专题02 空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题
1．（2019·黑龙江省牡丹江一中高二期中）已知向量(1,2,1)a =-，(1,2,1)a b -=--，则向量b =（ ） A ．(2,4,2)- B ．(2,4,2)-- C ．(2,0,2)-- D ．(2,1,3)-
【答案】A 【解析】
由已知可得()()()1,2,11,2,12,4,2b =----=-. 故选：A.
2．（2020·南京市秦淮中学高二期末）已知向量()3,2,a x =，向量()2,0,1b =，若a b ⊥，则实数x =（ ） A ．3 B ．3-
C ．6
D ．6-
【答案】D 【解析】
()3,2,a x =，()2,0,1b =，a b ⊥，60a b x ∴?=+=，解得6x =-.
故选：D.
3．（2019·湖南省衡阳县江山学校高二月考）若向量(0,1,1),(1,1,0)a b =-=，且()a b a λ+⊥，则实数λ的值是（ ） A ．1- B ．0
C ．2-
D ．1
【答案】C 【解析】
由已知(0,1,1)(1,1,0)(,1,1)a b λλλλ+=-+=+-，
由()a b a λ+⊥得：()(,1,1)(0,1,1)110a b a λλλλ+?=+-?-=++=，
2λ∴=-，
故选：C.
4．（2019·浙江省宁波市鄞州中学高二月考）已知空间向量()1,,2a n =，()2,1,2b =-，若2a b -与b 垂直，
则a 等于（ ）
A
B
C
．
2
D
．
2
【答案】A 【解析】
由空间向量()1,,2a n =，()2,1,2b =-，若2a b -与b 垂直， 则(2)0a b b -?=， 即2
2a b b ?=， 即249n +=， 即52n =
， 即51,,22
a ??= ???
，
即251a =+
=
， 故选：A.
5．（2019·佛山市荣山中学高二期中）已知()2,1,2a =-，()4,2,b x =-，且//a b ，则x =（ ） A ．-4 B ．-5
C ．5
D ．-2
【答案】A 【解析】
因为()2,1,2a =-，()4,2,b x =-，且//a b ， 所以存在实数λ，使得b a λ=，
即4222x λ
λλ
-=??
=-??=?
解得24x λ=-??=-? 故选：A
6．（2019·湖北省沙市中学高二月考）若(1,21,0),(2,,)a m m b m m =--=，则b a -的最小值是（ ）
A B C D
【答案】C 【解析】
(1,1,)b a m m m -=+-，所以(1)b a m -=+=≥ C
7．（2019·南郑中学高二期末）在空间直角坐标系中，点
(2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点为B ，则OA OB ?=( )
A ．10-
B ．10
C ．12-
D ．12
【答案】D 【解析】
由题意，空间直角坐标系中，点
(2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点(2,1,3)B ， 所以 =(2,1,3),(2,1,3)OA OB -=,则22(1)13312OA OB ?=?+-?+?=，故选D.
8．（2019·陕西省西北农林科技大学附中高二期末）已知向量),4(4,2a =--，)6,(3,2b =-，则下列结论正确的是（ ） A ．)10,,6(5a b +=-- B ．()2,1,6a b -=-- C ．10a b ?= D ．6a =
【答案】D 【解析】
因为),4(4,2a =--，)6,(3,2b =-
所以)10,,2(5a b +=--，()2,1,6a b -=--，()()()46234222a b =?+-?-+-?=
(246a =+=
故选：D
9．（2017·陕西省西安中学高二期中）已知()2,1,3a =-，()1,4,4b =--， ()7,7,c λ=，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ=( ) A ．3 B ．5 C ．7
D ．9
【答案】A 【解析】
()
2,1,3
a=-，()
1,4,4
b=--，()
7,7,
cλ
=，a、b、c三个向量共面，
∴存在实数m，n，使得c ma nb
=+，即有：
72
74
34
m n
m n
m n
λ
=-
?
?
=-+
?
?=-
?
，
解得5
m=，3
n=，
∴实数35433
λ=?-?=．
故选：A．
10．（2020·北京交通大学附属中学高二月考）如图，在边长为2的正方体1111
ABCD A B C D
-中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足11
B P D E
⊥，则线段
1
B P的长度的最大值为（）
A．
45
5
B．2C．22D．3
【答案】D
【解析】
如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC、1
DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D xyz
-，
则点()
1
2,2,2
B、()
1
0,0,2
D、()
1,2,0
E，设点()()
,,002,02
P x y x y
≤≤≤≤，
()11,2,2D E =-，()12,2,2B P x y =---，
11D E B P ⊥，()112224220B P D E x y x y ∴?=-+-+=+-=，得22x y =-，
由0202x y ≤≤??≤≤?，得022202
y y ≤-≤??≤≤?，得01y ≤≤， ()
()2
2
21224548B P x y y y ∴=
-+-+=-+
01y ≤≤，当1y =时，1B P 取得最大值3.
