解三角形完整讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
正余弦定理知识要点： 1、正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2、余弦定理： 222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-?
或
222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??
+-?
=
??
?+-=
??
. 3、解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A+B+C = π求C ，由正弦定理求a 、b ；
（2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由
A+B+C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求角C 。
4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C ，则S ＝1/2 * absinC
7、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ?+?=，… 8、两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin sinB 且cosB>sinA B ．cosA
=++，特别地，2
a b c r +-=
斜直
正弦定理
专题：公式的直接应用
1、已知ABC △
中，a =
b =60B =，那么角A 等于（ ）
A ．135
B ．90
C ．45
D ．30
2、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ C ）
A ．30°
B ．60°
C ．60°或120°
D ． 30°或
150°
3、ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，
，若
120c b B ===，则a 等于（ ）
A
B ．2 C
D
4、已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则a 等于（ B ）
A ．4
B.
5、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ B ）
A ．310+
B ．()
1310- C ．13+
D ．310
6、已知ABC ?的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3
1sin =
A ，
B b sin 3=，则a 等于 ． （
3
3） 7、△ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于（ A ）
12
8、△ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则
cos A =（ C ）
A .13
B .12
C .3
4
D .0 9、在△ABC 中，证明：2
2221
12cos 2cos b a b B a A -=-。 证明：???
? ??---=---=-222222222222sin sin 21
1sin 21sin 212cos 2cos b B a A b a b B a A b B a A 由正弦定理得：2
222sin sin b
B
a A = 2
2221
12cos 2cos b a b B a A -=-∴
专题：两边之和
1、在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ；b ＝ .
（61236-,24612-）
2、已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （1）求边AB 的长；
（2）若ABC △的面积为1
sin 6
C ，求角C 的度数．
专题：三角形个数
1、△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( C )
A.有 一个解
B.有两个解
C.无解
D.不能确定 2、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于
（ B ）
A ．60°
B ．60°或120°
C ．30°或150°
D ．120° 3、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ D ）
A ．b = 10，A = 45°，
B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100°
C ．a = 7，b = 5，A = 80°
D ．a = 14，b = 16，A = 45° 4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ D ）
A ．a=1,b=2 ,c=3
B ．a=1,b=2 ,∠A=30°
C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45°
5、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ B
）
A ．无解
B ．一解
C ． 二解
D ．不能确定 6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为（ A ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．不定
7、已知△ABC 中，===A b a ,209,181121°，则此三角形解的情况是 无解
8、在△ABC 中，已知b =，150c =，30B =，则边长a = 。或
专题：等比叠加
1、△ABC 中，若60A =，a =sin sin sin a b c A B C
+-+-等于（ A ）
A .2
B .
122
2、在△ABC 中，A=60°, b=1, 面积为3，则
sin sin sin a b c A B C ++++= .
3
专题：变式应用
1、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 2:3:1
2、已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( A )
A ．1∶2∶3
B ．2∶3∶1
C ．1：3：2
D ．3：1：2 3、在△ABC 中，周长为，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①
6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其中成立的个数是 ( C )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4、在△ABC 中，已知边10c =,
cos 4
cos 3
A b
B a ==，求边a 、b 的长。 解：由cos cos A b B a =，sinB sinA b a =,可得 cos sin cos sin A B
B A
=， 变形为sinAcosA=sinBcosB ，∴sin2A=sin2B,
又∵a ≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=2
π
. ∴△ABC 为直角三角形.
