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摘要 (1)
1.设计意义与要求 (2)
1.1设计意义 (2)
1.2设计要求 (2)
2.牛顿—拉夫逊算法 (3)
2.1牛顿算法数学原理： (3)
2.2 直角坐标系下牛顿法潮流计算的原理 (4)
3 详细设计过程 (9)
3.1节点类型 (9)
3.2待求量 (9)
3.3导纳矩阵 (9)
3.4潮流方程 (10)
3.5修正方程 (11)
4.程序设计 (14)
4.1 节点导纳矩阵的形成 (14)
4.2 计算各节点不平衡量 (15)
4.3 雅克比矩阵计算............................................................................................................................ - 17 -
4.4 LU分解法求修正方程................................................................................................................... - 19 -
4.5 计算网络中功率分布.................................................................................................................... - 22 -
5.结果分析.................................................................................................................................................... - 22 -
6.小结............................................................................................................................................................ - 25 - 参考文献........................................................................................................................................................ - 26 - 附录：............................................................................................................................................................ - 27 -
摘要
潮流计算是电力网络设计及运行中最基本的计算，对电力网络的各种设计方案及各种运行方式进行潮流计算，可以得到各种电网各节点的电压，并求得网络的潮流及网络中各元件的电力损耗，进而求得电能损耗。
在数学上是多元非线性方程组的求解问题，求解的方法有很多种。牛顿—拉夫逊法是数学上解非线性方程式的有效方法，有较好的收敛性。将牛顿法用于潮流计算是以导纳矩阵为基础的，由于利用了导纳矩阵的对称性、稀疏性及节点编号顺序优化等技巧，使牛顿法在收敛性、占用内存、计算速度等方面都达到了一定的要求。
本文以一个具体例子分析潮流计算的具体方法，并运用牛顿—拉夫逊算法求解线性方程
关键词：电力系统潮流计算牛顿—拉夫逊算法
1.设计意义与要求
1.1设计意义
潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，他的任务是对给定运行条件确定系统运行状态，如各母线上的电压（幅值及相角）、网络中的功率分布及功率损耗等。潮流计算的结果是电力系统稳定计算和故障分析的基础。
具体表现在以下方面：
(1)在电网规划阶段,通过潮流计算,合理规划电源容量及接入点,合理规划网架,选择无功补偿方案,满足规划水平的大、小方式下潮流交换控制、调峰、调相、调压的要求。
(2)在编制年运行方式时,在预计负荷增长及新设备投运基础上,选择典型方式进行潮流计算,发现电网中薄弱环节,供调度员日常调度控制参考,并对规划、基建部门提出改进网架结构,加快基建进度的建议。
(3)正常检修及特殊运行方式下的潮流计算,用于日运行方式的编制,指导发电厂开机方式,有功、无功调整方案及负荷调整方案,满足线路、变压器热稳定要求及电压质量要求。
(4)预想事故、设备退出运行对静态安全的影响分析及作出预想的运行方式调整方案。
总结为在电力系统运行方式和规划方案的研究中，都需要进行潮流计算以比较运行方式或规划供电方案的可行性、可靠性和经济性。同时，为了实时监控电力系统的运行状态，也需要进行大量而快速的潮流计算。因此，潮流计算是电力系统中应用最广泛、最基本和最重要的一种电气运算。在系统规划设计和安排系统的运行方式时，采用离线潮流计算；在电力系统运行状态的实时监控中，则采用在线潮流计算。
1.2设计要求
1）根据给定的运行条件，确定图中电力系统潮流计算时各节点的类型、待求量；
2）求节点导纳矩阵；
3）给出潮流方程或功率方程的表达式；
4）当用牛顿—拉夫逊法计算潮流时，给出修正方程和迭代收敛条件；
2.牛顿—拉夫逊算法
2.1牛顿算法数学原理：
牛顿法 （Newton Method ）：解非线性方程 f(x)=0 的牛顿(Newton) 法，就是将非线性方程线性化的一种方法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一。
设有单变量非线性方程()0=x f ，给出解的近似值()0x ，它与真解的误差为()0x ?，则
()()0
0x
x x ?+=将满足()0=x f ，即
()()()
00
0=?+x x f 将上式左边的函数在()0x 附近展成泰勒级数，如果差值()0x ?很小，()0x ?二次及以上阶次的各项均可略去得：
()()()()()()()
()00000'0f x x f x f x x +?=+?=
这是对于变量的修正量()0x ?的线性方程式，成为修正方程，解此方程可得修正量
()
()
()()()
000
'
f x x
f x ?=- 用所求得的()0x ?去修正近似解，便得
()()()()()
()()()
010000
'
f x x x x x f x =+?=-
修正后的近似解()1x 同真解仍然有误差。为了进一步逼近真解，可以反复进行迭代计算，迭代计算通式是
()
()
()
()()()
k 1'
k k k
f x x
x
f x +=- 迭代过程的收敛判据为()()()2
1εε
k x x f 或 式中，1ε和2ε为预先给定的小正数。
牛顿-拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐步线性化的方法，此法不仅用于求单变量方程，也适用于多变量非线性代数方程的有效方法。
牛顿法至少是二阶收敛的，即牛顿法在单根附近至少是二阶收敛的，在重根附近是线性收敛的。
牛顿法收敛很快，而且可求复根，缺点是对重根收敛较慢，要求函数的一阶导数存在。
2.2 直角坐标系下牛顿法潮流计算的原理
采用直角坐标时，节点电压可表示为
i
i i jf e V += 导纳矩阵元素则表示为
ij ij ij jB G Y +=
将上述表示式代入n
i j i i i i i ij
j i
S P jQ U I U Y U *
**
==+==∑ 的右端，展开并分出实部和虚部，便得
11()()
n n
i i ij j ij j i ij j ij j j j P e G e B f f G f B e ===-++∑∑ 1
1
()()n n
i i ij j ij j i ij j ij j j j Q f G e B f e G f B e ===
--+∑∑
假定系统中的第1，2，3，···，m 号节点为PQ 节点，第i 个节点的给定功率设为is P 和
is Q ，对该节点可列写方程
1
1
()()0n
n
i is i is i ij j ij j i ij j ij j j j P P P P e G e B f f G f B e ==?=-=---+=∑∑
1
1
()()0n n i is i is i ij j ij j i ij j ij j j j Q Q Q Q f G e B f e G f B e ==?=-=--++=∑∑
（i=1,2，···，m ）
假定系统中的第m+1，m+2，···，n-1号节点为PV 节点，则对其中每一个节点可以列写方程
??
?
?
?
=+-=-=?=+---=-=?∑∑==0)(0)()(2
2222211i i is i is i n
j n
j j ij j ij i j ij j ij i is i is i f e V V V V e B f G f f B e G e P P P P （i=m+1，m+2，···，n-1）
第n 号节点为平衡点，其电压n n n jf e V +=是给定的，故不参加迭代。
以上两个方程组总共包含了2（n-1）个方程，待求的变量有1111,,...,,--n n f e f e 也是2（n-1）
?
???
?
???
?
?
个。我们还可看到，上面两个方程式已经具备了方程组的形式。
因此，不难写出如下的修正方程式
V J W ?-=?
式中
[]
T
n n m m m m V P V P Q P Q P W 2
1121111......--++????????=?
