f x = c k θ（x ?k ）+∞
n=?∞ 2-1
其中 A |c k |2
+∞
n=?∞
≤
|| c k θ（x
?n ）+∞
n=?∞||2
≤B |c k |2+∞
n=?∞ 2-2
定义2.1所描述的多分辨分析在人类视觉系统对物体认识的直观解释。事实上，如
果把V j 看作是某人眼睛在尺度j 下观察到的一个物体，而这个物体实际上是三维物体的两面。那么当尺度增加到j+1时，这个人所观察到的就是物体的全部，也就是三维物体的三个面，这样就表示人进一步的观察了物体，相当于拉近了照相机的镜头。因而V j+1比V j 包含更多的信息，即V j ?V j+1。所以，尺度越大，距目标越近，则观察到的信息越丰富；尺度越小，距目标越远，则观察到的信息越少。多分辨率分析的空间关系可用图2-1来表明。
图2-1多分辨率分析的空间关系图
正交多分辨率分析就是在多分辨率分析中，存在φ（x ）∈V 0使得{θ（x-n ）} k ∈Z 是V 0
的正交基。
定理2.1 若φ（x ）的平移族{θ（x-n ）} k ∈Z 构成V 0空间的标准正交基，即：
φ x ?m φ x ?n dx +∞?∞=δmn 的充要条件是 |φ (ω+2k π)|2=1+∞k=?∞
。 正交多分辨率分析是由尺度函数生成每个空间V j 的一组正交基所完全刻画而成的。
正交多分辨率分析对小波基函数的构造提供了理论基础，由多分辨率分析的伸缩规则性可知，我们通过尺度函数的伸缩，在已知任意一个子空间基函数的情况下，可以得到与这个子空间相邻空间的基函数，从而得出所有子空间的基函数。
设{V j } n ∈Z 是L 2（R ）一个正交多分辨率分析，若存在一个函数φ（x ）∈V 0，φ（x ）的平移族{θ（x-k ）} k ∈Z 构成子空间V 0的正交基。因为V j ?V j+1，又因φ（x ）∈V 0?V 1，所以一定存在唯一的序列{h k } k ∈Z 使得
φ x = 2 h k +∞
k=?∞φ 2x ?k 2-3
式中，h k = φ x , 2φ 2x ?k = 2 φ(x)φ 2x ?k
dx +∞?∞，序列h k 为离散滤波器，称式2-3是双尺度方程
对式2-3的两边同时作傅里叶变换，有：
φ
ω =
2
h k +∞k=?∞e ?ik ω2 φ ω
2 2-4
令h ω = h k +∞k=?∞e
?ik ω，则 φ
ω = 2 ω2 φ ω2
2-5 定理2.2 若φ（x ）∈ L 2（R ）是一个尺度函数，则满足频域正交条件的等价形
式为：
|h
ω |2+|h ω+π |2=2 2-6 2.2 L 2（R ）的正交分解
因为V j ?V j+1，则令W j 是V j 在V j+1中的正交补，即V j+1=V j ⊕W j ，则存在L 2（R ）空间中的小波函数ψj,k =2j/2ψ（2j （x-k ））为W j 的标准正交基。从而，得出了定理2.3。
定理2.3 L 2（R ）=⊕
j ∈Z W j
证明：由于?j ∈Z V j
=lim n →∞V ?n = 0 ，则 V 0=W ?1⊕V ?1=W ?1⊕W ?2⊕V ?2=⊕W ?j ⊕V ?n
=∞
⊕j =1
W ?j 下面用v j ⊥表示V j 在L 2（R ）中的正交补，故：
V j ⊕v j ⊥=V j+1⊕V j+1⊥=V j ⊕W j ⊕V j+1⊥
，所以
v j ⊥=W j ⊕v j+1⊥
,?j ∈Z
又因为
?j ∈Z
V j = L 2
（R ） {V j }在L 2（R ）中稠密，
(?V j )⊥
=?j ∈Z
V j ⊥
=lim n →∞V n ⊥
所以
V 0⊥=W 0+V j ⊥=W 0⊕W 1⊕v 2⊥=n ?1
⊕j =0
W j ⊕V n ⊥=∞⊕j =1W j
这就证明了
L 2 R =V 0⊕V 0⊥
= ?1
⊕j =?∞
W j ⊕ ∞⊕j =0W j =⊕j ∈Z W j
所以定理2.3实现了对L 2（R ）的正交分解。 2.3 Mallat 算法
1989年，Mallat 在图像处理的运用和小波变换多分辨率分析理论的研究中，受到塔式算法的启发，提出了信号的塔式多分辨率的分解与重构的算法，这种算法就称之为Mallat 算法。
若{φj ，n } n ∈Z 和{ψj ，n } n ∈Z 是V j 和W j 的标准正交基，a j ，n =和d j ，n =用来表示f 在V j 和W j 下的投影，则可以得到以下定理：
定理3
信号的小波分解：
a j,p = h n ?2p a j+1,n +∞
n=?∞ 2-7 d j,p = g n ?2p a j+1,n +∞n=?∞ 2-8
信号的小波重构：
a j+1,p = h p ?2n a j,n +∞n=?∞+ g p ?2n d j,n +∞
n=?∞ 2-9
式中， h ，g 为共扼镜像滤波器，其值由所选择的小波基决定。式2-20可以看作是
先将2j+1的尺度系数和小波系数分别在每两个数据点间插零的采样的形式，再分别和序列h 和g 卷积，再将卷积的结果相加。图2-2a 描述了式2-7和2-8的一步分解算法，图2-2b 描述了式2-9的一步重建算法。
（a ） 一步离散小波分解算法 （b ） 一步离散小波重建算法
图2-2 一步离散小波分解与重建算法图
3 常用小波函数介绍
在小波分析理论在数学和工程领域中一个很重要的问题就是小波基的选择，选择一个最优的小波基，可以使图像处理更加优化。在小波分析理论中有很多种的小波函数，下面介绍一些常用的小波基函数：
（1）Haar 小波
Haar 小波是Haar 于1990年提出的一种正交小波，它是小波理论分析发展过程中用的最早的小波。Haar 小波是由一组互相正交归一的函数集，即Haar 函数衍生产生的，其是具有紧支撑的正交小波函数，其定义如下：
ψ(x)
1, 0≤x≤
1?1,
