《高等几何》教学大纲
课程名称：高等几何
英文名称：Advanced geometry
课程编号：0641008 学分：3 学时：54
先修课程：高等代数、解析几何
替代课程：无
适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科）
（一）课程目的要求
本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。通过本课程学习，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步学习数学打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础。本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。
（二）课程简介
本课程是数学与应用数学专业必修课程，与解析几何一起，构成大学数学类专业“前三高”基础课中的高等几何课程。本课程包括射影平面、射影变换、变换群与几何学、二次曲线理论四章内容。射影平面作为学习全课程的基础，主要介绍拓广平面、拓广平面上的齐次坐标、射影平面、平面对偶原则、Desargues 定理；射影变换是本课程的中心内容，主要介绍交比、完全四点形与完全四线形的调和性、一维基本形的射影对应、一维射影变换、一维基本形的对合、二维射影变换；变换群与几何学是基于变换群的观点，对几何学的高度抽象概括，给出研究几何学的变换群观点，主要介绍平面上的几个变换群、变换群与几何学；二次曲线理论是以二次曲线为研究对象，主要介绍二次曲线的射影定义、Pascal 定理和Brianchon定理、配极变换、二次曲线的射影分类、二次点列上的射影变换、二次曲线的仿射理论、二次曲线的仿射分类。
（三）教学方式
教学方式是采用以课堂讲授为主和习题课、讨论为辅的教学方法。注重知识点之间的比较，运用类比方法；根据课堂教学情况，适当补充一些例题，以帮助学生课后巩固所学知识；适时给出思考题，培养学生的独立思考能力；对一章进行总结时，适当配备一些典型习题讲解, 以帮助学生理解和掌握概念和性质定理的应用。
（四）教材和主要教学参考书
教材：《高等几何》，周兴和编著科学出版社，2007年第二版。
主要教学参考书：
1.《高等几何》，梅向明，刘增贤，林向岩，高等教育出版社，1983年版。
2.《高等几何习题集》，梅向明，刘增贤，林向岩，王智秋，高等教育出版社，
1994年版。
3.《高等几何》，朱德祥，高等教育出版社，1983年版。
（五）考核方式及要求
考核成绩是综合平时作业及上课表现的成绩（10%），期中考试（20%）和期末考试（闭卷）成绩（70%）为学生的总成绩。
（六）教学大纲
第一章射影平面（15学时）
主要知识点：
1. 引论
2. 拓广平面
3. 拓广平面上的齐次坐标
4. 射影平面
5. 平面对偶原则
6. Desargues定理
能力培养要求：
了解欧氏直线和射影直线、欧氏平面和影射平面的区别和联系；掌握Desargues 定理及其逆定理，运用之证明三点共线和三线共点的有关命题；
掌握齐次坐标并能正确使用，会求两点连线方程及两直线交点坐标、会判断三点是否共线；掌握并灵活应用对偶原理（包括几何对偶和代数对偶），会
作对偶图形，会写对偶命题。
第二章射影变换（15学时）
主要知识点：
1. 交比
2．完全四点形与完全四线形的调和性
3. 一维基本形的射影对应
4. 一维射影变换
5. 一维基本形的对合
6．二维射影变换
能力培养要求：
熟练掌握交比与调和比的概念、性质、应用及计算方法；掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其性质；掌握透视对应与射影对应的关系，熟练掌握一维射影对应、一维射影变换和二维射影变换的概念、性质、代数表达式及其求法；熟练掌握一维射影变换及二维射影变换的不变元素及其求法；掌握对合的表达式及求法与对合不变元素及其求法。
第三章变换群与几何学（略讲 3学时）
主要知识点：
1. 射影仿射平面
2. 平面上的几个变换群
3. 变换群与几何学
能力培养要求：
理解变换群的观点，对几何学的高度抽象概括；掌握二维射影变换的特例，平面上的几个变换群；了解变换群与几何学的关系等。
第四章二次曲线理论（21学时）
主要知识点：
1. 二次曲线的射影定义
2. Pascal定理和Brianchon定理
3. 配极变换
4. 二次曲线的射影分类
5. 二次点列上的射影变换
6. 二次曲线的仿射理论
7. 二次曲线的仿射分类
能力培养要求：