[]T n n m m m m f e f e f e f e V 111111......--++????????=?
?????????
?
?
??????
?????
??
??????????????????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????=----+-+---------+-+------+-+++++++++-+-+++++++++--++--++--++--++112
112112112121211
211211111111111111112
1121121121212112112111111111111
1
1111111
111111111111111111111111111111111
1
n n n n m n m n m n m n n n n n n n m n m n m n m n n n n m n m m m m m m m m m m m n m n m m m m m m m m m m m n m n m m m m m m m m m m m
n m n m m m m m m m m m m m n n m m m m n n m m m m f V e V f V e V f V e V f V e V f P e P f P e P f P e P f P e P f V e V f V e V f V e V f V e V f P e P f P e P f P e P f P e P f Q e Q f Q e Q f Q e Q f Q e Q f P e P f P e P f P e P f P e P f Q e Q f Q e Q f Q e Q f Q e Q f P e P f P e P f P e P f P e P J
上述方程中雅克比矩阵的各元素，可以对上式求偏导数获得。 当j i ≠时
22()0
i i
ij i ij i j j i i ij i ij i j j
i i
j j P Q G e B f e f P Q B e G f f e V V e f ?????=-=-+????
??????
==-??????????==????
当i j =时
???
???
??
?
?
???
???
???
-=???-=???++--=???-++=???-++-=???----=???∑∑∑∑====i
i i
i
i
i n
k i ii i ii k ik k ik i i
n k i ii i ii k ik k ik i i
n k i ii i ii k ik k ik i i
n
k i ii i ii k ik k ik i i f f V e e V f B e G f B e G f Q f G e B e B f G e Q f G e B e B f G f P f B e G f B e G e P 22)()()()(2
21
111
修正方程式还可以写成分块矩阵的形式
?????
???????????
??
??
?
??????-=?
?
??
??
?????????--------1211.12.11
.11.22221
1.11211121n n n n n n n n V V V J J J J J J J J J W W W
式中，i W ?和i V ?都是二维列向量；ij J 是22?介方阵。
??
?
?????=?i i i f e V
对于PQ 节点
??
?
?????=?i i i Q P W ??
??
?
????
???????????????=j i j
i j i j
i ij f Q e Q f P e
P J 对于PV 节点
???
???????=?2i i i V P W
???
??
?
?
????
???????????????=j i j i j i j
i ij f V e V f P e
P J 22 从以上表达式可以看到，雅克比矩阵有以下特点：
（1）雅克比矩阵各元素都是节点电压的函数，它们的数值将在迭代过程中不断的改
变。
（2）雅克比矩阵的子块ij J 中的元素的表达式只用到导纳矩阵中的对应元素ij Y 。若
0=ij Y ，则必有0=ij J 。因此，式中分块形式的雅克比矩阵同节点导纳矩阵一样稀疏，修正方程的求解同样可以用稀疏矩阵的求解技巧。
（3）雅克比矩阵的元素或子块都不具有对称性。
用牛顿-拉夫逊法计算潮流的流程：首先要输入网络的原始数据以及各节点的给定值并形成节点导纳矩阵。输入节点电压初值)0(i e 和)0(i f ，置迭代计数k=0。然后开始进入牛顿法的迭代过程。在进行第k+1次迭代时，其计算步骤如下：
（1）按上一次迭代计算出的节点电压值)
(k e
和)(k f ，计算各类节点的不平衡量)(k i P ?、
)(k i Q ?和)(2k i V ?。
（2）按条件校验收敛，即
{}
(k)()2()i max P ,,k k i i Q V ???<ε
如果收敛，迭代到此结束，转入计算各线路潮流和平衡节点的功率，并打印输出计算结果。不收敛则继续计算。
（3）计算雅克比矩阵的各元素。
（4）解修正方程式，求节点电压的修正量)(k i e ?和)(k i f ?。 （5）修正各节点的电压
)()()1()()()1(,k i k i k i k i k i k i f f f e e e ?+=?+=++
（6）迭代计数加1，返回第一步继续迭代过程。
3 详细设计过程
3.1节点类型
电力系统潮流计算中，节点一般分为如下几种类型：
PQ节点：节点注入的有功功率无功功率是已知的
PV节点：节点注入的有功功率已知，节点电压幅值恒定，一般由无功储备比较充足的电厂和电站充当；
平衡节点：节点的电压为1*exp(0°)，其注入的有功无功功率可以任意调节，一般由具有调频发电厂充当。
更复杂的潮流计算，还有其他节点，或者是这三种节点的组合，在一定条件下可以相互转换。
对于本题目，节点分析如下：
节点1给出有功功率为2，无功功率为1， PQ节点。
节点2给出有功功率为0.5，电压幅值为1.0，PV节点。
节点3电压相位是0，电压幅值为1，平衡节点。
3.2待求量
节点1待求量是V，δ；
节点2待求量是Q，δ；
节点3待求量是P，Q。
3.3导纳矩阵
导纳矩阵分为节点导纳矩阵、结点导纳矩阵、支路导纳矩阵、二端口导纳矩阵。
结点导纳矩阵：对于一个给定的电路(网络)，由其关联矩阵A与支路导纳矩阵Y所确定的矩阵。
支路导纳矩阵：表示一个电路中各支路导纳参数的矩阵。其行数和列数均为电路的支路总数。
二端口导纳矩阵：对应y于二端口网络方程，由二端口参数组成
节点导纳矩阵：以导纳的形式描述电力网络节点注入电流和节点电压关系的矩阵。它给出了电力网络连接关系和元件特性的全部信息，是潮流计算的基础方程式。
本例应用结点导纳矩阵
具体计算时，根据如下公式：
∑+=Y j
ij i ii y y 0
ik ik y -=Y
由题给出的导纳可求的节点导纳矩阵如下：
5.525.1131211j y y -=+=Y 73.1232122j y y -=+=Y 5.655.1323133j y y -=+=Y 35.02112j +-=Y =Y
5.275.03113j +-=Y =Y 48.03223j +-=Y =Y 进而节点导纳矩阵为：
3.4潮流方程
网络方程是潮流计算的基础，如果给出电压源或电流源，便可解得电流电压分布。然而，潮流计算中，这些值都是无法准确给定的，这样，就需要列出潮流方程。
对n 个节点的网络，电力系统的潮流方程一般形式是
.
**
1
n
i i i ij j j P jQ V Y V =+=∑ （i=1,2，…，n ）
其中i Gi LDi P P P =-,LDi G i i Q Q Q -=,即PQ 分别为节点的有功功率无功功率。
????
??????++++++=j6.5-1.55j40.8-j2.50.75-j40.8-j7-1.3j30.5-j2.50.75-j30.5-j5.5-1.25Y
3.5修正方程
计算节点1的不平衡量Q i i P ??和
3
3
(0)
(0)(0)
(0)(0)(0)(0)(0)111
11
111
111
1
=[()()]2s s j j
j j
j
j j j j j P P P
P e
G
e
B f
f
G
f B e ==?-=--++=-∑∑
3
3
(0)
(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)1
11
11
111
111
1
[()()]1s s j j
j j
j
j j j j j Q
Q Q
Q f
G
e
B f
e
G
f B e ==?=-=---+=-∑∑
计算节点2的不平衡量V i i P ??和
3
3
(0)(0)(0)
(0)(0)(0)(0)(0)222
22
222
221
1
=[()()]0.5s s j j
j j
j
j j j j j P P P
P e
G
e
B f
f
G
f B e ==?-=--++=∑∑
()()0V V V 2
02
2
2S
22
=-=?