1
2
≤x≤1 0 other
Haar小波是一个最简单的时域不连续的二进小波，它类似一个阶梯函数，由于它的紧支性和正交性，使得Haar小波的应用很普遍。图2-3所示为Haar波的函数图像。
图3-1 Haar小波函数图像
（2）Mexican hat(墨西哥草帽)小波
Mexican Hat小波又被称Marr小波。Marr小波函数就是高斯函数的二阶导数，其表达式为：
ψt=(1?t2)e ?t2 2
其波形如图3-2所示。Marr小波的时域、频域都有很好的局部特性，但它的正交性尺度函数不存在，主要用于信号处理和边缘检测。
图3-2 Mexicat小波函数图像
（3）Morlet小波
Morlet小波是高斯下的单频率复正弦函数：
ψt=e iωt?e?t22
式中， i表示虚数，ω常数。其波形如图3-3所示。虽然Morlet小波有解析表达式，但其不具有正交性的同时也不存在紧支集。Morlet小波的特点是能够提取信号中的幅值和相应信息，广泛应用于地球物理信号处理中。
图3-3 Morlet小波函数图像
（4）Daubechies小波
Daubechies小波是法国学者Daubechies所创造，Daubechies小波的研究是基于对尺度取为2的整数幂条件下的小波变换。Daubechies小波无明确的解析方程，不具有对称性，可以由尺度函数求出。Daubechies小波是紧支集正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。Daubechies系列的小波简写为dbN，其中N表示阶数，图3-4所示为db2小波的形状。
(a)Db2小波函数 （b ）Db2的尺度函数
图3-4 Db2的小波函数和尺度函数
（5）Meyer 小波
Meyer 小波的小波函数ψ（x ）是在频域中进行定义的，Meyer 小波是具有紧支撑的正交小波。
ψ x =
(2π)
?12 e j ω2
sin(πν 3|x |?1 ),x ∈ 2π,4π ,(2π)?12 e j ω2 cos(πν 3|x |?1 ),x ∈ 4π,8π
,0 ,|x |? 2π,8π
其中ν（?）为构造Meyer 小波的辅助函数，其函数图像如图3-5所示。
(a) Meyer 小波函数 （b ）Meyer 尺度函数
图3-5 Meyer 小波函数和尺度函数
4 图像小波变换
小波变换应用于图像处理中，首先因为图像是二维信号，则需要将多分辨率分析扩展到二维信号，所以一开始把小波分解从一维推广到二维。对于二维正交小波，我们常用的是正方形二维正交小波基。根据一维空间尺度的定义，我们定义j 尺度下的二维尺度空间V
j 为： V j =V j ⊕V j = g x ,f(x) ?f x ∈V j ,g x ∈V j
,j ∈Z 式中，符号⊕表示空间相乘，则{?j ，n （x ）?j ，m （x ）}n ，m ∈Z 一定是V j 的标准正交基，且有：
V
j ?1=V j ?1⊕V j ?1=V j ⊕W j 1⊕W j 2⊕W j 3 其中W j 1=W j ⊕V j ,W j 2=V j ⊕W j ,W j 3=W j ⊕W j 分别称为二维小波空间。从上式中不难看出，W
j 1的标准正交基一定是{ψj ，n （x ）?j ，m （x ）}n ，m ∈Z , W j 2的标准正交基一定是{?j ，n （x ）ψj ，m （x ）}n ，m ∈Z , W
j 3的标准正交基一定是{ψj ，n （x ）ψj ，m （x ）}n ，m ∈Z 。
所以在L 2（R ）空间中任一个函数f （x ，y ）∈V
0，在正方形二维正交小波基下的展开公式为：
f x,y = αm,n j ψj,m x φj,n y +βm,n j φj,m x ψj,n y +γm,n j
ψj,m x ψj,n y
m,n
j + S m,n j
φj,m x φj,n y m,n
式中，小波二维空间W j 1,W j 2,W j 3的小波展开系数分别为αj m ，n ,βj m ，n ,γj m ，n 。尺度空间V j 的尺度展开系数是S j m ，n 。正方形二维正交小波变换的快速算法与一维是相似的。其快速分
解公式为：
αi,l j
= h 1 k ?2i h 0 m ?2l k,m S k,m j ?1
βi,l j = h 0 k ?2i h 1 m ?2l k,m
S k,m j ?1
γi,l j = h 1 k ?2i h 1 m ?2l k,m
S k,m j ?1
S i,l j = h 0 k ?2i h 0 m ?2l k,m
S k,m j ?1
其快速重构公式为：
S k,m j ?1
= S i,l j
h 0 k ?2i h 0 m ?2l k,l + αi,l j
h 1 k ?2i h 0 m ?2l
i,l + βi,l j
h 0 k ?2i h 1 m ?2l i,l
+ γi,l j
h 1 k ?2i h 1 m ?2l i,l
把图像进行多分辨率分解是小波变换用于图像降噪的基本思想，则把图像分解成不同空间、不同频率的子图像。图像在经过小波变换后被分割成四个频带；水平、垂直、对角线和低频，而低频部分还可以进一步分解。就对于一幅图像来说，小波变换构成了对它的多尺度时频的分解。图4-1是正交小波分解的图形。
图4-1 正交小波分解图
如图所示LL3是最低频段滤波后的低尺度逼近，则LL频带保留了图像的原始信息，这些频带是图像的近似表示，因此图像的能量集中于此频带。在同级的分辨率下，HL3包含了垂直方向低通、水平方向高通滤波后所保留的低频信息，所以HL频带反映了图像水平方向的变化和边缘信息；同样的，LH3保留的是水平方向低通、垂直方向高通滤波后所得的细节信息，所以LH频带反映了图像垂直方向上的变化和边缘信息；HH3包含的是水平和垂直方向都经过高通滤波后的细节信息，则HH频带反映了水平和垂直方向上图像的综合变化的情况，同时还包含了少量的边缘信息。