掌握二阶曲线和二级曲线的概念及配极理论；熟练掌握二阶曲线的切线、极点、极线的概念和求法；掌握配极原则的应用；熟练掌握帕斯卡定理和布利安桑定理并能灵活应用；了解二阶曲线的射影分类，掌握利用射影坐标变换化二阶曲线方程为射影标准方程；掌握二阶曲线的中心、直径及共轭直径、渐近线概念和求法；能用有关定义、性质和公式解决相关问题；了解仿射分类与射影分类的区别；掌握利用仿射坐标变换化二阶曲线方程为仿射标准方程。
《几何学概论》试题（１） 1. 试确定仿射变换，使y 轴，x 轴的象分别为直线01=++y x ，01=--y x ，且点（1，1） 的象为原点.(51') 2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(01') 3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01') 4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 5. 已知A (1,2,3),B (5,-1,2),C (11,0,7),D (6,1,5),验证它们共线,并求(CD AB ,)的 值.(8') 6. 设1P (1,1,1),2P (1,-1,1),4P (1,0,1)为共线三点,且(4321,P P P P )=2,求3P 的坐标.(21') 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(01') 8.一维射影对应使直线l 上三点P (-1),Q (0),R (1)顺次对应直线l '上三点 P '(0),Q '(1),R '(3),求这个对应的代数表达式.(01') 9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(01') 《高等几何》试题（２） 1.求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51') 2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 3.求证a (1,2,-1) ,b (-1,1,2),c (3,0,-5)共线,并求l 的值,使 ).3,2,1(=+=i mb la c i i i (01') 4.已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ， 01=x ，且=),(4321l l l l 3 2- ，求2l 的方程.(51') 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (01') 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应. (01') 7.求两对对应元素,其参数为12 1→ ,0→2,所确定对合的参数方 程. (01')
《高等几何》教学大纲 一、课程名称 《高等几何》（Projective Geometry） 二、课程性质 数学与应用数学专业限选课。它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而大有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识，学习了解变换群观点，进而达到训练理性思维的能力，提高数学修养的目的。本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形。通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。 本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用，以解析法为主。前修课程包括：初等几何、解析几何、数学分析、高等代数、近世代数。 三、课程教学目的 通过本课程的学习，使学生掌握射影几何的基本内容和处理几何问题的方法，同时也认识射影几何、仿射几何、欧氏几何的内在联系，以及在初等几何和解析几何中的应用，并为学习数学的其他分支打好基础。尤其是对无穷远元素的认识和理解，以开拓同学们的思维方式和视野，使同学们能以居高临下的观点来处理初等数学问题。 四、课程教学原则和方法 1、理论与实践相结合的原则； 2、《高等几何》知识与高等数学中的其它知识相结合原则； 3、《高等几何》知识与初等几何知识相结合的原则； 4、在课堂教学中使用传统的讲解法，并适当采用教具演示的方法相结合的原则； 5、讲解法与自学相结合的原则。 五、课程总学时 72学时，习题课占1/5。
