专题训练角的计算
类型1利用角度的和、差关系
找出待求的角与已知角的和、差关系，根据角度和、差来计算．
1．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD的度数．
解：因为∠AOC＝75°，∠BOC＝30°，
所以∠AO B＝∠AOC－∠BOC＝75°－30°＝45°.
又因为∠BOD＝75°，
所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝45°＋75°＝120°.
2．将一副三角板的两个顶点重叠放在一起．(两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°)
(1)如图1所示，在此种情形下，当∠DAC＝4∠BAD时，求∠CAE的度数；
(2)如图2所示，在此种情形下，当∠ACE＝3∠BCD时，求∠ACD的度数．
解：(1)因为∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＝4∠B AD，
所以5∠BAD＝90°，即∠BAD＝18°.
所以∠DAC＝4×18°＝72°.
因为∠DAE＝90°，
所以∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝18°.
(2)因为∠BCE＝∠DCE－∠BCD＝60°－∠BCD，∠ACE＝3∠BCD，
所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝3∠BCD＋60°－∠BCD＝90°.
解得∠BCD＝15°.
所以∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋15°＝105°.
类型2利用角平分线的性质
角的平分线将角分成两个相等的角，利用角平分线的这个性质，再结合角的和、差关系进行计算．3．如图，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，求∠COB的度数．
解：因为∠EOD＝28°46′，OD 平分∠COE，
所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′.
又因为∠AOB＝40°，
所以∠COB＝180°－∠AOB－∠COE＝180°－40°－57°32′＝82°28′.
4．已知∠AOB＝40°，OD 是∠BOC 的平分线．
(1)如图1，当∠AOB 与∠BOC 互补时，求∠COD 的度数；
(2)如图2，当∠AOB 与∠BOC 互余时，求∠COD 的度数．
解：(1)因为∠AOB 与∠BOC 互补， 所以∠AOB＋∠BOC ＝180°.
又因为∠AOB＝40°，
所以∠BOC＝180°－40°＝140°.
因为OD 是∠BOC 的平分线，
所以∠COD＝12
∠BOC＝70°. (2)因为∠AOB 与∠BOC 互余，
所以∠AOB＋∠BOC＝90°.
又因为∠AOB＝40°，
所以∠BOC＝90°－40°＝50°.
因为OD 是∠BOC 的平分线，
所以∠COD＝12
∠BOC＝25°.
类型3 利用方程思想求解
在解决有关余角、补角，角的比例关系或倍分关系问题时，常利用方程思想来求解，即通过设未知数，建立方程，通过解方程使问题得以解决．
5．一个角的余角比它的补角的23
还少40°，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为x °，根据题意，得
90－x ＝23
(180－x)－40. 解得x ＝30.
所以这个角的度数是30°.
6．如图，已知∠AOE 是平角，∠DOE ＝20°，OB 平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC 的度数．
解：设∠COD＝2x °，则∠BOC＝3x °.
因为OB 平分∠A OC ，
所以∠AOB＝3x °.
所以2x ＋3x ＋3x ＋20＝180.
解得x ＝20.
所以∠BOC＝3×20°＝60°.
7．如图，已知∠AOB＝12
∠BOC，∠COD ＝∠AOD＝3∠AOB ，求∠AOB 和∠COD 的度数．
解：设∠AOB＝x °，则∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x °.
因为∠AOB＝12
∠BOC， 所以∠BOC＝2x °.
所以3x ＋3x ＋2x ＋x ＝360.
解得x ＝40.
所以∠AOB＝40°，∠COD ＝120°.
类型4 利用分类讨论思想求解
在角度计算中，如果题目中无图，或补全图形时，常需分类讨论，确保答案的完整性．
8．已知∠AOB＝75°，∠AOC ＝23
∠AOB，OD 平分∠AOC，求∠BOD 的大小． 解：因为∠AOB＝75°，∠AOC ＝23
∠AOB， 所以∠AOC＝23
×75°＝50°. 因为O D 平分∠AOC，
所以∠AOD＝∠COD＝25°.
如图1，∠BOD ＝75°＋25°＝100°；
如图2，∠BOD ＝75°－25°＝50°.
9．已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线．
(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC 的度数； (2)在(1)的条件下，∠EOC ＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE 的度数； (3)当∠AOB＝α时，∠EOC ＝90°，直接写出∠AOE 的度数．(用含α的代数式表示)
解：(1)因为OC 是∠AOB 的平分线，
所以∠AOC＝12
∠AOB. 因为∠AOB＝60°，
所以∠AOC＝30°.
(2)如图1，∠AOE ＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°；
如图2，∠AOE ＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°.
(3)90°＋α2 或90°－α2
.
专题训练 整式的加减运算 计算：
(1)(钦南期末)a 2b ＋3ab 2－a 2b ；
解：原式＝3ab 2.
(2)2(a －1)－(2a －3)＋3；
解：原式＝4.
(3)2(2a 2＋9b)＋3(－5a 2－4b)；
解：原式＝－11a 2＋6b.
(4)3(x 3＋2x 2－1)－(3x 3＋4x 2－2)；
解：原式＝2x 2－1.
(5)(钦南期末)(2x 2－12＋3x)－4(x －x 2＋12
)； 解：原式＝2x 2－12
＋3x －4x ＋4x 2－2 ＝6x 2－x －52
.
(6)3(x 2－x 2y －2x 2y 2)－2(－x 2＋2x 2y －3)；
解：原式＝3x2－3x2y－6x2y2＋2x2－4x2y＋6
＝5x2－7x2y－6x2y2＋6.
(7)－(2x2＋3xy－1)＋(3x2－3xy＋x－3)；
解：原式＝－2x2－3xy＋1＋3x2－3xy＋x－3
＝x2－6xy＋x－2.
(8)(4ab－b2)－2(a2＋2ab－b2)；
解：原式＝4ab－b2－2a2－4ab＋2b2
＝－2a2＋b2.
(9)－3(2x2－xy)＋4(x2＋xy－6)；
解：原式＝－6x2＋3xy＋4x2＋4xy－24
＝－2x2＋7xy－24.
(10)(钦州期中)2a2－[－5ab＋(ab－a2)]－2ab. 解：原式＝2a2＋5ab－ab＋a2－2ab
＝3a2＋2ab.