由a2+b2=102和4
3
b a =，解得a=6, b=8。
5、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
(
)
C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________。
6、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （1）求B 的大小；
（2）求cos sin A C +的取值范围．
专题：求取值范围
1、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( C) A ．2>x
B ．2 C ．33 42< D ． 33 42≤ A ．51< B ．135< C ．50< D ．513< 3、在锐角ABC ?中，1,2,BC B A ==则cos AC A 的值等于 ，AC 的取值范围为 . 2)3,2( 答案?：设,2.A B θθ∠=?=由正弦定理得 ,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC θθθθ =∴=?= 由锐角ABC ?得0290045θθ< 又01803903060θθ<- << ，所以 余弦定理 专题：公式应用 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ C ） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在三角形ABC 中，537AB AC BC ===，，，则BAC ∠的大小为（ ） A ．23π B ．56 π C ．34 π D ． 3 π 3、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( B ) A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 4、在△ABC 中，===B c a ,2,33150°，则b ＝ 7 5、在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A. 090 B. 060 C. 0120 D. 0150 6、在△ABC 中，三边长分别为3,5,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为（ D ） A ．38 B ．37 C ．36 D ．35 7、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（C ） A ． 3 π B ．6 π C ． 3 2π D ． 3 π或 3 2π 8、在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。 53c << 9、设a 、b 、c 是ABC ?的三边长，对任意实数x ， 222222()()f x b x b c a x c =++-+有（ B ） A.()0f x = B.()0f x > C.()0f x ≥ D.()0f x < 9、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根，则三角形的另一边长为（ B ） A ．52 B ．213 C ．16 D ．4 10、在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线2 7 = AD ，那么BC= 9 11、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B （ D ） A ．B>60° B ．B ≥60° C ．B<60° D ．B ≤60° (sinA-sinC)2-4（sinB-sinA)(sinC-sinB) =sin2A-2sinAsinC+sin2C-4(sinBsinC-sinAsinC-sin2B+sinAsinB) =(sinA+sinC)2-4sinB(sinA+sinC)+4sin2B=(sinA+sinC-2sinB)2 专题：判断三角形 1、若tan tan 1A B ，则△ABC （ A ） A. 一定是锐角三角形 B. 可能是钝角三角形 C. 一定是等腰三角形 D. 可能是直角三角形 2、 在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ C ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3、△ABC 中，60B =，2b ac =，则△ABC 一定是 （ D ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ A ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 由增加的长度决定 5、△ABC 中， cos cos cos a b c A B C ==，则△ABC 一定是 （ D ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 6、在△ABC 中，若c C b B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（ B ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为30°的等腰三角形 D ．等边三角形 7、 若ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos cos a A b B =，则（ ） A ．ABC △为等腰三角形 B ．AB C △为直角三角形 C ．ABC △为等腰直角三角形 D ．ABC △为等腰三角形或直角三角形 8、ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，根据下列条件判断三角形形状： 2222(1).()()3sin 2sin cos _______(2).()sin()()sin()_______.a b c b c a bc A B C ABC a b A B a b A B ABC +++-==+-=-+，且，则△是； ，则△是 9、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ B ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 10、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( B ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 11、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（D ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 12在ABC ?中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，若C b a cos 2=，则此三角形一定是（ C ） A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 13、在△ABC 中，若22 tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ B ） A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 不能确定 D. 等腰三角形 14、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ B ） A ．()10,8 B ． ( )10,8 C ． ( ) 10,8 D ．() 8,10 15、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 钝角 16、在△ABC 中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R = 。 所以由2sin sin sin A B C =可得：2( )222a b c R R R =?，即：2a bc =。 又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。 