高中数学第1章三角函数1.2.2同角三角函数关系讲义苏教版必
修4
1.2.2
同角三角函数关系
学习目标核心素养(教师独具)
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝
1，tan α＝
sin α
cos α
.(重点)
2.能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重
点、难点)
通过学习本节内容提升学生的数学
运算和逻辑推理核心素养.
同角三角函数的基本关系
1．平方关系：sin2α＋cos2_α＝1.
2．商数关系：tan α＝
sin α
cos α?
????
α≠kπ＋
π
2
，k∈Z.
思考：sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？
[提示]不一定．
1．思考辨析
(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．( )
(2)对任意角α，
sin
α
2
cos
α
2
＝tan
α
2
都成立．( )
(3)若sin α＝
1
2
，则cos α＝
3
2
.( )
[解析](1)√.符合同角三角函数的关系．
(2)×.等式
sin
α
2
cos
α
2
＝tan
α
2
的条件是
??
?
??cos α2≠0，
α
2
≠
π
2
＋kπ，k∈Z，
即α≠π＋2kπ，k∈Z.
(3)×.因为α的范围不明确，故cos α＝±1－sin 2
α＝±32
. [答案] (1)√ (2)× (3)×
2．已知α是第二象限角，且cos α＝－1
3，则tan α＝________.
－22 [∵α是第二象限角，∴sin α＞0. 又sin 2
α＋cos 2
α＝1，∴sin α＝1－cos 2
α＝1－? ??
??－132＝
223，
∴tan α＝sin α
cos α
＝－2 2.]
3．已知tan α＝2，则cos α－5sin α
3cos α＋sin α＝________.
－9
5 [由tan α＝2知cos α≠0， 所以cos α－5sin α3cos α＋sin α＝1－5tan α3＋tan α＝－95
.]
利用同角基本关系式求值
【例1】 (1)已知sin α＝－3
5，求cos α，tan α的值；
(2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos 2
α的值． 思路点拨：(1)
sin α＝－
3
5
―――――――→
sin 2
α＋cos 2α＝1求cos 2
α
――――――→
讨论α所在的
象限
求cos α，tan α
(2)先由已知条件求出tan α，再将式子化成关于tan α的形式，代入求解，也可直接代入，利用平方关系化简．
[解] (1)因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．
由sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝1－sin 2
α＝1－? ????－352＝1625
.
如果α是第三象限角，那么cos α＜0. 于是cos α＝－
1625＝－45
，
从而tan α＝sin αcos α＝? ????－35×? ????－54＝3
4
.
如果α是第四象限角，那么cos α＝45，tan α＝－3
4.
(2)法一：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.
所以2sin αcos α－cos 2
α＝2sin αcos α－cos 2
αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2
α＋1＝－4－1
4＋1
＝－1. 法二：由sin α＋2cos α＝0得2cos α＝－sin α，
所以2sin αcos α－cos 2
α＝－sin 2
α－cos 2
α＝－(sin 2
α＋cos 2
α)＝－1.
1．求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n 次，将分子、分母同除以cos α的n 次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin 2
α＋cos 2
α来代换，将分子、分母同除以cos 2
α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．
1．已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值． [解] 法一：∵tan α＝－2<0，
∴α为第二或第四象限角，且sin α＝－2cos α，① 又sin 2
α＋cos 2
α＝1，②
由①②消去sin α，得(－2cos α)2＋cos 2α＝1，即cos 2
α＝15；
当α为第二象限角时，cos α＝－
55，代入①得sin α＝255
；
当α为第四象限角时，cos α＝
55，代入①得sin α＝－255
. 法二：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角． 由tan α＝sin α
cos α
，
两边分别平方，得tan 2
α＝sin 2
α
cos 2α
，
又sin 2α＋cos 2
α＝1，
∴tan 2
α＋1＝sin 2
αcos 2α＋1＝sin 2
α＋cos 2
αcos 2α＝1
cos 2
α
， 即cos 2
α＝
1
1＋tan 2
α
. 当α为第二象限角时，cos α<0， ∴cos α＝－
1
1＋tan 2
α
＝－11＋(－2)2＝－
5
5
， ∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×? ??
??－55＝255. 当α为第四象限角时，cos α>0， ∴cos α＝
1
1＋tan 2
α
＝11＋(－2)2＝
5
5
， ∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×55＝－25
5
. 三角函数式的化简、求值
【例2】 (1)化简：1－2sin 130°cos 130°
sin 130°＋1－sin 2
130°； (2)若角α是第二象限角，化简：tan α
1
sin 2
α
－1. 思路点拨：(1)利用平方关系代换“1”―→ 构造完全平方――→开方化简求值 (2)切化弦―→化简求值 [解] (1)原式＝
sin 2
130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2
130°
sin 130°＋cos 2
130°
＝
|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°
sin 130°－cos 130°
＝1.
(2)原式＝tan α
1－sin 2
α
sin 2
α
＝tan αcos 2
αsin 2
α＝sin αcos α×|cos α|
|sin α|
，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝sin αcos α×|cos α||sin α|＝sin αcos α×－cos α
sin α＝－
1.
化简三角函数式的常用方法：
(1)切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简. (2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.
提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.
2．化简：(1)cos 36°－1－cos 2
36°
1－2sin 36°cos 36°；
(2)sin θ－cos θtan θ－1.
[解] (1)原式＝
cos 36°－sin 2
36°
sin 2
36°＋cos 2
36°－2sin 36°cos 36°
＝
cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)
2
＝
cos 36°－sin 36°
|cos 36°－sin 36°|
＝
cos 36°－sin 36°
cos 36°－sin 36°
＝1.
