最短路径问题——和最小
【典型例题】1、已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
2、如图，抛物线y ＝12
x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；
（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．
3、已知，如图，二次函数y ＝ax 2＋2ax ﹣3a （a ≠0）图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 点右侧），点H 、B 关于直线l ：y ＝33x ＋3对称． （1）求A 、B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ，求HN ＋NM ＋MK 和的最小值．
4．如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A（－1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a＋1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．
第十三章轴对称 13.4 课题学习最短路径问题【教材分析】 【教学流程】 前面我们研究过一些关于“两点的所有连 线段最短”、“连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题， 我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常 涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学 知识探究数学史中著名的“将军饮马问题” 探索最短路径问题 相传，古希腊亚历山大里亚城里 有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天， 一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其 地出发，到一条笔直的河边 地．到河边什么地方饮马可 精通数学、物理学的海伦稍加思索，
你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 从A地出发，到河边l饮马，然 (2)在河边饮马的地点有无穷多 把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 为直线上的一个动点，上面的问题 当点C在l的什么位置时， (如图)． 对于问题2，如何将点 处，满足直线l上的任意一点 CB′的长度相等？ ：你能利用轴对称的有关知识，到上问中符合条件的点B′吗？ 作法： 关于直线l的对称点 ，与直线l交于点 即为所求． 你能用所学的知识证明
展示点评：从A到B要走的路线是 ，如图所示，而MN 是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可． a上取任意一点M′，作 AM，使点M′移动到点 移动到点A′的位置，连接 ，过点N作MN⊥a于点 最短． 理由如下：如图，点M′为直线 重合)， N′是线段AM平移得到的 MN′，A′N′＝AM MN′＋BN′＝A′N′＋AA′ 平行AA′且MN＝AA′