点评:本题使用换元法解不等式。在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法”。
3.换元法在函数中的应用
例.(高一)已知f(x+1)为奇函数,f (x )=x·(x+1),(x<1)求x>1时函数f (x )的解析式。 解:令x=t+1(t<0),∵ f(x)=x (x+1) (x<1) ,∴ f(t+1)=(t+1)(t+2) , 又f(x+1)为奇函数,故f(t+1)也为奇函数, ∴ -f (t+1)=f (-t+1),f (-t+1)=-(-t-1)(-t-2), 令T=-t ,(T>0),则f(T+1)=-(T-1)(T-2), ∴ )3)(2()(---=T T T f , ∴ f(x)= -(x-2)(x-3)=-x2+5x-6,(x>1) 。 点评:本题使用换元法求函数解析式。
4.换元法在数列中的应用
例.(高三)已知数列{a n }中,a 1=-1,a n +12a n =a n +1-a n ,求数列通项a n 。 解:已知式变形为
11a n +-1a n =-1 ,设 b n =1a n
,则}{n b 为等差数列, ∴ b 1=-1 ,b n =-1+(n -1)(-1)=-n , ∴ a n =-
1
n
。
5.换元法在复数中的应用
对于涉及模及多变元的复数问题,基于运算方面的考虑,可以利用换元法简解。
6.换元法在三角中的应用
例.(高一)设a>0,求f(x)=2a(sinx +cosx)-sinx 2cosx -2a 2
的最大值和最小值。 解: 设sinx +cosx =t ,则t ∈[-2,2],
由 (sinx +cosx)2
=1+2sinx 2cosx 得 sinx 2cosx =t 21
2
- ,
∴ f(x)=g(t)=-12(t -2a)2
+12
(a>0) t ∈[-2,2],
当 t =-2 时, g(t)取最小值 -2a 2
-22a -12
。
当 2a ≥2 时,t =2,f(x)取最大值 -2a 2
+22a -12
;
当 0<2a ≤2 时,t =2a ,f(x)取最大值 12
。
∴ f(x)的最小值为-2a 2
-22a -12,最大值为1202222212222
()()<<-+-≥?????
??a a a a 。
点评:换元设 sinx +cosx =t 后,抓住sinx +cosx 与sinx 2cosx 的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围(t ∈[-2,2])与sinx +cosx 对应,否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地,在遇到题目已知和未知中含有sinx 与cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为f(sinx ±cosx ,sinxcsox),经常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例.(高一)△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足:A +C =2B ,1cos A +1cos C =-2
cos B
,求cos A C -2的值。
分析: 由已知 A +C =2B 和“三角形内角和等于180°”,可得 A C B +=???
12060°
=°,
对 A +C =120° 进行均值换元,设 A C =°α=°-α6060+???
,再代入可求cos α即cos A C
-2。
解法一:∵ A +C =2B 且 A +B+C =180°,∴ A C B +=???
12060°
=°,
设A C =°α=°-α6060+???
,代入已知等式得:
1
cos A +1cos C =160cos()?+α+160cos()
?-α =11232cos sin αα-+1
1232
cos sin αα+ =cos cos sin ααα143422-=cos cos α
α234
-=-22, 解之得 cos α= 22, 即 cos A C -2=2
2
。
解法二:由A +C =2B ,得A +C =120°,B =60°。 ∴
1cos A +1cos C =-2
cos B
=-22,设 1cos A =-2+m ,1cos C =-2-m , ∴ cosA =
12-+m
,cosC =
1
2--m
,
两式分别相加、相减得:
cosA +cosC =2cos
A C +2cos A C -2=cos A C -2=22
22m - , cosA -cosC =-2sin A C +2sin A C -2=-3sin A C -2=22
2m
m - ,
即 sin A C -2=-2322m m ()- ,cos A C -2=-2222m -,
代入 sin 2A C -2+cos 2A C -2=1 整理得 3m 4-16m -12=0 ,解之得 m 2
=6 ,
代入cos A C -2=222
2m - 得 cos A C -2=2
2 。
点评: 本题两种解法由“A +C =120°”、“1
cos A +1cos C
=-22”分别进行均值换元,随后结合三角形角的
关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出:
由A +C =2B ,得A +C =120°,B =60°。
∴
1cos A +1cos C =-2
cos B
=-22,即cosA +cosC =-22cosAcosC , 和积互化得 2cos A C +2cos A C
-2
=-2[cos(A+C)+cos(A-C) ,
即cos A C -2=22-2cos(A-C)=22
-2(2cos 2A C -2-1) , 整理得 42cos 2A C -2+2cos A C -2
-32=0 ,
解之得 cos A C -2=2
2
。
7.换元法在解析几何中的应用
例.(高三)实数x 、y 满足()x -192+()y +116
2
=1,若x +y -k>0恒成立,求k 的范围。
分析:由已知条件 ()x -192+()y +116
2=1 ,可以发现它与a 2+b 2
=1有相似之处,于是实施三角代换。
解:由 ()x -192+()y +116
2
=1 ,设 x -13=cos θ ,y +14=sin θ ,
即 x y =+=-+???
