高考数学圆锥曲线复习策略
一.圆锥曲线高考大纲
文科
（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）
（2）了解双曲线的定义、几何图形、标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）
（3）了解抛物线的的定义、儿何图形、标准方程，知道其简单的儿何性质（范围、对称性、顶点、离心率）
（4）理解数形结合的思想。
（5）了解圆锥曲线的简单应用。
理科.（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
（2）掌握椭圆、抛物线的定义、儿何图形、标准方程及简单儿何性质.（范围、对称性、顶点、离心率）
（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.
（4）了解圆锥曲线的简单应用.
（5）理解数形结合的思想.
锥曲线知识网络
'对称轴兀轴 住占 八、、八、、
标准方程y 2
=2P x\顶点 离心率 准线 （卩>0）
二.试题趋势
近年來圆锥1111线在高考中比较稳定，解答题往往以屮档题或以押轴题形式出现，主要考察学 生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新 课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2011年高考对本讲的考察，主要考
察热点有:
（1） 圆锥Illi 线的定义及标准方程； （2） 与圆锥曲线有关的轨迹问题；
（3） 与圆锥曲线有关的最值、定值问题；
（4） 与平面向量、导数等知识相结合的交汇试题
（1）圆锥曲线的定义及标准方程;
1. （2010北京文理）（13）已知双曲线二—1的离心率为2,焦点与椭圆—= 1的
a 2
b 2
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焦点相同，那么双Illi 线的焦点坐标为 _______ ；渐近线方程为 ________ o
定义：:
椭圆l + IF2PI=2a
(2a >1 F.F 2 I)
标准方程召+令
(a > b > 0)
2 f 2
a =
b +
对称轴 兀轴，长轴长为2d y 轴，短轴长为2b
隹占 八、、八、、
定义：:
< 双曲线{lIFfl —IF2PII=2a
(2a 2 2 标准方程才* 卄严轴卜轴，实轴长为2d 对称轴彳 I 》轴，虚轴长为" 隹占 八、、JW\ （Q 〉O,b 〉O ）彳顶点 2 1 2 a +b =c 离心率 渐近线 定义? 抛物线 < ? \MF\=d 答案：（±4,0）= 0 2 ,2 2.（2010天津文数）（13）已知双Illi线罕―仝=1?〉0上〉0）的一条渐近线方程是 a b厶 y = ^x ,它的一个焦点与抛物线r =16x的焦点相同。则双Illi线的方程 为______________ O 2 2 【答案】—-^=1 412 【解析】木题主要考查了双曲线和抛物线的儿何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。由渐近线方程可知- = 73① a 因为抛物线的焦点为（4, 0）,所以c=4 ② 乂c2 =a2 +b2③ 联立①②③，解得6/2=4,Z?2=12,所以双Illi线的方程为—-^- = 1 4 12 【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中c最人。 3.（2010福建文数）13.若双曲线—-^=l（b>0）的渐近线方程式为y二土一x，则b等 4 b2 2 于_______________ O 【答案】1 【解析】由题意知解得b=l。 2 2 【命题意图】本小题考杏双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。 2 2 4.（2010江苏卷）6、在平面宜角坐标系xOy屮，双曲线—=1±一点M,点M的横 4 12 坐标是3,则M到双曲线右焦点的距离是__________ ［解析］考查双曲线的定义。哎之=纟=2, d为点M到右准线兀=1的距离，d=2, MF=4O d 2 5.（2010浙江理数）（13）设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,点 A（0,2）.若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为 解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为、伍，B点坐标为(、二,1)所 4 以点B到抛物线准线的距离为-V2,本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易 4 题 6.(2010安徽文数)(12)抛物线y2 = Sx的焦点坐标是 ______ 答案：(2,0) 【解析】抛物线/=8x,所以〃=4,所以焦点(2,0). 【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求p ,或求出p后，误认为焦点(p,0), 7.