1. 【2013北京数学（理科）6题】
若双曲线22
221x y a b
-=
A ．2y x =±
B ．y =
C ．1
2
y x =±
D ．y = 2. 【2013北京数学（理科）7题】
直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于
A ．43
B ．2
C ．8
3
D
3. 【2013北京数学（理科）19题】
已知,,A B C 是椭圆2
2:14
x W y +=上的三个点，O 是坐标原点.
（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积; （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.
4. 【2013福建数学（理科）3题】
双曲线2
214
x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A ．
25 B ．45 C D
5. 【2013福建数学（理科）14题】
椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)
y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________
6. 【2013安徽数学（理科）13题】
已知直线y a =交抛物线2
y x =于,A B 两点。若该抛物线上存在点C ，使得ABC ∠为直角
则a 的取值范围为___ _____。
7. 【2013安徽数学（理科）18题】
设椭圆22
22
:11x y E a a
+=-的焦点在x 轴上 （Ⅰ）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线2F P 交y 轴与点Q ，并且11F P FQ ⊥，证明：当a 变化时，点p 在某定直线上。
8. 【2013全国卷数学（理科）8题】
椭圆22
:143
x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是
（A ）1324??????， （B ）3384??
????， （C ）112??
????， （D ）314??????
， 9. 【2013全国卷数学（理科）11题】
已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，
若0MA MB = ，则k =
（A ）
12 （B （C （D ）2
10. 【2013全国卷数学（理科）21题】
已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为3，直线
2y =与C
（I ）求,;a b
（II ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点，且11AF BF =，证明：
22AF AB BF 、、成等比数列。
11. 【2013广东数学（理科）7题】
已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3
2
,在双曲线C 的方程是 ( )
A . 221
4x = B ．22145x y -= C ．22
125x y -= D ．2212x = 12. 【2013广东数学（理科）20题】
已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为
.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；[来源:学。科。网]
(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ?的最小值.
13.【2013湖北数学（理科）5题】
已知04π
θ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与22
2222
:1sin sin tan y x C θθθ
-=的（ ） A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等
14.【2013湖北数学（理科）16题】
在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θ
θ=??=?
()0a b ?>>为参数，。在极坐
标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）
中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ??
+
= ??
?()m 为非零常数与b ρ=。若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 。
15.【2013湖北数学（理科）21题】
如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为
2m ，2n ()m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到
小依次为A ，B ，C ，D 。记m
n
λ=
，BDM ?和ABN ?的面积分别为1S 和2S 。 （I ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；
（II ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由。
16.【2013湖南数学（理科）9题】
在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ??==????
=-=??为参数过椭圆 ()?为参数的右顶点，则常数a 的值为 .
17.【2013湖南数学（理科）16题】
设12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若
216,PF PF a +=且12PF F ?的最小内角为30 ，则C 的离心率为___。
18.【2013湖南数学（理科）21题】
过抛物线2
:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且
122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l E 与相交于点C ，D 。以AB ，CD 为直径的圆M ，
圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l 。
（I ）若120,0k k >>，证明；2
2FM FN P < ；
（II ）若点M 到直线l
的距离的最小值为5
，求抛物线E 的方程。[来源:学,科,网Z,X,X,K]
19.【2013江苏数学（理科）3题】
双曲线
19
162
2=-y x 的两条渐近线的方程为 。
20.【2013江苏数学（理科）8题】
如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥
第21题图
ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V 。
21.【2013江苏数学（理科）12题】
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122
22>>=+b a b
y a x ，右焦点为F ，
右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。
22.【2013江西数学（理科）14题】
抛物线x 2
＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线22
=133
x y -相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.
23.【2013江西数学（理科）20题】
如图，椭圆C ：2222=1x y a b +(a >b >0)经过点P 31,2??
???
，离心率e ＝12，
直线l 的方程为x ＝4.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
24.【2013辽宁数学（理科）15题】
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连
接,AF BF ，若4
10,6,cos ABF 5
AB AF ==∠=，则C 的离心率e = .