原图像的数据总量和图像经过小波变换后生成的小波图像的数据总量是相等的，不同的是原始图像与生成的小波图像的特性，经小波变换后的图像，水平、垂直和对角线部分的能量较少，而图像的能量主要集中于中低频部分；在原始图像中，水平、垂直和对角线部分表明了图像在水平、垂直和对角线部分的边缘信息，并且有很明显的方向特点，可以把水平、垂直和对角线部分可称作细节图像而把低频部分称作亮度图像。
数字图像处理课程设计-小波变换
摘要 小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支，素有“数学显微镜”的美称。它是继1822年傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的领域，解决了很多傅立叶变换不能解决的困难问题。小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时得到处理，具有良好的局部化性质，能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时存在的局限性，具有极强的自适应性，因此在图像处理中具有极好应用价值。本设计主要分析了基于小波变换的图像分解和图像压缩技术，并运用Matlab软件对图像进行分解，然后提取其中与原图像近似的低频信息，达到对图像进行压缩的目的。分别作第一层分解和第二层分解，并比较图像压缩的效果。 关键词:小波变换；Matlab；图像分解；图像压缩
目录 摘要 ..................................................................................................... I 第1章绪论 (1) 1.1设计背景 (1) 1.2设计要求 (1) 1.3设计思路简介 (1) 第2章小波变换处理图像设计过程 (2) 2.1小波变换的分解和重构算法 (2) 2.2小波变换在图像压缩中的应用 (4) 第3章软件设计与仿真 (6) 3.1MATLAB程序 (6) 3.2结果及分析 (7) 第4章总结与展望 (9) 参考文献 (10)
第1章绪论 1.1设计背景 小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。 1.2设计要求 利用小波变换的基本原理在MATLAB环境下编写程序对静态图像进行分解并压缩，并观察分析其处理效果。 1.3设计思路简介 一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。高分辨率(即高频)子图像上大部分点都接近于0，越是高频这种现象越明显。对一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以利用小波分解就可以达到去掉图像的高频部分而只保留低频部分的目的。 MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其它编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。 本设计利用MATLAB工具箱中的Wavele Toolbox——小波工具箱对图像进行小波变换。
小波分析考试题(附答案)
《小波分析》试题 适用范围：硕士研究生 时 间：2013年6月 一、名词解释（30分） 1、线性空间与线性子空间 解释：线性空间是一个在标量域（实或复）F 上的非空矢量集合V ；设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y V1，则x ＋y V1； （2） 如果x V1，k K ，则kx V1， 则称V1是V 的一个线∈∈∈∈∈性子空间或子空间。2、基与坐标 解释：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量，称为 V 的一组n 21...εεε，，，基；设是中任一向量，于是 线性相关，因此可以被基αn 21...εεε，，，线性表出：，其中系数 αεεε，，，，n 21...n 21...εεε，，，n 2111an ...a a εεεα+++=是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，an ...a a 11，，，αn 21...εεε，，，记为 （） 。an ...a a 11，，，3、内积 解释：内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。，()T n x x x x ,...,,21= ，令，称为x 与y 的内积。 ()T n y y y y ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,2211[]y x ,4、希尔伯特空间 解释：线性 完备的内积空间称为Hilbert 空间。线性（linearity ）：对任意 f ， g ∈H ，a ，b ∈R ，a*f+b*g 仍然∈H 。完备（completeness ）：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。内积（inner product ）：，它满足：，()T n f f f f ,...,,21=时。 ()T n g g g g ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,22115、双尺度方程 解释：所以都可以用空间的一个1010,V W t V V t ?∈?∈）（）（ψ?） （）和（t t ψ?1V