(2010年全国高考宁夏卷12)己知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F 的直线/与E相交于A, B两点，且AB的中点为2(-12,-15),则E的方程式为 (C) (2)与圆锥曲线有关的轨迹问题； 1(2010辽宁文数)(20)(本小题满分12分) x2v2 设好，F?分别为椭圆C'. — + ^ = \ (a>b>0)的左、右焦点，过笃的直线/与椭圆ci b C相交于A, B两点，直线/的倾斜角为60 , ￡到直线/的距离为2巧. (I)求椭圆C的焦距； (II)如果疋=2丽，求椭圆C的方程. 解：(I )设焦距为2c,由已知可得F、到直线I的距离羽c = 2巧,故c = 2. 所以椭圆C的焦距为4. (II)设A(x{,)[), B(X2,儿)，由题意知X < 0,儿〉0,直线/的方程为y = V3(x — 2). y = A/3(X-2), 联立！r2 v2 得(3a2 + h2)y2 + 4y[3b2y-3/?4 = 0. —+ -^—= 1 L2b 2 解得y\ =_州(2 + 20)_-?(2—2Q) 3/+戸宀=3/+戸 因为AF2 = 2F2B9所以一开=2旳?耐 7^2(2 + 2°) c -后2(2 — 2°) 即 --- ---- a一 = 2 ------ --z ----- 3a2+b23a2+b2 得。=3.而a? —b2 = 4,所以b = V5. 故椭圆C的方程为—+ ^- = 1. 9 5 2. （2010辽宁理数）（20）（本小题满分12分） 2 2 设椭圆C：^ + ^T = l（a>b>0）的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A, B cr hr (I)求椭圆C的离心率； (II)解：如果IABI二求椭圆C的方程. 4 两点，直线1的倾斜角为60\AF = 2FB. 设4（兀］切）』（兀2』2），由题意知）1 <0, y2 >0. (I )直线1的方程为y = V3(x-c),其中c = yla2-b2 . V3(x-c), 得(3/ +，) y 2 + 2 岳Ly _ 3b4 = 0 -伽(c-2。) ~3/+决~ 因为AF = 2FB,所以—y\=2y2. 即尿2$ +严)=2."響-2。) 3a2+b23/+戸 c 2 得离心率e =-= 一? a 3 (II)因为\AB\ = ^ + ^\y2-yi 所以# ?書1 5 ~4 由苗I得"学?所以 P呼得占,7. 椭圆C的方程为乞+丄=1. ……12分 9 5 3. （2009山东卷文）（本小题满分14分） 设me/?,在平面直角坐标系中，已知向量a =（皿,y +1）,向量乙=（x, y -1）, Q丄乙，动 点 M（x,y）的轨迹为E. （1）求轨迹￡的方程，并说明该方程所表示曲线的形状； （2）己知加=丄，证明:存在圆心在原点的圆，使得该圆的任:总一条切线与轨迹E tlf有两个交 4 点A y BM.OA丄OB（O为坐标原点），并求出该圆的方程； （3）已知加=丄，设直线/与圆C:x2 + y2 =疋（1V R V2）相切于A】,1U与轨迹E只有一 个公共 4 " 点当R为何值时収得最大值?并求最大值. 解（］）因为Q丄b y a = （mx, y 4-1） , & = （x, j -1）,所以a-b = mx2 + >,2 -1 = 0 , 即 mx1 + /=1.当/H=O时，方程表示两直线,方程为y = ±l;当加二1吋，方程表示的是圆当m>0且m丰1时,方程表示的是椭圆；当m < 0时，方程表示的是双曲线. 1 v-Z ⑵.当加=—时，轨迹E的方程为一+y2 = l,设圆心在原点的圆的一条切线为y = kx^-t, 4 4 y = kx + t 2得F + 4(也 + f )2 = 4 ,艮卩([+ 4￡ 2)兀2 + Sktx + 4(2 一4 = 0, —+ y2=l 〔4 要使切线与轨迹E 恒冇两个交点=64k212-16(1 + 4/)(『2 _i)= i6(4/ 一尸 +1)> o, Skt X. + X2 = ------------ 7 121+4疋 4r2-4 y{y2 = (kx l + t)(kx^ +t) = k2x t x2 4- kt(x i +x2) + t2 =A ,3,贝ij 使△ 即4疋一八1>0,即八<4/+1,且< | t2_t2-4k2 1 + 4疋 1 + 4 疋—1 + 4 疋 ⑷t —- —4八一4 z2—5(2—4^2—4 + ..二=一 -要使OA 丄O 3,需使x“2 + y*2 = 0，即丄一V 1+4/+ 1 + 4/ 1 + 4/ =0, 所以5八—4疋_4 = 0,即5产=4/+4,且宀4疋+1,即4/+4<20，+5恒成立. 所以又因为直线y = kx + t为圆心在原点的圆的一条切线, 4 9 t . t2餐 +「）4 . . 4 所以圆的半径为r = ^^=,r2=—^ = ^——=-,所求的I员【为/ +）,=_. Jl+疋1 + 疋 1 + 疋 5 ~ 5 °丫2 冷冷 当切线的斜率不存在时，切线为x = ±-V5，^―+/= 1交于点（土石，士三石）或 5 4 5 5 （--A/5,±-V5）也满足0A 丄OB. 综上，存在圆心在原点的圆x2 + y2=~,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点1T2 ⑶当zn 盲时，轨迹E 的方程为才+Z ，设直线，的方程为尸因为直线/与圆 疋+ F 、4当且仅当/? = V2e(l,2)时収等号，所以I 人即冬5 _ 4二1,即 当/? = V2 G (1,2)吋IA I B I I 取得最大值，最大值为1. 