第二章特殊三角形单元测试
一、单选题（共10题；共30分）
1、已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）
A、25海里
B、30海里
C、35海里
D、40海里
2、如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（）
A、（1，2）
B、（2，2）
C、（3，2）
D、（4，2）
3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若BC=9，CD=3，则△ADB的面积是（）
A、27
B、18
C、18
D、9
4、如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）
A、AC=AD
B、AB=AB
C、∠ABC=∠ABD
D、∠BAC=∠BAD
5、在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）
A、75°
B、60°
C、45°
D、30°
A、a2＞b2
B、a2＜b2
C、a2≥b2
D、a2≤b2
7、图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B 在围成的正方体中的距离是（）
A、0
B、1
C、
D、
A、假定CD∥EF
B、已知AB∥EF
C、假定CD不平行于EF
D、假定AB不平行于EF
9、如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M 是OP的中点，则DM的长是（）
A、2
B、
C、
D、
10、在△ABC中，∠B=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，则下列等式中成立的是（）
A、a2+b2=c2
B、b2+c2=a2
C、a2+c2=b2
D、c2﹣a2=b2
二、填空题（共8题；共24分）
11、用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设 ________
12、在△ABC和△MNP中，已知AB=MN，∠A=∠M=90°，要使△ABC≌△MNP，应添加的条件
是 ________ ．（只添加一个）
13、如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是________
14、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行________ 米．
15、如图是一段楼梯，高BC是3米，斜边AC是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯
________米．
16、如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为
________ m2．
17、在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的边长为7cm，则正方形a，b，c，d的面积之和是________ cm2．
18、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为________．
三、解答题（共5题；共40分）
19、已知直线m、n是相交线，且直线l1⊥m，直线l2⊥n．求证：直线l1与l2必相交．
20、在一个直角三角形中，如果有一个锐角为30度，且斜边与较小直角边的和为18cm，求斜边的长．
21、如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东30°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东60°的方向以每小时6海里速度前进，两小时后，甲船到M岛，乙船到N岛，求M岛到N岛的距
离．
22、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于多少cm？
23、如图所示，△ABC中，D为BC边上一点，若AB=13cm，BD=5cm，AD=12cm，BC=14cm，求AC的长．
四、综合题（共1题；共6分）
24、如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB=16，BC=12．
(1)△ABD与△CBD的面积之比为________；(2)若△ABC的面积为70，求DE的长．
答案解析
一、单选题
1、【答案】D
【考点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离。
【解答】∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里，
根据勾股定理得：（海里)，
2小时后两船相距40海里，
故选D.
【点评】解答本题的关键是熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单。
2、【答案】 C
【考点】坐标与图形变化-对称
【解析】【解答】∵点P（﹣1，2），∴点P到直线x=1的距离为1﹣（﹣1）=2，∴点P关于直线x=1的对称点P′到直线x=1的距离为2，∴点P′的横坐标为2+1=3，
∴对称点P′的坐标为（3，2）．故选C．
【分析】先求出点P到直线x=1的距离，再根据对称性求出对称点P′到直线x=1的距离，从而得到点P′的横坐标，即可得解．
3、【答案】D
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，BC=9，
∴AB==6，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∴DE=CD=3，
∴△ADB的面积=AB?DE=×6×3=9．
故选D．
【分析】根据∠C=90°，∠B=30°，BC=9，求得AB==6，根据角平分线的性质得到DE=CD=3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
4、【答案】A
【考点】直角三角形全等的判定
【解析】【解答】解：需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：
若添加的条件为BC=BD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
若添加的条件为AC=AD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．
故选A．
【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC=BD或AC=AD．
5、【答案】D
【考点】直角三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，
∴另一个锐角的度数是90°﹣60°=30°．
故选D．
【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质列式进行计算即可得解．
7、【答案】C
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示：
根据题意得：∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB=
故选：C．
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AB的长，即可得出结果．
9、【答案】C
【考点】角平分线的性质，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线，勾股定理
【解析】【解答】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，
∵CP∥OA，
∴∠AOP=∠CPO，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=CP=2，
∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，
∴∠CPE=30°，
∴CE= CP=1，
∴PE= = ，
∴OP=2PE=2 ，
∵PD⊥OA，点M是OP的中点，
∴DM= OP= ．
故选：C．
【分析】由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．
