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二次函数中考试题分类汇编

一、选择题

1、已知二次函数y ax 2bx c(a 0) 的图象如图所示，有下列 5 个结论：

① abc 0 ；② b a c ；③4a 2b c 0 ；④2c 3b ；⑤

a b m( am b) ，（m 1的实数）其中正确的结论有（） B

A. 2 个

B.3 个

C.4个

D. 5 个

2 、如图是二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 图象的一部分，图象过点A（－ 3， 0），对称轴为x ＝－ 1．给出四个结论：①b2＞ 4ac；② 2a＋ b=0；③ a－ b＋ c=0 ；④ 5a＜ b．其中正确结论是（）． B

（A）②④（ B）①④（ C）②③（D）①③

3 、二次函数 y x2 2x 1与

x 轴的交点个数是（） B

A ． 0

B ． 1 C． 2 D ．3

4 、在同一坐标系中一次函数y ax b 和二次函数

y ax2 bx 的图象可能为（） A

5 y

y ax

2 y y

( - 1，2)，(1，0)

y

、已知二次函数bx c (a≠0)的图象开口向上，并经过点. 下列结论正确的是( )D

A. 当 x>0 时，函数值y 随 x 的增大而增大

O x O x O x O x

B.当 x>0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小

C. 存在一个负数x0，使得当x x0时，函数值y 随 x 的增大而增大 A B C D

D. 存在一个正数x0，使得当x< x0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x>x0时，函数值y 随x 的增大而增大

6、已知二次函数y=x2 -x+a (a＞ 0) ，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是

（） B

(A) m-1 的函数值小于(C) m-1 的函数值等于0??????

0????

(B) m-1 的函数值大于0? ?? ??

(D) m-1 的函数值与0 的大小关系不确定

二、填空题

1、二次函数y =ax2＋ bx＋ c 的图象如图8 所示，

且 P=| a－ b＋ c |＋ | 2a＋ b |， Q=| a＋ b＋ c |＋ | 2a－ b |，

则 P、 Q 的大小关系为. P

2、如图 9 所示的抛物线是二次函数y ax 2 3x a2 1 的图象，

y

那么 a 的值是

图 8

．－ 1

y

3、已知二次函数yx2 2x m 的部分图象如

x 的一元二次方程O

x

图所示，则关于

图 9

O x

第 4 题

（第3题）

x2 2x m 0 的解为．

x1 1， x2 3 ；

4、已知二次函数y ax2 bx c 的图象如图所示，则点P(a，bc) 在第象限．三

三、解答题

1、知一抛物线与x轴的交点是A( 2,0) 、B（1，0），且经过点C（ 2， 8）。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线的顶点坐标。

解：（ 1）设这个抛物线的解析式为y ax2 bx c

由已知，抛物线过A( 2,0) ，B（1，0），C（2，8）三点，得

4a 2b c 0

a b c 0 （ 3 分）解这个方程组，得 a 2, b 2, c4

4a 2b c 8

∴ 所求抛物线的解析式为y 2x2 2 x 4 （6 分）

（ 2）y 2x2 2x 4 2( x 2 x 2) 2( x 1 )2 9

1 , 9)

2 2

∴ 该抛物线的顶点坐标为(

2 2

2、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1， 4) ，且过点 B(3，0) ．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标．

解：（ 1）设二次函数解析式为y a(x 1)2 4 ，

Q 二次函数图象过点B(3，0) ，0 4a 4 ，得 a 1 ．

二次函数解析式为y ( x 1)2 4 ，即 y x2 2x 3 ．

（ 2）令y 0，得x2 2x 3 0 ，解方程，得x1 3 ， x21．

二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(3，0) 和 ( 1，0) ．

二次函数图象向右平移 1 个单位后经过坐标原点．

平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(4，0)

