一、等比数列选择题
1．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()
*
122n n a S n N ++=∈，则满
足
2100111
1000
10
n n
S S 的n 的最大值为（ ）. A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
2．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A ．8
B ．8-
C ．16
D ．16-
3．已知等比数列{}n a 中，1354a
a a ??=，公比q =，则456a a a ??=（ ） A ．32
B ．16
C ．16-
D ．32-
4．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*n
a n N n
∈的最小值为（ ） A ．
16
25
B ．
49
C ．
12
D ．1
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111
30(2),3
n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ）
A ．1n S ??????
是等差数列 B ．13n S n =
C ．1
3(1)
n a n n =-
-
D ．{}
3n S 是等比数列
6．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180
B ．160
C ．210
D ．250
7．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，66771
1,
01
a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >
B ．01q <<
C ．n S 的最大值为7S
D ．n T 的最大值为7T
8．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989
B ．46656
C ．216
D ．36
9．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每
人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期?感染者与其他人的接触频率?每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34 B ．35
C ．36
D ．3711．题目文件丢失！
12．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1-
B ．1
C ．2或2-
D ．2
13．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于
9
10
，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
14．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6 B ．3 或-1 C ．6
D ．3
15．在等比数列{}n a 中，12345634159,88
a a a a a a a a +++++=
=-，则123456
111111
a a a a a a +++++=（ ） A ．
35
B ．
35
C ．
53
D ．53
-
16．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ） A ．1322a a a +≥
B ．若13a a =，则12a a =
C ．222
1322a a a +≥
D ．若31a a >，则42a a >
17．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =
11
,,232
n q a ==则项数n 为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
18．已知正项等比数列{}n a 满足11
2
a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，
则5S =（ ） A ．
312
或112
B ．
31
2 C ．15
D ．6
19．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a
14a =，则
14
m n +的最小值为（ ） A ．
53
B ．
32
C ．
43
D ．
116
20．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则4
2
S S =（ ） A ．76
B ．32
C ．
2132
D ．
14
二、多选题21．题目文件丢失！
22．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．数列|n S n ??
?
???
为等差数列 B ．数列{}2
n
a 为等比数列
C ．若,()m n a n a m m n ==≠，则0m n a +=
D ．若,()m n S n S m m n ==≠，则0m n S += 23．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有
()()()f x y f x f y +=，若112
a =
，()()*
n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（ ） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为
12
C ．数列{}n S 递增，最小值为
12
D ．数列{}n S 递减，最大值为1
24．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，13511121
4
a a a ++=，则（ ） A ．{}n a 必是递减数列 B ．531
4
S =
C ．公比4q =或
14
D ．14a =或
14
25．已知集合{
}*
21,A x x n n N
==-∈，{}*
2,n
B x x n N ==∈将A
B 的所有元素从
小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ）
A ．25
B ．26
C ．27
D ．28
26．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．1{
}n
a B ．2
2log ()n a
C ．1{}n n a a ++
D ．12{}n n n a a a ++++
27．已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =，122(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（ ） A ．数列{}n a 为等比数列 B ．1p =时，41516
S =
C ．当12
p =
时，()*
,m n m n a a a m n N +?=∈ D ．3856a a a a +=+ 28．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，671a a >，
671
01
a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<
B ．8601a a <<
C ．n S 的最大值为7S
D ．n T 的最大值为6T
29．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）
A ．1
12n n n S S ++-=
B ．12n n
a
C ．21n
n S =- D ．1
21n n S -=-
30．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n ?b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ） A ．0＜a 1＜1
B ．1＜b
1C ．S 2n ＜T 2n
D ．S 2n ≥T 2n
31．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，781a a >，
871
01
a a -<-.则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<
B ．791a a <
C ．n T 的最大值为7T
D ．n S 的最大值为7S
32．定义在()(),00,-∞?+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列
(){}n
f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在
()(),00,-∞?+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）
A ．()2f x x =
B ．()2x
f x =
C ．(
)f x =
D ．()ln f x x =
33．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列
B ．若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列
C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?仍为等差数列
D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?仍为等比数列；
34．对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列
{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若9
8n
a n n
=+-，下面哪些数不能作为数列{}n a 的“谷值点”？（ ） A ．3
B ．2
C ．7
D ．5
35．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1
n n n
b a a =-
（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；
B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；
C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；
D ．若112n
n a ??=-- ???，则其“倒差数列”有最大值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等比数列选择题 1．C 【分析】
根据(
)*
122n n a S n N ++=∈可求出n
a
的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合
不等式可求n 的最大值. 【详解】
1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，21
2
a =
；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n
??<+< ???，1111000210
n
??<< ???，则n 的最大值为9. 故选：C 2．C
【分析】
根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值. 【详解】
因为254,32a a ==，所以3
5
2
8a q a ==，所以2q ，
所以2
424416a a q ==?=，
故选：C. 3．A 【分析】
由等比数列的通项公式可计算得出()6
456135a a a q a a a ??=??，代入数据可计算得出结果.