小波变换的基本原理
10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达
小波变换
《医学图像处理》实验报告 实验十：小波变换 日期： 2014年05月06日 摘要 本次实验的实验目的及主要内容是: 一维小波变换和反变换 二维小波变换和反变换 二维小波细节置零、去噪
一、技术讨论 1.1实验原理 小波变换的原理:是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波去噪的原理：利用小波变换把含噪信号分解到多尺度中，小波变换多采用二进型，然后在每一尺度下把属于噪声的小波系数去除，保留并增强属于信号的小波系数，最后重构出小波消噪后的信号。其中关键是用什么准则来去除属于噪声的小波系数，增强属于信号的部分。 1.2实验方法 1）dwt函数（实现1-D离散小波变换） [cA,cD]=dwt(X,’wname’)使用指定的小波基函数‘wname’对信号X进行分解，cA和cD分别是近似分量和细节分量； [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)用指定的滤波器组Lo_D,Hi_D对信号进行分解 2）idwt函数（实现1-D离散小波反变换） X=idwt(cA,cD,’wname’) X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt(cA,cD,’wname’,L) X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 由近似分量cA和细节分量cD经过小波反变换，选择某小波函数或滤波器组，L为信号X中心附近的几个点 3）dwt2函数（实现2-D离散小波变换） [cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,’wname’) [cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,’wname’) cA近似分量，cH水平细节分量，cV垂直细节分量，cD对角细节分量 4）idwt2函数（实现2-D离散反小波变换） X=idwt2(cA,cH,cV,cD,’wname’) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,’wname’,S) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S)
小波变换基本原理.doc
第五章小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？—尺度 ②小波发展史 1910 Harr 小波 80 年代初兴起Meyer—小波解析形式 小波80 年代末 Mallat 多分辨率分析— WT 无须尺度 构造？和小波函数—滤波器组实现 90 年代初 Daubechies 正交小波变换 90 年代中后期 Sweblews 第二代小波变换 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数WT（要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例）Daubechies正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT，并不是万能的 5.1连续小波变换 一． CWT 与时频分析 1t b 1.概念： CWT (a, b)S(t) * ()dt a a 2.小波变换与 STFT 用于时频分析的区别 STFT小波变换 基函数 (t )(t mT )e jwt(t)1* ( t b ) a a 时频轴平移 +调制（线性频轴）平移+伸缩 a —尺度—对数频 轴 基函数特包络恒定，振荡不同振荡恒定，包络恒定 征
时频分辨(t mT )e jwt，[mT,w]附近w0 附近 b, 率 a 适用情况渐变信号突变信号 2 轴spectrogram scalogram 结果复数实数 3.WT 与 STFT 对比举例（ Fig5–6, Fig5–7） 二． WT 几个注意的问题 1.WT 与(t) 选择有关—应用信号分析还是信号复原 2.母小波(t ) 必须满足容许性条件 2 ( w) C dw w ①隐含要求(0) 0,即(t) 具有带通特性 ②利用 C可推出反变换表达式 S(t) 1 1 CWT (a,b) (t b )dadb C a 2 a 3.CWT 高度冗余（与 CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量 b 和尺度进行离散化） 2 m , b n 2 m 1 ( t b ) m (2m t n) a a, b (t ) m,n (t ) 2 2 a a d m,n CWT (2 m , n 2 m ) S(t ) m,n * (t) dt 5.小波变换具有时移不变性 S(t ) C W T(a, b) S(t b0 ) C WT(a,b b0 ) 6.用小波重构信号 S(t) ? ? d m,n m,n (t )正交小波 d m,n m,n (t ) m n mn 中心问题：如何构建对偶框架? m, n
小波分解与重构原理