节点3是平衡节点，其电压i i jf e +=i V 是给定的，故不参加迭代。
根据给定的容许误差510-=ε，按收敛判据()()()
{}
ε
k i k i V Q P 2,,max 进行校验，以上节点1、2的不平衡量都未满足收敛条件，于是继续以下计算。 修正方程式为： V
J W ?-=? (n=3) 2112
2W [P Q P V ]T
?=???? []
1
1
2
2V T
e f e f ?=????
??????????
?
?????
???
???????????????????????????????????????????????????=2
222221221
2222221212212111112121111
1f V e V f V e V f P e P f P e P f Q e Q f Q e Q f P e P f P e
P J
以上雅可比矩阵J 中的各元素值是通过求偏导数获得的，对PQ 节点来说，
is is P Q 和是给定的，因而可以写出
()()0()()0i i s
i j i j
i i j
j
i j j
j
j j
j i
j
i
i j
i j i j
j
j
i j
j i i s
i j
j
j i
j
i
f
f f e G e G e P P B B Q Q f f f G e e G e B B
∈∈∈∈??=---
+=
???=
--++=??
∑∑∑∑
对PV 节点来说，给定量是is is
V P 和，因此可以列出 2222
()()0()0i i s i j i j i i j j i j j j i j ji ji i i s i i f f f e G e G e P P B B f V Ve ∈∈
??=---+=????=-+=?
∑∑ 当j i ≠时, 雅可比矩阵中非对角元素为
22
()0
i i
ij i ij i j j i i ij i ij i j j
i i j j P Q G e B f e f P Q B e G f f e V V e f ?????=-=-+????
??????
==-??????????==????
当j i =时,雅可比矩阵中对角元素为:
1
111
2
2
()()()()22n
i ik k ik k ii i ii i k i n i
ik k ik k ii i ii i k i n i
ik k ik k ii i ii i k i n
i
ik k ik k ii i ii i k i i i
i
i
i i P G e B f G e B f e P G f B e G f B e f Q G f B e G f B e e Q G e B f G e B f f V e e V f f ====???
=----???
???=-+-+???
???=+-+???
????
=--++??????=-???
???=-???
∑∑∑∑ 代入数值后的修正方程为：
(0)1(0)1(0)2(0)21.25 5.50.5
325.5 1.2530.510.53 1.370.500200e f e f ---?????????????---???????-=??????--???????-???????
?? 求解修正方程得：
(0)1(0)1(0)2(0)20.25470.361100.1015e f e f -?????
????-?????=?????????
-??????
?
3.6收敛条件
()()()()()()()()()
()()()1015
.01015.001
013611
.03611.007453.02547.0
1020212020212010111010111-=-=?+==-=?+=-=-=?+==-=?+=f f f e e e f f f e e e 一轮迭代结束，根据收敛条件收敛判据()()(){}
ε
k i k i V Q P 2,,max ，若等式成立，结果收敛，迭代结束，计算平衡节点的功率和线路潮流计算，否则继续计算雅可比矩阵，解修正方程，直到满足收敛判据。
4.程序设计
4.1 节点导纳矩阵的形成
导纳矩阵元素则表示为
ij ij ij jB G Y +=
//****************计算导纳矩阵******************* G[1][1]=1.25; B[1][1]=-5.5; G[2][2]=1.3; B[2][2]=-7; G[3][3]=1.55; B[3][3]=-6.5; G[1][2]=G[2][1]=-0.5; B[1][2]=B[2][1]=3; G[1][3]=G[3][1]=-0.75; B[1][3]=B[3][1]=2.5; G[2][3]=G[3][2]=-0.8; B[2][3]=B[3][2]=4; for(i=1;i<4;i++) {for(j=1;j<4;j++)
{printf("%f+(%f)j",G[i][j],B[i][j]); printf(" "); }
printf("\n");//形成节点导纳矩阵
//******************************************* }
printf("\n");
4.2 计算各节点不平衡量
假定系统中的第1，2，3···，m 号节点为PQ 节点，第i 个节点的给定功率设为is P 和
is Q ，对该节点可列写方程
1
1
()()0n n
i is i is i ij j ij j i ij j ij j j j P P P P e G e B f f G f B e ==?=-=---+=∑∑
1
1
()()0n n i is i is i ij j ij j i ij j ij j j j Q Q Q Q f G e B f e G f B e ==?=-=--++=∑∑ （i=1,2，···，m ）
假定系统中的第m+1，m+2，···，n-1号节点为PV 节点，则对其中每一个节点可以列写方程
??
?
?
?
=+-=-=?=+---=-=?∑∑==0)(0)()(2
2222211i i is i is i n
j n
j j ij j ij i j ij j ij i is i is i f e V V V V e B f G f f B e G e P P P P （i=m+1，m+2，···，n-1）
第n 号节点为平衡点，其电压n n n jf e V +=是给定的，故不参加迭代，其计算程序如下：
//计算各节点不平衡量 loop1:
printf("迭代次数k1=%d\n",k1); for (i=1;i<3;i++) {float a=0,b=0; for(j=1;j<4;j++)
{a+=G[i][j]*e[j]-B[i][j]*f[j]; b+=G[i][j]*f[j]+B[i][j]*e[j]; }
P[i]=Ps[i]-(e[i]*a+f[i]*b);//计算有功功率的增量 Q[i]=Qs[i]-(f[i]*a-e[i]*b);//计算无功功率的增量
V22=V2s*V2s-e[2]*e[2];
?
?
??
?
}
printf("有功功率增量P[1]=%f",P[1]); printf(" ,");
printf("\n");
printf("有功功率增量P[2]=%f",P[2]); printf(" ,");
printf("\n");
printf("无功功率增量Q[1]=%f",Q[1]); printf(" ,");
printf("\n");
printf("电压增量V22=%f",V22); printf("\n")
4.3 雅克比矩阵计算
上述方程中雅克比矩阵的各元素，可以对计算各点不平衡量得公式中求偏导数获得。当j i ≠时
22()0
i i
ij i ij i j j i i ij i ij i j j
i i
j j P Q G e B f e f P Q B e G f f e V V e f ?????=-=-+????
??????
==-??????????==????
当i j =时
???
?????
?
?
???
???
???