25.【2013辽宁数学（理科）20题】
如图，抛物线()2
2
12:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作
A B C
A
D
E
F B
C
1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O
）01x =，切线.MA 的斜率为1
2
-。 （I ）求p 的值；
（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程。
(),,.A B O O 重合于时中点为
26.【2013山东数学（理科）11题】
已知抛物线1C ：212y x p =
(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213
x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M 。若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p = （A
（B
（C
（D
27.【2013山东数学（理科）22题】
椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ，
过1F 且垂直于
x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ，设12F PF ∠的角平分线
PM 交C 的长轴于点(,0)M m ，求m 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过P 点作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个
公共点，设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明12
11kk kk +为定值，并求出这个定值.
28.【2013陕西数学（理科）11题】
11. 双曲线22116x y m
-=的离心率为5
4, 则m 等于 .
29.【2013陕西数学（理科）20题】
已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;
(Ⅱ) 已知点B (－1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x
轴是
PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.
30.【2013四川数学（理科）6题】
抛物线2
4y x =的焦点到双曲线2
2
13
y
x -=的渐近线的距离是（ ）
（A ）
12 （B （C ）1 （D
31.【2013四川数学（理科）20题】
已知椭圆C ：22
221,(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆C 经过点41(,)33
P ．
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222
211
||||||
AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．
32.【2013天津数学（理科）5题】
已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于
A ,
B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =
(A) 1
(B)
3
2
(C) 2 (D) 3
33.【2013天津数学（理科）18题】
设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭
.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若
··8AC DB AD CB += , 求k 的值.
34.【2013新课标Ⅰ数学（理科）4题】
已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>C 的渐近线方程为
A.14y x =±
B.
1
3
y x =± C.12y x =± D.y x =±
35.【2013新课标Ⅰ数学（理科）10题】
已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两
点。若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为 ( )
A .
2214536
x y +=
B .
22
13627x y += C.
22
12718x y += D.
22
1189
x y +=
36.【2013新课标Ⅰ数学（理科）20题】
已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.
37. 【2013新课标Ⅱ数学（理科）11题】
设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的
圆过点)2,0(，则C 的方程为
（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x =
（C ）2
4y x =或2
16y x = （D ）2
2y x =或2
16y x =
38. 【2013新课标Ⅱ数学（理科）20题】
平面直角坐标系xOy 中，过椭圆22
22:1(0)x y M a b a b +=>>的右焦点F 作直0x y +=交
M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为
12
．
（Ⅰ）求M 的方程；
（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ABCD 面积的最大值．
39. 【2013浙江数学（理科）9题】
如图，21,F F 是椭圆14
:22
1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、
四象限的公共点。若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是
A. 2
B. 3
C.
23 D.2
6
40. 【2013浙江数学（理科）15题】
设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q 为
线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线的斜率等于________。
41. 【2013浙江数学（理科）21题】
如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22
221>>=+b a b
y a x C 的一个顶点，1C 的
长轴是圆4:2
2
2=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D
（1）求椭圆1C 的方程； （2）求ABD ?面积取最大值时直线1l 的方程.
42. 【2013重庆数学（理科）7题】
已知圆()()2
2
1:231C x y -+-=，圆()()2
2
2:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（ ）
A ． 4
B 1
C ．6- D
43. 【2013重庆数学（理科）21题】
如题（21）图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率
e =
，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点，4AA '=。
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P '，过,P P '作
圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外。若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程。
44. 【2014安徽数学（理科）14题】
设21,F F 分别是椭圆)10(1:22
2
<<=+b b
y x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于
B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆
E 的方程为______ ____。
45. 【2014安徽数学（理科）19题】
如图，已知两条抛物线()02:112
1>=p x p y E 和()02:222
2>=p x p y E ，
过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点。
（Ⅰ）证明：;//2211B A B A
（Ⅱ）过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点。 记111C B A ?与222C B A ?的面积分别为1S 与2S ,求2
1
S S 的值。
46. 【2014安徽数学（文科）3题】 抛物线2
4
1x y =
的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x
47. 【2014安徽数学（文科）21题】
设1F ,2F 分别是椭圆
E ：2
2221(0)x y
a b a b
+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =
(1) 若2||4,AB ABF =?的周长为16，求2||AF ； (2) 若23
cos 5
AF B ∠=
，求椭圆E 的离心率.