故选：D. 二、多选题
11．（2019·晋江市南侨中学高二月考）已知向量(1,1,0)a =，则与a 共线的单位向量e =（ ） A ．22
(,,0)22
-
- B ．(0,1,0)
C ．22
D ．(1,1,1)
【答案】AC 【解析】
设与a 共线的单位向量为e ，所以a e λ=，因而a e λλ==，得到a λ=±． 故a e a
=±
，而112a =+=
22(,e =或22(,e =-．
12．（2020·南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有( )
A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=
B ．若//a b ，则
111
222
x y z x y z == C
．cos ,a b =
><
D ．若1111===x y z ，则a 为单位向量 【答案】BD 【解析】
对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ?=++=，A 选项正确； 对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b ，但分式
1
2
x x 无意义，B 选项错误； 对于C 选项，
由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =
><，
C 选项正确； 对于
D 选项，若1111===x y z
，则211a =+=，此时，a 不是单位向量，D 选项错误. 故选：BD.
13．（2020·辽宁省高二期末）若()1,,2a λ=--，()2,1,1b =-，a 与b 的夹角为120?，则λ的值为（ ）
A ．17
B ．－17
C ．－1
D ．1
【答案】AC 【解析】
由已知224a b λλ?=---=--，2
2
145,4116a b λλ=++=+=
++=，
1
cos12025a b a b
λ?∴=
=
=-?+，解得17λ=或1λ=-，
故选：AC.
14．（2019·佛山市荣山中学高二期中）已知()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则a b ?=______. 【答案】2 【解析】
()3,2,5a =-，()1,5,1b =- ()3125512a b ∴=-?+?+?-=
故答案为：2
15．（2020·浙江省高二期末）已知向量(1,2,2)a ，(2,,1)b
x ，
则a =_____；若a b ⊥，则x =_______ 【答案】3 0 【解析】 ∵向量(1,2,2)a
，(2,,1)b x ，
∴||143a =++=.
若a b ⊥，则2220a b x ?=+-=，解得0x =. 故答案为：3，0.
16．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）已知()1,1,0a =，()0,1,1b =，()1,0,1c =，p a b =-，
2q a b c =+-，则p q ?=______.
【答案】-1 【解析】
依题意()()1,0,1,0,3,1p a b q =-=-=，所以0011p q ?=+-=-. 故答案为：1-
17．（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三期末）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ?的面积的最小值为__________.
25
【解析】
以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点1(2,,),(0,0,2)P y z D ， 所以1(2,,2)D P y z =-.
因为(0,2,0),(2,0,1)C M ，所以(2,2,1)CM =-,
因为1D P CM ⊥,所以4220y z -+-=，所以22z y =-， 因为B(2，2，0)，所以(0,2,)BP y z =-，
所以22222(2)(2)(22)5128BP y z y y y y =-+=-+-=-+因为
02y ≤≤，所以当65
y =时，min
2
55
BP =
. 因为BC ⊥BP ,所以min 12525
()22PBC S ?=?=
25
. 四、解答题
18．（2020·宁夏回族自治区宁夏育才中学高二期末）已知()2,1,3a =-，()4,2,b x =-，()1,,2c x =-. （1）若//a b ，求x 的值； （2）若()
a b c +⊥，求x 的值. 【答案】（1）-6；（2）-4. 【解析】 （1）b a λ=，
∴2423x λλλ=-??
-=??=?
， ∴6x =-.
（2）()2,1,3a b x +=-+， ∵()a b c +⊥， ∴()0a b c +?=， ∴()2230x x --++=， ∴4x =-.
19．（2019·甘肃省静宁县第一中学高二期末）已知向量()1,1,1AB =，()1,2,1AC =-，()3,,1AD y =. （1）若AD AC ⊥，求y 的值；
（2）若A 、B 、C 、D 四点共面，求y 的值. 【答案】（1）1y =-；（2）4y =. 【解析】
（1）AD AC ⊥，得AD AC ⊥，0AD AC ∴?=，
()()3,,11,2,10y ∴?-=，3210y ∴+-=，解得1y =-；
（2）由A 、B 、C 、D 四点共面，得λ?，R μ∈，使得，AD AB AC λμ=+，
()()()1,1,11,2,13,,1y λμ∴+-=，3
21y λμλμλμ+=??