17、已知ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1),m =- 2 (cos ,cos 2)2A n A =，且72 m n ?= . （1）求角A 的大小； （2）若a =b c ?取得最大值时ABC ?的形状. 9.解：（1）由2 (4,1),(cos ,cos 2)2A m n A =-= 24cos cos 22A m n A ?=- 21cos 4(2cos 1)2 A A +=?-- 22cos 2cos 3A A =-++ 又因为77 ,2cos 322m n A A ?=++=2所以-2cos 解得1cos 2A =分 0,3 A A π π<<∴= （Ⅱ）在2222cos ,ABC a b c bc A a ?=+-=中，且 222122 b c bc ∴=+-? 22b c bc =+-． 22 2,32b c bc bc bc +≥∴≥-， 即3,bc ≤当且仅当b c b c ==?取得最大值, 又由（Ⅰ）知,,33 A B C π π = ∴== 所以，ABC ?为正三角形 18、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b2=ac ； ①由余弦定理 ac ac c a ac b c a ac b c a =-+?=-+?-+=?222222222 1 2260cos 0)(2=-∴c a ， c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②b2tanA=a2tanB ；②由A A b B a A b cos sin tan tan 22 2?= ,2sin 2sin ,cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin 2 2222B A B B A A A B a b B A A B B B a =∴=∴==?=∴A=B 或A+B=90°，∴△AB C 为等腰△或Rt △. ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++③B A B A C cos cos sin sin sin ++= ，由正弦定理： ,)cos (cos b a B A c +=+再由余弦定理：b a ac b c a c bc c b a c +=-+?+-+?222 22222 ??∴+=∴=--+∴Rt ABC b a c b a c b a 为,,0))((222222. ④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A －B).④由条件变形为2 22 2)sin()sin(b a b a B A B A +-=+- ?=+=∴=∴=?=--+-++∴90,2sin 2sin sin sin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2222B A B A B A B A B A B A b a B A B A B A B A 或. ∴△ABC 是等腰△或Rt △. 专题： 1、在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 。1 4- 2、在ABC ?中，已知4:5:6sin :sin :sin =C B A ，则cosA =___________18 3、在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是 120 4、在△ABC 中，10=+b a ，cosC 是方程02322=--x x 的一个根，求△ABC 周长的最小值。 解：02322=--x x 2 1 ,221- ==∴x x 又C cos 是方程02322=--x x 的一个根 21cos -=∴C 由余弦定理可得：()ab b a ab b a c -+=??? ??-?-+=22 22212 则：()()755101002 2+-=--=a a a c 当5=a 时，c 最小且3575==c 此时 3510+=++c b a ∴△ABC 周长的最小值为3510+ 5、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2A = ，3AB AC ?=． （I ）求ABC ?的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值． 解 （1）因为25cos 25 A = ，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ?= 得cos 3,bc A =5bc ∴=，1 sin 22 ABC S bc A ?∴== （2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得 2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴= 专题：已知面积 1、已知△ABC 的面积为 2 3 ，且3,2==c b ，则∠A 等于 （ D ） A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 2、在ABC △中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边72 c =，且 60 C ? =，又ABC △33 ，则a b +=____________112 3、已知△ABC 中，AB a =，AC b =，0a b ?<，15 4 ABC S ?= ，3,5a b ==，则（ ） A. 30 B ．150- C ．0150 D ． 30或0150 4、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ C ） A ． 5 B ．6 C ．7 D ．8 5、在ΔABC 中，若S ΔABC= 41 (a2+b2－c2),那么角∠C=______.4 π 6、在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且 ()1cos 2=+B A 。求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度。 解：（1）()[]()2 1 cos cos cos -=+-=+-=B A B A C π ∴C ＝120° （2）由题设： ?? ?=+=3 22 b a ab ?-+=?-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB ()() 102322 2 2 2 =-=-+=++=ab b a ab b a 10=∴AB 7、在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=， 且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b 解法一：在ABC ?中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理 有:222222 3,22a b c b c a a c ab bc +-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知 222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍） . 解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠. 所以2cos 2b c A =+ ① 又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+= sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C = 由正弦定理得sin sin b B C c =，故4cos b c A = ② 由①，②解得4b =. 专题：求三角形面积 1、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ B ） A ． 2 3 B ． 4 3 C ． 23或3 D ．4 3 或 2 3 A C B 0150 30米 20米 2、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ B ） A ． 14 B ．142 C ．15 D ．152 3、三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 。