【命题立意】:木题主要考杏了肓线与圆的方程和位置关系,以及胃线与椭圆的位置关系，可以 通过解方程组法研究有没有交点问题,有儿个交点的问题. 4. (2009辽宁卷文)(本小题满分12分) 3 已知，椭圆C 以过点A (1,-),两个焦点为(一1, 0) (1, 0)o 2 (1) 求椭圆C 的方程； (2) E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果总线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明 总 线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 C: x 2 + y 2 Zg 相切”’由⑵知“估'即宀刊+疋）①, 因为/与轨迹E 只有一个公共点你，由（2）知〈 y = kx + t 兀 2 得F +4（也+门2 =4, —+ =1 〔4 ? 即（1 + 4比2 ）兀2 + Sktx + 4/2 — 4 二 o 有唯一解 则△二 64k ￥-16（1+ 4^2）（?-1） = 16（4k 2-r 2+l ） = 0, 即 4疋 - / +1 = 0, ② 由①②得I r 4-R ., 此时43重合为B 心』）点, 宀g 4-7?2 |+1< _ Skt g"所 2_414_16F-16 4八-4中坷—计以。一 1 + 4厂3W I 4 — R ? 4 Bi （xi,y 】）点在椭圆」:，所以= 1 — 打= - 7~，所以I OB 】卩=+ yj = 5 ------ , 4 3R_ R- 在直角三角形 OAiQ 中,I \B X l 2=l 0B x I 2 -10^ 12 = 5 ——T -R 2 = 5 -（4- + ^2） 0 为 /?■ R- (22)解:(I )由题意, 2 2 设椭圆方程为总+旅d 1 Q 3 因为A 在椭圆上，所以市+丽八解得宀久r (舍去)。 所以椭圆方程为冷+「】. 3 xr (II )设直线AE 方程：得尸吃一性，代入亍器1得 (3+4疋)x 2 +4￡(3 - 2k)x + 4(色一 ￡尸 一 12 = 0 2 设 E ( x E , y E ), F ( x E ,?因为点 A (1, 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在 上式中以代R ,可得 ”在椭圆上，所以 4(|”12 4(| + R)2—12 所以直线EF 的斜率k 防 3 + 4/ 丹 _兀二 一kg +心)+ 2￡ 即直线EF 的斜率为定值，其值为丄。 ..... 12分 2 5. （2009辽宁卷理）（本小题满分12分） 3 已知,椭圆C 过点A （l,_），两个焦点为（-1, 0）, （1, 0）o 2 （3） 求椭圆C 的方程； （4） E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果肓线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明 玄 线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 1 + 戸 4b 2 4 2 2 所以椭圆方程为—+ ^ = lo ................. 4分 4 3 (II)设直线AE 方程为：y = k(x-l) + -f 代入—+ = 1得 ’ 2 4 3 3 (3 + 4k 2 )x 2 +4^(3 - 2k)x + 4$ - 比尸 一 12 = 0 设E(X ￡,九)，F(X F , *),因为点A(l,-)在椭圆上，所以 3 9 4（——b_12 2 x F = ----- ------ ； -- 7 3 + 4疋 y E = kx E +^~ k ..... ; 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以一K 代K,可得 3 4（- + ^）2-12 2 X F 一 所以直线EF 的斜率心=31 =如宜2±^ =丄 x F - x E x F - x E 2 （20）解： 1 9 a （I ）由题意，c=l,可设椭圆方程为一 + 二 =1,解得b 2 =3, b 2 =--（舍去） 6.?（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分） 己知椭関C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个项点到两个 焦点的距离分別是7和1 （1）求椭圆C 的方程， C 的离心率），求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 a —c = L 解（1）设椭圆长半轴长及分别为QC 由已知得｛ 解得*4—3, Q +C = 7. X V 所以綁C 的方程为忆+ 丁7? 2 2 (II)设 M (心),Pa,儿),其中"[-4,4].