六、教学内容要点及建议学时分配 课程教学内容要点及建议学时分配 第一章仿射坐标与仿射变换（计划学时6） 一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握透视仿射对应(变换)，仿射对应(变换)以及其代数表达式等。 二、本章主要内容： 第一节透视仿射对应 1、弄清共线三点的单比和透视仿射对应的基本概念。 2、熟练掌握透视仿射对应的四个性质---保持同素性、结合性、共线三点的单比和平行性。 第二节仿射对应与仿射变换 1、掌握平面上的透视链、二直线间和二平面间的仿射对应与仿射变换的概念。 2、掌握仿射对应与仿射变换的性质。 第三节仿射坐标
1. 柔性路面：荷载作用下产生的弯沉变形较大、抗弯强度小，它的破坏取决 于极限垂直变形和弯拉应变。包括沥青混凝土（英国标准称压实后的混合料为混凝土）面层、沥青碎石面层、沥青贯入式碎（砾）石面层等。 刚性路面：弯拉强度大，弯沉变形很小，它的破坏取决于极限弯拉强度。刚性路面主要代表是水泥混凝土路面，包括接缝处设传力杆、中业教育不设传力杆及设补强钢筋网的水泥混凝土路面。 2.土工合成材料种类与用途：种类与用途 （1）路堤加筋（2）台背路基填土加筋（3）过滤与排水（4）路基防护 3.基雨期施工要求 （1）对于土路基施工，要有计划地集中力量，组织快速施工，分段开挖，切忌全面开挖或挖段过长。 （2）挖方地段要留好横坡，做好截水沟。坚持中业网校当天挖完、填完、压完，不留后患。因雨翻浆地段，换料重做。 （3）填方地段施工，应留2%3%的横坡整平压实，以防积水。 4.双代号时标网络图自由时差/总是差/工期计算/索赔 5.化横道图，注意逻辑关系。 6.钢丝检验每批重量不得大于60t；
7.隧道之间或中业牛叉网校隧道与其他建（构）筑物之间所夹土（岩）体加固处理的最小厚度为水平方向1.0m，竖直方向1.5m。 8.氧化沟是传统活性污泥法的一种改型。 9.水池满水试验。 10.埋设在车行道下时，不得小于0.9m；埋设在非车行道（含人行道）下时，不得小于0.6m；埋设在庭院时不得小于0.3m；埋设在中业教育水田下时，不得小于0.8m。 11.HDPE 膜生产焊接 （1）通过试验性焊接后方可进行生产焊接。 （2）每一片HDPE 膜要在铺设的当天进行焊接。 12.需要专家论证的工程范围： 1）深基坑工程：①开挖深度超过5m（含5m）的基坑（槽）的土方开挖、支护、降水工程。 2）模板工程及支撑体系：①工具式模板工程；包括滑模、爬模、飞模工程。②混凝土模板支撑工程：搭设高度8m及以上；搭设跨度18m 及以中业伴您铸就辉煌上；施工总荷载15kN/m2 及以上；集中线荷载20kN/m 及以上。
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1 平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。
《高等几何》试题（１） 1.试确定仿射变换，使y 轴，x轴的象分别为直线x y 1 0 ， x y 1 0 ，且点（1，1） 的象为原点 .( 15 ) 2.利用仿射变换求椭圆的面积 .( 10 ) 3. 写出直线3x x x 轴,y10 2x +2-3=0,轴 , 无穷远直线的齐次线坐标.() 1 4.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 5.已知A(1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5),验证它们共线,并求(AB, CD)的值.( 8 ) 6.设P(1,1,1),P (1,-1,1),P (1,0,1)为共线三点,且(P P , P P)=2,求P的坐标.(12) 124 1 2 3 43 7.叙述并证明帕普斯 (Pappus) 定理 .( 10 ) 8.一维射影对应使直线 l 上三点 P (-1),Q(0),R (1)顺次对应直线 l上三点P (0),Q(1), R (3),求这个对应的代数表达式.( 10 ) 9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 ) 《高等几何》试题（２） 1. 求仿射变换x 7 x y 1, y4x 2 y 4 的不变点和不变直线. (15 ) 2.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 3.求证 a (1,2,-1) ,b(-1,1,2), c (3,0,-5)共线 , 并求l的值 , 使 c i la i mb i(i 1,2,3). (10) 4.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2x3 0 ， x1x2 x3 0 ， x10 ，且 (l1 l2 , l3 l 4 )2 l 2的方程.(15)，求 3 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 ) 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应 . ( 10) 7. 求两对对应元素 , 其参数为1 1 ,02, 所确定对合的参数方2