【详解】
由6
3
2
6
456135135432a a a a q a q a q a a a q ??=?????=???=?=.
故选：A. 4．D 【分析】
首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较
()*n
a n N n
∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】
在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，
所以21344a a a =+，即2
44q q =+，解得2q
，
所以1
2
n n
a ，所以1
2n n a n n
-=
， 1
2111n n a n n a n n
++=≥+，当且仅当1n =时取等号， 所以当1n =或2n =时，()*
n a n N n
∈取得最小值1，
故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 5．C 【分析】
由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ??
?
???
是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ． 【详解】
2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以
1
11
3n n S S --=， 所以1n S ??
?
???
是等差数列，A 正确； 1113S a ==，1
13S =，公差3d =，所以133(1)3n n n S =+-=，所以1
3n S n =，B 正确； 11
3
a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；
1313n n S +=
，数列113n +??
????
是等比数列，D 正确． 故选：C ． 【点睛】
易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，
在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 6．C 【分析】
首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】
因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2
155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C 7．B 【分析】
根据11a >，66771
1,01
a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】
若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ?<与671a a ?>矛盾，
若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与671
01
a a -<-矛盾， 所以01q <<，故B 正确；
因为
671
01
a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误； 因为0n a >，01q <<，所以1
11n n a q a S q q
=
---单调递增，故C 错误； 因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误； 故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<. 8．B 【分析】
第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量． 【详解】
设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得 数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1
66
6n n n a -=?=
到第6天，所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂． 故选：B ． 9．D 【分析】
利用已知条件求得1,a q ，由此求得1a q +. 【详解】
依题意22211113
19
12730
a a q a q a a q q q ??===??=???=??>?
，所以14a q +=.
故选：D 10．D 【分析】
假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】
设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，
所以 3.81000n
n a =>，解得 3.8333
log 1000 5.17lg3.8lg3810.58
n >=
=≈≈-， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19?=． 故选：D . 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算.
11．无
12．C 【分析】
根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
因为12a =，且53a a =，所以2
1q =，解得1q =±， 所以9
1012a a q ==±.
故选：C. 13．C 【分析】
依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】
第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19
的区间，长度和为2
9；第
三次操作去掉四个长度为
127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为1
3
n 的区间，长度和为1
23
n n -，
于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1
122213933n
n n n S -??
=++???+=- ???
，
由题意，90
2131n
??-≥ ???，即21lg lg
1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：11
5.679lg3lg 20.47710.3010
n ≥
=≈--，
又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C .
【点睛】
本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 14．D 【分析】
由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k . 【详解】
k a 是1a 与2k a 的等比中项
212k k a a a ∴=，()()2
111121a k d a a k d ??∴+-=+-??????
()()2
23423k d d k d ∴+=?+，3k ∴=.
故选:D 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题. 15．D 【分析】
利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==，而目标式可化为
162534
162534
a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】
162534123456162534
111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++， ∵等比数列{}n a 中349
8
a a =-，而162534a a a a a a ==， ∴123456111111a a a a a a +
++++=12345685()93
a a a a a a -+++++=-， 故选：D 16．C 【分析】
取特殊值可排除A ，根据等比数列性质与基本不等式即可得C 正确，B ，D 错误. 【详解】
解：设等比数列的公比为q ，
对于A 选项，设1231,2,4a a a =-==-，不满足1322a a a +≥，故错误；
对于B 选项，若13a a =，则2
11a a q =，则1q =±，所以12a a =或12a a =-，故错误； 对于C 选项，由均值不等式可得222
1313222a a a a a +≥?=，故正确；
对于D 选项，若31a a >，则()
2110a q ->，所以()
1422
1a a a q q -=-，其正负由q 的符
号确定，故D 不确定. 故选：C.