∴+=??-=?
，解得4y =.
20.（2019·北京高二期末）已知向量(2,1,2)=--a ，(1,1,2)b =-，(,2,2)x =c . （Ⅰ）当||22c =时，若向量ka b +与c 垂直，求实数x 和k 的值； （Ⅱ）若向量c 与向量a ，b 共面，求实数x 的值. 【答案】（Ⅰ）实数x 和k 的值分别为0和3-.（Ⅱ）1
2
- 【解析】
(Ⅰ)因为||22c =,
0x ==. 且ka b =+(21,1,22)k k k ---+. 因为向量ka b +与c 垂直, 所以()0ka b c =+?. 即260k +=.
所以实数x 和k 的值分别为0和3-.
(Ⅱ)因为向量c 与向量a ，b 共面,所以设c a b λμ=+（,R λμ∈）. 因为(,2,2)(2,1,2)(1,1,2)x λμ=--+-,
2,2,222,x λμμλλμ=--??=-??=+? 所以1,21,23.2x λμ?=-??
?
=-??
?
=??
所以实数x 的值为12
-
. 21．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知空间三点
()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---，设,a AB b AC ==.
（1）求a 和b 的夹角θ的余弦值；
（2）若向量ka b +与2ka b -互相垂直，求k 的值. 【答案】（1）10
10
-；（2）52k =-或2k =.
【解析】
(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)a AB ==---=， (3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)b AC ==---=-．
（1
）cos 10||||2a b a b θ?=
==-?，
所以a 与b 的夹角θ
的余弦值为. （2）,,01,)0,21,,()()(2ka b k k k k +=+-=-，
2,,02,)0,42,,()()(4ka b k k k k -=--=+-，
所以()()2
1,,22,,(4)()1280k k k k k k k -?+-=-++-=,
即22100k k +-=， 所以5
2
k =-
或2k =. 22．（2019·建瓯市第二中学高二月考）已知向量()1,2,2a =-. （1）求与a 共线的单位向量b ；
（2）若a 与单位向量()0,,c m n =垂直，求m ，n 的值.
【答案】（1）122,,333b ??=- ???或122,,333b ??=-- ???.（2
）,2
2m n ?=
????=??
或,22
m n ?=-???
?=-
??
【解析】
（1）设b =(λ,2λ,-2λ)，而b 为单位向量， ∴|b |=1，即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=1，∴λ=±13
. ∴b =122,
,333??
- ??
?或b =1
22,,333??--
???
. （2）由题意，知0a c ?=，且1c =
故可得10220,
1,
m n ?+-=??=
解得,22m n ?=
????=??
或,22
m n ?=-???
?=-??
23．（2019·佛山市荣山中学高二期中）已知空间中三点()2,0,2A -，()1,1,2B --，()3,0,4C -，设a AB =，
b AC =.
（1）若3c =，且//c BC ，求向量c ； （2）已知向量ka b +与b 互相垂直，求k 的值； （3）求ABC ?的面积.
【答案】（1）()2,1,2c =-或()2,1,2c =--；（2）5；（3）3
2
【解析】 （1）
空间中三点()2,0,2A -，()1,1,2B --，()3,0,4C -，设a AB =，b AC =，
所以()()()1,1,22,0,21,1,0a AB =--=--=--，
()()()3,0,42,0,21,0,2b AC ==---=-，
∴(3,0,4)(1,1,2)(2,1,2)BC =----=-，
3c =，且//c BC ，设c mBC =
∴()()2,1,22,,2c mBC m m m m ==-=-，
(233c m m ∴=-==，
1m ∴=±，∴()2,1,2c =-或()2,1,2c =--．
（2）
()()()1,0,21,,21,1,0ka b k k k -++=---=--，()1,0,2b =-
且向量ka b +与b 互相垂直，
()
140ka b b k ∴+=-+=，解得5k =．
k ∴的值是5．
（3）因为()1,1,0AB =--，()1,0,2AC =-， ()2,1,2BC =-
1AB AC ∴=-，(AB =
-21AC ==cos ,||||2510
AB AC AB AC AB AC ∴<>=
==-
sin ,1
AB AC ∴<>==
1
sin ,2
ABC S AB AC AB AC ?∴=???<>
1
2=
32
=
．