10、【答案】C
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，∴a2+c2=b2．
故选：C．
【分析】勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．依此即可求解．
二、填空题
11、【答案】一个三角形中至少有两个钝角
【考点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，
故证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．
故答案为：一个三角形中至少有两个钝角．
【分析】根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可．12、【答案】BC=NP
【考点】直角三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据直角三角形的判定定理HL，
已知AB=MN，∠A=∠M=90°，
再加上BC=NP，即可使△ABC≌△MNP，
故填：BC=NP
【分析】根据直角三角形的判定定理HL，题目中以经给出了一条直角边对应边，再添加一个斜边相等的条件，或再加一个锐角相等的条件也可，总之此题答案不唯一．
13、【答案】11cm≤a≤12cm
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，
如图所示：此时，AB==13cm，
故a=24﹣13=11cm．
所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm．
故答案是：11cm≤a≤12cm．
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
14、【答案】10
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，设大树高为AB=12m，
小树高为CD=6m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），
在Rt△AEC中，
AC==10（m）．
故小鸟至少飞行10m．
故答案为：10．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
15、【答案】7
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC=3m，AC=5m ∴AB= = =4（m），
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=7米．
故答案为：7．
【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高=3m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，连接AC．在△ACD中，∵AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，
∴AC=15m，
又∵AC2+BC2=152+202=252=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块地的面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积= ×15×20﹣×9×12=96（平方米）．
故答案为：96．
【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，那么△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
17、【答案】147
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，
正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，
又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，
∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2），
则所有正方形的面积的和是：49×3=147（cm2）．
故答案为：147．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可．
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF=DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴S Rt△ADF=S Rt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S Rt△DEF=S Rt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为60和38，
∴38+S Rt△DEF=60﹣S Rt△DGH，
∴S Rt△DEF=11，
故答案为：11．
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解．
三、解答题
19、【答案】证明：假设直线l1与l2不相交，则两直线平行．
∵l1∥l2，线l1⊥m，直线l2⊥n．
∴m∥n，
与直线m、n是相交线相矛盾．
则l1和l2平行错误，则直线l1与l2必相交．
【考点】反证法
【解析】【分析】假设直线l1与l2不相交，则两直线平行，即可证得m∥n，与已知矛盾，从而证得．20、【答案】解：设斜边为acm，∵在直角三角形中，有一个锐角为30度，
∴则较小的直角边为acm，
∴a+ a=18，解得a=12cm．
【考点】含30度角的直角三角形
【解析】【分析】设斜边为acm，利用含30度的直角三角形的性质可得较小的直角边为acm，列方程求解即可．
21、【答案】解：根据条件可知：BM=2×8=16（海里），BN=2×6=12（海里）．∵∠MBN=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴△BMN是直角三角形，
∴MN= = =20（海里）
答：M岛与N岛之间的距离是20海里．
【考点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据条件可以证得△BMN是直角三角形，求得BN与BM的长，根据勾股定理即可求得MN的长．
22、【答案】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，由勾股定理，得
BC= =4．
由翻折的性质，得
CE=AE．
△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm．
答：△ABE的周长等于7cm．
【考点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据翻折的性质，可得AE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．
23、【答案】解：∵AB=13cm，BD=5cm，AD=12cm，∴AB2=169，AD2+BD2=25+144=169，
∴AB2=AD2+BD2，
∴AD⊥BC，
∵BC=14cm，BD=5cm，
∴DC=9cm，AD=12cm，
∴AC= =15（cm），
答：AC的长为15cm．
【考点】勾股定理
【解析】【分析】首先利用勾股定理的逆定理得出AD⊥BC，进而利用勾股定理得出AC的长．
四、综合题
24、【答案】（1）4：3
（2）解：∵△ABC的面积为70，△ABD与△CBD的面积之比为4：3，
∴△ABD的面积为40，又AB=16，
则DE=5
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵BD是△ABC的角平分线，
∴ = = ，
∴ = ，
∴△ABD与△CBD的面积之比为4：3；
【分析】（1）根据角平分线的性质： = 求出的值，根据高相等的两个三角形的面积之比等于底的比求出△ABD与△CBD的面积之比；（2）根据（1）求出的△ABD与△CBD的面积之比，得到△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DE．