“小波工程应用”实验报告 一维信号离散小波分解与重构（去噪）的VC实现 一、目的 在理解了离散小波变换的基本原理和算法的基础上，通过设计VC程序对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。 二、基本原理 1、信号的小波分解与重构原理 在离散小波变换(DWT)中，我们在空间上表示信号，也就是说对于每一个在上表示的信号能用在上面提到的两个空间中的基函数来表示。 Where and are the coefficients of the scale metric space (j-1) which are obtained after the Decomposing the coefficient of the scale metric space j . Analogously we could reconstruct the by and . 我们在尺度度量空间对系数进行分解得到在尺度度量空间的两个系数 和。同样的，我们也能从两个系数和通过重构得到系数。
如上图中的分解与重构我们可以通过一定的滤波器组来实现（也就是小波变换算法）。当小波和尺度在空间内是正交的，我们就可以用内积公式计算得到系数和: 下面是内积计算方法的具体公式： 具体的系数计算过程如下: 对于上面的小波分解过程，通过分别设计高通滤波器和低通滤波器两组滤波器的系数(数组g[]和h[])即可实现，特别是对于离散小波变换，程序算法相对简单。而重构也只是分解的逆过程，重构算法和分解的算法是相对应而互逆的。 2、小波去噪原理
哈工大小波分析上机实验报告
小波分析上机实验报告 院系：电气工程及自动化学院 学科：仪器科学与技术
实验一小波分析在信号压缩中的应用 一、试验目的 （1）进一步加深对小波分析进行信号压缩的理解； （2）学习Matlab中有关信号压缩的相关函数的用法。 二、相关知识复习 用一个给定的小波基对信号进行压缩后它意味着信号在小波阈的表示相对缺少了一些信息。之所以能对信号进行压缩是因为对于规则的信号可以用很少的低频系数在一个合适的小波层上和一部分高频系数来近似表示。 利用小波变换对信号进行压缩分为以下几个步骤来完成： （1）进行信号的小波分解； （2）将高频系数进行阈值量化处理。对从1 到N 的每一层高频系数都可以选择不同的阈值并且用硬阈值进行系数的量化； （3）对量化后的系数进行小波重构。 三、实验要求 （1）对于某一给定的信号（信号的文件名为leleccum.mat），利用小波分析对信号进行压缩处理。 （2）给出一个图像，即一个二维信号（文件名为wbarb.mat），利用二维小波分析对图像进行压缩。 四、实验结果及程序 （1）load leleccum %将信号装入Matlab工作环境 %设置变量名s和ls，在原始信号中，只取2600-3100个点 s = leleccum(2600:3100); ls = length(s); %用db3对信号进行3级小波分解 [c,l] = wavedec(s, 3, 'db3'); %选用全局阈值进行信号压缩 thr = 35; [xd,cxd,lxd,perf0,perfl2] = wdencmp('gbl',c,l,'db3',3,thr,'h',1); subplot(2,1,1);plot(s); title('原是信号s'); subplot(2,1,2);plot(xd); title('压缩后的信号xd');
小波分析基础及应用期末习题
题1：设{},j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的多分辨率分析，101()0x x φ≤
11()3.k k h k p -=为高通分解滤波器,写出个双倍平移正交关系等式 题6：列出二维可分离小波的4个变换基。 题8：要得到“好”的小波，除要求滤波器0()h n 满足规范、双正交平移性、低通等最小条件外，还可以对0()h n 加消失矩条件来得到性能更优良的小波。 （1） 请写出小波函数()t ψ具有p 阶消失矩的定义条件： （2） 小波函数()t ψ具有p 阶消失矩，要求0()h n 满足等式： （3） 在长度为4的滤波器0()h n 设计中，将下面等式补充完整： 222200000000(0)(1)(2)(3)1 (0)(2)(1)(3)0 ,1 2h h h h h h h h n ?+++=???+==??? 规范性低通双平移正交阶消失矩
小波变换的原理及matlab仿真程序讲解学习
小波变换的原理及m a t l a b仿真程序
基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参
数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。
第9章小波变换基础
第9章 小波变换基础 9.1 小波变换的定义 给定一个基本函数)(t ψ，令 )(1)(,a b t a t b a -= ψψ （9.1.1） 式中b a ,均为常数，且0>a 。显然，)(,t b a ψ是基本函数)(t ψ先作移位再作伸缩以后得到的。若b a ,不断地变化，我们可得到一族函数)(,t b a ψ。给定平方可积的信号)(t x ，即 )()(2R L t x ∈，则)(t x 的小波变换（Wavelet Transform ，WT ）定义为 dt a b t t x a b a WT x )()(1),(-= ? *ψ ??==? * )(),()()(,,t t x dt t t x b a b a ψψ （9.1.2） 式中b a ,和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT ）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从∞-到∞+。信号)(t x 的小波变换),(b a WT x 是a 和b 的函数， b 是时移，a 是尺度因子。)(t ψ又称为基本小波，或母小波。)