4.1空间图形基本关系的认识
4.2空间图形的公理(一)
[学习目标] 1.理解空间中点、线、面的位置关系． 2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念． 3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题． 4.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.
【主干自填】
1．空间点与直线的位置关系
(1)如果点P在直线□01上，记作P∈a.
(2)如果点P在直线□02外，记作P?a.
2．空间点与平面的位置关系
(1)如果点P在平面α□03内，记作P∈α.
(2)如果点P在平面α□04外，记作P?α.
3．空间两条直线的位置关系
(1)平行直线：如果直线a和b在同一个平面内，但没有□05公共点，这样的两条直线叫作平行直线，记作a∥b.
(2)相交直线：如果直线a和b有且只有□06一个公共点P，这样的两条直线叫作相交直线，记作a∩b＝P.
(3)异面直线：如果直线a和b不同在□07任何一个平面内，这样的两条直线
叫作异面直线．
4．空间直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内：如果直线a与平面α有□08无数个公共点，我们称直线a 在平面α内，记作aα.
(2)直线与平面相交：如果直线a与平面α有且只有□09一个公共点P，我们称直线a与平面α相交于点P，记作a∩α＝P.
(3)直线与平面平行：如果直线a与平面α没有□10公共点，我们称直线a与平面α平行，记作a∥α.
5．空间平面与平面的位置关系
(1)平行平面：如果平面α与平面β没有□11公共点，我们称平面α与平面β是平行平面，记作α∥β.
(2)相交平面：如果平面α和平面β不重合，但有□12公共点，我们称平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β＝l.
6．公理1
经过□13不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．
7．公理1的推论
推论1：经过一条直线和这条□14直线外一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条□15相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条□16平行直线，有且只有一个平面．
8．公理2
如果一条直线上的□17两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
9．公理3
如果两个□18不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
【即时小测】
1．思考下列问题
(1)照相机支架只有三个脚支撑，为什么？
提示：不在同一直线上的三点确定一个平面．
(2)教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？
提示：这些公共点在同一直线上．
(3)把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系呢？
提示：平行．
2．下列表述中正确的是()
A．空间三点可以确定一个平面
B．三角形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D．四条边都相等的四边形是平面图形
提示：B因为三点不共线时确定一个平面，故A错．C中A、B、C、D四点可在α与β的交线上．D显然错误．故选B.
3．若点M在直线a上，且a在平面α内，则M，α间的关系为________．提示：M∈α
例1(1)已知α，β是两个不同的平面，a，b，l是三条不同的直线，若aα，bα，l∩a＝A，l∩b＝B，lβ，那么α与β的位置关系是________．
(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？
[解析](1)如图，l上有两点A，B在α内，根据公理2，lα，又lβ，则α∩β＝l.
(2)棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直线．
[答案](1)相交(2)见解析
类题通法
(1)判断空间直线、平面之间的位置关系要善于根据题意画出示意图，充分发挥空间想象能力，再对位置关系做出判断.
(2)对于异面直线，它们“不同在任何一个平面内”，也指永远不具备确定平面的条件.“分别位于两个平面内的直线”不一定是异面直线，它们可能平行，也可能相交.
[变式训练1](1)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和BC的中点分别是E，F，各棱所在的直线中与直线EF异面的条数是()
A．4 B．6 C．8 D．10
答案C
解析解法一：与EF异面的直线有AD，A1D1，AA1，DD1，AB，CD，A1B1，D1C1，共8条．
解法二：正方体的12条棱中有BB1，BC，CC1，B1C1与EF共面，其余8条棱都与EF异面．
(2)已知a，b，c是三条不同的直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明．
解直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如图(1)(2)(3)．
例2如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交，求证：a，b，c三线共面．
[证明] ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面α.
如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，
∴A∈α，B∈α，∴ABα.
即aα，∴a，b，c三线共面．
类题通法
证明点线共面的常用方法
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．
[变式训练2]已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证：直线a，b，c和l共面．
证明证法一：如图，∵a∥b，
∴a，b确定一个平面α，
又∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴l上有两点A，B在α内，
即直线lα，∴a，b，l共面．
即若a，l确定平面α，过l上一点B作b∥a，则bα.
同理，过l上一点C作c∥a，则c也在a，l确定的平面内．∴a，b，c，l 共面．
证法二：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，
又∵A∈a，B∈b，∴ABα，即lα.
∵c∥b，∴c，b确定一个平面β，
而B∈b，C∈c，∴BCβ，即lβ.
∴b，lα，b，lβ，而b∩l＝B，
∴α与β重合，∴a，b，c，l共面.
例3已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)．求证：P、Q、R三点共线．
[证明] 证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
证法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，
∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，
∴Q∈平面APR.又Q∈α，
∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．
类题通法
证明点共线问题的方法
证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上．
[变式训练3]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面A1D1CB内，
∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，
∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线.
例4已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．
[证明] 如图，α∩β＝l1，
β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.
∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，
∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，
则P∈l1α，P∈l2γ，
∴P∈α∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3相交于一点P.
