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2011高考数学真题考点分类新编：考点19平面向量的数量积、平面向量应用举例(新课标地区)

考点19平面向量的数量积、平面向量应用举例

一、选择题

1.（2011·福建卷理科·Ｔ10）已知函数()=+x f x e x .对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（）

A.①③

B.①④

C. ②③

D.②④

【思路点拨】设出,,A B C 三点的坐标，表示BA BC ?

，结合A ，B ，C 三个点的横坐标判断BA BC ? 的符号，BA BC ?

由的符号判断三角形是钝角三角形还是锐角三角形或

是直角三角形，再 2

2||BA BC ABC -?

求｜｜的值，由它的值来判断是否是等腰三角形，

【精讲精析】选B. 设112233132(,()),(,()),(,()),2,A x f x B x f x C x f x x x x +=由题意知， 1

(,()()),(,()()),()()[()()]BA x x f x f x BC x x f x f x BA BC x x x x f x f x =--=--∴?=--+-

32[()()]f x f x ?-2

131223212[()()].x x x x x x x f x f x =--++-32[()()]f x f x -

222132123213213132[()()][()()],,0,

x x x f x f x f x f x x x x x x x x x =-+-?-+>>?∴-< 1232[()()][()()]0f x f x f x f x -?-< 又，

0,BA BC ABC ∴?<∴∠

为钝角，

ABC ∴?一定为钝角三角形，故 ①正确，②不正确，对于③，22

221212||()[()()]BA BC x x f x f x -=-+-- ｜｜232()x x - 232[()()]f x f x --222211232311232322()2()()()2()()x x x x x x f x f x f x f x f x f x =--++--+

3113132131321313

()(2)[()()][()()2()][()()][+x x x x x x x f x f x f x f x f x f x f x e x e x =-+-+-+-=-?++222()]

x e x -+

33121213[()()](2),2x x x x x x f x f x e e e e e e =-+-+>= 又

22132,()(),||||∴+>≠∴≠≠

又即｜｜｜｜，

x x x e e e f x f x BA BC BA BC ∴?不可能是等腰三角形ABC ,

故选④，③错误..

2.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

12:10,3

P a b π

θ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ??

+>?∈

???

3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ??

->?∈ ???

其中的真命题是（）

A.14,P P

B.13,P P

C.23,P P

D.24,P P

【思路点拨】2||1()1+>?+>a b a b ，2||1()1->?->a b a b ，将22(),()+-a b a b 展开并化成与θ有关的式子，解关于θ的不等式，得θ的取值范围. 【精讲精析】选A 2||1()1+>?+>a b a b ，而222()+2++=?a b a a b b

2+2cos 1θ>＝，1cos 2θ∴>-

，解得20,3

θ??∈????

，同理由2

||1()1->?->a b a b ，可得,3πθπ??∈ ???

. 3.（2011·广东高考理科·Ｔ3）若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a +2b )= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0

【思路点拨】本题主要考查向量数量积的性质及运算律.由两向量垂直数量积为零，然后运用数量积对加法的分配律可求解.

【精讲精析】选D.b a

//且c a

⊥，c b ⊥∴，从而0=?=?a c b c .02)2(=?+?=+?∴b c a c b a c

.故选D.

4.（2011·辽宁高考理科·Ｔ10）若，，均为单位向量，且0=?，（-）·（-）≤0，则|+-|的最大值为

（A ）1-2 （B ）1 （C ）2 （D ）2

【思路点拨】先化简已知的式子，再将所求式子平方，然后利用化简的结果即

可．

【精讲精析】选B ，由（-）·（-）≤0，得02

≤+?-?-?，又0=? 且，，均为单位向量，得1-≤?-?-，|+-|2=（+-）2=

)(22

?-?-?+++=123)(23=-≤?-?-+c b c a ，故|a +b -c |的最大值为1.

5.（2011·辽宁高考文科·Ｔ3）已知向量a =（2，1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=

（A ）-12 （B ）-6 （C ）6 （D ）12 【思路点拨】考察向量的数量积和向量的坐标运算．

【精讲精析】选D ，因为),1(),1,2(k -==，所以)2,5(2k -=-．又0)2(=-?，所以0)2(152=-?+?k ，得12=k ．二、填空题

6.（2011·安徽高考理科·Ｔ13）已知向量a 、b 满足(2)()6a b a b +?-=-，且||1a =，

||2b =，则a 与b 的夹角为_____________________

【思路点拨】(2)()6a b a b +?-=-可以求出b a ?，再利用夹角公式可求夹角. 【精讲精析】答案: 60.(2)()6a b a b +?-=-,即,622122-=?-?+b a 则b a ?=1，所以