3、已知二次函数图象的顶点是( 1，2) ，且过点

3 0，．

2

（ 1）求二次函数的表达式，并在图10 中画出它的图象；

（ 2）求证：对任意实数m ，点 M (m， m2 ) 都不在这个

二次函数的图象上．

解：（ 1）依题意可设此二次函数的表达式为y a(x 1)2 2 ，·································2分

图 10

又点

3

在它的图象上，可得

3

a 2 ，解得 a

1 0，

2

．2 2

所求为 y 1

(x 1)2 2 ．令 y 0 ，得 x1 1， x2 3 y 2

画出其图象如右．

（ 2）证明：若点M 在此二次函数的图象上，

3 1

( m 1)2

则m2 2 ．得m2 2m 3 0 ． 2

2

4 12 8 0 1

方程的判别式：，该方程无解．

0 1 2 3 x

所以原结论成立．

4、二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象如图9 所示，根据图象解答下列问题：

（ 1）写出方程ax2 bx c 0 的两个根．（ 2 分）

（ 2）写出不等式ax2 bx c 0 的解集．（ 2 分）

（ 3）写出y随x的增大而减小的自变量x 的取值范围．（ 2 分）

（ 4）若方程ax2 bx c k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（ 4 分）

解：（ 1）x1 1， x2 3

图 9

（2）1 x 3

（3）x 2

（ 4）k 2

5、如图13，已知二次函数 y ax2 4x c 的图像经过点A和点 B．

y

（ 1）求该二次函数的表达式；

1 O3

（ 2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

x （ 3）点 P（m，m）与点 Q 均在该函数图像上（其中m＞0），且这两 A 1

点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点 Q 到 x 轴的距离．

解：（ 1）将 x=- 1， y= - 1； x=3 ，y= - 9 分别代入y ax 2 4 x c 得

9 B

图 13

1 a ( 1)

2

4 ( 1) c, 解得 a

1,

∴二次函数的表达式为

y x 2

4 x 6 ．

9 a 32 4 3 c.

c

6.

（ 2）对称轴为 x 2 ；顶点坐标为（ 2， - 10）．

（ 3）将（ m ，m ）代入 y x 2 4 x

6 ，得 m m 2

4 m 6 ，

解得 m 1

1, m 2 6 ．∵ m ＞ 0，∴ m 1

1 不合题意，舍去．

∴ ?m=6 ．∵点 P 与点 Q 关于对称轴 x 2 对称，∴点 Q 到 x 轴的距离为 6．

6、在平面直角坐标系

xOy 中，已知二次函数

y ax 2 bx c(a 0) 的图象与 x 轴交于 A ，B 两点（点

A 在点

B 的左边），与 y 轴交于点

C ，其顶点的横坐标为

1，且过点 (2，3) 和 (

3， 12) ．

（ 1）求此二次函数的表达式；

（ 2）若直线 l : y

kx(k 0) 与线段 BC 交于点 D （不与点 B ，C 重合） ，则是否存在这样的直线 l ，使

得以 B ， O ， D 为顶点的三角形与 △ BAC 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点

D 的坐标；若

不存在，请说明理由；

（ 3）若点 P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角 PCO 与

ACO 的大小（不必证明），并写出此时点

P 的横坐标 x p 的取值范围．

解：（ 1）Q 二次函数图象顶点的横坐标为

1，且过点 (2，3) 和 (

3， 12) ，

x

b

，

1 a

1，

2a

1

4a 2b c

，

解得

，

由

b

2

3

9a 3b 2

12.

c 3.

O 1

y

此二次函数的表达式为

y

x 2

2x 3 ．

（ 2）假设存在直线 l : y kx( k 0) 与线段 BC 交于点 D （不与点 B ， C 重合），使得以 B ，O ，D 为

顶点的三角形与 △BAC 相似．

在 y

x 2

2x

3 中，令 y

0，则由 x 2 2x 3

0 ，解得 x 1

1， x 2 3

A( 1，0)， B(3，0) ．令 x 0 ，得 y 3 ． C (0，3) ．

x

设过点 O 的直线 l 交 BC 于点 D ，过点 D 作 DE ⊥ x 轴于点 E ．

Q 点 B 的坐标为 (3，0) ，点 C 的坐标为 (0，3) ，点 A 的坐标为 ( 1，0) ．

C

， OC ，

OBC o BC 2 3 2

3 2 ．

D

AB 4OB 3 45. 3

要使 △BOD ∽△ BAC 或 △ BDO ∽△ BAC ，

A O E

By

已有 B

BD BO

，①B ，则只需

BA

BC

BO BD

②成立．或.

