青岛版初中数学知识点
数状图
WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
1、定义：整数、分数和0统称有理数；
2、数轴：原点、单位长度、正方向；
3、相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数；0的相反数是0；
一、有理数 4、绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|；任何一个有理数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是0；
七上5、倒数：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数；0没有倒数；
6、乘方：n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫幂；0的任何正整数次幂都是0；不包括0以外的任何数的0次幂都是1；
1、单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式；
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
3、整式：单项式和多项式统称为整式，即凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式，分母上含有字母的不是整式；
二、整式 4、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；5、整式加减的步骤：（1）列出代数式；（2）去括号；（3）添括号（4）合并同类项。
七上 6、单项式乘单项式：系数相乘，相同的字母相乘，不同的字母照写；7、多项式乘多项式：用第一个多项式的每一项去乘第二个多项式的每一项，再把结果相加。（握手原则）8、单项式除以单项式：系数除以系数，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母照写；
9、多项式除以单项式：用多项式的每一项去除以单项式，再把结果相加
①同底数幂相乘：底数不变，指数相加。a a a
n m n m +=②幂的乘方：底数不变，指数相乘。a a mn n m =)( ③积的乘方：等于每个因数乘方的积。b a
ab m m m =)( 三、幂的运算 ④同指数幂相乘：指数不变，底数相乘。)(ab b a
m m m = ⑤同底数幂相除：底数不变，指数相减。a a a n m n m -=÷
七下 ⑥零指数：任何非零数的0次方等于１。)0(10≠=a a ⑦负指数：任何
非零数的负指数等于它的正指数的倒数。)0(1
≠=-a a
a p p 1、提公因式法：利用ma+mb+mc=m(a+b+c)，把多项式中每一项的公因式提出来。 2、运用公式法：平方差公式：a 2-
b 2
=(a+b)(a-b)；完全平方和（差）公式：
a 2±2ab+
b 2=(a ±b)2；立方和（差）公式：a 3±b 3=(a ±b)(a 2±ab+b 2)
四、因式分解 完全立方和(差)公式：a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a ±b)
3 七下 3、分组分解法：先对多项式适当分组，再分别变形，然后利用提公因式法
或运用公式法分解因式。
4、十字相乘法：对二次三项式的系数进行分解，借助十字交叉图分解，
即：ax 2+bx+c=(mx+r)(nx+s) 其中 mn=a ，rs=c ，ms+nr=b 五、分式 1、定义：形如 B A （A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子叫做分式。 B
A =0（A=0,
B ≠0）。 八上 2、最简分式：分子与分母不再有公因式的分式称为最简分式。
分式运算的结果一定要是最简分式。
1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。0的算术平方根为0；从定义可知， 只有当a≥0时,a 才有算术平方根。性质：非负数的算术平方根是非负数，即a ≥0（a ≥0）;( a )2=a(a ≥0)
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。性质：正数有两个平方根（一正一负），它们互为相反数； 六、实数 0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。非负数算术平方根的比较：如果0≤a 八下 3、立方根：一般地，如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根或三次方根，数 a 的立方根记作，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，左上角的3叫做 根指数。性质：正数的立方根是正数；0的立方根 是0；负数的立方根是负数 4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 勾股数组：一般地，把能够成为直角三角形的三条边长的三个正整数称为勾股数组 解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合 并同类项（5）将x 项的系数化为1 10a ≥）的式子叫做二次根式，其中a 为整式或分式，a 叫做被 开方式； 0≥(a ≥0) ⑵2a =(a ≥0) a = =≥0;b ≥0) =≥0 b ＞0) 、最简二次根式满足下列条件： (1)?被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)； 、二次根式的加减法：⑴同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式以 后，如果被开方式相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 ①判断两个根式是否为同类二次根式，首先应化为最简二次根式，观察每 个最简二次根式的被开方式是否相同。 ②在没有化成最简二次根式以前，无法判断是否是同类二次根式。 ⑵二 次根式的加减法就是对同类二次根式进行合并。 