,cos =?=

b a b a b a 所以 60,=b a . 7.（2011·福建卷理科·Ｔ15）设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R

→满足：对任意向量1122(,),(,),x y V x y V =∈=∈a b 以及任意λ∈R ，均有

((1))()(1)()f f f λλλλ+-=+-a b a b

则称映射f 具有性质P. 现给出如下映射：

①11:,(),(,);f V R f m x y m x y V →=-=∈ ②222:,(),(,);f V R f m x y m x y V →=+=∈ ③33:,()1,(,).f V R f m x y m x y V →=++=∈

其中，具有性质P 的映射的序号为________.（写出所有具有性质P 的映射的序号）

【思路点拨】对三个映射123,,f f f 分别验证是否满((1))()(1)()f f f λλλλ+-=+-a b a b ，满足则具有性质P ，不满足则不具有. 【精讲精析】①③ 由题意知

112212(1)(,)(1)(,)((1),x y x y x x λλλλλλ+-=+-=+-a b 12(1)),y y λλ+-，

对于①：11212((1))(1)(1),f x x y y λλλλλλ+-=+----a b

而111221()(1)()()(1)()f f x y x y x λλλλλ+-=-+--=+a b 212(1)(1),x y y λλλ----

111((1))()(1)()f f f λλλλ∴+-=+-a b a b .故①中映射具有性质P.

对于②：221212((1))[(1)](1)f x x y y λλλλλλ+-=+-++-a b ，

而2222221122121()+(1-)()()(1)()(1)f f x y x y x x y λλλλλλλ=++-+=+-++a b 2

(1)y λ-，

222((1))()(1)()f f f λλλλ∴+-≠+-a b a b ，故②中映射不具有性质P.

对于③：31212((1))(1)(1)1f x x y y λλλλλλ+-=+-++-+a b ，

331122121()(1)()(1)(1)(1)(1)f f x y x y x x y λλλλλλλ+-=+++-++=+-+而a b 2

(1)y λ+-

1+.333((1))()(1)()f f f λλλλ∴+-=+-a b a b .故③中映射具有性质

∴具有性质P 的映射的序号为①③.

8.（2011·福建卷文科·Ｔ13）若向量a =（1,1），b ＝（-1,2），则a ·b 等于_____________.

【思路点拨】用数量积的坐标运算法则求值.

【精讲精析】1. (1,1),(1,2),(1,1)(1,2)121==-∴?=?-=-+= a b a b . 9.（2011·江苏高考·Ｔ10）已知→

→21,e e 是夹角为

的两个单位向量，,,22121→

→

→→

→

+=-=e e k b e e a 若0=?→

→b a ，则实数k 的值为________

【思路点拨】本题考查的是平面向量的运算，解题的关键是表示出0=?→

→b a ，然后找到关于k 的等式进行求解。

【精讲精析】由题,,22121→

→→→→→+=-=e e k b e e a

121222(2)()cos 2cos 2033a b e e k e e k k ππ→→

→

?=-+=+--=,可以解得5

k =

【答案】5

10.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ13）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，

k 为实数，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则k=_______

【思路点拨】向量+a b 与向量k -a b 垂直()()0k ??-=a +b a b ，展开用数量积公式求得k 的值.

【精讲精析】1 (+)()k ⊥- a b a b ，∴()()0k ?-=a +b a b ，即22(1)0k k --?-=a a b b ，()*

又, a b 为两不共线单位向量，∴()*式可化为1(1)k k -=-?a b ，若10k -≠，则1?=a b ，这与a ，b 不共线矛盾；若10k -=，则1(1)k k -=-?a b 恒成立. 综上可知，1k =时符合题意.

11.（2011·湖南高考理科·T14）在边长为1的正三角形ABC 中，设

CE CA BD BC 3,2==,

则=?_______

【思路点拨】本题主要考查向量的基本知识，关键是找好基底，再把和向量用基底表示，再进行向量运算.

【精讲精析】答案：.4

1-选CB CA ,为基底.则2

1+-=，

31+-=，∴=?(21+-)·(31+-)=.4

12.（2011·江西高考理科·Ｔ11）已知a ＝b ＝2，()2a b + ·()

a b -

＝-2，则a

与b

的夹角为 .

【思路点拨】先根据条件求出a 与b

的数量积，再由数量积的定义求出两者的夹

角.

【精讲精析】答案:3

a 2b)(a b)2,a a

b 2b 2,

a b a b 2,cos a,b a b 21cos a,b ,a,b .

2223

+?-=-+?-=-?∴?=<>=?π

∴<>==∴<>=?