4、在△ABC 中，10sin =a °，50sin =b °，∠C ＝70°，那么△ABC 的面积为（ C ） A ． 64 1 B ． 32 1 C ． 16 1 D ．8 1 5、 △ABC 中，8b = ，c = ，ABC S =A ∠等于 （ C ） A 30 B 60 C 30或150 D 60或 120 6、在?ABC 中，sin()1C A -=, sinB=1 3 .（I ）求sinA 的值； (II)设 ，求 ?ABC 的面积. 7、A 、B 、C 为ABC ?的三内角，对边分别为a 、b 、c ，若2 1sin sin cos cos =-C B C B ． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若4,32=+=c b a ，求ABC ?的面积． 解：（Ⅰ）2 1sin sin cos cos =-C B C B 2 1 )cos(= +∴C B 又π<+ 2π = ∴A （Ⅱ）由余弦定理A bc c b a cos 2222?-+=得 3 2cos 22)()32(22π ?--+=bc bc c b 即：)21(221612-?--=bc bc ，4=∴bc ∴323 421sin 21=??=?=?A bc S ABC 8、在锐角三角形中，边a 、b 是方程x2－2 3 x+2=0的两根，角A 、B 满足：2sin(A+B)－ 3 =0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积。 解：由2sin(A+B)－ 3 =0，得sin(A+B)=3 2 , ∵△ABC 为锐角三角形 ∴A+B=120°, C=60°, 又∵a 、b 是方程x2－2 3 x+2=0的两根，∴a+b=2 3 , ∴c= 6 , 1 sin 2 ABC S ab C ==12 ×2×32 =32 。 a ·b=2, ∴c2=a2+b2－2a ·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6, ∴c= 6 , 1 sin 2 ABC S ab C ==12 ×2×32 =32 。 9、已知△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，其中2=c ，又向量m )cos ,1(C =，n )1,cos (C =，m·n=1． （1）若45A =?，求a 的值； （2）若4=+b a ，求△ABC 的面积． 解：（1）∵mn 1cos 2cos cos ==+=C C C ∴2 1 cos = C 0180C ?< 2sin 45sin60a =??， ∴36 23 22==a ， （2）∵2=c ，60C ∠=?， 222cos604a b ab ∴+-?=，∴422=-+ab b a ， 又∵4=+b a ，∴16222=++ab b a ，∴4=ab ， ∴3sin 2 1 ==?C ab S ABC ． 10、在ABC ?中，5 4 sin ,135cos =- =B A . （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）设15=BC ，求ABC ?的面积． 10.解：（Ⅰ）由54sin ,135cos =- =B A ，得5 3 cos ,1312sin ==B A ．----2分 ∵π=++C B A ，∴)cos()](cos[cos B A B A C +-=+-=π-----4分 65 63 )sin sin cos (cos = --=B A B A ．-----6分 （Ⅱ）由6563cos = C ，得65 13 sin =C ，------8分 由正弦定理得13sin sin =?= A B BC AC ．-----10分 所以ABC ?的面积1sin 2S BC AC C =???246516 131521=???=．----12分 11、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25 cos 25 A = ，3AB AC ?=． （I ）求ABC ?的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 解（Ⅰ）5 3 1)552(212cos 2cos 22 =-?=-=A A 又),0(π∈A ，54cos 1sin 2 = -=A A ，而35 3 cos ...===bc A AC AB AC AB ，所以5=bc ，所以ABC ?的面积为：25 4 521sin 21=??=A bc （Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 222=?-+=-+=A bc c b a 定理应用 1、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ） A. 3 400 米 B. 3 3 400米 C. 2003米 D. 200米 2 、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( C ) 海里? 海里 C. 56 海里? 3 海里 3、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化 环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ D ） A ． 450a 元 B ．225a 元 C ． 150a 元 D ． 300a 元 4、甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ A ） A ． 7 150 分钟 B ． 7 15 分钟 C ．分钟 D ．分钟 5、飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（ A ） A ． 5000米 B ．50002 米 C ．4000米 D ．24000 米 6、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于 （ A ） A ．)sin(sin sin αββα-a B ．) cos(sin sin βαβα-?a C ． )sin(cos sin αββα-a D ．) cos(sin cos βαβ α-a 7、在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球（如图所示） 解： 设游击手能接着球，接球点为B ，而游击手从点A 跑出，本垒为O 点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t ，球速为v ，则∠AOB ＝15°，OB ＝vt ，4 v AB t ≤?。 A B D C α β 在△AOB 中，由正弦定理，得 sin sin15 OB AB OAB =∠， ∴62 sin sin1562/44 OB vt OAB AB vt ∠= ≥?=而2(62)84384 1.741=->-?>，即sin ∠OAB>1,∴这样的∠OAB 不存在，因此，游击手不能接着球. 一、正弦定理 1、在ABC ?中： 2R sinC c sinB b sinA a ===（R 为△ABC 的外接圆半径） 。它的变式有：①a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ；②； ，R c C R B R a A 2sin 2b sin 2sin ===③a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC 。 推论1：△ABC 的面积为：S △ABC =21absinC=21bcsinA=2 1 casinB （证明：由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC = C ab sin 2 1 ） 。 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a 。(证明：因为B+C=π－A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a)；还有两个式子为：acosC+ccosA=b ，bcosA+acosB=c 。 2、利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 ①已知两角和任意一边，求其他两边和一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 例1 △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a=2，?