BC BA

若是①，则有BD BO gBC 3 3 2 9 2

．而OBC 45o， BE DE ．BA 4 4

9

2

在 Rt△BDE 中，由勾股定理，得

2 2

2 BE

2

BD

2 2

．BE DE 4

解得 BE DE 9（负值舍去）．OE OB BE 3 9 3 ．

4 4 4

3 9

y kx(k 0) 中，求得k 3 ．

点 D 的坐标为，．将点 D 的坐标代入

4 4

满足条件的直线 l 的函数表达式为y 3x ．

［或求出直线AC 的函数表达式为y 3x 3 ，则与直线AC 平行的直线 l 的函数表达式为y 3x ．此时易知△BOD ∽△ BAC ，再求出直线BC 的函数表达式为y x 3 ．联立 y 3x， y x 3 求

3 9

得点 D 的坐标为，．］

4 4

若是②，则有BD BO gBA 3 4 2 2

．而OBC 45o， BE DE ．BC 3 2

在 Rt△BDE 中，由勾股定理，得

2 2

2 BE

2

BD

2

(2 2)2．BE DE

解得 BE DE 2 （负值舍去）．OE OB BE 3 2 1．点 D 的坐标为(12)，．

将点 D 的坐标代入y kx(k 0) 中，求得 k 2 ．∴满足条件的直线l 的函数表达式为y 2x ．存在直线 l : y 3x 或 y 2x 与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点

3 9

的三角形与△BAC 相似，且点 D 的坐标分别为，或 (12)，．

4 4

（ 3）设过点C (0，3)，E(1，0)的直线y kx 3(k 0) 与该二次函数的图象交于点P ．

将点 E(10)，的坐标代入y kx 3 中，求得k 3 ．此直线的函数表达式为y 3x 3．

设点 P 的坐标为 ( x ， 3x 3) ，并代入 y

x 2 2x 3 ，得 x 2 5x 0 ．

x

解得 x 1

5， x 2 0 （不合题意，舍去）．

x 5， y

12 ．

点 P 的坐标为 (5， 12) ．此时，锐角 PCO

ACO ．

C

·

又 Q 二次函数的对称轴为

x 1 ，

A

O E

B

点 C 关于对称轴对称的点 C 的坐标为 (2，3) ．

当 x p 5 时，锐角 PCO ACO ；当 x p 5 时，锐角

PCO

ACO ；

当 2 x p

5时，锐角 PCO

ACO ．

P

7、如图，矩形 A ’BC ’O ’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转 得到的． O ’点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为 (1， 3) ．

(1) 如果二次函数 y ＝ ax 2

＋ bx ＋ c(a ≠ 0) 的图象经过 O 、 O ’两点且图象顶点 M 的纵坐标为

— 1．求这个二次函数的解析式；

(2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点

P ，使得

POM 为直角三角形 ?若存在，请求出

P 点的坐标和 POM 的面积；若不存在，请说明理由；

(3) 求边 C ’O ’所在直线的解析式．

8、容积率 t 是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即

t=

M

建筑面积

，为充分利用土地资源，更好

S 用地面积

地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率 t 不小于 1 且不大于 8. 一房地产开发

商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积 M （ m 2）与容积率 t 的关系可近似地用如图（

1）中

的线段 l 来表示； 1 m 2 建筑面积上的资金投入

Q （万元）与容积率 t 的关系可近似地用如图（

2）中的一段

抛物线段 c 来表示 ．

（Ⅰ）试求图（ 1）中线段 l 的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积； （Ⅱ）求出图（ 2）中抛物线段 c 的函数关系式 . 解：（Ⅰ）设线段

l 函数关系式为

M=kt+ b ，由图象得

2k b 28000, k 13000, 6k b

80000.

解之，得

2000.

b ∴线段 l 的函数关系式为 M ＝ 13000t+2000, 1≤ t ≤ 8.

M 建筑面积

由 t=

知，当 t=1 时， S 用地面积 = M 建筑面积 ，

S

用地面积

把 t=1 代入 M ＝ 13000 t+2000 中，得 M=15000 m 2.

即开发该小区的用地面积是

15000 m 2.

（Ⅱ）根据图象特征可设抛物线段

c 的函数关系式为 Q ＝ a( t － 4) 2

+k, 把点（ 4, 0.09） , （ 1, 0.18 ）代入，

k 0.09, a

1 ,

100 得

4) 2

解之，得

a(1 k 0.18.

k

9 .

