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高等代数习题

高等代数习题

第一章基本概念

§1.1 集合

1、设Z是一切整数的集合,X是一切不等于零的有理数的集合.Z是不是X的子集?

2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么? {a} A是否正确?

3、设

写出和 .

4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集.

5、设A是含有n个元素的集合.A中含有k个元素的子集共有多少个?

6、下列论断那些是对的,那些是错的?错的举出反例,并且进行改正.

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

7.证明下列等式:

(i)

(ii)

(iii)

§1.2映射

1、设A是前100个正整数所成的集合.找一个A到自身的映射,但不是满射.

2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射.

3、是不是全体实数集到自身的映射?

4.设f定义如下:

f是不是R到R的映射?是不是单射?是不是满射?

5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射?

6、设a ,b是任意两个实数且a

7、举例说明,对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说,f g与g f一般不相等。

8、设A是全体正实数所成的集合。令

(i)g是不是A到A的双射?

(ii)g是不是f的逆映射?

(iii)如果g有逆映射,g的逆映射是什么?

9、设是映射,又令,证明

(i)如果是单射,那么也是单射;

(ii)如果是满射,那么也是满射;

(iii)如果都是双射,那么也是双射,并且

10.判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:

集合 A 规则

1

2

3

4

全体整数

全体整数

全体有理数

全体实数

b

a

b

a+

|)

,

(

§1.3数学归纳法

1、证明:

2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数.

3、证明二项式定理:

是个元素中取个的组合数.

这里

4、证明第二数学归纳法原理.

5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。

§1.4整数的一些整除性质

1、对于下列的整数 ,分别求出以除所得的商和余数:

;;

;.

2、设是整数且不全为0,而 , , .证明,的一个最大公因数必要且只要 .

3、设是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数叫做与的最小公倍数:;如果且 ,则 .

证明: 任意两个不等于零的整数都有唯一的最小公倍数;

令是与的最小公倍数而 ,则 .

4、设是一个大于1的整数且具有以下性质:对于任意整数 ,如果 ,则

或 .证明,是一个素数(定理1.4.5的逆命题).

5、设是两两不相同的素数,而 .

证明 ;

利用证明,素数有无限多个.

§1.5数环和数域

1.证明,如果一个数环那么含有无限多个数.

2.证明,是数域.

3.证明,是一个数环,是不是数域?

4.证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环?

5.设是一整数,令

由例1,是一个数环.设 ,记.

证明: 是一个数环.

,这里是与的最大公因数.

第二章多项式

§2.1一元多项式的定义和运算

1.设和是实数域上的多项式.证明:若是(6) ,那么

2.求一组满足(6)式的不全为零的复系数多项式和3.证明:

§2.2 多项式的整除性

1.求被除所得的商式和余式:

( i )

(ii)

2.证明:必要且只要

3.令都是数域F上的多项式,其中且

证明:

4.实数满足什么条件时,多项式能够整除多项式

5.设F是一个数域,证明:整除

6.考虑有理数域上多项式

这里和都是非负整数.证明:

7.证明:整除必要且只要整除

§2.3 多项式的最大公因式

1.计算以下各组多项式的最大公因式:

( i )

(ii)

2.设证明:若且和

不全为零,则反之,若则是与的一个最大公因式.

3.令与是的多项式,而是中的数,并且

证明:

4.证明:(i)是和的最大公因式;

(ii)

此处等都是的多项式。

5.设都是有理数域Q上的多项式。求使得

6.设令是任意正整数,证明:由此进一步证明,对于任意正整数,都有

7.设证明:

8.证明:对于任意正整数都有

9.证明:若是与互素,并且与的次数都大于0,那么定理里的与可以如此选取,使得的次数低于的次数,的次数低于的次数,并且这样的与是唯一的。

10.决定,使与的最大公因式是一次

的。

11.证明:如果那么对于任意正整数,

12.设是数域F上的多项式。与的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式:

且;

如果∈F[x]且,那么

证明:F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式,并且除了可能的零次因式的差别外,是唯一的。

设都是最高次项系数是1的多项式,令表示和的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明

13.设并且证明:14.设证明:

互素的充要条件是存在多项式

使得

15.设令

比照定理1.4.2,证明:有最大公因式.[提示:如果不全为零,取是I中次数最低的一个多项式,则就是的一个最大公因式.]