=45B ，分别求出下 式中角A 的值。①b= 2 1 ；②b=1；③b=332；④b=2；⑤b=2。【答①无解；②A=?90；③A=??12060或； ④A=?45；⑤A=?30。】 例2 在△ABC 中，已知AB=1，?=50C ，当B= 时，BC 的长取最大值。【答：?40】 3、推导并记住：42675cos 15sin -= = ，4 2 615cos 75sin +== 。 例3 在锐角△ABC 中，若C=2B ，则 b c 的范围是（ ） A 、（0，2） B 、)2,2( C 、)3,2( D 、)3,1( 【答：C 】 例4 在△ABC 中，c=3，C=?60，求a+b 的最大值。 【答：23】 例5 在等腰△ABC 中，已知 2 1 sinB sinA =，BC=3，则△ABC 的周长为 。 【答：15】 4、角平分线定理：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD = 。 例6 已知△ABC 的三条边分别是3、4、6，则它较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比为（ ） A 、1:1 B 、1:2 C 、1:4 D 、3:4 【答：B 】 练习1 △ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。若x a =,2=b ,?=45B ,且此三角形有两解，则x 的取值范围为 ( ) A 、)22,2( B 、22 C 、),2(+∞ D 、]22,2( 【答：A 】 解三角形 【高考会这样考】 1．考查正、余弦定理的推导过程． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题． 基础梳理 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变 形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos_A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos_B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos_C ．余弦定 理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3．面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接 圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长， 2 c b a p ++= 为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△AB C 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1 sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足 ) sin(sin a b a a -= θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义， BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1 ；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =， 所以) sin() sin(sin sin A a A a --= θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1 -[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2 -2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2 +pb 2 =(p+q)AD 2 +pq(p+q)，即AD 2 =.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+= （2）海伦公式：因为412 =? ABC S b 2c 2 sin 2 A=4 1b 2c 2 (1-cos 2 A)= 4 1 b 2 c 2 16 14)(12 22222=??????-+-c b a c b [(b+c)2-a 2 ][a 2 -(b-c) 2 ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里 .2 c b a p ++= 所以S △ABC =).)()((c p b p a p p --- 二、方法与例题 解三角形讲义(提高版) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 必修5 第一章 解三角形 1、正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin .a b c A B C ?= 用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。 2、余弦定理： ??????-+=?-+=?-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222????? ?????-+=-+=-+=ab c b a C a c b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222 22 用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素； ⑵已知三角形三边，求其它元素。 3、三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===? 4、三角形内角和定理： ()A B C C A B ππ++=?=-+ 基础巩固: 1. 在ABC ?中，3,5==b a ，则sinA ：sinB=_____________. 2. 在ABC ?中，0060,75,3===B A c ,则b=_____________. 3. 在ABC ?中，若A b a sin 23=，则B=___________. 5. 在ABC ?中，060,22,2===C b a ,则c=__________ ,A=____________. 6. 在ABC ?中，5,3,7===c b a ,则最大角为____________. 7. 在ABC ?中,若ab c b a =-+222，则cosC=_____________. 8. 在ABC ?中，sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，那么cos C ＝_________. 9.在ABC ?中，060=A ，AB=2，且ABC ?的面积为23，则BC=_____________. 10.在ABC ?中,已知2,32,1200===AC AB A 则ABC ?的面积为__________. 能力提升: 例1 在ABC ?中，若bcosA=acosB,试判断ABC ?的形状. 解三角形（讲义） ?知识点睛 1.解三角形 （1）在三角形中，由已知的边、角出发，求未知边、角的过程叫做解三角形．已知边指已知该边的长度，已知角指已知该角的三角函数值．解三角形时，往往会通过作高的方式将三角形分割为2个直角三角形进行研究；作高时，一般要保留已知三角函数值的角． （2）常见的可解三角形 ①2边1角 ②2角1边 ③3边 ④1边1角表达 AB=mACAB+BC=n ?精讲精练 1.如图，在△ABC中，AB=BC=11，tan B=1 2 ，则AC=________， sin C=________． 2.如图，在△ABC中，AC=ABC=150°，BC=8，则AB=______，sin A=________． 3.如图，在钝角三角形ABC中，∠CAB＞90°，AB=10，BC=14，∠C=45°，则 AC=_______． 4.如图，在△ABC中，tan B=1 2 ，∠C=45°，BC=12，则AB=_________． 5.如图，在△ABC中，tan A=1 2 ，∠ABC=135°，BC=AB=___________． 6.如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=6，则∠B的正切值为_________． 