17．C 【分析】
根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】
由题意可得等比数列通项5
111122n
n n a a q -????=== ? ?????
，则5n = 故选：C 18．B 【分析】
首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ，再根据公式求5S . 【详解】
正项等比数列{}n a 中，
2432a a a =+∴，
2332a a =+∴，
解得32a =或31a =-（舍去） 又11
2
a =
， 23
1
4a q a =
=， 解得2q ，
5
151
(132)
(1)312112
a q S q --∴===--，
故选：B 19．B 【分析】
设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得2
2q q =+，解得2q
，
根据存在两项m a 、n a
14a =
14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出． 【详解】
解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足：7652a a a =+，
22q q ∴=+，
解得2q
，
存在两项m a 、n a
14a =，
∴14a =，
6m n ∴+=，
m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，
则
14m n
+的最小值为143242+=．
故选：B ． 20．B 【分析】
由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S q
q
---===+---求解. 【详解】
在等比数列{}n a 中，5312a a a +=， 所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=， 解得2
12
q =
所以4142
422
1
2(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q
---===+=---， 故选：B 【点睛】
本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题,
二、多选题 21．无
22．ABC 【分析】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=，其前n 项和为
()
112
n n n S na d -=+
，结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=
其前n 项和为()
112
n n n S na d -=+ 选项A.
112n S n a d n -=+，则+1111+1222
n n S S n n d a d a d n n -?
???-=+-+
= ? ?????（常数） 所以数列|n S n ??
????为等差数列，故A 正确. 选项B. ()1122
n
a n d
a +-=,则112222n n n n
a a a d a ++-==（常数），所以数列{}
2n a
为等比数列，故B
正确.
选项C. 由,m n a n a m ==，得()()1111m n
a a m d n
a a n d m ?=+-=??
=+-=?? ，解得11,1a m n d =+-=- 所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-?-=，故C 正确. 选项D. 由,m n S n S m ==，则()112
n n n n S a d m -=+=，()112
m m m m S a d n -=+
=
将以上两式相减可得：()()()2212d
m n a m m n n n m ??-+
---=-?
?
()()()112
d
m n a m n m n n m -+-+-=-，又m n ≠
所以()1112d a m n +
+-=-，即()1112
d
m n a +-=-- ()()()()()()()111112
m n m n m n d
S m n a m n a m n a m n +++-=++
=+++--=-+，所
以D 不正确. 故选：ABC 【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应用，解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m n
a a m d n a a n d m ?=+-=?
?
=+-=??，从中解出1,a d ，从而
判断选项C ，由前n 项和公式得到()112
n n n n S a d m -=+
=，
()112
m m m m S a d n -=+
=，然后得出
()1112
d
m n a +-=--，在代入m n S +中可判断D ，属于中档题. 23．AC 【分析】
计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可
【详解】 解：因为112a =
，所以1(1)2
f =， 所以2
21
(2)(1)4
a f f ===
， 31
(3)(1)(2)8
a f f f ===，
……
所以1
()2
n n a n N +=∈，
所以11(1)
122111212
n n n S -==-<-， 所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112
S a ==， 故选：AC 【点睛】
关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列
{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档
题 24．BD 【分析】
设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得11121
14
a a ++=，解方程计算即可得答案. 【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，
因为2
153
1a a a ==，2311a a q == ， 所以511151351515111111121
11114
a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=， 解得1412a q =???=??或1142.
a q ?=??
?=?， 当14a =，12q =时，5514131
21412
S ?
?- ?
??==-，数列{}n a 是递减数列； 当11
4
a =
，2q 时，531
4
S =
，数列{}n a 是递增数列；
综上，5314
S =. 故选：BD. 【点睛】
本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为11121
14
a a ++=，进而解方程计算. 25．CD 【分析】
由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为2
3
1,2,3,2,5,7,2,9
，利用列举法，结合等差数列
以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】
由题意，数列{}n a 的前n 项依次为2
3
1,2,3,2,5,7,2,9
，
利用列举法，可得当25n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,2,4,8,16,32，
可得52520(139)2(12)
40062462212
S ?+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，
不满足112n n S a +>； 当26n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,41,2,4,8,16,32，
可得52621(141)2(12)
44162503212
S ?+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，
不满足112n n S a +>； 当27n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,41,43,2,4,8,16,32，
可得52722(143)2(12)
48462546212
S ?+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，
满足112n n S a +>； 当28n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，
可得52823(145)2(12)
52962591212
S ?+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，
满足112n n S a +>，
所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28.