由已知得 X 2 + yi 2 =e 2 x +y_ = 故16（/ +畀）=9（/+）“）. ①，由点戶在椭圆C 上得，）f = 112：7 匚 4 16 代入①式并化简得9/=112, （2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分） 已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在s 轴上，它的一个顶点到两个焦点 的距离分別是7和1. （I ）求椭圆C 的方程; （II ）若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解：（1）设椭圆长半轴长及半焦距分別为Q ，C,由已知得 [a-c = \ 小/口 5 ，解得 a = 4,c = 3 , a + c = 7 所以椭圆c 的标准方程为u+A 】 即直线EF 的斜率为定值,其值为宁 12分 （2）若P 为椭圆C 的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点, \OM\ Ce 为椭圆 所以点〃的轨迹方程为y = ± 4^7 "V (-4 < x < 4), 轨迹是两条平行于 /轴的线段. 求点M (1【)设Mgy),其中xe[-4,41o 由已知J^L = Z 2及点P 在椭圆C 上可得 \0M\ 9X 2 + 112 16(/ + y2) 整理得(16Z 2-9)x 2 +16/Py2 = 112 ,其中兀 w [-4,4]。 3 (i) A =-时。化简得9/=112 4 3 (ii) /1工一时，方程变形为 11O +-4—= 1,其中xe[-4,41 4 1 12 1 12 16A 2-9 16T 当0时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足-4 4 的部分。 3 当一 v2< 1吋，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在兀轴上的椭圆满足-4 4 部分； 当A>1 W ，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆； 26. (2009陕西卷文)(本小题满分12分) (3)与圆锥曲线有关的最值、定值问题 兀2 1. (2010年高考福建卷理科7)若点O 和点F(-2,0)分別是双曲线—-y 2 = l(a>0)的屮 心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则帀?序的収值范围为( ) 7 7 A. [3-2>/3, +oo) B [3 + 2>/3 9 +oo) C. [ —，+oo) D. [—,+oo) 4 4 【答案】B 2. (1) (2009辽宁卷理)以知F 是双曲线—=1的左焦点，A(1,4),P 是双曲线右支上 4 12 的动点，则\PF\^\PA\的最小值为 _________________________________ 4x/7 所以点M 的轨迹方程为y = ±^- (-4 【解析】注意到4点在双曲线的两只Z 间JI ?双曲线右焦点为厂(4,0),于是由双曲线定义, 得 IPF| — |PF'l = 2a=4,而必 l+IPFT2L4F'l=5 两式相加得IPFI+I 加29,当且仅当A 、P 、F 三点共线时等号成立. 【答案】9 3 - 3。福建文)m 若点。和点尸分别为椭气+牛1的中心和左焦点,点P 为椭 —-—? 22 兀()=—2,因为—2 < ^() < 2,所以当x. = 2时，OP ?FP 取得最大值才+ 2 + 3 = 6,选C 。 【命题意图】本题考查椭圆的方程、儿何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的 单调性与最值等,考杳了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。 4. (2010北京文科)已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(-72,0), (72,0),离心率是V5, 3 直线尸t 椭圆C 交与不同的两点M, N,以线段为直径作圆P,圆心为P 。 (I) 求椭圆C 的方程; (II) 若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标： (III) 设Q (x, y)是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值。 解：(I )因为 ￡ =,且 c = >/2 ,所以 a = J3,b — a 2 —c 2 — 1 a 3 r 2 所以椭圆C 的方程为一+)，=1 3 (II)由题意知 〃(0」)(一1 vr <1) 圆上的任意一点, 则OP FP 的最大值为 A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】由题意，E (-1, 0),设点 P(Xo ，)b ),则冇-^匚 +二= 1,解得)叮=3(1 — ), 因为 FP = (Xo + l 」o ), °P =(兀0*0)，所以 ° P-FP = x 0(x 0 + l) + ^02 + x 0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 = OP-FP = x 0(x 0 + l)+ 3(1- y = t b ______ 1=1:1 * x29得x = ±j3(l-r) —+ y = 1 3 “ 所以圆P的半径为J3(l-尸) R 解得V 所以点P的坐标是（。,±4> (III)由(II)矢n,圆P的方程/+(y_/)2=3(l —/2)。