§2.4 多项式的分解

1.在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积:

2.分别在复数域,实数域,有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积.

3.证明:当且仅当

4.求在内的典型分解式;

求在内的典型分解式

5.证明:数域F上一个次数大于零的多项式是中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意或者或者存在一个正整数

使得

6.设是中一个次数大于零的多项式.如果对于任意只要就有或那么不可约.

§2.5 重因式

1.证明下列关于多项式的导数的公式:

2.设是的导数的重因式.证明:

未必是的重因式;

是的重因式的充分且必要条件是

3. 证明有理系数多项式

没有重因式.

4. 应该满足什么条件,下列的有理系数多项式才能有重因式?

5. 证明:数域F上的一个次多项式能被它的导数整除的充分且必要条件

,这里的是F中的数。

§2.6 多项式函数多项式的根

1.设 ,求 .

2.数环R的一个数说是的一个重根,如果可以被

整除,但不能被整除.判断5是不是多项式

的根.如果是的话,是几重根?

3.设求

[提示:应用综合除法.]

4.将下列多项式表成的多项式.

; .

5.求一个次数小于4的多项式 ,使

6.求一个2次多项式,使它在处与函数有相同的值.

7.令是两个多项式,并且可以被整除.

证明

8.令是一个复数,并且是中一个非零多项式的根,令

证明:在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式 ,使得中每一多项式

都可以写成的形式,这里 .

在中不可约. 如果 ,求上述的

[提示:取是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.] 9.设中多项式且 ,是一个大于1的整数.

证明: 的根只能是零或单位根. [提示:如果 是 的根,那么 都是 的根.]

§2.7 复数和实数域上多项式

1.设 次多项式 的根是 .求

为根的多项式,这里 是一个数。 (ii )以11α,21α,…,n α1(假定 都不等于零)为根的多项式.

2.设 是一个多项式,用 表示把 的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:

若是g ,那么 ;

若是

是 和 的一个最大公因式,并且 的最高次项系数是1,那么 是一个实系数多项式).

3.给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式.

4.在复数和实数域上,分解 为不可约因式的乘积.

5.证明:数域F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.

§2.8 有理数域上多项式

1.证明以下多项式在有理数域上不可约:

;

;

.

2.利用艾森斯坦判断法,证明:若是是个不相同的素数而是一个大于1的整数,那么是一个无理数.

3.设是一个整系数多项式.证明:若是和都是奇数,那么不能有整数根.

4.求以下多项式的有理根:

;

;

.

第三章行列式

§3.1 线性方程组和行列式§3.2 排列

1.计算下列排列的反序数:

523146879;

2.假设n个数码的排列的反序数是k,那么排列的反序数是多少?

3.写出4个数码的一切排列.

§3.3 阶行列式

1.确定六阶行列式

D=中以下各乘积的符号:

2.写出下列四阶行列式中一切带有负号且含元素的项。

3.证明:阶行列式

4.考察下列行列式:

,,

其中是这个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系?5.计算阶行列式

6.计算行列式

7.证明:行列式

8.设在阶行列式

中,

§3.4 子式和代数余式行列式的依行依列展开

1.把行列式依第三行展开,然后加以计算.

2.计算以下行列式:

提示:把第一列的元素看成两项的和,然后把行列式拆成两个行列式的和。3.令

计算行列式。

§3.5 克拉默规则

1.解以下线性方程组:

2.设是个不同的数, 是任意个数,而多项式有以下性质: , .

高等代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.