47. 【2014北京数学（理科）9题】
设双曲线C 经过点()2,2，且与2
214
y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.
48. 【2014北京数学（理科）19题】 已知椭圆2
2:24C x
y +=，
（1）求椭圆C 的离心率.
（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB
与圆2
22x y +=的位置关系，并证明学科网你的结论.
49. 【2014北京数学（文科）10题】
设双曲线C 的两个焦点为(
)，)
，一个顶点式()1,0，则C 的方程为
.
50. 【2014北京数学（文科）19题】 已知椭圆C ：2
2
24x y +=. （1） 求椭圆C 的离心率；
（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.
51. 【2014全国大纲卷数学（理科）6题】
已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2
F ，离心率为3
，过2F 的直
线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ?的周长为C 的方程为 （ ）
A ．22132x y +=
B ．22
13x y += C ．221128x y += D ．221124
x y +=
52. 【2014全国大纲卷数学（理科）9题】
已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）
A ．14
B ．13
C D
53. 【2014全国大纲卷数学（理科）21题】
已知抛物线C ：2
2(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点
为Q ，且5
||||4
QF PQ =
. （I ）求C 的方程；
（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.
54. 【2014全国大纲卷数学（文科）9题】
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2F 2的直线l 交C
与A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( )
A. 22132x y +=
B. 22
13x y += C. 221128x y += D. 221124
x y +=
55. 【2014全国大纲卷数学（文科）11题】
双曲线C:22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2C 的焦
距等于( )
A. 2
B.
C.4
D.
55. 【2014全国大纲卷数学（文科）22题】
已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5
4
QF PQ =
. (1)求抛物线C 的方程；
(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.
56. 【2014福建卷数学（理科）19题】
已知双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.
（1）求双曲线E 的离心率；
（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一， 四象限），且OAB ?的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公 共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。
57. 【2014福建卷数学（文科）21题】
已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点
,M N 。以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲
线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.
58. 【2014广东卷数学（理科）4题】
4．若实数k 满足09k <<，则曲线
221259x y k -=-与曲线22
1259
x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等
59. 【2014广东卷数学（理科）20题】
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程。
60. 【2014广东卷数学（文科）8题】
若实数k 满足05k <<，则曲线
221165x y k -=-与曲线22
1165
x k y --=的 A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
61. 【2014广东卷数学（文科）20题】
已知椭圆22
22:1(0,0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点为
)
（1）求椭圆C 的标准方程;
（2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.
62. 【2014湖北卷数学（理科）9题】
已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123
F PF π
∠=,则椭圆
和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
C.3
D.2
62. 【2014湖北卷数学（理科）21题】
在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C.
(1)求轨迹为C 的方程
(2)设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。
63. 【2014湖北卷数学（文科）22题】
在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的 轨迹为C .
（Ⅰ）求轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个
公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.
64. 【2014湖南卷数学（理科）21题】
如图7，O 为坐标原点，椭圆22
122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、
右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线22
222:1x y C a b
-=的
左、右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ．已知12e e =
且
24|| 1.F F
（1）求12,C C 的方程；
（2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦
AB 的中点．当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．
65. 【2014湖南卷数学（文科）20题】
如图5，O 为坐标原点，双曲线22
1112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆
22
2222222
:1(0)x y C a b a b -=>>均过点(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. （1）求12,C C 的方程；
（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共
点，且||||OA OB AB +=
？证明你的结论.