因为点(2(x,y)在圆P上。所以y = t i丁3(1 —广)一兀$ 5( + 丁3(1 -广) 设『=cos0,0 (0,疗)，贝i” +丁3(1-/2) = cos& + >Asin & = 2sin(^ + —) 6 JI 1 当0 = -f U|Jr = -,且x = 0, y取最大值2. 5. （2009浙江理）（本题满分15分） y2 X2 已知椭圆G： r+r = i（a〉b〉o）的右顶点为A（I,O）,过G的焦点且垂直长轴的弦er /?*■ 长为1. （I）求椭圆C]的方程; （II）设点F在抛物线y = x2 + /?（/?e/?） ±, C?在点P处的切线与G交于点M,N .当线段AP的中点与MN的中点的横处标相等时，求/?的最小值. a = 2 ）厂 解（I）由题意得｛b2，?订，所求的椭圆方程为2- + x2=l, 2-—= 1 [b = l 4 < a （II）不妨设必（州」）川（兀2*2）』亿尸+/7），则抛物线C?在点P处的切线斜率为 ）/口=力，直线MN的方程为y = 2tx-t2+h, W.上式代入椭圆G的方程中，得4x2 + (2u-r2+/?)2-4 = 0 ,即4(l + r2)x2-4r(r-/?)x + (z2-/?)2-4 = 0 ,因为直线 MN与椭圆C,有两个不同的交点，所以有△严16「—厂+ 2（/? + 2）r2-/?2+41 > 0, 设线段MN的屮点的横坐标是兀， x} +x2 _ r(r -/?) 2 一2(1 + 尸) 设线段明的屮点的横坐标是兀4,则^4= —由题意得兀3=兀4,即有八+（1 +力"+ 1 = 0, 其中的A2 =(1 + /1)2-4>0,.\/1>1^/?<-3； 当/?S—3吋有〃 + 2<0,4 —<0,因此不等式纠=16[—广+2(/2 + 2)八一/72+4]>0不成立；因此/i>l,当力=1时代入方程r2 + (l + /i)r + l = 0得/ = —1,将力=1,2-1代入不等式厶=16[-『+2(力+ 2”2一胪+4]>0成立,因此％的最小值为1. 6.. (2009浙江文)(本题满分15分) 17 已知抛物线C：x2=2py(p>0)±.一点A(m,4)到其焦点的距离为 4 (I)求p与加的值； (II)设抛物线C上一点P的横坐标为f(r>0),过P的肓线交C于另一点Q,交兀轴于点M ,过点！2作PQ的垂线交C于另一点N .若MN是C的切线，求/的最小值. 解(I)由抛物线方程得其准线方程：y = --^根据抛物线定义 点A("4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4 + ￡ = □,解得p =- 2 4 2 ???抛物线方程为:兀2=八将人(加呂)代入抛物线方程,解得m = ±2 (II)由题意知，过点P(r,r2)的直线PQ斜率存在且不为0,设其为鸟。 _ _ f24- kt — / 2 4- kt 则Ipo-y-f =k(x-t)t当y = 0,x =----------- ,则必( ----------- ,0)。 k k 联立方程#7 严d,整理得:X2-kx-}-t(k-t) = 0 [x =y 即：(x-t)lx-(k -/)] = 0,解得兀= t^x = k-t ???Q(k-t,伙一r)2),而0N丄QP,直线NQ斜率为一! k 整理得:x~ H—x— (P_r)_(P_r)2=0,即：kx? + 兀一(R —t)[k{k— /) +1] = 0 k k [也+ k伙一/) + 1][兀一伙一/)] = 0,解得：x = _k(k-0 + 1, ^x = k-t k k(k—0 + 1 \k(k — r) + l]~ N(— k ' P 伙伙一 O + lf _________ ___________ 二仗2_灯 + 1)2 心 一/) + 1 ~~ - k(t 2-k 2 -1) ~ k ~ k 伙 2—好 + 1)2 —2k 伙—T )— 2 k(t 2-k 2 k 整理得/ +加+ 1一2厂=0 2 2 2 vA = r 2-4(l-2r 2)>0,解得t<—(舍去)，或r>-, .-.r min =- (6)与平面向量、导数等知识相结合的交汇试题 1. (2010年全国高考宁夏卷20)(木小题满分12分) 2 2 设片,尸2分别是椭圆E:二+ Z = l (d 〉">0)的左、右焦点，过片斜率为1的直线i 与 E 相交于4,B 两点，R\A F 2\,\AB\,\BF 2\成等差数列。 (1)求E 的离心率； (2)设点p(0,-l)满足网 = |PB|,求E 的方程 (20.)解： (I)由椭圆定义^\AF 2\^-\BF 2\^-\AB\ = 4a ,又2\AB\ = \AF 2\ + \BF 2\, 得 \AB\ = ^a I 的方程为y = x + c ,其中c = \la 2 -b 2 。 设A (X],yJ, B (x 2,y 2),则A 、B 两点坐标满足方程组 y = x + c 化简的(/ +/?2)x 2 +2fl 2cx + t72(c 2 一/?2) = 0 -2a 1 c tz 2(c 2 -b 2 } 则州+/声,"厂巧厂 血抛物线在点N 处切线斜率: 5 = y k(k~t)+i x= ----------- — 2k(k_t)_2 k MN 是抛物线的切线, 因为直线AB 斜率为1,所以\AB\= 问兀2 _旺| =』2［（西+x 2）2 一4牡 得扣為故"j 所以 E 的离心率 （II ）设AB 的中点为N （x 0,y 0）,由（I ）知 ^\PA \ = \PB \,得k PN =-l, 即如u = _l x o 得c = 3,从而a = 3ji,b = 3 故椭圆E 的方程为盒+『1。 