5、根式的乘除法：⑴分母有理化：把分母中的根号化去（分母有理化的依据 是分式的基本性质）；⑵有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如 果它们相乘后的结果不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为 有理化因式；⑶分母有理化的方法：将分子分母同乘以分母的有理化因式。 1、一元一次方程：（1）概念：只含有一个未知数（元）（含未知数项的系 数不是零）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程。一般形 （组） 式： ax+b=0（x 是未知数，a 、b 是已知数，且a ≠0）. 最简形式： ax=b （x 是未知数，a 、b 是已知数，且a ≠0） 注意：未知数在分母中时，它的次数不 能看成是1次。如x x =+31，它不是一元一次方程。 （2）解一元一次方程的一般步骤：整理方程、去分母、去括号、 移项、合并同类项、未知数的系数化为1；（检验方程的解）。 注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作 用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。 （3）解应用题：读题分析法:…………多用于“和，差，倍，分问题”；画图分析法: …………多用于“行程问题” 2、一次不等式（组）：（1）不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 方程对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 不等式（3）解法:解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1 3、分式方程：（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的积。 （2）解题步骤：方程两边同乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程；解这个整式方程；检验。在将分式方程变形为整式方程时， 方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原方程的解（或根），这种根称为增根。 因此，在解分式方程时必须进行检验。 （1）定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程； （2）解法：①直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。 根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时， b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 ②配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程 上有所应用，而且在数学 的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全 平方公式222)(2b a b ab a +=+±， 把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 222)(2b x b bx x ±=+±。 4、 一元二次 方程 ③公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的 方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x ④因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求 出方程的解的方法，这种方法简单易行，是 解一元二次方程最常用的方法。 （3）根的判别式：根的判别式：一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42- 叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式， 通常用“?”来表示，即ac b 42-=? （4）根与数的关系：如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数 根是21x x ，，那么a b x x -=+21， a c x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的 一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 八、函数 一次函数1、表示法?? ???≠+= 就增加（减少）每增加（减少）轴的直线、不平行于y x y x k b kx y )0( 2、性质：①k>0图象经过一、三象限，y 随X 的增大而增大； ②b >0时，一次函数y=kx+b 与y 轴交于正半轴，图象经过一、二象限； K<0图象经过二、四象限，y 随X 的增大而减小； b=0时，一次函数y=kx+b 与y 轴交于原点，这时y 是x 的正比例函数； b <0时，一次函数y=kx+b 与y 轴交于负半轴图象经过三、四象限； ③交点与x 轴(k b - ，0) 与y 轴(0，b) ???→),0(b y ④b 轴交点与象限 1、定义：①)0(11≠?===-k x k kx x k y ； ②Xy=k ； ③ 双曲线； 反比例函数 2、反比例函数的性质：①图象：双曲线；②k 的性质：当k ＞0时，第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 当k ＜0时，第二、四象限， 在每个象限内，y 随x 的增大而增大；不同象限，根据图象解决；③与x 、y 轴的关系 无限接近，永不相交；④中心对称、轴对称 1、二次函数的定义：y=ax 2+bx+c （a ≠0） ?? ???→)(相等平行象限增减性直线方向k ③k 2、二次函数的性质：①图象是抛物线；②a 的性质:a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最 高点；a 决定抛物线的开口方向和开口大小，a 越大，开口越贴近y 轴；③抛物线的对称轴：直线x=2b a -； ④顶点坐标：（2b a -，244ac b a -） 二次函数 ⑤最值：，如果a ＞0，那么当x=2b a - 时，y 最小值＝244ac b a -；如果a ＜0，那么当x=2b a -时，y 最大值＝244ac b a -； ⑦与y 轴交点 c ＞0?