(,t b a ψ是母小波经移位和 伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，（9.1.2）式的WT 又可解释为信号)(t x 和一族小波基的内积。 母小波可以是实函数，也可以是复函数。若)(t x 是实信号，)(t ψ也是实的，则 ),(b a WT x 也是实的，反之，),(b a WT x 为复函数。 在（9.1.1）式中，b 的作用是确定对)(t x 分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子 a 的作用是把基本小波)(t ψ作伸缩。我们在1.1节中已指出，由)(t ψ变成)(a t ψ，当1 >a 时，若a 越大，则)(a t ψ的时域支撑范围（即时域宽度）较之)(t ψ变得越大，反之，当1 课程设计—小波图像融合
目录 摘要 (1) 1、设计目的与意义 (2) 2、题目分析 (3) 3、设计原理 (6) 4、总体设计 (6) 5、算法设计与功能描述 (7) 6、测试结果与分析 (10) 7、设计总结 (11) 8、设计体会 (11) 参考文献 (12)
摘要 小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的时间一频率窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。从此，小波变换越来越引进人们的重视，其应用领域来越来越广泛。 数据融合是80 年代形成和发展起来的一种自动化信息综合处理技术, 它将来自多传感器或多源的信息和数据进行综合处理, 从而得出更为准确可信的结论, 它充分利用多源数据的互补性和计算机的高速运算与智能来提高结果信息的质量。图像融合是数据融合技术在数字图像处理方面的一个应用。高效的图像融合方法可以根据需要综合处理多源通道的信息，从而有效地提高了图像信息的利用率、系统对目标探测识别地可靠性及系统的自动化程度。本文着重讨论了基于小波变换的图像融合。 关键词：图像融合，小波变换
1设计目的与意义 通常地, 图像融合是指将来自不同探测器的图像进行合并, 以得到一个更为完整的图片或场景。图像融合的主要目的是通过对多幅图间的冗余数据的处理来提高图像的可靠性, 通过对多幅图像间的互补信息的处理来提高图像的清晰度。高效的图像融合方法可以根据需要综合处理多源通道的信息，从而有效地提高了图像信息的利用率、系统对目标探测识别地可靠性及系统的自动化程度。其目的是将单一传感器的多波段信息或不同类传感器所提供的信息加以综合，消除多传感器信息之间可能存在的冗余和矛盾，以增强影像中信息透明度，改善解译的精度、可靠性以及使用率，以形成对目标的清晰、完整、准确的信息描述。图像融合从抽象层次上分为:像素级、特征级和决策级图像融合。本论文主要研究像素级图像融合,研究重点是基于小波变换的图像融合。由于人的视网膜是在不同的频道中进行处理, 因而基于小波变换的融合方法可以获得与人的视觉特性更接近的融合效果。小波变换将原图像分解成一系列具有不同空间分辨率和频域特性的子图像, 反应了原始图像的局部特征变化, 在多个分解层、多个频带上进行融合。通过小波变换能更好的对图像进行融合，得到更好的效果。
小波分析
小波分析 湍流实验数据的子波分析： 用子波分析研究湍流边界层的多尺度相干结构 一、 原理 1、 局部平均的结构函数 基于湍流局部平均概念粗粒化的速度结构函数： ],[],[)()(),(b a b x a b b x x u x u b a u -∈+∈-=δ （3-1-1） )(x u 表示在中心分别为2a b -和2 a b +，尺度为a 的两个相邻湍流结构中流体相对运动速度的局部平均，a 为湍流结构的空间尺度，b 为两个相邻湍流结构的接触点的空间位置。 2、 子波变换在湍流多尺度结构研究中的意义 连续Harr 子波变换为： ])()([1)()(1)()()(),(),(,,dt t u dt t u a dt a b t H t u a dt t H t u t H t u b a W b a b b b a b a b a H ?-?=?-=?>==<++-∞ +∞-+∞ ∞- （3-1-6） （3-1-6）式的物理意义是在时间段],[b b a t +-∈内热线探针测量到的流体的平均速度与在时间段],[b a b t +∈内热线探针测量到的流体的平均速度的差。 湍流中不同尺度流动结构的多尺度特征与子波变换的多分辨概念是一致的，可以用子波变换的多分辨分析理论研究湍流结构的多尺度特征，可以用（3-1-6）式定义一定尺度a 和一定位置b 下的局部平均的湍流速度结构函数。 3、 用子波分析检测湍流中多尺度相干结构的方法 采用了两种不同的检测准则来提取湍流中的相干结构,分别如下所述： 检测准则一：该检测准则的提出，主要基于尽可能完全、彻底地提取出湍流中全部相干结构的思想，其中瞬时平坦因子),(b a FF 的值以3做为判断界限。本方法主导思想比较简单，直观印象简单明了，即只要在单一尺度a 下点b 的瞬时平坦因子),(b a FF 值大于3就视其为该尺度下的一个相干结构。其检测过程为：分尺度计算各点b 的瞬时平坦因子),(b a FF ，如果),(b a FF 大于3，则认为检测到该尺度下的一个相干结构；如果),(b a FF 不大于3，则不视其为一个相干结构。 检测准则二：为了在所有的尺度中系统地选择事件，我们采取一种后验的选择门限值的
小波变换基本原理
第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换
3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ
小波变换去噪基础地的知识整理