(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)
sin θ－cos θ
＝cos θ.
三角函数式的证明
【例3】 求证：1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2
x ＝1＋tan x
1－tan x
. 思路点拨：从左边利用“1＝sin 2
x ＋cos 2
x ”及平方差公式推右边便可． [解] ∵(sin x ＋cos x )2
＝1＋2sin x cos x ，
∴左边＝
(sin x＋cos x)2
(cos x＋sin x)(cos x－sin x)
＝sin x＋cos x cos x－sin x
＝
1＋tan x
1－tan x
＝右边．
在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用.
3．证明下列三角恒等式：
(1)
tan αsin α
tan α－sin α
＝
tan α＋sin α
tan αsin α
；
(2)
2sin αcos α
(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)
＝
1＋cos α
sin α
.
[证明](1)左边＝
sin α
cos α
·sin α
sin α
cos α
－sin α
＝
sin2α
sin α－sin αcos α
＝
1－cos2α
sin α(1－cos α)
＝
1＋cos α
sin α
.
右边＝
1
sin α
＋
1
tan α
＝
1
sin α
＋
cos α
sin α
＝
1＋cos α
sin α
.
∴左边＝右边，等式恒成立．
(2)左边＝
2sin αcos α
[sin α＋(cos α－1)][sin α－(cos α－1)]
＝
2sin αcos α
sin2α－(cos α－1)2
＝
2sin αcos α
sin2α－cos2α－1＋2cos α
＝
2sin αcos α
2cos α(1－cos α)
＝
sin α
1－cos α
＝
sin α(1＋cos α)
(1－cos α)(1＋cos α)
＝
sin α(1＋cos α)
sin2α
＝
1＋cos α
sin α
＝右边．
所以原等式成立．
“sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系
[探究问题]
1．已知sin α±cos α的值，能求sin αcos α的值吗？反之呢？ 提示：设sin α±cos α＝m ，则(sin α±cos α)2
＝m 2
， 即1±2sin αcos α＝m 2
，所以sin αcos α＝±
m 2－1
2
.
反之也可以，利用(sin α±cos α)2
＝1±2sin αcos α，开方便可．
2．已知sin α＋cos α的值，如何求sin α－cos α或cos α－sin α的值？ 提示：设sin α＋cos α＝t ，则1＋2sin αcos α＝t 2
， 从而2sin αcos α＝t 2
－1， ∴1－2sin αcos α＝2－t 2
， 从而(sin α－cos α)2
＝2－t 2，
对上式开方便可得出“sin α－cos α”或“cos α－sin α”的值．
已知sin α＋cos α＝1
5，且0＜α＜π.
求：(1)sin αcos α的值； (2)求sin α－cos α的值．
思路点拨：sin α＋cos α＝1
5――→平方求sin αcos α
――――――→构造完全平方差公式
求(sin α－cos α)2
―――――――→0＜α＜π
求sin α－cos α
[解] (1)∵sin α＋cos α＝1
5，
∴(sin α＋cos α)2
＝125，
∴1＋2sin αcos α＝1
25，
即sin αcos α＝－12
25
.
(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α
＝1＋2425＝4925
.
又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，
∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0， ∴sin α－cos α＝7
5
.
(变条件)若本例中变为“已知cos αsin α＝1
8”，那么cos α－sin α的值为多少？
[解] 因为cos αsin α＝1
8
，
所以cos α－sin α＝±sin 2
α－2sin αcos α＋cos 2
α ＝±
1－2×18＝±32
.
1．已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方便可．
2．已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cos θ的正负．
教师独具
1．本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及sin θ±cos θ与sin θcos
θ关系的应用．难点是三角函数式的化简与证明．
2．要掌握sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的转换 (1)(sin θ＋cos θ)2
＝1＋2sin θcos θ； (2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； (3)(sin θ＋cos θ)2
＋(sin θ－cos θ)2
＝2；
(4)(sin θ－cos θ)2
＝(sin θ＋cos θ)2
－4sin θcos θ. 3．要掌握同角三角函数基本关系式的三个应用 (1)利用同角三角函数的基本关系求值；
(2)sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用． (3)三角函数式的化简与证明的方法．
4．本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin α、cos α的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sin α、cos α漏解或多解的错误．
1．若sin α＝－5
13，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A.
512 B ．－512 C.125 D ．－125
B [sin α＝－5
13，且α为第四象限角，
故cos α＝12
13，
∴tan α＝－5
12
.]
2．已知tan α＝3? ????π<α<32π，则cos α－sin α等于________． 3－12 [由tan α＝3?
????π<α<3π2，
得??
?
sin 2α＋cos 2
α＝1，
sin α＝3cos α，
解得???
??
sin α＝－3
2，cos α＝－1
2
，
∴cos α－sin α＝
3－1
2
.] 3．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝________.
1 [∵sin α＋cos α
2sin α－cos α＝2，
∴
tan α＋1
2tan α－1
＝2，
∴tan α＋1＝4tan α－2， 即3tan α＝3，∴tan α＝1.]
4．求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin α
tan αsin α.
[证明] ∵右边＝tan 2
α－sin 2
α
(tan α－sin α)tan αsin α
＝tan 2
α－tan 2
αcos 2
α
(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2
α(1－cos 2
α)
(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2
αsin 2
α
(tan α－sin α)tan αsin α
＝
tan αsin αtan α－sin α
＝左边，∴原等式成立．