-=???-=???++--=???-++=???-++-=???----=???∑∑∑∑====i
i i
i
i
i n
k i ii i ii k ik k ik i i
n k i ii i ii k ik k ik i i
n k i ii i ii k ik k ik i i
n
k i ii i ii k ik k ik i i f f V e e V f B e G f B e G f Q f G e B e B f G e Q f G e B e B f G f P f B e G f B e G e P 22)()()()(2
2
1
111
以下为程序：
//****形成雅克比矩阵********************** for(j=1;j<3;j++) {if(1==j) {float c=0,d=0; int m;
for(m=1;m<4;m++)
{c+=G[1][m]*e[m]-B[1][m]*f[m]; d+=G[1][m]*f[m]+B[1][m]*e[m]; }
J[1*N-1][j*N-1]=-c-G[1][j]*e[1]-B[1][j]*f[1]; J[1*N-1][j*N]=-d+B[1][j]*e[1]-G[1][j]*f[1]; J[1*N][j*N-1]=d+B[1][j]*e[1]-G[1][j]*f[1]; J[1*N][j*N]=-c+G[1][j]*e[1]+B[1][j]*f[1]; }
else
{J[1*N-1][j*N-1]=-G[1][j]*e[1]-B[1][j]*f[1]; J[1*N][j*N]=G[1][j]*e[1]+B[1][j]*f[1];
J[1*N-1][j*N]=B[1][j]*e[1]-G[1][j]*f[1];
J[1*N][j*N-1]=B[1][j]*e[1]-G[1][j]*f[1];
}
}
for(j=1;j<3;j++)
{if(2==j)
{float c=0,d=0;
int m;
for(m=1;m<4;m++)
{c+=G[2][m]*e[m]-B[2][m]*f[m];
d+=G[2][m]*f[m]+B[2][m]*e[m];
}
J[2*N-1][j*N-1]=-c-G[2][j]*e[2]-B[2][j]*f[2]; J[2*N-1][j*N]=-d+B[2][j]*e[2]-G[2][j]*f[2]; J[2*N][j*N-1]=-2*e[2];
J[2*N][j*N]=-2*f[2];
}
else
{J[2*N-1][j*N-1]=-G[2][j]*e[2]-B[2][j]*f[2]; J[2*N][j*N]=0;
J[2*N-1][j*N]=B[2][j]*e[2]-G[2][j]*f[2];
J[2*N][j*N-1]=0;
}
}
printf("雅克比矩阵是:\n");
for(i=1;i<5;i++)
{for(j=1;j<5;j++)
{printf("%f",J[i][j]);
printf(" ");
}
printf("\n");
}
4.4 LU分解法求修正方程
LU分解,又称Gauss消去法,可把任意方阵分解成下三角矩阵的基本变换形式(行交换)和上三角矩阵的乘积。其数学表达式为:A=LU。其中L为下三角矩阵的基本变换形式,U为上三角矩阵。
若有矩阵Ax=b
把矩阵LU分解，求AX=b的问题就等价于求出A=LU后：因为Ly=b可求y，再因为Ux=y，可求出x。原始的求法x=A^（-1）*b,某些情况下，如果矩阵A中的数非常小，我认为不是因为大数除以小数误差大么，1/A算出的误差会很大。但LU可以把A分解成两个都比A大的矩阵的乘积，1/L的误差比1/A小的多。
求修正方程的程序如下
//********计算修正方程*************
for(i=1;i {L[i][i]=1; } for(i=1;i 摘要 本文，首先简单介绍了基于在MALAB中行潮流计算的原理、意义，然后用具体的实例，简单介绍了如何利用MALAB去进行电力系统中的潮流计算。 众所周知，电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态：各线的电压、各元件中流过的功率、系统的功率损耗等等。在电力系统规划的设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。 此外，在进行电力系统静态及暂态稳定计算时，要利用潮流计算的结果作为其计算的基础；一些故障分析以及优化计算也需要有相应的潮流计算作配合；潮流计算往往成为上述计算程序的一个重要组成部分。以上这些，主要是在系统规划设计及运行方式安排中的应用，属于离线计算范畴。 牛顿－拉夫逊法在电力系统潮流计算的常用算法之一，它收敛性好，迭代次数少。本文介绍了电力系统潮流计算机辅助分析的基本知识及潮流计算牛顿－拉夫逊法，最后介绍了利用MTALAB程序运行的结果。 关键词：电力系统潮流计算，牛顿－拉夫逊法，MATLAB ABSTRACT This article first introduces the flow calculation based on the principle of MALAB Bank of China, meaning, and then use specific examples, a brief introduction, how to use MALAB to the flow calculation in power systems. As we all know, is the study of power flow calculation of power system steady-state operation of a calculation, which according to the given operating conditions and system wiring the entire power system to determine the operational status of each part: the bus voltage flowing through the components power, system power loss and so on. In power system planning power system design and operation mode of the current study, are required to quantitatively calculated using the trend analysis and comparison of the program or run mode power supply reasonable, reliability and economy. In addition, during the power system static and transient stability calculation, the results of calculation to take advantage of the trend as its basis of calculation; number of fault analysis and optimization also requires a corresponding flow calculation for cooperation; power flow calculation program often become the an important part. These, mainly in the way of system design and operation arrangements in the application areas are off-line calculation. Newton - Raphson power flow calculation in power system is one commonly used method, it is good convergence of the iteration number of small, introduce the trend of computer-aided power system analysis of the basic knowledge and power flow Newton - Raphson method, introduced by the last matlab run results. Keywords：power system flow calculation, Newton – Raphson method, matlab 前言 电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算,它根据给定的运行件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态。在电力系统规划设计和现有电力系统运行方式的研究中,都需要利用潮流计算来定量分析、比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。