1314cos sin θθ,
代入不等式 x +y -k>0 得 3cos θ+4sin θ-k>0 ,即k<3cos θ+4sin θ=5sin(θ+ψ) , 所以k<-5时不等式恒成立。
点评:本题进行三角代换,将解析几何问题化为了含参三角不等式恒成立的问题,再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范围。一般地,在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时,经常使用“三角代换”。
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法:在平面直角坐标系,不等式ax +by +c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax +by +c =0所分平面成两部分中含x 轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题:椭圆上的点始终位于平面上x +y -k>0的区域。即当直线x +y -k =0在与椭圆下部相切
的切线之下时。当直线与椭圆相切时,方程组
16191144
022()()x y x y k -+
+=+-=??
?
有相等的一组实数解,消元后由△=0可求得k
=-3,所以k<-3时原不等式恒成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 方程 不等式 √ 函数 √ 数列 复数 三角 √ √
解析几何
1.(高二)解不等式 log 2(2x
-1) 2log 2(2
x +1
-2) 。
解:设 log 2(2x
-1)=y ,则 y(y +1)<2 ,解之得 -24
,log 23)。 2.(高一)设f(x 2
+1)=log a (4-x 4
) (a>1),求f(x)的值域。
解:设x 2
+1=t (t≥1),则f(t)=log a [-(t-1)2
+4],所以值域为(-∞,log a 4]。 点评:本题使用换元法求函数值域。
3.(高一)求函数y=sin2 x- 3sinx+32 - sinx 的值域。
解:原函数变形得 y=(2-sinx)2 - (2 - sinx)+12 - sinx =2-sinx-12 - sinx –1 , 令 t=2-sinx ,t ∈[1,3] ,即y=t+1t –1 ,
易知当 t ∈[0,1] 时为减函数;t ∈[1,+∞]时为增函数, 故当 t=1 ,即sinx=1 ,x=2kπ+π2 k ∈z 时,1min =y ;
当 t=3 时,即 sinx=-1 ,x=2kπ- π2 k ∈z 时,73max =y 。 故y ∈[1, 73 ]。
点评:本题使用换元法求三角函数值域。
4*.(高一.超纲)已知sin θx =cos θ
y ,且cos 22θx +sin 22
θy =10322()x y + (②式),求x y 的值。
解法一: 设 sin θx =cos θy
=k ,则sin θ=kx ,cos θ=ky ,且sin 2θ+cos 2θ=k 2(x 2+y 2
)=1 ,
代入②式得: k y x 222+k x y 222=10
322()x y +=1032k ,即 y x 22+x y
22=103 ,
设 x y
22=t ,则 t +1t =103 , 解之得 t =3 或 t =1
3 ,
∴
x y =±3 或 x
y
=±33 。
解法二: 由 x y =sin cos θθ=tg θ ,将等式②两边同时除以cos 22
θ
x
, 再表示成含tg θ的式子:1+tg 4θ=()()
1103112
2+?+tg tg θθ
=103tg 2θ ,
设 tg 2
θ=t ,则 3t 2
—10t +3=0 , ∴ t =3 或 t =
1
3 , 解之得 x y =±3 或 x y
=±33 。 点评:第一种解法由
sin θx =cos θ
y
而进行等量代换,进行换元,减少了变量的个数。第二种解法将已知式变形为
x y =sin cos θ
θ
,再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低。