66. 【2014江苏数学17题】
如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，
分别是椭圆22
221(0)y x a b a b
+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一
点C ，连结1
FC ．
（1）若点C 的坐标为()
4133，，且2
BF = （2）若1
FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．
67. 【2014江西数学（理科）15题】
15.过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于,A B ，若M
是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为
68. 【2014江西数学（理科）20题】
如图，已知双曲线)0(12
22>=-a y a x C n 的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，
x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a
x
x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NF
MF 恒为定值，并求此定值
69. 【2014江西数学（文科）9题】
过双曲线122
22=-b
y a x C ：的右定点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦
点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A ，则双曲线C 的方程为（ ）
（2）
112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.14
1222=-y x
70. 【2014江西数学（文科）14题】
设椭圆()01:22
22>>=+b a b y a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于
B A ，
两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________.
71. 【2014江西数学（文科）20题】
如图，已知抛物线2
:4C x
y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于
,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标
原点）.
（3）证明：动点D 在定直线上；
（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y
=相交于点1N ，
与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2
221||||MN MN -为定值，并求此定值.
72. 【2014辽宁数学（理科）14题】
正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，学科网则质点落在阴影区域的概率是 .
73. 【2014辽宁数学（理科）15题】
已知椭圆C ：22
194
x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，
B ，线段MN 的中点在
C 上，则||||AN BN += .
74. 【2014辽宁数学（理科）20题】
圆2
2
4x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角
形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22
122:1x y C a b
-=过点P 且离心率为
（1）求1C 的方程；
（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于
A ，
B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.
75. 【2014辽宁数学（文科）8题】
已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43- B ．1- C ．34- D ．12
-
76. 【2014辽宁数学（文科）15题】
已知椭圆C ：22
194
x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .
77. 【2014辽宁数学（文科）20题】
圆2
2
4x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；
（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P
，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB ?的面积为2，求C 的标准方程.
78. 【2014全国课标1数学（理科）4题】
已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为学科网
A .
B .3
C
D .3m
79. 【2014全国课标1数学（理科）10题】
已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个
焦点，若4FP FQ =
，则||QF =
A .
72 B .5
2
C .3
D .2
80. 【2014全国课标1数学（理科）20题】
已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的焦点，
直线AF 的斜率为3
，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程.
81. 【2014全国课标1数学（文科）4题】
已知双曲线)0(13
2
22>=-
a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 2
5
D. 1
82. 【2014全国课标1数学（文科）10题】 已知抛物线C ：x y =2
的焦点为F ,()y x A
,是C 上一点，zxxk x F A 0
4
5
=，则=
x 0
（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
数学圆锥曲线高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ，则求该椭圆的标准方程为 。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上， 离心率为 2 2 。过l 的直线 交于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -
高考圆锥曲线经典真题 知识整合： 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. 1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线 分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则 AF FB = ．1 3 2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线 22 (2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C. 33[33- D. 33 (,33- 3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线22 1916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究： 考点一：直线与曲线交点问题 例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. 解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l
的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=± 2 时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2 时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即 3－2k=0,k=23 时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23 ,又 k ≠± 2 ,故当k ＜－ 2 或－2 ＜k ＜ 2 或 2＜k ＜2 3 时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即 k ＞23 时，方程(*)无解，l 与C 无交点. 综上知：当k=±2,或k=23 ，或 k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23 ,或－2＜k ＜2,或k ＜－ 2 时，l 与C 有两个交点； 当 k ＞23 时，l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB= 2 121x x y y --=2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线 AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中点的弦不存在.
浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1（a > b > 0）的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点 分成 5∶ 3的两 段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05．过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0） 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0） 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ） 3 （C ） 2 （D ） 3 △ ABP 的面积为定 则动点 P 的轨迹是A ． 圆 B ． 椭圆 C ． 一条直线 D ． 两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0） 的右顶 点 条渐近线的交点分别为 B,C uuur ．若 AB 1 uuur BC , 2 A ． 2 B ．3 C 08．如图 , AB 是平面 的斜．线．段． ） B A P 第 10 题） A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两 则双曲线的离心率 是 ( ) ．5 D ． 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面 内运动 , 使得 点 A （0,2） 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. （13）设抛物线 y 2 2px （p 0） 的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为 近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B ． a 2＝ 13 1 D ． A ．a 2＝ C ．b 2＝ b 2＝2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的 左、 右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1： 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2： x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上． 若 F 1A 5F 2B ,
高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 （ Ｃ ） （A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 （ ） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 （ ）． Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2
(2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =， ||||1BF AB =，则C 的方程为（ ） A.1222=+y x B. 12322=+y x C.13422=+y x D.14 522=+y x 答案： B 解答： 由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又Θ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则 m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 2 1 = ，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程122 22=+b y a x ，得32=a ， 22 22=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12 32 2=+ y x . (2019全国1)16.已知双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的 两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则C 的离心率为 . 答案： 2 解答： 由112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r 知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥uuu r uuu r ，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=?，221()1tan 602b e a =+=+?=.
数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ．43 B ．75 C ．85 D ．3 4．（2006高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. C. 2 D. 4 5.（2006卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006卷）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设
2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．引直线l 与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（ ） A ． 3 B ．3 - C ．3 ± D ．2 ．双曲线2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ． 25 B ． 45 C D 3 ．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程是（ ） A ．22 14x = B ．22145x y - = C ． 22 125 x y -= D ．22 12x -= 4 ．已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>) ,则C 的渐近线方程为（ ） A ．14 y x =± B ．13 y x =± C ．12 y x =± D ．y x =± 5 ．已知04π θ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 6 ．抛物线2 4y x =的焦点到双曲线2 2 13 y x -=的渐近线的距离是（ ） A ．12 B C ．1 D 7 ．如图,21,F F 是椭圆14 :22 1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ） A ．2 B ．3 C ． 2 3 D ． 2 6 8 ．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =（ ） A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ．3 9 ．椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1324 ?????? ， B ．3384 ?????? ， C ．112?? ???? ， D ．314?? ???? ， 10．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若 0MA MB =uuu r uuu r g ,则k =（ ） A ． 12 B C D ．2 11．若双曲线22 221x y a b -= 则其渐近线方程为（ ） A ．y =±2x B ．y = C ．12 y x =± D ．2 y x =±
圆锥曲线高考真题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
（1）求M 的方程 （2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的面积最大值. 2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （1）若直线MN 的斜率为34 ，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b . 3.已知椭圆C ：，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . (1) 证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （2）若过点（）,延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边行若能，求此时的斜率，若不能，说明理由. 4.已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. （1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ； （2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 5.已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段 AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程． 6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为 ()()10M m m >，． （1）证明：1 2 k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ， FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差． 7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> ，且经过点(0,1)，圆 22221:C x y a b +=+。 （1）求椭圆C 的方程； （2）直线:(0)l y km m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问是否存在这样的直线l ，使得AM MB =若存在，求出l 的方程，若不存在，请说明理由。 8.已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点 F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列。 （1）当2C 的准线与1C 的右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的方程； （2）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P,Q 两点，交2C 于M,N 两点。当 36 7 PQ =时，求MN 的值。 9.如图，椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点． （1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （2）设过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 222 OA OB AB +<，求a 的取值范围． 10.设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，)0(>k kx 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