2..（2009山东卷理）（木小题满分14分） 2 2 设椭圆E:亠+当=1 （°0>0）过M （2, >/2 ） , N （而，1）两点，O 为处标原点， a~ b~ （I ） 求椭圆E 的方程； （II ） 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点久3, 且 刃 丄亦？若存在，写出该関的方程，并求\AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解：（1）因为椭圆E:二+每=1 （必>0）过M （2, V2 ） , N （乔,1）两点, cr b~ （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点人5且 2 ￡ +%2 2 —c 3 以< 4 4- 2 a 2 6 [er 十 + b 2 1 以 所 1-8 1-4 - - 1 一 201 1IF 解 Z _ Q 2 2 ：2二椭圆E 的方程为加才1 所 y = kx + m 刃丄亦，设该圆的切线 方程为y = kx + m 解方程组］兀2 2 得x 2 + 2(kx + m)2 = 8 , —+ —= 1 〔8 4 即(1 + 2疋)X 2 + 4kmx + 2加2 _ 8 = 0, 贝仏=16疋加$ 一4（1 +2疋）（2肿一8）= 8（8/一血2+4）＞o,即8fc 2-m 2+4＞0 4km 兀］+兀2 一 1 + 2/ 2 加 2—8 兀1兀2 = 「1 + 2 疋 2 o 9 要使鬲丄亦，需使粘+）甘。，即晋+豊七所沁所 2 /7 必一斗，因为直线y —”为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为 2 吕宀总二詩卫气心 字所求的圆加22气'此时圆的切 + 8 线y" +护都满足Q 学或必-芈，而当切线的斜率不存在时切线为"士苧 与椭圆—+ ^- = 1的两个交点为（迹，土迹）或（_迹，土还）满足刃丄亦,综上, 8 4 3 3 3 3 Q 存在圆心在原点的圆%2 + y 2 =-，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点人B,且 3 页丄阪 y { y 2 = (kx 、+ m)(kx 2 + ni) = k 2x {x 2 + km(x { +x 2) + m 2 k 2(2m 2 -8) 4k 2m 2 1+2疋 1+2疋 m 2-Sk 2 1 + 22 Q 2 n 以宀牛no 又肿川+4〉。，所以 驚'所以莎舟即八芈或 m 2 因为＜ %! +兀2 4km 1 + 2_ W-8 一 1 + 2 疋 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 圆锥曲线与方程 题型一 定义运用 1.．（2017·湖南高考模拟（理））已知抛物线2 2x y = 上一点P 到焦点F 的距离为1，,M N 是直线2y =上 的两点，且2MN =，MNP ?的周长是6，则sin MPN ∠=（ ） A ． 4 5 B ． 25 C ． 23 D ． 13 【答案】A 【解析】由题意，22p = ，则 122p = ，故抛物线22x y = 的焦点坐标是10,2?? ??? ，由抛物线的定义得，点P 到准线1 2y =- 的距离等于PF ，即为1 ，故点P 到直线2y =的距离为132122d ??=---= ??? . 设 点P 在直线MN 上的射影为P' ，则3 '2 PP = . 当点,M N 在P'的同一侧（不与点P'重合）时，35 2=622 PM PN MN ++> ++ ，不符合题意；当点,M N 在P'的异侧（不与点P'重合）时，不妨设()'02P M x x =<<，则'2P N x =- ，故由 2=6PM PN MN ++= ，解得0x = 或2 ，不符合题意，舍去， 综上,M N 在两点中一定有一点与点P'重合，所以 24552 sin MPN <= = ，故选A. 2．（2017·河南高考模拟（文））已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2 :8C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】A 【解析】由题意得，设抛物线2 8y x =的准线方程为:2l x =-，直线()2y k x =+恒过定点()2,0-， 如图过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ， 由2FA FB =，则2AM BN =，点B 为AP 的中点， 因为点O 是PF 的中点，则1 2 OB AF = ， 【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾 股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤： 圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y 高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是 椭圆22 154 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== 设P （x ，y ），则1),1(),1(2 221-+=--?---=?y x y x y x PF 35 1 1544222+=-- +x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3； 当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不 存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y 由方程组22 22221(54)5012520054 (5)x y k x k x k y k x ?+ =?+-+-=??=-? ，得 依题意220(1680)0k k ?=-><< ，得 当5 5 55< <- k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4 5252,455022 2102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4 520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F 高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 圆锥曲线的综合问题 [知识能否忆起] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1 －x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. [小题能否全取] 1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 23＝1 B.y 23 －x 2 ＝1 C.34x 2－3 8 y 2＝1 D.34y 2－3 8 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2，c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3. 故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 第六节 圆锥曲线综合 考纲解读 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2.会处理动曲线（含直线）过定点的问题. 3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题. 4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究 从内容上看，预测2015年高考主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题. 从形式上看，以解答题为主，难度较大. 从能力要求上看，要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量. （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法. （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法. 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点). （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. （3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围. 题型归纳及思路提示 题型150 平面向量在解析几何中的应用 思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面. （1）用向量的数量积解决有关角的问题.直角?0a b =,钝角?0a b <(且,a b 不反向), 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 高考数学圆锥曲线性质总结 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线 于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ， 则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角. 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） 椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆 的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应 于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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