本次课程设计任务是闭式网络的潮流计算，用到的方法为牛顿拉夫逊极坐标法潮流计算。 牛顿法是数学中解决非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。解决电力系统潮流计算问题是以导纳距阵为基础的，因此，只要在迭代过程中尽可能保持方程式系数距阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿法潮流程序的放率。自从20 世纪60 年代中期利用了最佳顺序消去法以后，牛顿法在收敛性、内存要求、速度方面都超过了阻抗法，成为直到目前仍在广泛采用的优秀方法。 目录 1任务书 (2) 2.模型简介及等值电路 (3) 3.设计原理 (4) 4.修正方程的建立 (7) 5.程序流程图及MATLAB程序编写 (9) 6.结果分析 (15) 7.设计总结 (25) 8.参考文献 (26) 《电力系统分析》 课程设计任务书 题目极坐标表示的牛顿拉夫逊法潮流计算程序设计学生姓名学号专业班级 设计内容与要求1. 设计要求 掌握MATLAB语言编程方法；理解和掌握运用计算机进行潮流计算的基本算法原理；针对某一具体电网，进行潮流计算程序设计。 其目的在于加深学生对电力系统稳态分析中课程中基本概念和计算方法的理解，培养学生运用所学知识分析和解决问题的能力。 2. 内容 1）学习并掌握MATLAB语言。 2）掌握变压器非标准变比概念及非标准变比变压器的等值电路。掌握节点导纳矩阵的概念及导纳矩阵的形成和修改方法。 3）掌握电力系统功率方程、变量和节点分类。 4）掌握利用极坐标表示的牛-拉法进行潮流计算的方法和步骤。 5）选择一个某一具体电网，编制程序流程框图。 6）利用MATLAB语言编写该模型的潮流计算程序，并上机调试程序，对计算结果进行分析。 7）整理课程设计论文。 起止时间2013 年7 月 4 日至2013 年7月10日指导教师签名年月日 系（教研室）主任签 名 年月日学生签名年月日 2 模型简介及等值电路 2.1课程设计模型：模型3 >> %本程序的功能是用牛顿拉夫逊法进行潮流计算n=input('请输入节点数:n='); nl=input('请输入支路数:nl='); isb=input('请输入平衡母线节点号:isb='); pr=input('请输入误差精度:pr='); B1=input('请输入由各支路参数形成的矩阵:B1='); B2=input('请输入各节点参数形成的矩阵:B2='); Y=zeros(n); e=zeros(1,n);f=zeros(1,n);V=zeros(1,n); O=zeros(1,n);S1=zeros(nl); for i=1:nl if B1(i,6)==0 p=B1(i,1);q=B1(i,2); else p=B1(i,2);q=B1(i,1); end Y(p,q)=Y(p,q)-1./(B1(i,3)*B1(i,5)); Y(q,p)=Y(p,q); Y(q,q)=Y(q,q)+1./(B1(i,3)*B1(i,5)^2)+B1(i,4)./2; Y(p,p)=Y(p,p)+1./B1(i,3)+B1(i,4)./2; end %求导纳矩阵 disp('导纳矩阵Y='); disp(Y); G=real(Y);B=imag(Y); for i=1:n e(i)=real(B2(i,3)); f(i)=imag(B2(i,3)); V(i)=B2(i,4); end for i=1:n S(i)=B2(i,1)-B2(i,2); B(i,i)=B(i,i)+B2(i,5); end P=real(S);Q=imag(S); ICT1=0;IT2=1;N0=2*n;N=N0+1;a=0; while IT2~=0 IT2=0;a=a+1; for i=1:n if i~=isb C(i)=0; D(i)=0; for j1=1:n C(i)= C(i)+G(i,j1)*e(j1)-B(i,j1)*f(j1); D(i)= D(i)+G(i,j1)*f(j1)+B(i,j1)*e(j1); end 牛顿迭代法 李保洋 数学科学学院信息与计算科学学号：060424067 指导老师：苏孟龙 摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较. 关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学； 九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性 0 引言： 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法. 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： (1)如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制. (2)方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败. 所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量. 2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成. 3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件. 1牛顿迭代法： 课程设计说明书 题目电力系统分析系(部) 专业(班级) 学号 指导教师 起止日期 电力系统分析课程设计任务书系（部）：专业：指导教师： 目录 一、潮流计算基本原理 1.1潮流方程的基本模型 1.2潮流方程的讨论和节点类型的划分 1.3、潮流计算的意义 二、牛顿－拉夫逊法 2.1牛顿-拉夫逊法基本原理 2.2节点功率方程 2.3修正方程 2.4牛顿法潮流计算主要流程 三、收敛性分析 四、算例分析 总结 参考文献 电力系统分析潮流计算 一、潮流计算基本原理 1.1潮流方程的基本模型 电力系统是由发电机、变压器、输电线路及负荷等组成，其中发电机及负荷是非线性元件，但在进行潮流计算时，一般可以用接在相应节点上的一个电流注入量来代表。因此潮流计算所用的电力网络系由变压器、输电线路、电容器、电抗器等静止线性元件所构成，并用集中参数表示的串联或并联等值支路来模拟。结合电力系统的特点，对这样的线性网络进行分析，普通采用的是节点法，节点电压与节点电流之间的关系 V Y I = （1－1） 其展开式为 j n j ij i V Y I ∑==1 ),,3,2,1 (n i = （1－2） 在工程实际中，已经的节点注入量往往不是节点电流而是节点功率，为此必须应用联 系节点电流和节点功率的关系式 i i i i V jQ P I * -= ),,3,2,1(n i = （1－3） 将式（1－3）代入式（1－2）得到 j n j ij i i i V Y V jQ P ∑=* =-1 ),,3,2,1(n i = （1－4） 交流电力系统中的复数电压变量可以用两种极坐标来表示 i j i i e V V θ= （1－5） 或 i i i jf e V += （1－6） 而复数导纳为 潮流例题：根据给定的参数或工程具体要求（如图），收集和查阅资料；学习相关软件（软件自选：本设计选择Matlab进行设计）。 2.在给定的电力网络上画出等值电路图。 3.运用计算机进行潮流计算。 4.编写设计说明书。 一、设计原理 1．牛顿-拉夫逊原理 牛顿迭代法是取x0 之后，在这个基础上，找到比x0 更接近的方程的跟，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似跟。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0 的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。电力系统潮流计算，一般来说，各个母线所供负荷的功率是已知的，各个节点电压是未知的（平衡节点外）可以根据网络结构形成节点导纳矩阵，然后由节点导纳矩阵列写功率方程，由于功率方程里功率是已知的，电压的幅值和相角是未知的，这样潮流计算的问题就转化为求解非线性方程组的问题了。为了便于用迭代法解方程组，需要将上述功率方程改写成功率平衡方程，并对功率平衡方程求偏导，得出对应的雅可比矩阵，给未知节点赋电压初值，一般为额定电压，将初值带入功率平衡方程，得到功率不平衡量，这样由功率不平衡量、雅可比矩阵、节点电压不 平衡量（未知的）构成了误差方程，解误差方程，得到节点电压不平衡量，节点电压加上节点电压不平衡量构成新的节点电压初值，将新的初值带入原来的功率平衡方程，并重新形成雅可比矩阵，然后计算新的电压不平衡量，这样不断迭代，不断修正，一般迭代三到五次就能收敛。 牛顿—拉夫逊迭代法的一般步骤： （1）形成各节点导纳矩阵Y。 （2）设个节点电压的初始值U和相角初始值e 还有迭代次数初值为0。 （3）计算各个节点的功率不平衡量。 （4）根据收敛条件判断是否满足，若不满足则向下进行。 （5）计算雅可比矩阵中的各元素。 （6）修正方程式个节点电压 （7）利用新值自第（3）步开始进入下一次迭代，直至达到精度退出循环。 （8）计算平衡节点输出功率和各线路功率 2．网络节点的优化 １）静态地按最少出线支路数编号 这种方法由称为静态优化法。在编号以前。首先统计电力网络个节点的出线支路数，然后，按出线支路数有少到多的节点顺序编号。当由n 个节点的出线支路相同时，则可以按任意次序对这n 个节点进行编号。这种编号方法的根据是导纳矩阵中，出线支路数最少的节点所对应的行中非零元素也２）动态地按增加出线支路数最少编号在上述的方法中，各节点的出线支路数是按原始网络统计出来的，在编号过程中认为固定不变的，事实上，在节点消去过程中，每消去一个节点以后，与该节点相连的各节点的出线支路数将发生变化(增加，减少或保持不变)。因此，如果每消去一个节点后，立即修正尚未编号节点的出线支路数，然后选其中支路数最少的一个节点进行编号，就可以预期得到更好的效果，动态按最少出线支路数编号方法的特点就是按出线最少原则编号时考虑了消去过程中各节点出线支路数目的变动情况。 3．MATLAB编程应用 Matlab 是“Matrix Laboratory”的缩写，主要包括：一般数值分析，矩阵运算、数字信号处理、建模、系统控制、优化和图形显示等应用程序。由于使用Matlab 编程运算与人进行科学计算的思路和表达方式完全一致，所以不像学习高级语言那样难于掌握，而且编程效率和计算效率极高，还可在计算机上直接输出结果和精美的图形拷贝，所以它的确为一高效的科研助手。 二、设计内容 1.设计流程图 0引言 潮流是配电网络分析的基础，用于电网调度、运行分析、操作模拟和设计规划，同时也是电压优化和网络接线变化所要参考的内容。潮流计算通过数值仿真的方法把电力系统的详细运行情况呈现给工作人员，从而便于研究系统在给定条件下的稳态运行特点。随着市场经济的发展，经济利益是企业十分看重的，而线损却是现阶段阻碍企业提高效益的一大因素。及时、准确的潮流计算结果，可以给出配电网的潮流分布、理论线损及其在网络中的分布，从而为配电网的安全经济运行提供参考。从数学的角度来看，牛顿-拉夫逊法能有效进行非线性代数方程组的计算且具有二次收敛的特点，具有收敛快、精度高的特点，在输电网中得到广泛应用。随着现代计算机技术的发展，利用编程和相关软件，可以更好、更快地实现配电网功能，本文就是结合牛顿-拉夫逊法的基本原理，利用C++程序进行潮流计算，计算结果表明该方法具有良好的收敛性、可靠性及正确性。 1牛顿-拉夫逊法基本介绍 1.1潮流方程 对于N 个节点的电力网络（地作为参考节点不包括在内），如果网络结构和元件参数已知，则网络方程可表示为： =&& YV I （1-1） 式中，Y 为N*N 阶节点导纳矩阵；&V 为N*1维节点电压列向量；&I 为N*1维节点注入电流列向量。如果不计网络元件的非线性，也不考虑移相变压器，则Y 为对称矩阵。 电力系统计算中，给定的运行变量是节点注入功率，而不是节点注入电流，这两者之间有如下关系： ??=&&&EI S （1-2） 式中，&S 为节点的注入复功率，是N*1维列矢量；? &S 为&S 的共轭； ??i diag ??=???? &&E V 是由节点电压的共轭组成的N*N 阶对角线矩阵。 由（1-1）和（1-2），可得： ??=&&&S EYV 上式就是潮流方程的复数形式，是N 维的非线性复数代数方程组。将其展开，有： ?i i i ij j j i P jQ V Y V ∈-=∑&& j=1,2，….，N （1-3） 式中，j i ∈表示所有和i 相连的节点j ，包括j i =。 将节点电压用极坐标表示，即令i i i V V θ=∠&，代入式（1-3）中则有： ()i i i i ij ij j j j i P jQ V G jB V θθ∈-=∠-+∠∑ ()()cos sin i j ij ij ij ij j i V V G jB j θθ∈=+-∑ 故有： () ()cos sin sin cos i i j ij ij ij ij j i i i j ij ij ij ij j i P V V G B Q V V G B θθθθ∈∈?=+?? =-?? ∑∑ i=1,2,…,N （1-4） 式（1-4）是用极坐标表示的潮流方程。 而节点功率误差： (cos sin )θθ∈?=-+∑SP i i i j ij ij ij ij j i P P V V G B (1-5) (cos sin )θθ∈?=--∑SP i i i j ij ij ij ij j i Q Q V V G B (1-6) 式中：SP i P ，SP i Q 为节点i 给定的有功功率及无功功率。 1.2牛顿-拉夫逊法基本原理 1.2.1牛拉法的一般描述 牛拉法是把非线性方程式的求解过程变成反复对相应的线性方程式的求解过程，即非线性问题通过线性化逐步近似，这就是牛拉法的核心。下面以非线性方程式的求解过程来进行说明。 设电力网络的节点功率方程一般形式如下： c语言编写的牛顿拉夫逊法解潮流程序 闲来无事，最近把牛拉法用c语言重写一遍，和matlab相比，c语言编写潮流程序最大的难点在于矩阵求逆，我使用的求逆方法是初等行变换法，程序段如下： #include } //输出逆矩阵 for(i=0;i %本程序的功能是用牛顿——拉夫逊法进行潮流计算 % B1矩阵：1、支路首端号；2、末端号；3、支路阻抗；4、支路对地电纳 % 5、支路的变比；6、支路首端处于K侧为1，1侧为0 % B2矩阵：1、该节点发电机功率；2、该节点负荷功率；3、节点电压初始值% 4、PV节点电压V的给定值；5、节点所接的无功补偿设备的容量% 6、节点分类标号：1为平衡节点（应为1号节点）；2为PQ节点；% 3为PV节点； clear; n=10;%input('请输入节点数：n='); nl=10;%input('请输入支路数：nl='); isb=1;%input('请输入平衡母线节点号：isb='); pr=0.00001;%input('请输入误差精度：pr='); B1=[1 2 0.03512+0.08306i 0.13455i 1 0; 2 3 0.0068+0.18375i 0 1.02381 1; 1 4 0.05620+0.13289i 0.05382i 1 0; 4 5 0.00811+0.24549i 0 1.02381 1; 1 6 0.05620+0.13289i 0.05382i 1 0; 4 6 0.04215+0.09967i 0.04037i 1 0; 6 7 0.0068+0.18375i 0 1.02381 1; 6 8 0.02810+0.06645i 0.10764i 1 0; 8 10 0.00811+0.24549i 0 1 1; 8 9 0.03512+0.08306i 0.13455i 1 0] B2=[0 0 1.1 1.1 0 1; 0 0 1 0 0 2; 0 0.343+0.21256i 1 0 0 2; 0 0 1 0 0 2; 0 0.204+0.12638i 1 0 0 2; 0 0 1 0 0 2; 0 0.306+0.18962i 1 0 0 2; 0 0 1 0 0 2; 0.5 0 1.1 1.1 0 3; 0 0.343+0.21256i 1 0 0 2] ;%input('请输入各节点参数形成的矩阵：B2='); Y=zeros(n);e=zeros(1,n);f=zeros(1,n);V=zeros(1,n);sida=zeros(1,n);S1=zeros(nl); % % %--------------------------------------------------- for i=1:nl %支路数 if B1(i,6)==0 %左节点处于1侧 p=B1(i,1);q=B1(i,2); else %左节点处于K侧 p=B1(i,2);q=B1(i,1); end %该程序仅针对《电力系统分析下》何仰赞P61 的4节点算例。 %节点电压用直角坐标表示时的牛顿-拉夫逊法潮流计算（matlab程序，可能有小错误，仅供学习之用，如果想要通用的程序，可自己动手改或再到pudn、csdn等网站搜索更好的）%南昌大学电力061 李圣涛2009年5月编写，2012年5月上传 clc %清空command windows clear all %清空workspace %为了提高可移植性、可读性、通用性，设置以下变量 N=4; %独立节点数 NPQ=2; %PQ节点数 NPV=1; %PV节点数 K=0; %迭代次数 %请输入最大迭代次数Kmax。可从0开始，以观察第Kmax次迭代的结果 Kmax=input('\n\n 请输入最大迭代次数后回车(可从零开始) Kmax=\n'); small=10^(-5); %ε不能太小 %i为节点标号，其中1号……NPQ号为PQ节点，（NPQ+1） %号……（N-1）号为PV节点，N号节点为平衡节点 %节点导纳矩阵Y的实部 G=[1.042093 -0.588235 0 -0.453858; -0.588235 1.069005 0 -0.480769; 0 0 0 0 ; -0.453858 -0.480769 0 0.934627 ]; %节点导纳矩阵Y的虚部 B=[ -8.242876 2.352941 3.666667 1.891074 ; 2.352941 -4.727377 0 2.403846 ; 3.666667 0 -3.3333333 0 ; 1.891074 2.403846 0 -4.261590 ]; %Y矩阵 Y=complex(G,B); %给定PQ节点的Pnode、Qnode，PV节点的Pnode、Vnode。