数学学习之我见为题目的总结 [摘要] 本文以《高等几何》课程学习为例浅谈作者数学学习过程中概念的学习及课堂上、课后的学习复习经验和学数学过程中自信与兴趣的培养。 绪言： 数学是具有严谨逻辑的高度抽象概括的理论。它的学习与文科的学习不同，是数学思维活动的学习。①这个思维活动的学习过程很艰苦，但在《高等几何》这门课程的学习中，我悟出了一些学习数学的小窍门，可以把这个艰苦的过程转化为一种的乐趣，现在写出来同大家一起分享。 一、数学概念巧记忆 “概念形成主要依赖的是对感性材料的抽象，概念同化主要依靠的是对知识经验的概括。”②这就是说，要掌握概念就是要充分抽象感性材料和概括知识经验。在学到交比那一节时，发现（P1P2,P3P4）=(λ1-λ3) (λ2-λ4)/（λ2-λ3）（λ1-λ4）等式右边不太好记，这时抽象的看一下，原来只记住式子里λ的下标就可以把式子写出来了，所以一个小口诀“1324，2314”就完全搞定了原来让人觉得头疼的公式。于是，我在学到“简单矩形六点形的对边”时如法炮制：因为简单六点形的对边分别为 A1A2与A4A5、A2A3与A5A6、A3A4与A6A1。这么一长串的对边变
成了“1245，2356，3461”后同样也多念两遍，这个概念的记忆就显得很轻松了。 可是，大多数的数学定理并不像公式那么整齐，不能编小口诀，那怎么办呢？其实也很简单，把同一类型的题型理出来一个个攻下来后，那些概念自然就烂熟于心了。例如在刚学到Desargues定理时，我觉得定理很绕口，于是我就先看后面的“应用举例”。发现例1.14，例1.15与习题1，6，7都是同一类型的，特别是习题6，几乎就是例1.15的一个翻版。套用定理做完这几题后我就归纳出了用Desargues定理证明共点线和共线点的方法，就是找对应顶点连线或对应边交点的问题，而图上一般只有10个点，去掉一个点后就只剩了9个，也就是透视轴加两个三角形了。这样一看，Desargues定理就在运用中活学活记在了脑海里，也不觉得绕口了。实践出真知，数学学习看来的确需要多做题才能有所领悟。 二、课堂主动效率高 “早起的鸟儿才能抓到虫子吃。”有预习习惯的人会比没有的人学得轻松的多。但不是每个人每堂课前都能预习的，很多时候我们没有那么多时间。那么，课前没有预习该怎样去尽量听好课、提高课堂效率呢？坦白说，我的预习习惯不是太好，因为时常会没有时间，或者对自己比较有自信。我一直都觉得上课效率决定一切。上课时保持比老师快一步的节奏听课是我最喜欢的，因为那样相当轻松。比如在学定理2.12 “Poncelet定义
高等几何试题 一、填空题（每题3分，共27分） 1、 两个三角形面积之比是（ ）。 2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。 3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。 4、一点123(,,)x x x x =在一直线[]123,,u u u u =上的充要条件是 （ ）。 5、 已知1234(,)3p p p p =,则4321(,)p p p p =（ ），1324(,)p p p p =（ ）。 6、 如果四直线1234,,,p p p p 满足1234(,)1p p p p =-，则称线偶34,p p 和12,p p （ ）。 7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是 （ ）。 8、 不在二阶曲线上的两个点P 123()p p p ，Q 123()q q q 关于二阶曲线 0ij i j S a x x ≡=∑成共轭点的充要条件是（ ）。 9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。 二、计算题（每题8分，共56分） 1、 计算椭圆的面积（椭圆方程：22 221x y a b += ,0a b >） 2、 求共点四线11:l y k x =，22:l y k x =，33:l y k x =，44:l y k x =的交比。 3、 求射影变换11 2233x x x x x x ρρρ?'=-?? '=?? '=?? 的不变元素。 4、 求二阶曲线22212323624110x x x x x --+=经过点(1,2,1)P 的切线方程。