授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共2 页第2 页

,,是的值域与核都是a b b a a ? ????? ,a b ≠上线性空间V 上的线性变换,多项式

中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解:A =???? ????????1111111111111111, 3|(4)E A λλλ-=-|,所以特征值为0,4(3重). 将特征值代入,求解线性方程组()0E A x λ-=,得4个线性无关的特征向量(答案可以不唯一),再正交单位化,得4个单位正交向量: 11111 ,,,)'2222α=( ,2α=, 3α= ,4'6662α--=(-. 所以正交阵1 2612 10210 2 2T ?-????? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证:(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ,D 为循环阵, 00n k k k E D E -?? = ??? ,(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.

且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++,令112(),n n f x a a x a x -=++有 ()A f D =. B M ?∈,必P ?上1n -次多项式()g x ,使()B g D =,反之亦真. ()()()()AB f D g D g D f D BA ∴=== (3)由上可知:2 1,,, ,n E D D D -是M 的一组基,且dim M n =. 四.解:A 的行列式因子为3 3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==. 所以,不变因子为3 3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==,初等因子为3 (2)λ+, 因而A 的Jordan 标准形为21212J -?? ??=-?? ??-?? 五.证:"":()()() ()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴== ""?:()0,()0f A g A == 设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ?

高等代数第6章习题参考答案

第六章 线性空间 1.设,N M ?证明:,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式,任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形,都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =,)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形,于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈,由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之,若 )()(L M N M x I Y I ∈,则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形,,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形,因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ,得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I (),则x ,x 。 在前一情形X x M N ∈U , X M L ∈U 且,x M N ∈U 因而()I U (M L ) 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形,x ,x 因而且,即X (M N )(M L )所以 ()(M L )(N L )故 (L )=()(M L )即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1) 次数等于n (n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法; 2) 设A 是一个n ×n 实数矩阵,A 的实系数多项式f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量 乘法; 3) 全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法; 4) 平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法; 5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算: 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111(a ,)((,) ()k 。(a ,)=(ka ,kb +

高等代数习题

高等代数试卷 一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式,那么)(x p 在F 中必定没有根。 ( ) 2、若线性方程组的系数行列式为零,由克莱姆法则知,这个线性方程组一定是无解的。 ( ) 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 ( ) 4、(){ }321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。( ) 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 ( ) 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 ( ) 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 ( ) 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 ( ) 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 ( ) 10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基,且∑==n i i i x 1αβ,那么 ∑== n i i x 1 2 β。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中,错误的是( ) ①()()() ()()()n n n x g x f x g x f ,,=; ②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=?=; ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=; ④若()()()()()()()()1,1,=-+?=x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式,那么( ) ①行列式与它的转置行列式相等; ②D 中两行互换,则行列式不变符号; ③若0=D ,则D 中必有一行全是零; ④若0=D ,则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1,那么( ) ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零; ②A 中每个r 阶子式都不为零;

高等代数试题附答案

科目名称:《高等代数》 姓名: 班级: 考试时间:120分钟 考试形式:闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题(每小题5分,共25分) 1、在[]X P 中,向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ,一个最大无关组为 .。 3、(维数公式)如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间,那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ,特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题(每小题2分,共20分) 1、如果r a a a ,,,21 线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。( ) 2、在][x P 中,定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0,是一固定的数,那么变换A 是线性变换。( ) 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。( ) 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。( )

5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量,那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。( ) 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。( ) 7、若矩阵A 与B 相似,那么A 与B 等价。( ) 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。( ) 9、在)(2R M 中,若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成,那么W 是 )(2R M 的 子空间。( ) 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。( ) 三、明证题(每小题××分,共31分) 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基,A 是V 上的线性变换,证明:A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 (10) 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻,证明:如果δ是对称变幻, 2δ=l 是单位变幻,那么δ是正交变换。(11) 3、设V 是一个n 维欧氏空间,证明:如果21,W W 都是V 得子空间,那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。(10) 四、计算题(每小题8分,共24分) 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量,并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ,使得AU U '使对角形式,其中