100

∴抛物线段 c 的函数关系式为

Q ＝

1

( t － 4)2

+

9 , 即Q ＝ 1 t 2

- 2 t + 1 , 1≤ t ≤ 8.

100

100 100 25

4

9、如图 10，已知抛物线 P ： y=ax 2 +bx+ c(a ≠ 0) 与 x 轴交于 A 、 B 两点 (点 A 在 x 轴的正半轴上 )，与 y 轴交

于点 C ，矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上，顶点 F 、 G 分别在线段 BC 、 AC 上，抛物线 P 上部分点 的横坐标对应的纵坐标如下：

x - 3

- 2 1

2

y

5

- 4

5

-

-

2

2

(1) 求 A 、 B 、 C 三点的坐标；

(2) 若点 D 的坐标为 (m ， 0) ，矩形 DEFG 的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系，并指出

m 的取值范围；

(3) 当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时，连接 DF 并延长至点

M ，使 FM =k · DF ，若点 M 不在抛物线

P 上，求 k 的取值范围 .

若因为时间不够等方 面的原因，经过 探索、思考仍 无法圆满解

答本题，请不要轻易放弃，试试将上述

(2) 、 (3) 小题换为下列问题 解答 ( 已知条件及第 (1) 小题与上相同，完全正确解答只能得到

5

分 ) ：

(2) 若点 D 的坐标为 (1 ， 0) ，求矩形 DEFG

的面积 .

图 10

解：⑴ 解法一：设 y = ax 2 + bx + c(a ? 0) ，

任取 x,y 的三组值代入，求出解析式

y = 1 x 2 + x - 4 ， ···································1 分

2

令 y=0 ，求出 x 1 = - 4, x 2 = 2 ；令 x=0，得 y= - 4，

∴ A 、 B 、 C 三点的坐标分别是 A(2， 0)， B(- 4， 0)， C(0， - 4) . (3)

分

解法二：由抛物线 P 过点 (1，-

5

)，(- 3， -

5

)可知，

2 2

抛物线 P 的对称轴方程为 x= - 1， ······························································1 分 又∵ 抛物线 P 过 (2 ， 0)、 (- 2， - 4) ，则由抛物线的对称性可知， 点 A 、 B 、 C 的坐标分别为 A(2， 0)， B(- 4， 0)， C(0， - 4) .·······························3 分 ⑵ 由题意， AD = DG ，而 AO=2， OC =4， AD=2- m ，故 DG =4- 2m ， ···············4 分

AO OC

又

BE

=， EF= DG ，得 BE=4- 2m ，∴ DE=3m ， ···································5 分

BO OC

EF

∴ S DEFG =DG ·DE=(4 - 2m) 3m=12m- 6m 2 (0 ＜ m ＜2) . ········································6 分 注：也可通过解 Rt △ B 形的面积最大，且最大面积是 6 .

当矩形面积最大时，其顶点为 D (1， 0)， G(1， - 2)， F(- 2， - 2)， E(- 2， 0)， ········7 分 设直线 DF 的解析式为 y=kx+b ，易知， k= 2 ，b=-

2

，∴

y = 2 x-

2 ，

3

3

3

3

又可求得抛物线

P 的解析式为：

令 2

x- 2 = 1 x 2 + x - 4 ，可求出 3

3 2

1

2

+ x - 4 ，

······································8 分

y =

x

2

- 1 ?

61

x=

. 设射线 DF 与抛物线 P 相交于点 N ，则 N 的横坐标为

3

-

1 - 61

，过 N 作 x 轴的垂线交 x 轴于 H ，有

3

- 1- 61

FN = HE - 2 -

3 = - 5 + 61 ， ··················································9 分 =

DF DE

3 9

点 M 不在抛物线

P 上，即点 M 不与 N 重合时，此时

k 的取值范围是

k ≠- 5 +

61

且 k ＞ 0.

············································································10 分

9

说明 ：若以上两条件错漏一个，本步不得分.