圆锥曲线方程 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义： ⑴①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x 轴上： . ii. ii. 中心在原点，焦点在轴上： . ②一般方程：.⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长.③焦点：或 .④焦距：.⑤准线：或.⑥离心 率：. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义： 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ)0(12 22 2φφb a b y a x =+ y ) 0(12 22 2φφb a b x a y =+ )0,0(122φφB A By Ax =+),0)(0,(b a ±±)0,)(,0(b a ±±y a 2b 2)0,)(0,(c c -),0)(,0(c c -2 2 2 1,2b a c c F F -==c a x 2 ± =c a y 2 ± =)10(ππe a c e =),(22 2 2a b c a b d -= ),(2a b c
⑴①双曲线标准方程： . 一般方程： . ⑵①i. 焦点在x 轴上： 顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程： 或 ②轴为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率. ④通径 . ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线 方程 （分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下 焦点） ⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为， 离心率. 三、抛物线方程. 3. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 的一个端点的一条射线 以无轨迹 方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-φπ)0,(1), 0,(12 22 22 22 2φφb a b x a y b a b y a x =- =- )0(122πAC Cy Ax =+)0,(),0,(a a -)0,(),0,(c c -c a x 2 ± =0=±b y a x 02222=-b y a x y x ,a c e =a b 2 2a c e b a c =+=,22212 22 2=- b y a x 21,F F 222a y x ±=-x y ±=2= e 0φp
（1）求M 的方程 （2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的面积最大值. 2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （1）若直线MN 的斜率为34 ，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b . 3.已知椭圆C ：，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . (1) 证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （2）若过点（）,延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边行？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由. 4.已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. （1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ； （2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 5.已知抛物线C ：y 2 =2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点O 在圆M 上； （2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程． 6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为 ()()10M m m >，． （1）证明：1 2 k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成 等差数列，并求该数列的公差．
专题九 圆锥曲线 1.【2015高考福建，理3】若双曲线22 :1916 x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双 曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ． 【考点定位】双曲线的标准方程和定义． 【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性． 2.【2015高考四川，理5】过双曲线22 13 y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线 的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ） (C)6 （D ）【答案】D 【解析】 双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为2 2 03 y x -=，将 2x =代入2 2 03 y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D. 【考点定位】双曲线. 【名师点睛】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为22 220x y a b -=，将直线2x =代入这个渐近线 方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值. 3.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率5 4 e =，且其右焦点()25,0F ， 则双曲线C 的方程为（ ） A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14 32 2=-y x
【答案】B ． 【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为5 4 c e a = =，所以5c =，4a =，2 2 2 9b c a =-=所以所求双曲线方程为22 1169 x y - =，故选B ． 【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质． 【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得a ，c 值，再结合双曲线222b c a =-可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题． 4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是 C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是( ) （A ）（- 33，3 3 ） （B ）（- 36，3 6 ） （C ）（223-，223） （D ）（233-，23 3 ） 【答案】A 【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF ?表示为关于点M 坐标的函数，利用点M 在双曲线上，消去x 0，根据题意化为关于0y 的不等式，即可解出0y 的范围，是基础题，将12MF MF ?表示为0y 的函数是解本题的关键. 5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D 【解析】依题意，2 221)(1a b a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=，
高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1