高等代数第6章习题解

第六章习题解答 习题6.1 1、设2V R =,判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换,哪些不是? (1),()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????;(2),()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ; (3)2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ; (4)0,()x V f y αααα??=∈=+ ???,0V α∈是一个固定的非零向量。 (5)0,()x V f y ααα??=∈= ???,0V α∈是一个固定的非零向量。 解:(1)是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈,有 (2)是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈,有 (3)不是。因为 而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ (4)不是。因为0()f k k ααα=+,而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ (5)不是。因为0()f αβα+=,而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合,有§4.5,V 是F 上2 n 维线性空间, 设A V ∈是固定元,对任意M V ∈,定义 ()f M MA AM =+ 证明,f 是V 的一个线性变换。 证明:,,M N V k F ?∈∈,则 所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =,(,,)x y z V α=∈,定义

(完整word版)高等代数(北大版)第一学期考试卷2

…………….……………..装……………………订………………..线……… …….…………….. 阜阳师范学院 —— 学年度第 一 学期考试卷 数学与计算科学 学院 2008级数学与应用 专业 高等代数 课程,共 4 页, 第1页,共印刷 420 份, 2008 年 01 月 12 日 08:00 — 09:40 考试,任课教师 拟题 教研室 学号 一 判断题(每题1分,共5分) 1若不可约多项式()p x 是()f x '的1k -重因式,则它是()f x 的k 重因式。( ) 2排列542163是偶排列。 ( ) 3在有理数域上,存在任意次数的不可约多项式。( ) 4 任意一个向量组必有极大线性无关组。( ) 5 有相同秩的两向量组必等价。 ( ) 二 单项选择题(每题3分,共15 分) 1如果排列121n n x x x x -的逆序数为k ,那么排列121n n x x x x -的逆序数是( ) A k n n +-2)1( B k n n ++2)1( C k n n --2)1( D k n n -+2)1( 2 若多项式1()f x ,2()f x ,3()f x 互素,则( ) A 若()()121(),()f x f x d x =,()()232(),()f x f x d x =,则()12(),()1d x d x = B 1()f x ,2()f x 必互素 C 1()f x ,2()f x ,3()f x 两两互素 D 存在()u x ,()v x ,使()()()()231u x f x v x f x += 3 向量组()()()1231,0,3,1,2 , 1,3,0,1,1 ,2,1,7,2,5ααα=-=--=,() 4 4,2,14,0,6α=的秩为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 4 设x x x x x x f 1111 231112 12)(-= ,则3x 的系数为( ) A 1 B 2 C -1 D 0 5 若 ?? ? ??=+-=++=+0 2020z z y kx z ky x kx 有非零解,则) (=k A 2k =- B 1-=k C 0=k D 2k = 三 填空题(每空3分,共21分) 1 设11231223 2315 2319 A =,则11121314223A A A A +++=__________。 2 设200222001)1()1()(+--=x x x x f ,则)(x f 的展开式中各项系数之和为_____。 3若1是多项式1224+++x bx ax 的二重根,则a =______,b =______。 4 4327104x x x -+-在有理数域上_________(可约,不可约)。 5 若321,,ααα线性无关,则133221,,αααααα+++线性_________(相关,无关)。 6 设233 3231232221131211=a a a a a a a a a ,求333233312322232113121311323232a a a a a a a a a a a a ---=_________。 班 姓名 级 学院

高等代数期末卷及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷(1) 1 ?设 f (x) = x 4 +x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2?当 t = _2,-2 . 时,f(x)=x 3 —3x+t 有重因式。 3.令f(x),g(x)是两个多项式,且f(x 3) xg(x 3)被x 2 x 1整除,则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2 =23 。 1 1 — -2 0 1 x , 2x 2 2x 3 x 4 二 0 7. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为 x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0 题号 -一- -二二 -三 四 五 六 七 总分 得分 、填空(共35分,每题5 分) 得分 4.行列式 1 -3 5. ■’4 10" 1 0 3 -1、 -1 1 3 '9 -2 -1 2 1 0 2」 2 0 1 < 9 9 11 <1 3 4 丿 6. z 5 0 0 1 -1 <0 2 1; 0-2 3 矩阵的积