1.小波变换的概念 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？ 有几种定义小波(或者小波族)的方法: 缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。 高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。 缩放函数:小波由时域中的小波函数 (即母小波)和缩放函数 (也称为父小波)来定义。 小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。 小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。例如墨西哥帽小波。 3.小波变换分类 小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。 5.小波变换的科学意义和应用价值
小波分析算法资料整理总结
一、小波分析基本原理： 信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。相关原理详见附件资料和系统设计书。 注：小波分析相关数学原理较多，也较复杂，很多中文的著作都在讨论抽象让非数学相关专业人难理解的数学。本人找到了相对好理解些的两个外文的资料： Tutorial on Continuous Wavelet Analysis of Experimental Data.doc Ten.Lectures.of.Wavelets.pdf 二、搜索到的小波分析源码简介 （仅谈大体印象，还待继续研读）： １、83421119WaveletVCppRes.rar 源码类型：VC++程序 功能是：对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。 说明：在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。但这是为专业应用写的算法，通用性差。 ２、WA.FOR（南京气象学院常用气象程序中的小波分析程序） 源码类型：fortran程序 功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。 说明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。 ３、中科院大气物理学所.zip（原作者是美国Climate Diagnostics Center的C. Torrence 等）源码类型：fortran和matlab程序各一份 功能是：气象应用。用小波分析方法对太平洋温度的南方涛动指数进行分析。 说明：用的是Morlet和墨西哥帽小波。程序编写规范，思路清晰，但这是为专业应用写的算法，通用性差。 ４、Morlet小波变换源程序.rar 源码类型：matlab程序 功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。 说明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。
小波分析及小波包分析
小波分析及小波包分析 在利用matlab做小波分析时，小波分解函数和系数提取函数的结果都是分解系数。我们知道，复杂的周期信号可以分解为一组正弦函数之和，及傅里叶级数，而傅里叶变换对应于傅里叶级数的系数；同样，信号也可以表示为一组小波基函数之和，小波变换系数对应于这组小波基函数的系数。 多尺度分解是按照多分辨分析理论，分解尺度越大，分解系数的长度越小（是上一个尺度的二分之一）。我们会发现分解得到的小波低频系数的变化规律和原始信号相似，但要注意低频系数的数值和长度与原始信号以及后面重构得到的各层信号是不一样的。 小波分解：具体实现过程可以分别设计高通滤波器和低通滤波器，得到高频系数和低频系数，并且每分解一次数据的长度减半。小波重构，为分分解的逆过程，先进行增采样，及在每两个数之间插入一个0，与共轭滤波器卷积，最后对卷积结果求和。在应用程中，我们经常利用各层系数对信号进行重构（注意虽然系数数少于原信号点数，但是重构后的长度是一样的），从而可以有选择的观看每一频段的时域波形。从而确定冲击成分所在频率范围。便于更直观的理解，小波分解，利用各层系数进行信号重构过程我们可以认为是将信号通过一系列的不同类型的滤波器，从而得到不同频率范围内的信号，及将信号分解。 小波消噪:运用小波分析进行一维信号消噪处理和压缩处理，是小波分析的两个重要的应用。使用小波分析可以将原始信号分解为一系列的近似分量和细节分量，信号的噪声主要集中表现在信号的细节分量上。使用一定的阈值处理细节分量后，再经过小波重构就可以得到平滑的信号。 小波常用函数 [C,L]=wavedec(s,3,'db1');%用小波函数db1对信号s进行3尺度分解 其中C为分解后低频和高频系数，L存储低频和高频系数的长度。 X=wrcoef(‘type’,C,L,’wname’,N)%对一维小波系数进行单支重构，其中N表示对第几层的小波进行重构 X=wrcoef(‘a’,C,L,’wname’,3)%对第三层的低频信号进行重构，如果a变为d的话，表示对低频分量进行重构。注意重构后数据的长度于原来数据的长度一致。 ca1=appcoef(C,L,'db1',1);%从前面小波3尺度分解结构[C,L]中提取尺度1的低频系数 高频系数提取类似。 选择合适的阈值，小波分解后，重构可以达到去除噪声的目的。 小波包分解，可以将信号分在不同的频带，且不同的频带宽度是一样的。小波分析，只将低
小波变换 mallat