5、 求双曲线2223240x xy y x y +-+-=的渐近线方程。 6、 求抛物线22242410x xy y x ++-+=的主轴和顶点。 7、 求使三点(0,)O ∞，(1,1)E ，(1,1)P -顺次变到点(2,3)O '，(2,5)E '， (3,7)P '- 的仿射变换。 三、已知(1,2,3)A ，(5,1,2)B -，(11,0,7)C ，(6,1,5)D ，验证它们共线并求 (,)AB CD 的值。 （8分） 四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条 二阶曲线。（9分）
城市道路主要分为刚性路面和柔性路面两大类 一、城市沥青路面道路的结构组成 （一)路基 路基的断面形式分为：路堤、路堑和半填半挖三种。从材料上分为：土路基、石路基、土石路基三种。(二）路面 行车荷载和自然因素对路面的影响随深度的增加而减弱。对路面材料的强度、刚度和稳定性也随深度增加而降低。路面分为垫层、基层和面层三结构层。 1.面层 面层应具有较高的结构强度、刚度、耐磨、不透水和高温稳定性,并且其表面层还应具有良好的平整度和粗糙度。面层分为磨耗层、上面层、下面层或称为表面层、中面层、下面层。 ２.基层 基层是路面结构的主要承重层,应具有足够的、均匀一致的强度和刚度。沥青类面层下的基层应有足够的水稳定性。 用作基层的主要材料有: (1）整体型材料。特点：强度高、整体性好、适宜交通量大、轴载重的道路。 (2)嵌锁型和级配型材料。包括级配碎(砾)石、泥灰结碎（砾）石和水结碎石三种。 3.垫层。介于基层与土基之间。作用：改善土基的湿度和温度状况，扩散荷载应力。要求:其水稳定性必须要好。 （1)路基经常处于潮湿或过湿路段，以及在季节性冰冻地区应设垫层。 (2）垫层材料有粒料和无机结合料稳定土两类。 (3）垫层厚度一般≥1５０mｍ (二）沥青路面结构组合的基本原则 1．面层、基层的结构类型及厚度应与交通量相适应。 2．层间必须紧密稳定,保证结构整体性和应力传递的连续性。 ３.各结构层的回弹模量自上而下递减。 4．层数不宜过多。 ５.在半刚性基层上铺筑面层时,城市主干路、快速路应适当加厚或采取其他措施减轻反射裂缝。 二、路基与路面的性能要求 （一)路基的性能要求 １.整体稳定性 2.变形量 (二)路面的使用指标 1.平整度。为减缓路面平整度的衰变速率,应重视路面结构及面层材料的强度和抗变形能力。 2.承载能力。路面必须具有足够抗疲劳破坏和塑性变形的能力,即具备相当高的强度和刚度。 3.温度稳定性。路面必须保持较高的稳定性，即具有较低的温度、湿度敏感度。 4.抗滑能力。路面应平整、密市。粗糙,耐磨,具有较大的摩擦系数和较强的抗滑能力。 5.透水性。路面应具有不透水性。 6．噪声量。尽量使用低噪声路面。 路基施工多以人工配合机械施工,采用流水或分段平行作业。 路基工程 一、路基施工程序 1）准备工作。（组织准备、物质准备、技术准备)?2）修建小型构造物与埋设地下管线。 必须遵循“先地下，后地上”、“先深后浅”的原则来完成。 3)路基（土、石方）工程
某高校《高等几何》期末考试试卷 (120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1、平行四边形的仿射对应图形为: 平行四边形 ; 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。(10分) 证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A ' ' AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所 以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0,13x +2x -32x =0, 17x -2x =0,15x -3x =0, 求证四直线共点,并求(1l 2l ,3l 4l )的值。(10分) 解:因为 1 7213 112---=0且1 5 01 7213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x 轴(2x =0)的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(- 21,0),B(32,0),C(0,0),D(5 1,0), 所以 (1l 2l ,3l 4l )=(AB,CD)= ) 2 151)(320() 32 51)(210(+--+=21 五、求两对对应元素,其参数为12 1 →,0→2,所确定的对合方程。(10分) 解 设所求为 a λλ'+b(λ+λ')+d=0 ①