c 亠5 刘=2x3 X4 4 x3, x4任意取值。X2 二-2x^ --x4

、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。求证 当且仅当(f(x) g(x), f(x)g(x))=1。 证:必要性.设(f(x) g(x), f (x)g(x)) =1。(1% 令 p(x)为 f (x) g (x), f (x)g(x)的不可约公因式,(1% 则由 p(x) | f (x)g (x)知 p(x)| f (x)或 p(x) |g(x) o (1%) 不妨设 p(x) | f (x),再由 p(x)|(f(x) g (x))得 p(x) | g(x)。故 p(x) |1 矛盾。(2%) 充分性.由(f (x) g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使 u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%) 从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%) 故(f (x), g(x)) =1 o (1%) ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1 有唯一解、没有解、有无穷解?在有解情况下求其解。 解: a b 2 1 a b 2 1 a 2b -1 3 1 T 0 b —1 1 0 b J* b+3 2b-1 , b+1 2b-2 ‘ (5%) a 2 - b 0 1 0 b -1 1 0 L 0 0 b+1 2b —2 当b =1时,有无穷解:X 3 = 0, X 2 = 1 - a%,人任意取值; 当a =0,b =5时,有无穷解:x 1 = k,x^ --3,x^ 4 ,k 任意取值;(3%) 当b = T 或a =0且b =二1且b = 5时,无解。(4%) 三、(16分)a,b 取何值时,线性方程组 当a(b 2 T) = 0时,有唯一解: 5-b a(b 1) X 2 2 b+1 x3 = 2b -2 b 1 ;4%) (f(x),g(x)) =1

高等代数试题附答案

高等代数试题附答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

科目名称:《高等代数》 姓名: 班级: 考试时间:120分钟 考试形式:闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题(每小题5分,共25分) 1、在[]X P 中,向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ,一个最大无关组为 .。 3、(维数公式)如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间,那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ,特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题(每小题2分,共20分) 1、如果r a a a ,,,21 线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。( ) 2、在][x P 中,定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0,是一固定的数,那么变换A 是线性变换。( ) 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。( ) 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。( ) 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量,那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。( ) 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。( )

高等代数北京大学第三版北京大学精品课程

第一学期第一次课 第一章 代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念 一个集合,如果在它里面存在一种或若干种代数运算,这些运算满足一定的运算法则,则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数,且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的,即对K 内任意两个数a 、b (a 可以等于b ),必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时,,且当,,则称K 为一个数域。 例1.1 典型的数域举例: 复数域C ;实数域R ;有理数域Q ;Gauss 数域:Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q },其中i =1-。 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知,存在一个元素0≠∈a K a ,且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10, 。 进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。 最后,∈?n m ,Z 0>, K n m ∈,K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?;把 A 和 B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后 剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \。 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ). (, :a f a B A f → 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即{}A a a f A f ∈=|)()(。 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号

厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)

10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师:杜妮、林鹭 试卷类型:(A 卷) 2011.1.13 一、 单选题(32 分. 共 8 题, 每题 4 分) 1) 设b 为 3 维行向量, 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ,则____。C A)对任意的b ,V 均是线性空间;B)对任意的b ,V 均不是线性空间;C)只有当 0 b = 时,V 是线性空间;D)只有当 0 b 1 时,V 是线性空间。 2)已知向量组 I : 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II : 12 ,,..., t b b b 线性表示,则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关,则s t £ ;B)若向量组 I 线性相关,则s t > ; C)若向量组 II 线性无关,则s t £ ;D)若向量组 II 线性相关,则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ,方程个数为m ,系数矩阵 A 的秩为 r ,则____。 D A)当r n < 时,方程组AX b = 有无穷多解; B) 当r n = 时,方程组AX b = 有唯一解;C)当r m < 时,方程组AX b = 有解;D)当r m = 时,方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵,B 是n m ′ 阶矩阵,且AB I = ,则____。A A)(),() r A m r B m == ;B)(),() r A m r B n == ;C)(),() r A n r B m == ; D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ,则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ; B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ; C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ;D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射,dim V ,dim U n m == 。若m n < ,则j ____。B A)必是单射; B)必非单射; C)必是满射;D)必非满射。