若选择另一问题 ： ⑵∵

AD =DG

，而

AD=1， AO=2， OC=4，则 DG =2， ································4 分

AO OC

又 ∵

FG =

CP

， 而 AB=6， CP=2， OC =4，则 FG =3，

AB

OC

∴ S DEFG =DG ·FG =6.

10、（ 2007 山东威海）如图①，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (1，2) ，点 B 的坐标为 (31)， ，二次

函数 y x 2 的图象记为抛物线 l 1 ．

（ 1）平移抛物线 l 1 ，使平移后的抛物线过点 A ，但不过点 B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．

（ 2）平移抛物线

l 1 ，使平移后的抛物线过

A ，

B 两点，记为抛物线 l 2 ，如图②，求抛物线 l 2 的函数表达

式．

（ 3 ）设抛物线

l 2 的顶点为 C ， K 为 y 轴上一点．若

△ △

ABC ，求点 K 的坐标．

S

ABK

S

（ 4 ）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线

l 2 上是否存在点 P ，使 △ ABP 为等腰三角形．若存在，

请判断点 P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．

解：（ 1）有多种答案，符合条件即可．例如

y

x 2 1 ， y x 2 x ， y (x 1)2

2 或

y x 2

2x 3 ， y (x

2 1)2 ， y ( x 1

2) 2．

1 y 1

bx

c ，

1 （

2 ）设抛物线 l 2 的函数表达式为 x

2

1

1

1

图①

图②

图③

Q 点 A(1，2) ， B(31)， 在抛物线 l 2 上，

1 b c

， b

9 ，

2

2

9 3b c 解得

11

1

图②

c

.

2

抛物线 l 2 的函数表达式为 y

x 2 9 x 11 ．

2 2

x 29 x

2

（ 3） y

11 x 9

7 ， C 点的坐标为

9，7 ．

2 2 4

16

4 16

过 A ， B ， C 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D ，E ，F ，

则 AD

2，CF

7

1， DE 2， DF

5

FE

3

， BE

， ．

16

4

4

S

△ ABC S

梯形 ADEB

S

梯形 ADFC

S

梯形 CFEB

．

1

(2 1) 2 1 2 7 5 1 1 7 3 15 ．

2 2 16 4 2 16 4 16

延长 BA 交 y 轴于点 G ，设直线 AB 的函数表达式为y mx n ，

2 m ，m 1 ，

Q 点 A(1，2) ，B(31)，在直线AB上，n 2

解得

5 .

1 3m n. n

2

直线 AB 的函数表达式为

1 5

G 点的坐标为

5 y x ．0，．

2 2 2

设 K 点坐标为(0，h)，分两种情况：

若 K 点位于 G 点的上方，则KG h 5

．连结 AK，BK ．2

S△ABK S△BKG S△AKG 1 3 h 5 1 1 h 5 h 5 ．

2 2 2 2 2

Q S△ABK S△ABC 15 5 15 55

K

55 ，h ，解得 h ．点的坐标为0，．16 2 16 16 16

若 K 点位于 G 点的下方，则KG 5

h ．同理可得，h

25 2 16

．

25

K 点的坐标为0，．

16

（4）作图痕迹如图③所示．

由图③可知，点 P 共有3个可能的位置．

图③

11、如图，抛物线y x22x 3 与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l 与抛物线交于A、 C

两点，其中 C 点的横坐标为2。

（ 1）求 A 、 B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；

（ 2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段PE 长度的最大值；

（ 3）点 G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A 、 C、 F、 G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由。

解：（ 1）令 y=0 ，解得x11或 x2 3 （1分）

∴A（－ 1，0）B（3，0）；（ 1 分）

将 C 点的横坐标x=2 代入y x22x 3 得y=－3，∴C（2，－3）（1分）∴直线AC 的函数解析式是y= － x－1

（2）设 P 点的横坐标为 x（－ 1≤ x≤ 2）（注： x 的范围不写不扣分）则

P、 E 的坐标分别为： P（ x，－ x－1），（ 1 分）

E（( x, x2 2x 3) （1分）

∵ P 点在 E 点的上方， PE= ( x 1) ( x2 2x 3)x2 x 2 （2分）∴当 x 1 时， PE 的最大值= 9 （1 分）

2 4

（ 3）存在4个这样的点F，分别是

F1 (1,0), F2 ( 3,0), F3(4 7), F4 (4 7)