7.如图，在△ABC中，BC∠C=45°，AB AC，则AC的长为_________． 8.如图，在矩形ABCD中，AB=4，E为CD边上一点，将△BCE沿BE 折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF=1 2 ，则CE=_______． 9. 如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到 △BDC′，DC′与AB 交于点E ，连接AC′，若AD =AC′=2，BD =3，则点D 到BC′的距离为（） A ． 2 B ．7 C D 10. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA =CB ，CE =CD ，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE ，AD ，则两个三角形重叠部分的面积为________． 第10题图第11题图 11. 如图，在△ABC 中，∠BAC =30°，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE = 12 ∠BAC ，CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ．若BC =2，则EF 的长为________． 12. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =23，点E ，点D 分别是边AB ，AC 上一 点，AE =3，AD =4，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 于点F ．若EF =2ED ，则AC 的长为__________． 13. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =BC △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′，连接B′C ，则sin ∠ACB′=________． 正余弦定理知识要点: 1、正弦定理：或变形: 2、余弦定理：或 3、解斜三角形的常规思维方法是： （1 ）已知两角和一边（如A、B C）,由A+B+C = n求C,由正弦定理求a、b； （2）已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = n求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = n求角C。 4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式? 5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S = 1/2 * absinC 7、三角学中的射影定理：在△ ABC中，，… &两内角与其正弦值：在△ ABC中,,… 【例题】在锐角三角形ABC中，有（B ） A. cosA>sinB 且cosB>sinA B. cosA 正余弦定理知识要点： 1、正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2、余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??+-?=???+-=?? . 3、解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A+B+C = π求C ，由正弦定理求a 、b ； （2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A+B+C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求角C 。 4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C ，则S ＝1/2 * absinC 7、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ?+?=，… 8、两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin 解三角形复习 【知识梳理】 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 3.解决以下两类问题： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =；（唯一解） ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 (一解或两解) 4、三角形面积公式：111sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 5．余弦定理： 形式一：A cos bc 2c b a 222?-+=，B cos ac 2c a b 222?-+=，C cos ab 2b a c 222?-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab 2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换） 6.解决以下两类问题： 1）、已知三边，求三个角；（唯一解） 2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解） 解三角形完整讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 正余弦定理知识要点： 1、正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2、余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-? = ?? ?+-= ?? . 3、解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A+B+C = π求C ，由正弦定理求a 、b ； （2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由 A+B+C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求角C 。 4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C ，则S ＝1/2 * absinC 7、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ?+?=，… 8、两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin sinB 且cosB>sinA B ．cosA 相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段 的比是a ：b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 正余弦定理、解三角形综合讲义 一、考试要求： 了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 二、知识梳理： 考点1 正弦定理 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正 弦定理可以变形为： (1)a ∶b ∶c ＝ (2)a ＝ ，b ＝ ，c ＝ (3)sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin C ＝ 考点2 余弦定理 在ABC ?中a 2＝ ， b 2＝ ， c 2＝ ． 余弦定理可以变形为：cos A ＝ ， cos B ＝ ， cos C ＝ . 考点3 内角和定理 面积公式: ．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 在三角形中大边对大角，反之亦然. 1．(广州调研)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知 a ＝2， b ＝3，则sin A sin A ＋C ＝( ) A.23 B.32 C ．－23 D ．－32 2．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝( ) A ．－725 B.725 C ．－2425 D.2425 3．(全国)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ， 则sin A cos A ＋cos 2B ＝( ) A ．－12 B.12 C ．－1 D ．1 4．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，并且B 为锐角，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝5，CA ＝7，则AB →〃BC →＝( ) A ．－152 B.152 C ．－15 32 D.15 32 6．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________. 7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为______． 8．在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B ＝________. 1．(广州海珠调研)已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，A ＝π3.a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝(cos B ，sin B )，n ＝(cos C ，－sin C )． (1)求m 〃n 的大小； (2)若a ＝2，cos B ＝33 ，求b 的长． 2．(2011年广东深圳调研)已知向量a ＝? ????－1，sin α2与向量b ＝? ????45 ，2cos α2 1 人教版数学必修五 第一章解三角形重难点解析 【重点】 1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。 2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。 4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。 5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。 6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。 【难点】 1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。 4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。 5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。 【要点内容】 一、正弦定理： 在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 A a sin = B b sin = C c sin =2R （R为△ABC外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA= c a ，sinB= c b ， sinC=1 即c= A a sin ， c= B b sin ， c= C c sin ． ∴ A a sin = B b sin = C c sin 2．斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中 S△ABC=A bc B ac C ab sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = 两边同除以abc 2 1 即得： A a sin = B b sin = C c sin a b c O B C A D 解三角形 一、基本量求解 （1）正弦定理 （2）余弦定理 2016全国1文总计12 4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（） A．B．C．2D．3 2013全国1文总计12 10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（） A．10B．9C．8D．5 （3）综合 2017全国3文总计5 15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=． 2016全国2文总计12 15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=． 2015全国1理总计12 16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是． 二、关系式化简 （1）三角恒等变形 2017全国1文总计12 11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC ﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（） A．B．C．D． （2）因式分解 （3）边化角 2017全国2文总计12 16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=． （4）角化边 三、判断形状 四、面积 2013全国2文总计5 4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（） A．2+2B．C．2﹣2D．﹣1 2014全国2理总计5 4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1 2016全国3理总计5 8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）A．B．C．﹣D．﹣ 2016全国3文总计5 9．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（） 【考题回放】 1．设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的（ ） （A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 2．在ABC ?中，已知C B A sin 2tan =+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =?B A ② 2sin sin 0≤ + 解 三 角 形 正弦定理 要点1 正弦定理 在一个三角形中，各边和所对角的正弦值的比相等，即a sinA ＝b sinB ＝c sinC . 要点2 解三角形 三角形的三个角A ，B ，C 和三条边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形. 正弦定理可以解决的问题 1.已知两角及一边解三角形，只有一解. 2.已知两边及一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解. 方法1:计算法. 方法2：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解． 在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下： 要点3 正弦定理的变式 C B A c b a sin :sin :sin ::)1(=R A a C B A c b a C A c a C B c b B A b a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ) 2(==++++=++=++=++ A c C a B c C b A b B a sin sin ;sin sin ;sin sin )3(=== B C b A C a c A B a C B c b C A c B A b a sin sin sin sin ;sin sin sin sin ;sin sin sin sin )4(====== （边化角）C R c B R b A R a sin 2;sin 2;sin 2)5(=== 要点5 常用结论 1．A ＋B ＋C ＝π. 2．在三角形中大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ； sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2 . 