【点睛】
本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 26．AD 【分析】
主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定． 【详解】
1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，
由等比数列的定义知1{}n
a 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ． 【点睛】
本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列． 27．AC 【分析】
由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】
由122(2)n n S S p n --=≥，得22
p a =
. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，
又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为1
2
的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，441
11521812
S -
=
=-，故B 错误； 由A 可得m n m n a a a +?=等价为212
1122
m n m n p p ++?=?，可得12p =，故C 正确；
3827
11
33||||22
128a a p p ??+=+=? ???，56451112||||22128a a p p ??+=+=? ???
， 则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：AC.
本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于中档题． 28．ABD 【分析】
先分析公比取值范围，即可判断A ，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】
若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾； 若1q ≥，则
11a >∴671,1a a >>∴
67101a a ->-与671
01
a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；
667710101
a a a a -<∴>>>-，因此2
768(,1)0a a a =∈，即B 正确； 因为0n a >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；
因为当7n ≥时，(0,1)n a ∈，当16n ≤≤时，(1,)n a ∈+∞，所以n T 的最大值为6T ，即D 正确； 故选：ABD 【点睛】
本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题. 29．BC 【分析】
先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,n n n n a S S S +-，进而判断出正确选项. 【详解】
由23464a a a =得33
34a =，则34a =．设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，由
2410a a +=，得4
410q q
+=，即22520q q -+=，解得2q
或1
2q =
．又因为数列{}n a 单调递增，所以2q
，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n n
a ，
()
1122112
n n n S ?-=
=--，所以()1121212n n n
n n S S ++-=---=.
故选：BC 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.
30．ABC 【分析】
利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解.
∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3； ∵a n +a n +1＝2n ，
∴1223
24a a a a +=??+=?；
∴12123
212244a a a a a a a +??+=-?＞＞
∴0＜a 1＜1；故A 正确．
∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n }为递增数列； ∴b 1＜b 2＜b 3； ∵b n ?b n +1＝2n
∴122324b b b b =??=?；
∴2132
b b b b ???＞＞；
∴1＜b
1B 正确． ∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n
＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）
(
)()()()
12
1
2
12122
12
2
n
n
n
b b b b ?--=
+=+-
))
2121n n ≥-=-；
∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误． 故选：ABC 【点睛】
本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 31．ABC 【分析】
由11a >，781a a >，
871
01
a a -<-，可得71a >，81a <．由等比数列的定义即可判断A ；运用等比数列的性质可判断B ；由正数相乘，若乘以大于1的数变大，乘以小于1的数变小，可判断C; 因为71a >，801a <<，可以判断D. 【详解】
11a >，781a a >，
871
01
a a -<-，
71a ∴>，801a <<，
∴A.01q <<，故正确；
B.2
798
1a a a =<，故正确； C.7T 是数列{}n T 中的最大项，故正确．
D. 因为71a >，801a <<，n S 的最大值不是7S ，故不正确. 故选：ABC ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 32．AC 【分析】
直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q .
对于A ，则2
2
211
12()()n n n n n n f a a a q f a a a +++??=== ???
，故A 是“保等比数列函数”；
对于B ，则
1
11()22()2
n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C
，则
1()
()
n n f a f a +==
=，故C 是“保等比数列函数”；
对于D ，则
11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n n
a a q a q
q f a f a a a a a ++?+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】
本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题. 33．ABD 【分析】
根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案. 【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，
若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列， 若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；
对于B ，若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，
可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；
对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?，即为
12n a a a ++?+，12n n a a ++?+，213n n a a ++?+，?，
即为2
2322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，
故C 正确；
对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?不一定为等比数列，
比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，?，均为0，不为等比数列.故
D 不正确. 故选：ABD . 【点睛】
本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 34．AD 【分析】
计算到12a =，232
a =
，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，89
8a =，根据
“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案. 【详解】
98n a n n =+
-，故12a =，232
a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898
a =
. 故23a a <，3不是“谷值点”；12a a >，32a a >，故2是“谷值点”；
67a a >，87a a >，故7是“谷值点”；65a a <，5不是“谷值点”.
故选：AD . 【点睛】
本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力. 35．ACD 【分析】
根据新定义进行判断． 【详解】
A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111
111
()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+， 虽然有1n n a a ->，但当1
1
10n n a a -+
<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正