实验目的：通过编程实现离散快速小波变换Mallat 算法，从而加深理解二维 小波变换的分解与合成，同时，提高编程能力和matlab 的应用，为以后的学习打下基础。 实验原理： 1、Mallat 快速算法 本实验使用离散快速小波变换快速算法Mallat 算法，算法原理如下 （1）1(2)j j k n n c h n k c -=-∑ （2） 1(2)j j k n n d g n k c -=-∑重构算法： （3） 1(2)(2)j j j n k k n n c h n k c g n k d -=-+-∑∑对于（1）、（2）等效于经过冲击响应为和的数字滤波器，然后再分别进 1 j n c -[]h n -[]g n -行“二抽取”，Mallat 分解算法的滤波器表示形式如下图 C j-1 d j (k) C j (k) 用滤波器表示如下图 d j C j C j-1(k) 2、 255*255 10lg PSNR MSE ='2 11 ()*M N ij ij i j f f MSE M N ==-= ∑∑ 分别表示原始图像和重建后的图像，。 {}ij f '{}ij f 1,1i M j N ≤≤≤≤3、边界延拓方法有零延拓、周期延拓、对称周期延拓、常数连续延拓等，本实验采用以上四种方法进行原图像的1/8延拓，并进行重构，各种延拓方法所对应的函数为yan0(x)、yancir （x ）、yan(x)、yanc(x),在主程序中，需要某种延拓，便调用某种函数。
实验编程思路： 为使程序易于理解，在不考虑算法复杂度的情况下，分解程序采用简洁的循环计算出下一级的分解系数，程序采用的编程思想如下 [][][]11100[0][1][2][3][4][5]001[1]00[0][1][2][3]00[1][2][3][4][5]00[0][1]12j j j j j j c c h h h h h h c c h h h h n c n h h h h h h c ---?? ??????????????? ???=??????????????--?????????????? L L M M M M M M M M O O M L 以上矩阵等式左面是进行二抽样的结果，是分解的低频部分。同理，对 [0][1]2 j j n c c -L j 于分解的高频部分有如下矩阵形式： j [][][]11 100[0][1][2][3][4][5]0 01[1]00[0][1][2][3]00[1][2][3][4][5]00[0][1]12j j j j j d d g g g g g g d d g g g g n d n g g g g g g d ---???? ????????????? ???=? ?????? ???????--?????????????? L L M M M M M M M M O O M L 分解程序： lenx=size(x,2);%x 为一维向量 lenh=size(h,2);h=[h,zeros(1,(lenx-lenh))];g=[g,zeros(1,(lenx-lenh))]; r1(1)=sum(h.*x); r2(1)=sum(g.*x); for k=1:1:(lenx/2-1) %循环求出下一级低频和高频分量 h=[h(end-1:end),h(1:(end-2))]; r1(k+1)=sum(h.*x); g=[g(end-1:end),g(1:1:(end-2))]; r2(k+1)=sum(g.*x); end y=[r1,r2]; 对于重构算法，其等效形式为 [][][] 1(2)(2)j j j n n c n h n k c k g n k d k -=-+-∑∑上式等号右边部分实质上是对变量的数字卷积运算,程序采用频域相乘代替卷积，重建程k 序为 y=ifft(fft(c3,lenx).*fft(h,lenx))+ ifft(fft(d3,lenx).*fft(g,lenx));
张慧小波分析
小波分析论文 姓名蒋喜尧 学号 1107110222 学院理学院 班级信息与计算科学11-2班 指导教师张慧 2014年11月 一.小波分析应用发展现状 1小波分析在信号与图像处理上的应用
电子信息技术是六大高新技术中重要的领域，它的重要方面是信号与图像处理．信号与图像处理的目的：准确地分析与诊断，编码压缩与量化。快速传递与储存。精确的重构(或恢复)．信号与图像处理可以统一地看作是信号处理(图像可以看作是二维信号1．对于信号与图像来说，由于要传递和储存，就需要快速传输．在同等通信容量下，如果信号与图像数据可以压缩后再传输．可使数据量变小，如用普通的电话线传输图像信息．这样我们就要寻找高压缩比的方法，且压缩后的信号与图像有合适的噪音比，在压缩传输后还要恢复原信号，且保持原图像特征不变．基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩．小波变换向量量化压缩等． 1．1小波分析在常规滤波方面的应用 在信号分析中。当对信号进行采样后，就得到了在一个大的有限频带中的一个信号，对这个信号进行小波分析，就是把采到的信号分成两个信号。高频部分和低频部分，再对低频信号分解．这样就完成了滤波和检测的工作．常用的几种滤波有低通滤波、高通滤波、带通滤波等．低通滤波要求保持原信号中某个特定的低频范围的信号，正交小波的Mallat算法和正交小波包的分解对低通滤波是行之有效的．高通滤波要求保留信号中的高频量。去换特定的低频量，仍用正交小波包的分解、正交小波包的分解在频域方面表现，保留信号分解中对应于高频量的数据。用零代替低频量所对应的数据．这样就方便地实现了高通滤波．带通滤波要求保留信号的某个特定频带，据正交小波(包)分析方法在频域方面的表现，可实现非常细致的、清晰的带通滤波，若干频段的信息混叠后传输，小波(包)分析方法可把它们有效地分离出来．