《高等几何》课程教学大纲 课程编码： 课程性质：选修 学时数：54 学分数：3 适用专业：数学与应用数学 【课程性质、目的和要求】 高等几何的主要内容是具有悠久历史，至今仍富生命力的射影几何。它不仅在提高学生空间几何直观想象能力方面有独特的作用，而且在论证方法、思维方式方面还具有不同于初等几何、解析几何、高等代数的巧妙灵活的特点。 通过高等几何（或射影几何）的学习，可以使学生从较高的观点处理初等几何、解析几何的一些问题，以便更深入地理解中学几何教材，并掌握近代几何知识与方法，这对学生在几何方面观点的提高、思维的灵活、方法的多样性的培养都起着特别重要的作用，从而有助于学生数学素质的提高和科研能力的培养。 本课程在研究方法上利用代数法和综合法，目的之一是便于学生进一步学习高维空间上的射影几何，目的之二是加强直观性，以便开发智力，启迪思维。在内容编排上应做到由浅入深，由易到难，循序渐进，要特别注意理论基础的系统性与严密性，尽可能做到与中学数学实际相结合，本课程应特别注意对概念及解题方法的分析。 通过本课程的学习，要求学生理解并熟练掌握平面射影几何的基本概念和理论。了解几何学的群论观点和各种几何学之间的联系和差别。学会统一处理几何问题的方法特别要学会利用二次曲线的射影理论处理仿射几何和度量几何方面的有关问题，以便提高学生分析问题和解决问题的能力。 【教学内容、要点和课时安排】 第一章仿射坐标与放射变换（8学时） 【目的要求】掌握透视仿射对应、仿射对应与仿射变换；掌握仿射坐标系；熟练求出仿射变换的代数表示式；理解仿射性质。 【教学重点】仿射坐标系 【难点】仿射性质的理解 【教学内容】 第一节透视仿射对应 第二节仿射对应与仿射变换 第三节仿射坐标
高等几何复习10?11?1 *号题仅供参考。 一、选择题 1. 下列图形（）具有仿射性质 (A) 两条直线平行；(B) 两个三角形全等； (C) 一个角的大小；(D) 正三角形的高。 2. 下列性质（）是仿射性质 (A) 三角形的高线共点；(B) 三角形的中线共点； (C) 角平分线上的点到两边等距；(D) 三角形内接与一个圆。 3. 点(3,5) 的齐次坐标为（） (A) (6,10,2)；(B) (9,15,3)；(C) (3,5,2)；(D) (3,5,0). 4. Y轴的单位点的齐次线坐标为（） (A) (0,1,0)；(B) (1,0,0)；(C) (0,0,0)；(D) (0,0,1). 5. X轴的单位点的齐次坐标为（） (A) (0,1,0)；(B) (1,0,0)；(C) (0,0,0)；(D) (0,0,1). 6. 原命题与对偶名题的真假关系（） (A) 原真则对偶真；(B) 原真则对偶假；(C) 原假则对偶假；(D) 原假则对偶真。 7. 一复直线上有几个实点（） (A) 1；(B) 2；(C) 3；(D) 4. 8. 设A(a),B(b)是两个不同的普通点, C(a+λb)为直线AB上的一点，且(ABC)=U, 则U= ( ). (A) U= ?λb3/a3；(B) U=λa3/b3；(C) U=λa2/a3；(D) U=λ. 9. 若a,b,a+kb,a+sb, ( k·s·(k?s)≠0)是共点线L1,L2,L3,L4的齐次坐标，则(L1L2,L3L4) =( ). (A) k/s；(B) s/k；(C) k2/s2；(D) k2s2. 10. 射影变换基本不变量是( ) . (A) 两直线的夹角；(B) 点线的结合性；(C) 单比；(D) 交比。 11. 仿射几何基本不变图形是( )。 (A) 点；(B) 线；(C) 圆；(D) 无穷远直线。 12.直线2x?y+1=0上无穷远点的齐次坐标是( ). (A) (2,1,0)；(B) (1,?2,0)；(C) (2,1,1)；(D) (1,?2,1). 13.原点的方程是( ). (A) u1=0；(B) u3=0；(C) u2=0；(D) u1=u3=0. 14.自极三角形的特征是( )。 (A) 每一个顶点都是其对边的极点；(B) 每一个边是其端点的极线； (C) 三顶点互为极点；(D) 三边互为极线。 15. 二次曲线上一点p的极线是( )。 (A) 直径；(B) 切线；(C) 无穷远切线；(D) 渐近线。 16.共线四点A、B、C、D交比的定义是(AB,CD)= ( )。 (A) AB/CD；(B) AC/BD；(C) (ABC)/(ABD)；(D) (ACD)/(BCD)。 17.两个射影点列成透视的充要条件是( )。 (A) 存在自对应点；(B) 交比不变；(C) 点列交点自对应；(D) 有两个自对应点。 18. 下列性质哪一个是图形的射影性质( )。 (A) 三角形的面积比；(B) 两条直线垂直；(C) 两条直线平行；(D) 两点共线。 19. 如果(P1P2, P3P4)=2, 则(P2P1, P3P4) = ( ). (A) 1/2；(B) 1?1/2；(C) 2；(D) ?1.
