来很得手，操作的材料和学生的动手实践配合恰当。 2、找准时机让学生进行实践操作 本节课安排了两次操作活动：一是在得出三角形内角和规律前进行实践操作，促使学生在实践操作中探究新知识；二是在初步得出规律之后，让学生通过实践操作来验证新知识。帮助学生清楚地认识到第一次出现内角和偏差的原因是测量误差造成的。给学生提供的这两次动手实践的机会，不仅提高了操作的效果，更重要的使“听数学”变为“做数学”。促使学生在“做数学”的过程中对所学知识产生了深刻的体验，从中感悟和理解到新知识的形成和发展，体会了数学学习的过程与方法，获得数学活动的经验。 3、把实践操作和数学思维结合起来 学生通过实践操作获得的认识是一种感性的认识，是外在的直观的印象。在本节课中赵老师在学生实践操作的基础上引导学生把动手实践和数学思维结合起来，先让学生思考出可以用量、撕和拼的方法来推导三角形内角和的度数，接着引导学生说出量的方法，最后让学生实际测量。采取边说边操作，边讨论边操作的方式，让手、脑、口并用，在操作和直观教学的基础上及时对三角形内角和规律进行抽象概括。做到边动手，边思考。同时学生获得了一种数学思想和方法，学会了解决一些类似的一系列的问题，提高了实践动手的有效性。