《高等代数》试题库

《高等代数》试题库 一、选择题 1.在里能整除任意多项式的多项式是()。 .零多项式.零次多项式.本原多项式.不可约多项式 2.设是的一个因式,则()。 .1 .2 .3 .4 3.以下命题不正确的是()。 . 若;.集合是数域; .若没有重因式; .设重因式,则重因式 4.整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。 . 充分 . 充分必要 .必要.既不充分也不必要 5.下列对于多项式的结论不正确的是()。 .如果,那么 .如果,那么 .如果,那么,有 .如果,那么 6.对于“命题甲:将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为;命题乙:对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 .甲成立, 乙不成立;. 甲不成立, 乙成立;.甲, 乙均成立;.甲, 乙均不成立 7.下面论述中, 错误的是( ) 。 . 奇数次实系数多项式必有实根; . 代数基本定理适用于复数域; .任一数域包含;.在中, 8.设,为的代数余子式, 则=( ) 。 . . . . 9.行列式中,元素的代数余子式是()。 .... 10.以下乘积中()是阶行列式中取负号的项。 .; .;.;. 11. 以下乘积中()是4阶行列式中取负号的项。 .; .;.; . 12. 设阶矩阵,则正确的为()。 . . . . 13. 设为阶方阵,为按列划分的三个子块,则下列行列式中与等值的是() . . . . 14. 设为四阶行列式,且,则() . . . . 15. 设为阶方阵,为非零常数,则() . . . . 16.设,为数域上的阶方阵,下列等式成立的是()。 .;. ;

.; . 17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆,则结论正确的是() . . . . 18.如果,那么矩阵的行列式应该有()。 .; .;.; . 19.设, 为级方阵, , 则“命题甲:;命题乙:”中正确的是( ) 。 . 甲成立, 乙不成立;. 甲不成立, 乙成立;.甲, 乙均成立;.甲, 乙均不成立 20.设为阶方阵的伴随矩阵,则()。 . . . . 21.若矩阵,满足,则()。 .或;.且;.且;.以上结论都不正确 22.如果矩阵的秩等于,则()。 .至多有一个阶子式不为零; .所有阶子式都不为零;.所有阶子式全为零,而至少有一个阶子式不为零;.所有低于阶子式都不为零 23.设阶矩阵可逆,是矩阵的伴随矩阵,则结论正确的是()。 .;.;.;. 24. 设为阶方阵的伴随矩阵,则=() . . . . 25.任级矩阵与-, 下述判断成立的是( )。 . ; .与同解; .若可逆, 则;.反对称, -反对称 26.如果矩阵,则() . 至多有一个阶子式不为零;.所有阶子式都不为零.所有阶子式全为零,而至少有一个阶子式不为零;.所有低于阶子式都不为零 27. 设方阵,满足,则的行列式应该有()。 . . . . 28. 是阶矩阵,是非零常数,则 ( )。 . ; . ;. . 29. 设、为阶方阵,则有(). .,可逆,则可逆 .,不可逆,则不可逆 .可逆,不可逆,则不可逆.可逆,不可逆,则不可逆 30. 设为数域上的阶方阵,满足,则下列矩阵哪个可逆()。 . . . 31. 为阶方阵,,且,则()。 .; .;.;. 32. ,,是同阶方阵,且,则必有()。 . ; . ;.. 33. 设为3阶方阵,且,则()。 .;.;.;. 34. 设为阶方阵,,且,则(). . .或. . 35. 设矩阵,则秩=()。 .1 .2 .3 .4

大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) . d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) . 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) . 求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求.x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) . 求dx x x ?+30 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422Y 11、(本小题5分) .求? π +20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) .,求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 .y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分)