第五章高等几何 第一节课程概论 1、本课程的起源与发展 早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。 到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。 射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。 在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。另外，人们还看到，在欧几里得几何中，图形在作旋转、反射、平移等变换的过程中，该图形中线段的长短、角的大小是保持不变的。于是人们就称“长度”、“角度”是这种变换中的不变量。这就导致了对几何中“不变量”理论的研究，并将它与群论结合起来。
某高校《高等几何》期末考试试 卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程
063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得，
《高等几何》复习大纲 仿射坐标与仿射变换 一、要求 1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。 2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。 3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。 二、考试容 1.单比的定义和求法。 2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。 3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。 射影平面 一、要求 1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。 2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。 3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。 4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。 5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。 二、考核容 1.中心投影与无穷远元素
中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。 2.笛萨格（Desargues）定理 应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。 3.齐次点坐标 齐次点坐标的计算及其应用。 4.线坐标 线坐标的计算及其应用。 5.对偶原则 作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。 射影变换与射影坐标 一、要求 1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。 2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。 3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。 4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。 5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。 二、考试容 1.交比与调和比 交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。 2.完全四点形与完全四线形 完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。
高等几何》试题(１) 1. 试确定仿射变换，使y轴，x轴的象分别为直线x y 1 0，x y 1 0 ，且点( 1，1) 的象为原 点.( 15 ) 2. 利用仿射变换求椭圆的面积.( 10 ) 3. 写出直线2x1 +3x2- x3=0, x轴, y轴, 无穷远直线的齐次线坐标.( 10 ) 4. 叙述笛沙格定理, 并用代数法证之.( 15 ) 5. 已知A (1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5), 验证它们共线, 并求( AB,CD ) 的值.( 8 ) 6. 设P1 (1,1,1), P2 (1,-1,1), P4 (1,0,1) 为共线三点, 且( P1P2,P3P4 )=2, 求P3的坐标.( 12 ) 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus) 定理.( 10 ) 8. 一维射影对应使直线l 上三点P (-1), Q (0), R (1) 顺次对应直线l 上三点P (0), Q (1), R (3), 求这个对应的代数表达式.( 10 ) 9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 ) 《高等几何》试题(２) 1.求仿射变换x 7x y 1,y 4x 2y 4的不变点和不变直线. ( 15 ) 2. 叙述笛沙格定理, 并用代数法证之.( 15 ) 3. 求证a (1,2,-1) , b (-1,1,2), c (3,0,-5) 共线,并求l的值,使 c i la i mb i (i 1,2,3). ( 10 ) 4. 已知直线l 1 , l 2 , l 4的方程分别为2x1 x2 x3 0，x1 x2 x3 0， x1 0 ，且(l1l2,l3l4) ，求l2的方程.( 15 ) 3 5. 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 ) 6. 试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应. ( 10 ) 1 7. 求两对对应元素,其参数为 1 ,0 2, 所确定对合的参数方 2
南京师范大学《高等几何》课程教学大纲 课程名称：高等几何（Higher Geometry） 课程编号：06100020 学分：3 学时：90 先修课程：解析几何, 高等代数(I), 数学分析(I) 替代课程：无 一、课程教学目的 本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。 概括来说，学习本课程后，要使得学生有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让学生了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。（7）学会构造射影图形。因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，学生要深刻领会这些技巧。 二、教学任务 通过课堂教学、课外辅导等多个教学环节，教师主要完成下列教学任务： 1、完成上述教学目的。 2、培养学生树立科学世界观、人生观和价值观，具有良好的思想道德素养和团结协作的精神，具有一定的社会责任感、宽广的胸怀和创新意识。 3、使学生了解近代几何学的发展概貌及其在社会发展中的作用，了解数学科学的若干最新发展状况。 4、培养学生的各种数学能力，不仅要教会学生用研究的眼光（即经常想一想当初数学家是如
高几复习题 1． 求仿射变换，它使点)1,1(, )1,1(,)0,0(-依次变成 点)7,3(, )5,2(, )3,2(-． 解：设所求仿射变换式为 '11121 '21222 x a x a y a y a x a y a ?=++?=++? 将三对对应点坐标分别代入上式，解得 仿射变换式为 ????? ++-='+-='3 6422121y x y y x x （注：不共线的三对对应点唯一确定仿射变换） 2． 求仿射变换，它使直线012=-+y x 上每一点都不动，且将点)1,1(-变成点)2, 1(-． 解：设所求仿射变换式为 '11121 '21222 x a x a y a y a x a y a ?=++?=++? 在直线012=-+y x 上任取两点，将三对对应点坐标分别代入上式， 解得仿射变换式为 ''22133222 x x y y x y ?=+-? ?=--+??