5．∠A >∠B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A 解三角形题型总结 ABC ?中的常见结论和定理： 一、 内角和定理及诱导公式： 1．因为A B C π++=， 所以sin()sin ,cos()cos , tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++= 所以sin cos 22A B C +=，cos sin 22 A B C +=，………… 2．大边对大角 3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 四、面积公式： （1）12a S ah = （2）1()2 S r a b c =++（其中r 为三角形内切圆半径） （3）111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 五、 常见三角形的基本类型及解法： （1）已知两角和一边（如已知,,A B 边c ） 解法：根据内角和求出角)(B A C +-=π； 根据正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b （2）已知两边和夹角（如已知C b a ,,） 解法：根据余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-求出边c ； 根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据内角和定理求角)(C A B +-=π. （3）已知三边（如：c b a ,,） 解法：根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据余弦定理的变形ac b c a B 2cos 2 22-+=求角B ； 根据内角和定理求角)(B A C +-=π （4）已知两边和其中一边对角（如：A b a ,,）（注意讨论解的情况） 解法1：若只求第三边，用余弦定理：222 2cos c a b ab C =+-； 解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===求B （可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）； 再根据内角和定理求角)(B A C +-=π；. 先看一道例题： 例：在ABC ?中，已知0 30,32,6===B c b ，求角C 。（答案：045=C 或0135） 中考数学解三角形（讲义） ? 知识点睛 1. 解三角形 （1） 在三角形中，由已知的边、角出发，求未知边、角的过 程叫做解三角形．已知边指已知该边的长度，已知角指已知该角的三角函数值．解三角形时，往往会通过作高的方式将三角形分割为 2 个直角三角形进行研究；作高时，一般要保留已知三角函数值的角． （2） 常见的可解三角形 ①2 边 1 角 ②2 角 1 边 ③3 边 ④1 边 1 角表达 AB =mAC AB +BC = n 研究题目背景时，既要研究边，又要研究角． 在直角三角形中研究边，来判断直角三角形两锐角的三角函数值是否已知；研究角度，来转移计算，判断背景中是否有其他特殊角，比如由三角形中 60°，75°可以 计算出第 3 个角为 45°． ? 精讲精练 1.如图，在△ABC 中，AB= 4 ，BC=11，tan B= 1 ，则 2 AC= ，sin C= ． 2.如图，在△ABC 中，AC= 2 AB= ，sin A= ． ，∠ABC=150°，BC=8，则 3.如图，在钝角三角形ABC 中，∠CAB＞90°，AB=10，BC=14， ∠C=45°，则AC= ． 4. 如图，在△ABC 中，tan B= 1 ，∠C=45°，BC=12，则 2 AB= ． 5 31 2 5.如图，在△ABC 中，tan A= 1 ，∠ABC=135°，BC= 2 ，则 2 AB= ． 6.如图，在△ABC 中，AB=5，BC=4，AC=6，则∠B 的正切值 为． 7.如图，在△ABC 中，BC= 则AC 的长为． 2 ，∠C=45°，AB= AC， 8.如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE⊥BD，垂足为E， 连接CE．若∠ADB=30°，则tan∠DEC 的值为． 6 2 必修5 第一章 解三角形 1、正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin .a b c A B C ?= 用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。 2、余弦定理： ??????-+=?-+=?-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222????? ?????-+=-+=-+=ab c b a C a c b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222 22 用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素； ⑵已知三角形三边，求其它元素。 3、三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===? 4、三角形内角和定理： ()A B C C A B ππ++=?=-+ 基础巩固: 1. 在ABC ?中，3,5==b a ，则sinA ：sinB=_____________. 2. 在ABC ?中，0060,75,3===B A c ,则b=_____________. 3. 在ABC ?中，若A b a sin 23=，则B=___________. 5. 在ABC ?中，060,22,2===C b a ,则c=__________ ,A=____________. 6. 在ABC ?中，5,3,7===c b a ,则最大角为____________. 7. 在ABC ?中,若ab c b a =-+222，则cosC=_____________. 8. 在ABC ?中，sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，那么cos C ＝_________. 9.在ABC ?中，060=A ，AB=2，且ABC ?的面积为 2 3，则BC=_____________. 10.在ABC ?中,已知2,32,1200===AC AB A 则ABC ?的面积为__________. 能力提升: 例1 在ABC ?中，若bcosA=acosB,试判断ABC ?的形状. 变式训练： 设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,判断△ABC 的形状. 例2 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 必修5解三角形复习讲义(总 6页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 解三角形复习 【知识梳理】 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 3.解决以下两类问题： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B = ；（唯一解） ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 (一解或两解) 4、三角形面积公式：111sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 5．余弦定理： 形式一：A cos bc 2c b a 222?-+=，B cos ac 2c a b 222?-+=，C cos ab 2b a c 222?-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab 2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换） 6.解决以下两类问题： 1）、已知三边，求三个角；（唯一解） 2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）解三角形讲义
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