类题通法
证明三线共点的方法
证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点．
[变式训练4]已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，如图，E，F分别为AA′，AB上的点(E，F不与A′，B重合)且EF∥CD′，求证：CF，D′E，DA 三线共点于P.
证明由EF∥CD′知E，F，C，D′四点共面．
∵E，F不与A′，B重合，∴EF≠CD′，
即四边形EFCD′为梯形．
设D′E∩CF＝P，
∵D′E平面AA′D′D，P∈D′E，
∴P∈平面AA′D′D.
又∵CF平面ABCD，P∈FC，
∴P∈平面ABCD，
即P是平面ABCD与平面AA′D′D的公共点．
又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，
∴P∈AD，
即CF，D′E，DA三线共点于P.
易错点?公理及推论的应用中忽略重要条件
[典例] 已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？
[错解] ∵A，B，C，D共面，
∴点A在点B，C，D所确定的平面内．
∵点B，C，D，E四点共面，
∴点E也在点B，C，D所确定的平面内，
∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，即点A，B，C，D，E一定共面．
[错因分析] 在证明共面问题时，必须注意平面是确定的．上述错解中，由于没有注意到，B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．
[正解]A，B，C，D，E五点不一定共面．
(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面α，由题设知A∈α，E∈α，故A，B，C，D，E五点共面于α；
(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．
综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面．
课堂小结
1.在空间中，点看作元素，直线和平面看作点的集合，点与直线、平面，直线
与直线，线面及面面之间的位置关系是空间中最基本的位置关系.
2.公理1,2,3是在生活实际中，人们对经验和客观实际的总结.
公理1的主要作用是论证共面问题；公理2的主要作用是判断直线是否在平面内；公理3是判断两平面是否相交的重要依据.
1．空间中，可以确定一个平面的条件是()
A．两条直线B．一点和一条直线
C．一个三角形D．三个点
答案C
解析由公理1知：不共线的三点确定一个平面，而三角形的三个顶点一定不共线，故三角形可以确定一个平面．
2．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()
A．1条或2条B．2条或3条
C．1条或3条D．1条或2条或3条
答案D
解析当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．
3．若a表示直线，α表示平面，则下列命题中正确的是()
①直线a在平面α内，即a与α有无数个公共点；
②直线a不在平面α内，即直线a与α有一个公共点；
③直线a不在平面α内，即直线a与α没有公共点；
④a与α的关系可分为a在α内或a不在α内．
A．①②B．①③C．①④D．②③
答案C
解析直线a不在平面α内，即直线a与α平行或相交，无公共点或有一个公共点，故②③错误，显然①④正确．
4．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．
答案0
解析命题①错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如正方体同一顶点的三条棱．命题③错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上．命题④错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内，所以正确命题的个数为0.
时间：25分钟
1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
答案B
解析若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面；若AB与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．故选B.
2．若点A∈平面α，点B∈平面α，点C∈直线AB，则()
A．C∈αB．C?α
C．AB?/αD．AB∩α＝C
答案A
解析因为点A∈平面α，点B∈平面α，所以ABα.又点C∈直线AB，所
以C∈α.
3．如图所示，用符号语言可表示为()
A．α∩β＝m，nα，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，nα，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
答案A
解析很明显，α与β交于m，n在α内，m与n交于A，故选A.
4．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C?l.又AB∩l ＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()
A．直线AC B．直线BC
C．直线CR D．直线AR
答案C
解析∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC，而C ∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.
5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M不在AC上，也不在BD上
答案A
解析因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线()
A．不存在B．有且只有两条
C．有且只有三条D．有无数条
答案D
解析如下图：在直线CD上任取一点H，则直线A1D1与点H确定一平面A1D1HG.
显然EF与平面A1D1HG有公共点O且A1D1∥HG.又O?HG.连接HO并延长，则一定与直线A1D1相交．由于点H有无数个，所以与A1D1、EF、CD都相交的直线有无数条．
7．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；
③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
答案②④
解析观察图形可知①③错误，②④正确．
8．有下面几个说法：
①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；
⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．
其中正确的序号是________(把你认为正确的序号都填上)．
答案③④
解析①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．
9．已知α，β为两个不同的平面，A，B，M，N为四个不同的点，a为直线，下列推理错误的是________(填序号)．
①A∈a，B∈a，A∈β，B∈β?aβ；
②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN；
③A∈α，A∈β?α∩β＝A.
答案③
解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β，
由公理3知α∩β为经过点A的一条直线而不是一个点A，故③错误．故填③.
10．如下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3.
求证：EF、GH、BD交于一点．
证明如图所示，连接GE、HF，
∵E、G分别为BC、AB的中点，
∴GE∥AC，GE＝1
2AC.
又∵DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3，
∴HF∥AC，HF＝2
5AC，
∴GE∥HF，GE>HF.
∴G、E、F、H四点共面．
∴EF与GH相交，设交点为O.
则O∈平面ABD∩平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD.即EF、GH、BD交于一点．