43210 2, 03, 0, 02=+=-=-=-y x y x y x y x 1）求证四直线共点； 2）求 ),(3421l l l l ． 解：1）易见，四直线都通过原点，所以它们共线． 2)可以用斜率计算得 3 2) )(())((),(132423143421=----= k k k k k k k k l l l l 思考斜率不存在怎么解决？（见下题） 4．已知四点)1,8,1(),5,0,3(),2,1,1(),1,2,1(D C B A ---． 1）证明：D C B A , , , 四点共线； 2）求交比(,)AC BD ． 解：⑴ 因为 01 8 1 211121,05 3 211121 =--=--- 所以 D C B A , ,, 四点共线． ⑵ 设B A D B A C 21λλ+=+= 经计算：3 22 21= -=λλ． 所以 3),(2 1 -==λλCD AB ， 从而 (,)1 ( 3)A C B D =--=
1 浙江省2018年7月自学考试高等几何试题 课程代码：10027 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在三角形的以下性质中是仿射性质的是( ) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 2.以下四条直线中所含的无穷远点与其他三条不同的是( ) A.x y x y 121)1(2+=++ B.11)(2=++x x y C.x +2y =0 D.过点(1,3),(3,2)的直线 3.已知A ,B ,C ,D 四点是调和点列，任意调整它们次序后所得交比不会出现的是( ) A.1 B.2 C.-1 D. 2 1 4.椭圆型射影对应的自对应元素是( ) A.两个互异的实元素 B.两个互异的虚元素 C.两个重合的实元素 D.两个重合的虚元素 5.唯一决定一条二阶曲线需无三点共线的( ) A.3点 B.4点 C.5点 D.6点 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.两点-3u 1+u 2+2u 3=0,2u 1-u 2+3u 3=0连线的坐标是_________. 7.若对合a μμ′+b (μ+μ′)+c =0是椭圆型的,则系数满足_________. 8.完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列,即这直线上的两个顶点和_________. 9.椭圆上四定点与其上任意第五点所联四直线的交比为_________.
2 10.平面上任一圆通过的两个固定点称为_________. 三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求使三点A (0,0),B (1,1),C (1,-1)变到三点A ′(1,1),B ′(3,1),C (1,-1)的仿射变换. 12.已知平面上有点A (2,1),B (4,2),C (6,-3),D (-3,2),E (-5,1),求A (BC ,DE ). 13.求射影变换式,使它的不变元素的参数是λ1=-1,λ2=3,并且使λ3=1变为3 λ'=0. 14.求射影变换??? ??--='-='-='3213 212 211 36 4 x x x x x x x x x x ρρρ的二重直线. 15.求两个成射影对应的线束x 1-λx 2=0，x 2-λ′x 3=0,(λ′= λ λ +1)所构成的二阶曲线的方程. 16.求二次曲线x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=0的中心. 四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）（第18题写出作法） 17.作出下列图形的对偶图形: 题17图 18.已知二阶曲线上五点A ,B ,C ,D ,E ,求作该曲线上点A 处的切线. 题18图 五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)
某高校《高等几何》期末考试试卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1 2、直线1x 3、已知),(1234l l l l 4、过点7、求点9321二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-=且'2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ==。 将它们代入射影对应式并化简得， 此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， 求证四 所以1l 解设所求为 a λλ'+b(λ+λ')+d=0① 将对应参数代入得： 21a+（1+2 1）b+d=0② （0+2）b+d=0③ 从①②③中消去a,b,d 得
1 2012321 1λλλλ'+'=0 即λλ'+λ+λ'-2=0为所求 六、求直线32163x x x +-=0关于2122212x x x x -++231x x -632x x =0之极点。（12分） 解：设0p （030201,,x x x ）为所求，则 -111??0x 3L=21A A 设渐近线的方程为 根据公式得 解之，得3 1,121-==k k ，所以渐近线方程为 和 化简，得所求为 2x-2y-1=0和2x+6y+5=0 方法二 先求出中心，因为