（Vnode为节点电压的幅值）Pnode=[ -0.3 -0.55 0.5 ];%PQ、PV节点的初值P Qnode=[ -0.18 -0.13 0 ];%PQ节点的初值Q Vnode=[ 0 0 1.10 ];%PV节点的初值V %迭代初值 1电力系统潮流计算 潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，它的任务是对给定的运行条件确定系统的运行状态，如母线上的电压(幅值及相角)、网络中的功率分布及功率损耗等。在电力系统规划设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性.可靠性和经济性。此外，电力系统潮流计算也是计算系统动态稳定和静态稳定的基础。 2节点导纳矩阵的形成 在图1（a ）的简单电力系统中，若略去变压器的励磁功率和线路电容，负荷用阻抗表示，便可以得到一个有5个节点（包括零电位点）和7条支路的等值网络，如图1（b ）所示。将接于节点1和4的电势源和阻抗的串联组合变换成等值的电流源和导纳的并联组合，变得到图1（c ）的等值网络，其中1101I y E =和 4404I y E =分别称为节点1和4的注入电流源。 (a) 2 4? ?4 y (c) 图1 电力系统及其网络 以零电位点作为计算节点电压的参考点，根据基尔霍夫定律，可以写出4个独立节点的电流平衡方程如下： 10112121 12212022323242423323434244234434044()()()()0()()0()()y U y U U I y U U y U y U U y U U y U U y U U y U U y U U y U I ?+-=? -++-+-=? ? -+-=? ?-+-+=? （2-1） 上述方程组经过整理可以写成 1111221211222233244322333344422433444400Y U Y U I Y U Y U Y U Y U Y U Y U Y U Y U Y U Y U I ? + =? +++=? ? ++=?? ++=? （2-2） 式中， 111012 Y y y =+； 2220232412 Y y y y y =+++；332334Y y y =+；44402434Y y y y =++； 122112Y Y y ==-； 233223 Y Y y ==-； 244224 Y Y y ==-； 344334 Y Y y ==-。 一般的，对于有n 个独立节点的网络，可以列写n 个节点方程 11112211211222221122n n n n n n nn n n Y U Y U Y U I Y U Y U Y U I Y U Y U Y U I ? +++=? +++=? ? ? ?++ +=? （2-3） 也可以用矩阵写成 1111121212222212n n n n nn n n U I Y Y Y Y Y Y U I Y Y Y U I ???? ???????? ??????=?????? ?????? ?????????? （2-4） 或缩写为 YU I = （2-5） 矩阵Y 称为节点导纳矩阵。它的对角线元素ii Y 称为节点i 的自导纳，其值等于接于节点i 的所有支路导纳之和。非对角线元素 ij Y 称为节点i 、j 间的互导纳， 它等于直接接于节点i 、j 间的支路导纳的负值。若节点i 、j 间不存在直接支路，则有 ij Y =。由此可知节点导纳矩阵是一个稀疏的对称矩阵。 0 引言 潮流是配电网络分析的基础，用于电网调度、运行分析、操作模拟和设计规划，同时也是电压优化和网络接线变化所要参考的内容。潮流计算通过数值仿真的方法把电力系统的详细运行情况呈现给工作人员，从而便于研究系统在给定条件下的稳态运行特点。随着市场经济的发展，经济利益是企业十分看重的，而线损却是现阶段阻碍企业提高效益的一大因素。及时、准确的潮流计算结果，可以给出配电网的潮流分布、理论线损及其在网络中的分布，从而为配电网的安全经济运行提供参考。从数学的角度来看，牛顿-拉夫逊法能有效进行非线性代数方程组的计算且具有二次收敛的特点，具有收敛快、精度高的特点，在输电网中得到广泛应用。随着现代计算机技术的发展，利用编程和相关软件，可以更好、更快地实现配电网功能，本文就是结合牛顿-拉夫逊法的基本原理，利用C++程序进行潮流计算，计算结果表明该方法具有良好的收敛性、可靠性及正确性。 1 牛顿-拉夫逊法基本介绍 1.1 潮流方程 对于N个节点的电力网络（地作为参考节点不包括在内），如果网络结构和元件参数已知，则网络方程可表示为： YV I = （1-1） 式中，Y为N*N阶节点导纳矩阵；V为N*1维节点电压列向量；I为N*1维节点注入电流列向量。如果不计网络元件的非线性，也不考虑移相变压器，则Y 为对称矩阵。 电力系统计算中，给定的运行变量是节点注入功率，而不是节点注入电流，这两者之间有如下关系： ? ?= EI S （1-2） 式中，S为节点的注入复功率，是N*1维列矢量；?S为S的共轭； ??i diag ??=???? E V 是由节点电压的共轭组成的N*N 阶对角线矩阵。 由（1-1）和（1-2），可得： ??=S EYV 上式就是潮流方程的复数形式，是N 维的非线性复数代数方程组。将其展开，有： ?i i i ij j j i P jQ V Y V ∈ -=∑ j=1,2，….，N （1-3） 式中， j i ∈表示所有和i 相连的节点j ，包括j i =。 将节点电压用极坐标表示，即令i i i V V θ=∠，代入式（1-3）中则有： ()i i i i ij ij j j j i P jQ V G jB V θθ∈-=∠-+∠∑ ()()cos sin i j ij ij ij ij j i V V G jB j θθ∈=+-∑ 故有： () ()cos sin sin cos i i j ij ij ij ij j i i i j ij ij ij ij j i P V V G B Q V V G B θθθθ∈∈?=+?? =-?? ∑∑ i=1,2,…,N （1-4） 式（1-4）是用极坐标表示的潮流方程。 而节点功率误差： (cos sin )θθ∈?=-+∑SP i i i j ij ij ij ij j i P P V V G B (1-5) (cos sin )θθ∈?=--∑SP i i i j ij ij ij ij j i Q Q V V G B (1-6) 式中：SP i P ，SP i Q 为节点i 给定的有功功率及无功功率。 1.2 牛顿-拉夫逊法基本原理 1.2.1 牛拉法的一般描述 牛拉法是把非线性方程式的求解过程变成反复对相应的线性方程式的求解 2 模型简介及等值电路 2.1课程设计模型：模型3 电力网络接线如下图所示，各支路阻抗标幺值参数如下：Z12=0.02+j0.06，Z13=0.08+j0.24，Z23=0.06+j0.18，Z24=0.06+j0.12，Z25=0.04+j0.12，Z34=0.01+j0.03， Z45=0.08+j0.24，k=1.1。该系统中，节点1为平衡节点，保持 11.060 V j =+ &为定值；节点2、3、4都是PQ节点，节点5为PV节点，给定的注入功率分别为: 20.200.20 S j =+， 3-0.45-0.15 S j =， 40.400.05 S j =--， 50.500.00 S j =-+， 51.10 V= &。各节点电压（初值）标幺值参数如下： 节点 1 2 3 4 5 Ui（0）=ei（0） +jfi（0） 1.06+j0.0 1.0+j0.0 1.0+j0.0 1.0+j0.0 1.1+j0.0 计算该系统的潮流分布。计算精度要求各节点电压修正量不大于10-5。 图2-1 2.2模型分析 节点类型介绍 按变量的不同，一般将节点分为三种类型。 1 PQ节点 这类节点的有功功率和无功功率是给定的，节点(,) Vδ是待求量。通常变电所都是这一类型节点。由于没有发电设备，故其发电功率为零。有些情况下，系统中某些发电厂输出的功率在一段时间内是固定时，该发电厂母线也作为PQ节点。因此，电力系统中绝大多数节点属于这一类型。 2 PV节点 这类节点有功功率P和电压幅值V是给定的，节点的无功功率Q和电压的相位δ是待求量。这类节点必须有足够的可调无功容量，用以维持给定的电压幅值，因此又称为电压控制节点。一般选择有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所作为PV节点。 