《高等代数》(上)题库

《高等代数》(上)题库 第一章多项式 填空题 (1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5,用x+1除f(x)余数为7,则用x2-1除f(x)余数 是。 (1.5)2、当p(x)是多项式时,由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或 p(x)|g(x)。 (1.4)3、当f(x)与g(x) 时,由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 (1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3,用x-1除余数为5,那么a= b 。 (1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3,则k= 。 (1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b,则a= b= 。 (1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根,那么k= 。 (1.8)8、以l为二重根,2,1+i为单根的次数最低的实系数多项式为 f(x)= 。 (1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根,则f(x)的全部根 是。 (1.4)10、如果(f(x),g(x))=1,(h(x),g(x))=1 则。 (1.5)11、设p(x)是不可约多项式,p(x)|f(x)g(x),则。 (1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),则。 (1.5)13、设p(x)是不可约多项式,f(x)是任一多项式,则。 (1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则。 (1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x),则。 (1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),且(g(x),h(x))=1,则。(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。 (1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。 (1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。 (1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。 答案 1、-x+6 2、不可约 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=±2

大一上学期(第一学期)高数期末考试题xcsf

高等数学I 1. 当0x x →时,()(),x x αβ都是无穷小,则当0x x →时( D )不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 2 2βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是( C ). (A ) 1 (B ) e (C ) a e cot (D ) a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续,则a =( D ). (A ) 1 (B ) 0 (C ) e (D ) 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导,那么=--+→h h a f h a f h )2()(lim 0( A ). (A ) )(3a f ' (B ) )(2a f ' (C) )(a f ' (D ) ) (31 a f ' 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x ),则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++ - . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行,则直 线l 的方程为 13 1211--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 (-∞,0)和(1,+∞ ) . 三、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分) 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-.

高等代数试题及答案

. . 中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.

授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页

中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明:设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,,是V 上的线性变换,且= . 证明: 的值域与核都是 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ????????? ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证:()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==

中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解:A =???? ????????1111111111111111, 3|(4)E A λλλ-=-|,所以特征值为0,4(3重). 将特征值代入,求解线性方程组()0E A x λ-=,得4个线性无关的特征向量(答案可以不唯一),再正交单位化,得4个单位正交向量: 11111 ,,,)'2222α=( ,2α=, 3α= ,4'6662α--=(-. 所以正交阵1 2612 610210 2 2T ?-????-? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证:(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ,D 为循环阵, 00n k k k E D E -?? = ??? ,(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.

高等代数北大版习题参考答案

第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =,

(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。 4) 由定义,知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα , α== β==

高等代数2013-2014第一学期考试卷A答案

高等代数第一学期考试卷答案(A 卷) 考试(考查):考试 时间:2007年 1 月 日 本试卷共6页,满分100 分; 考试时间:120 分钟 一、选择题(本大题共8个小题,每空4分,共32分.请 在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案,并将其号码填入题后的括号内). 1、若n 阶矩阵A 与B 相似,则 【 A 】 A. A 与B 有相同特征值 B. A 与B 有不同特征值 C. A 与B 有相同特征向量 D. A 与B 有不同特征向量 2、下列向量组中,线性无关的是 【 D 】 A .}0{ B .},,0{βα C .1221{,, ,},r m ααααα=其中 D .},,,{21r ααα ,其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合. 3、已知112212112212(,),(,)(,),(,)a a b b c c d d ααββ====与是向量空间2 F 的两个基, 则从基{}12,αα到基{}12,ββ的过渡矩阵为 【 A 】 A .1 111 12222a b c d a b c d -???? ? ????? B .1 1 11 12222c d a b c d a b -???? ? ????? C .1121 21 21 2a a c c b b d d -???? ? ????? D .1 1 21 21 21 2c c a a d d b b -???? ? ????? 4、下列子集中,作成向量空间R n 的子空间的是 【B 】 A . 121 {(,, ,)|1} n n i i a a a a ==∏ B . } 0|),,,{(121∑==n i i n a a a a C .12{(,, ,)|,1,2, ,}n i a a a a Z i n ∈= D . } 1|),,,{(1 21∑==n i i n a a a a 5、欧氏空间V 的线性变换σ是对称变换的充要条件是V ∈?βα,,都有 【 C 】

高等代数真题答案

第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.

3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.

6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????

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