是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 江苏历年高考理科数学试题及答案汇编十圆锥曲线 （2008-2018）试题 1、9．（5分）（2008江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A （0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线 OE的方程为，请你完成直线OF的方程：． 2、12．（5分）（2008江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为． 3、13．（5分）（2009江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆 的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为． 4、6．（5分）（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是 ． 5、8．（5分）（2010江苏）函数y=x 2（x ＞0）的图象在点（a k ，a k 2 ）处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1，k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5= ． 6、9．（5分）（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2 =4上有且仅有四个点到直线12x ﹣5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ． 7、14．（5分）（2011江苏）设集合 222{(,)| (2),,},{(,)|221,,} 2 m A x y x y m x y B x y m x y m x y =-+∈=++∈R R 若,A B ≠? 则实数m 的取值范围是______________． 8、8．（5分）（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 的离心率为 ，则m 的值为 ． 9、12．（5分）（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2 ﹣8x+15=0，若直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ． 10、3．（5分）（2013江苏）双曲线 的两条渐近线方程为 ． 11、12．（5分）（2013江苏）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为（a ＞b ＞0），右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2= ，则椭圆C 的离心率为 ． 12、9．（5分）（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y ﹣3=0被圆（x ﹣2）2 +（y+1）2 =4截得的弦长为 ． 13、10．（5分）（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 14、12．（5分）（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2﹣y 2 =1右支上的一个动点，若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ． 15、3．（5分）（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 ﹣ =1的焦距是 ． 16、10．（5分）（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是 ． 专题21：圆锥曲线高考真题浙江卷（原卷版） 一、单选题 1．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ．22 B ．1 C ．2 D ．2 2．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =2 34x -图像上的点，则|OP |=（ ） A ．222 B ．4105 C ．7 D ．10 3．椭圆2x 9+2 y 4 =1的离心率是（ ） A ．13 B ．5 C ．23 D ．59 4．双曲线2 21 3 x y -=的焦点坐标是（ ） A ．()2,0-，()2,0 B ．()2,0-，()2,0 C ．()0,2-，() 0,2 D ．()0,2-，()0,2 5．如图，设抛物线24y x =的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ， B ，C ，其中点 A ，B 在抛物线上，点 C 在y 轴上，则 BCF ?与ACF ?的面积之比是（ ） A ．11BF AF -- B ．2211BF AF -- C ．11BF AF ++ D ．2211BF AF ++ 6．双曲线2 214 y x -=的焦距是（ ） A ．3 B ．23 C ．5 D ．25 【答案】D 7．双曲线2221y x -=的一个顶点坐标是（ ） A ．( 2，0) B ．( －22，0) C ．(0，2) D ．(0 ，22 ) 8．已知双曲线22 22:1x y C a a -=，则C 的离心率是（ ） A ．5 B ．2 C ．2 D ．5 9．已知(1,3)P 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2 B ．2 C ．5 D ．5 二、双空题 10．设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______． 三、解答题 11．如图，已知点(1 0)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S . 全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理） ）过点引直线l 与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点, 当?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ） A ．y E B B C C D =+ +3 B ．3 - C ．3 ± D ．【答案】B 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2 214 x y -=的顶点到 其渐近线的距离等于 （ ） A ． 25 B ． 45 C D 【答案】C 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的 右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2,在双曲线C 的方程是 （ ） A ．2214x = B ．22 145x y -= C ．22 125x y -= D ．22 12x = 【答案】B 4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>) ,则C 的渐近 线方程为 （ ） A ．1 4y x =± B ．13 y x =± C ．12 y x =± D ．y x =± 【答案】C 5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04 π θ<<,则双曲线22 12 2:1cos sin x y C θθ-=与22 2222:1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 【答案】D 6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线2 4y x =的焦点到双曲线2 2 13 y x -=的渐近线的距离是 （ ） 一、选择题： 1.(2007安徽文)椭圆1422=+y x 的离心率为（ ） （A ） 23 （B ）43 （C ）22 （D ）32 2.(2008上海文)设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 3．（2005广东）若焦点在x 轴上的椭圆1 22 2=+m y x 的离心率为21，则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32 4．（2006全国Ⅱ卷文、理）已知△ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆x 23 ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 5．（2003北京文）如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ） A ．51 B ．52 C ．55 D ．552 6．（2002春招北京文、理）已知椭圆的焦点是 F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点．如果延 长F 1P 到Q ，使得|PQ|=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线 7．（2004福建文、理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） （A ）32 （B ） 33 （C ）22 （D ）23 8.（2007重庆文）已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） 2018（新课标全国卷2 理科） 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y = D ．y = 12．已知1F ，2F 是椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在 过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为 A ． 2 3 B ． 12 C ．13 D ． 14 19．（12分） 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 2018（新课标全国卷2 文科） 6．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y = D ．y = 11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=?， 则C 的离心率为 A ．1- B ．2 C D 1 20．（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ， B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 2018（新课标全国卷1 理科） 8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8江苏历年高考数学试题及答案汇编十圆锥曲线
圆锥曲线高考真题浙江卷(原卷版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练
全国高考圆锥曲线试题及解析
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