3 平衡节点 在潮流分布算出以前，网络中的功率损耗是未知的，因此，网络中至少有一个节点 节点牛顿拉夫逊法法matlab程序 clear; clc; n=9;%节点数； nl=9;%支路数； isb=1;%平衡节点号； pr=0.00001;%误差精度； b1=[140.0576i01.051;450.017+0.092i0.158i10;560.039+0.17i 0.358i10;360.0586i01.051;670.0119+0.1008i0.209i10;78 0.0085+0.072i0.149i10;280.0625i01.051;890.032+0.161i 0.306i10;940.01+0.085i0.176i10]; %依次是支路首端；末端，支路阻抗；对地电纳；支 比；折算到哪一侧标志（高压侧为1；低压侧为0）；其为支路参数矩阵； %关于变比为1.05的问题：，=，=1.05，k*=1.05(以全网平均额定电压为基准电压），上述矩阵均是以标幺值给出的 b2=[001.051.0501;1.6301.051.0503;0.8501.051.0503;001 002;00.9+0.3i1002;001002;01+0.35i1002;001002;0 1.25+0.5i1002]; %节点参数矩阵；依次是节点的发电机功率给定值Ps，Qs （只有2和3节点的功率给定值不为0，分别为1.63+0.067i和0.85-0.109i）；负荷功率给定值；节点电压初值（除发电机节点为1.05外，其它均为1。即一般将PV节点和平衡节点初始电压设为1.05，其它节点初始电压设为1）；PV节点电压Vs给定值（标幺值，除去损耗之后为1，故给定值的标幺值为1.05）；节点无功补偿设备容量；节点分类标号（平衡1；PQ2；PV3）； Y=zeros(n);%求导纳阵； for i=1:nl if b1(i,6)==1 p=b1(i,1);q=b1(i,2); else p=b1(i,2);q=b1(i,1); end%为了保证p为低压侧节点，q为高压侧节点 Y(p,q)=Y(p,q)-1./(b1(i,3)*b1(i,5)); Y(q,p)=Y(p,q); Y(q,q)=Y(q,q)+1./(b1(i,3)*b1(i,5)^2)+b1(i,4)./2; Y(p,p)=Y(p,p)+1./b1(i,3)+b1(i,4)./2; end %disp('系统的导纳阵为：'); %disp(Y); %求解导纳矩阵； G=real(Y);B=imag(Y);%取导纳矩阵的实部和虚部； 牛顿拉夫逊潮流计算 [整理 版 ] float G[N][N],B[N][N]; // struct // 阻抗参数 int nl; // 左节点 int nr; // 右节点 牛顿拉夫逊潮流计算 // 整个程序为 : // 牛拉法解潮流程序 #include }ydata[n_br]={ {1,2,0,0.1880,- 0.6815,0.6040}, {1,3,0.1302,0.2479,0.0129,0.0129}, {1,4,0.1736,0.3306,0.0172,0.0172}, {3,4,0.2603,0.4959,0.0259,0.0259}, {2,2,0,0.05,0,0} }; float Z2; //ZA2=RA2+XA2 各串 联阻 抗值的平方 存储电压修正值 float mid1[N],mid2[N],dS[2*(N-1)]; //mid1 对角线元素的中间值 ,dS 存储 PQUi 勺不平衡量 float Jacob[2*(N-1)][2*(N-1)],inv_J[2*(N-1)][2*(N- 1)]; // 雅克比行列式 float dPQU=1.0; //PQU 不平衡量最大值 int kk=0; // 迭代次数 int i,j,k; float t; float R; // 串联电阻值 float X; // 串联电抗值 float Bl; // 左节点并联电导 float Br; // 右节点并联电纳 float e[N],f[N],dfe[2*(N-1)]; //e,f 存储电压的 x 轴分量和 y 轴分量 ,dfe 、mid2 存储计算雅克比行列式 基于MATLAB的直角坐标下牛顿-拉夫逊法潮流计算 摘要 潮流计算，指在给定电力系统网络拓扑、元件参数和发电、负荷参量条件下，计算有功功率、无功功率及电压在电力网中的分布。潮流计算是根据给定的电网结构、参数和发电机、负荷等元件的运行条件，确定电力系统各部分稳态运行状态参数的计算。通常给定的运行条件有系统中各电源和负荷点的功率、枢纽点电压、平衡点的电压和相位角。待求的运行状态参量包括电网各母线节点的电压幅值和相角，以及各支路的功率分布、网络的功率损耗等。它是基于配电网络特有的层次结构特性，论文提出了一种新颖的分层前推回代算法。该算法将网络支路按层次进行分类，并分层并行计算各层次的支路功率损耗和电压损耗，因而可大幅度提高配电网潮流的计算速度。论文在MATLAB环境下，利用其快速的复数矩阵运算功能，实现了文中所提的分层前推回代算法，并取得了非常明显的速度效益。另外，论文还讨论发现，当变压器支路阻抗过小时，利用Π型模型会产生数值巨大的对地导纳，由此会导致潮流不收敛。为此，论文根据理想变压器对功率和电压的变换原理，提出了一种有效的电压变换模型来处理变压器支路，从而改善了潮流算法的收敛特性。 关键词：电力系统；潮流分析；MATLAB Abstract Flow calculation is an important analysis function of power system and is the necessary facility of fault analysis, relay protection setting and security analysis. In addition, the traditional design method is a structured program design method based on functional decomposition, the entire software engineering as a combination of objects, as the domain of a particular issue, the composition of the object will remain basically unchanged Therefore, this decomposition method based on object design software structure relatively stable, easy to maintain and expand. . Combine the characteristics of power systems, software running on the use of MATLAB language WINDOWS OS graphical flow calculation software. The main features of the system are simple and intuitive graphical interface and stable operation. Calculated accurately Calculations, the algorithm has done a number of improvements to enhance the computing speed, the various types of effective package makes the procedure has good modularity maintainability and reusability. The MATLAB language is used to calculate flow distribution of power system in this paper. The typical examples explain that the method has the characteristics of simple programming high calculation efficiency and matching people habit the calculation result can satisfy the engineering calculation needs and at the same time verify the usefulness of the method. Key words: Electric power system; flow calculation; MATLAB牛顿拉夫逊法潮流计算
基于极坐标的牛顿拉夫逊潮流计算
基于MATLAB牛顿拉夫逊法进行潮流计算
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电力系统课程设计-牛顿拉夫逊法潮流计算
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牛顿——拉夫逊法进行潮流计算
直角坐标牛顿-拉夫逊法潮流计算matlab程序(仅供参考)
直角坐标系下牛顿法潮流计算
电力系统稳态分析报告-牛顿拉夫逊法
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