图像与y 轴交点在x 轴的上方； c=0?图像过原点；c ＜0?图像与x 轴交点在x 轴的下方 ⑧与x 轴交点 △＞0?抛物线与x 轴有两个不同交点；△=0?抛物线与x 轴有惟一公共点（相切）； △＜0?抛物线与x 轴有无公共点。 ⑨b 的符号 a 、b 同号?对称轴在y 轴左侧；b=0?对称轴是y 轴；a 、b 异号?对称轴在y 轴右侧。 ⑩对称点 y 相等 ⑥增减性????? ???????????-<->>增大而增大随增大而减小随增大而减小随增大而增大随x y a b x x y a b x a x y a b x x y a b x a 220220 ⑾b a b a c b a c b a -++-++22的来源 ⑿平移 m k h x a y k n h x a y k h x a y k n h x a y m k h x a y n n -+-=↓ +--=???→ ?+-=????←++-=↑++-=22222)()()()()(向右平移向左平移 二次函数 k h x a y k ax y h x a y ax y h h +-=?????→ ←+=-=?????→←=2222 )()(个单位左右平移个单位左右平移 *本质；画出图象 3、待定系数法： y=ax 2+bx+c 任意三点 4、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y=ax 2+bx+c （其中a 、b 、c 是常数，a≠0），当y ＝0 时，即对应一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0），也就是说， 二次函数y=ax 2+bx+c （其中a 、b 、c 是常数，a≠0）的图像与x 轴的交点的横坐标x 的值就是方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根。 ①当△=b 2－4ac ＞0时，由于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0有两个不相等的实数根，所以抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点。 ②当△=b2－4ac＝0时，由于一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一交点，即抛物线的顶点； ③当△=b2－4ac＜0时，由于一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根，所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点。 二图形 1、余角：两个角的和为90度，这两个角叫做互为余角。 2、补角：两个角的和为180度，这两个角叫做互为补角。 3、对顶角：两个角有一个公共顶点，其中一个角的两边是另一个角两边的反向延长 线。这两个角就是对顶角。 4、同位角：在“三线八角”中，位置相同的角，就是同位角。 10、内错角：在“三线八角”中，夹在两直线内，位置错开的角，就是内错角。 11、同旁内角：在“三线八角”中，夹在两直线内，在第三条直线同旁的角，就是同旁内角。 12、有效数字：一个近似数，从左边第一个不为0的数开始，到精确的那位止，所有的数字都是有效数字。 13、概率：一个事件发生的可能性的大小，就是这个事件发生的概率。 14、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 15、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 16、三角形的中线：在三角形中连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 17、三角形的高线：从一个三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和 垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 18、全等图形：两个能够重合的图形称为全等图形。 22、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。 23、对称轴：轴对称图形中对折的直线叫做对称轴。 24、垂直平分线：线段是轴对称图形，它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它， 这样的直线叫做这条线段的垂直平分线。（简称中垂线） 1、轴对称图形：如果一个图形沿某一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对折后图形上能够互相重合的点叫做对称点。 2、轴对称：如果把一个图形沿木哦一条直线对折后，能够与另一条直线完全重合，那么这两个图形关于这条成轴对称。这条直线叫做它们的对称轴，折叠后，两个图形上互相重合的点叫做对称点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系： 区别：轴对称是指一个具有特殊形状的图形；两个图形关于某一条直线成轴对称是指两个图形的特殊形状和位置关系。 联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称；如果把两个关于某直线成轴对称的图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形。 4、线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。（1）线段是轴对称图形，它的一条对称轴是这条线段的垂直平分线。 （2）线段的垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 5角的平分线：把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 （1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 （2）角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等。 6、等腰三角形：（1）是轴对称图形，等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线。（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合（也称三线合一）。（3）等腰三角形的两个底角相等。 7、等边三角形：（1）是轴对称图形，每边的垂直平分线是它的对称轴。 （2）每个内角都等于60度。 8、成轴对称的图形的性质：如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么连接对应点的线段被对称轴垂直评分，对应线段相等，对应角相等。 9、镜面对称：如果两个物体成镜面对称，大小、形状相等，位置相反。 第八章：平面图形的全等与相似 1、全等形的概念：能够完全重合的的平面图形叫做全等形。 2、相似形的概念：形状相同的图形叫做相似形。 注：全等形是相似形的特例；两个图形相似，其中一个可以看做另一个图形放大或缩小得到的。 3、全等三角形的概念： 能够完全重合的三角形叫做全等三角形，两个三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，全等三角形用符号‘≌’表示，读作 ‘全等于’。 4、判定三角形全等的方法 ⑴三角形的两个角及其夹边分别与另一个三角形的两个角及其夹边对应相等，那么 这两个三角形全等。（角边角即：ASA） 推论：三角形的两个角及其一个角的对边与另一个三角形的两个角及其一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。（角角边即：AAS） ⑵如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形两边及其夹角对应相等， 那么这两个三角形全等。（边角边即：SAS） ⑶如果一个三角形三条边与另一个三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全 等。（边边边即：SSS） ⑷如果两个直角三角形的直角边和斜边对应相等，那么这两个直角三角形全等 （HL） 5、⑴三角形的稳定性：当一个三角形的三边长度一定时，这个三角形的形状、大小就 能完全确定的性质叫做三角形的稳定性。 ⑵在Rt△中，300角所对的边是斜边的一半 ①在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半 ②过三角形一边中点且平行于第二边的直线必过第三边中点 6、比例线段： ⑴比例线段 a:b a称前项 b称后项 ⑵a:b =c:d 比例的项比例外项比例内项第四比例项（略） ⑶比例的基本性质： ①a:b=c:d 则 ad=bc （可逆） ②a:b=b:c 则 b2=ac （b称为ac的比例中项） ⑷和比性质：若a:b=c:d则 (a+b)/b=(c+d)/d ⑸等比性质：若a/b=c/d=……=m/n 则(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b ⑹黄金分割：把线段AB分成两段AC、BC（AC＞BC），使AC2=AB×BC，叫把线 段AB黄金分割， C点叫AB的黄金分割点 40、相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。用 ‘∽’表示。 7、相似三角形的性质： 性质1、相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 性质2、相似三角形周长的比等于相似比。 性质3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。 8、⑴平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 ⑵推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线 段成比例。 ⑶定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比 例 9、相似三角形的判定 定理1：两角对应相等的两个三角形相似。 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。 定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，则两三角形相似 10、⑴射影定理：如图 则：AC AB AD AC = ; BC BA BD BC = ; DC DB AD DC = 即：⑴AC2=AD?AB ⑵ BC2=AB·BD ⑶ DC2=AD?DB(由三角形相似可证) 11、相似多边形的概念： 如果两个多边形的边数相同，并且一个多边形的各个角分别于另一个多边形的各个角对应相 等，各边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 12、相似多边形的性质： ⑴相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 ⑵相似多边形面积之比等于对应边比的平方 ⑶相似多边形的周长之比等于对应边之比 ⑷相似多边形中，对应的三角形相似 ⑸相似多边形中，对应线段的比等于对应边的比。 四边形 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形 运动称为平移。 平移的基本性质：经过平移，对应线段、对应角分别相等；对应点所 连的线段平行且相等。 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度， 这样的图形运动称为旋转。 这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。 旋转的性质：旋转后的图形与原图形的大小和形状相同； 旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等； 对应点到旋转中心的连线所成的角度彼此相等。 ※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻 的两顶点连成的线段叫做它的对角线。 ※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定： 有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关 系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平 行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 ※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 ※多边形内角和：n 边形的内角和等于（n －2）·180° ※多边形的外角和都等于360° ※在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图开叫做中心对称图形。 ※中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段被对称中心平分。 三、概率、排列 ※加权平均数：一组数据的权分加为，则称为这n 个数的加权平均数。 （如：对某同 学的数 学、语文、科学三科的考查，成绩分别为72，50，88，而三项成绩的“权”分别为4、 3、1，则加权平均数为：1341 88350472++?+?+?） ※一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 ※一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 ※众数着眼于对各数据出现次数的考察，中位数首先要将数据按大小顺序排列，而且要注意当数据个数为奇数时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数为偶数时， 居于中间的两个数据的平均数才是中位数，特别要注意一组数据的平均数和中位数是唯一的，但众数则不一定是唯一的。 1、普查：为了特定目的对全部考察对象进行的全面的调查叫做普查。 2、总体，个体，样本，样本容量：被考察的对象的全体叫做总体，组成总体的每一个被考察的对象叫做个体。从总体中抽取的一部分个体组成总体的一个样本。样本中个体的数量叫做样本容量。 3、抽样调查：从总体中抽取部分个体，根据对这一部分个体的调查，估计被考察对象的整体情况，这种调查叫做抽样调查。 4、平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。平均数反映一组数据的平均水平，平均数分为算术平均数和加权平均数。用符号 x 表示，读做“x 拔”。 计算算术平均数公式 x ＝1n (12x x ++…＋n x ) 平均数的性质：如果数据1x ，2x ，3x 。。。。。。的平均数为x ，则1x +a,2x +a ，3x +a 。。。。。。。的平均数为x +a ，k 1x ，k 2x ，k 3x 。。。。。。。的平均数为k x 。 加权平均数公式： 5、中位数和众数 一般的，一组数据中出现次数最多的那个数据(有时不止一个)叫做这组数据的众数。 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据，当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数，叫做这组数据的中位数。中位数反映一组数据的集中趋势。 第十章 数据离散程度的度量 1、利用数据的离散程度，合理分析数据 利用数据离散程度的大小，可以对数据做出合理分析，数据的离散程度越大，表示 数据的分布程度越广，越不稳定，平均数的代表性也就越小；数据的离散程度越小，表示数据分布越集中，变动范围越小，平均数的代表性就越大。 2、极差：一组数据的最大数据和最小数据的差，叫做这组数据的极差。 3、方差： ⑴引入方差的目的：对于一组数据，除需要了解它们的一般水平外，还常常需要了解它们的波动大小（即偏离平均数的大小） ⑵概念：设在一组数据x 1、x 2、…、x n 中，各数据与它们的平均数 的差的平 方分别是(x 1-)2 、(x 2-)2、…、(x n -)2。那么，我们用它们的平均数来衡 量这组数据的波动的大小，并把它叫做这组数据的方差。 即：S 2=[(x 1-)2 + (x 2-)2 + … + (x n -)2]/n ⑶意义：一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。 ⑷计算方差的两个变形公式 ① S 2=[(x 12 + x 22 + … + x n 2 ) - n 2]/n ②若x 1/=x 1-a 、x 1/=x 2-a … x n / = x n -a ( 其中, x 1、x 2、…、x n 是原已知的 n 个数,a 是接近这组数据的平均数的一个常数)则 S 2=[(x 1/2 + x 2/2 + … + x n /2 ) - n /2]/n 4、标准差: ⑴概念:方差的算术平方根叫这组数据的标准差。 ⑵意义: 标准差也是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量,标准差越大,数据的波动越大,反之亦然。 5、方差、标准差综合概括： 一般地，若一组数据x 1、x 2、…、x n 的平均数为，方差为S 2，标准差为S ， 则： ⑴数组：x 1 +a x 2 +a (x) n +a的平均数为+a ，方差和标准差不变 ⑵数组：kx 1 kx 2 … kx n 的平均数为 k，方差变为k2S2，标准差为kS ⑶数组：k x 1 +a kx 2 +a …kx n +a的平均数为k +a，方差为k2S2，标准差为Ks 例1：对一组数：-2、-1、x、1、2，若x为不大于10的非负数，方差为整数，计算标准差 答案：根据S2=1 n [(x 1 2+x 2 2 + …+x n 2 )-n2], = 1 5 x 、 S2= 1 5 （10+ 2 4 5 x ） =2+ 2 4 25 x ∴x=0;5;10 s2=2或6或32 例2:已知S2=[(x 1-5)2+(x 2 -5)2+…+(x 30 -5)2]/30 ，则各数据的平方和不可能等于① 900 ②850 ③750 ④650 答案：∵S2=[(x 12+x 2 2 +…+x n 2 )-n2]/n ∴(x 12+x 2 2 +…+x n 2 )-n2≥0 故选④ 6、频率分布 ⑴组距：指每个小组的两个端点之间的距离 分组数=（最大值-最小值）/组距 ⑵频数：把数据总数分成若干小组，落在各个小组内的数据的个数叫频数 ⑶频率：每一小组的频数与数据总数的比值叫这一小组的频率。 7、画频率分布直方图 ⑴横半轴：各组组距 纵半轴：频率与组距的比。即频率/组距 ⑵小长方形的高=频率/组距=频数/(数据总数×组距) ∵(1/数据总数×组距)为常数 ∴小长方形的高与频数成正比 ⑶在频率分布直方图中,由于各小长方形的面积等于响应各组的频率、而各组频 率的和等于1,因此, 各小长方形面积的和等于1。
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