由（得：又 13.（2011·江西高考文科·Ｔ11）已知两个单位向量1e ，2e

的夹角为3

，若向

量112

2b e e =-

，2

34,_________.b e e b b =+?= 则【思路点拨】首先根据数量积的定义，将

1212b ,b e ,e

用表示出来

，再结合

12e ,e 3

π 都是单位向量，且夹角为，

即得。

【精讲精析】答案：-6

221212121122121212b b (e 2e )(3e 4e )3e 2e e 8e e ,e ,e 1,e 1,

b b 32cos 8318 6.

?=-?+=-?-π===π

∴?=--=--=-

又

14.（2011·浙江高考理科·Ｔ14）若平面向量,αβ满足1,1αβ=≤，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12

，则α与β的夹角θ的取值范围是【思路点拨】利用平行四边形的面积可得出sin θ的范围,尽而求出夹角θ的范围. 【精讲精析】由1

sin sin 2

S αβθβθ=?==可得，11sin 22θβ

≥

，故5,66ππθ??∈????

．

高考数学平面向量试题汇编

高考数学平面向量试题汇编已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（Ａ）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3）若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)，（宁夏，海南4）已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （Ｄ）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，（福建4）对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）

将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（Ａ）Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9）设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（Ｂ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)，（湖南4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2）若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7）设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10）设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（Ａ）Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）

平面向量的数量积与应用举例专题训练

平面向量的数量积与应用举例专题训练 A组基础题组 1.已知向量a=(2,1),b=(1,m),c=(2,4),且(2a-5b)⊥c,则实数m=( ) A.- B.- C. D. 2.已知向量a=(1,0),|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d方向上的投影为( ) A. B.- C.1 D.-1 3.向量a,b满足|a+b|=2|a|,且(a-b)·a=0,则a,b的夹角的余弦值为( ) A.0 B. C. D. 4.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记 I1=·,I2=·,I3=·,则( ) A.I1

10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. B组提升题组 1.已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是( ) A.[3,] B.[3,5] C.[3,4] D.[,5] 2.非零向量m,n的夹角为,且满足|n|=λ|m|(λ>0),向量组x1,x2,x3由一个m和两个n排列而成,向量组 y1,y2,y3由两个m和一个n排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3的所有可能值中的最小值为4|m|2,则λ = . 3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.

平面向量的数量积及运算律测试题

平面向量的数量积及运算律同步练习一、选择题： 1. 若｜a ｜＝｜b ｜=１，a ⊥b ，且2a ＋３b 与k a -4b 也互相垂直，则k 的值为( ) A.－６ B.６ C.３ D.－３ 2．若AP 31 = PB ，AB λ=BP ，则λ的值为 ( ) A ．41 B ．43 C ．34 D ．3 4- 3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120?，则-|a b|等于（） A ．36 B ．12 C ．6 D ．36 4．若| |＝2sin15°，| |＝4cos375°、，夹角为30°，则 · 为（） A ． 2 3 B ．3 C ．32 D ．21 5．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为（） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别（） A ．0,24 B ．24,4 C ．16，0 D ．4，0 7．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+ 3| = （） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 8．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=?=? （） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件 9．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（） A ．6π B ．3π C ．32π D ．6 5π 10．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 11．设)4 1,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθb a ，且,2 0,||π θ<

高考数学平面向量及其应用习题及答案

一、多选题 1．给出下列结论，其中真命题为（） A ．若0a ≠，0a b ?=，则0b = B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22 ()a b a b ?=? C ．若非零向量a 、b 满足2 2 2 a b a b +=+，则a 与b 垂直 D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2 π 2．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 3．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 4．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 5．以下关于正弦定理或其变形正确的有（） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 D ．在ABC 中， sin sin sin +=+a b c A B C 6．下列关于平面向量的说法中正确的是（） A ．已知A 、 B 、 C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ?=?且0b ≠，则a c = C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++= D ．已知()1 2a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形

平面向量数量积运算专题附答案

. 平面向量数量积运算平面向量数量积的基本运算题型一DCBCEFABCDBAD，，＝120°，点的边长为2，∠1 例(1)(2014·天津)已知菱形分别在边→→AFDFAEBCBEDC________. .若λ·上，的值为＝3＝，1＝λ，则→→PBPAPAOPBAB) · (2)已知圆为切点，的半径为1，，那么为该圆的两条切线，的最小值为，( 2 －43＋2 ＋B.A.－2 3＋2C.－4＋D.22 －→→→→→OBOAOAABOA________. ·＝|＝1 变式训练(2015·湖北)已知向量3⊥，则，| 利用平面向量数量积求两向量夹角题型二 22babaababab与＋(|，且2－(1)(2015·重庆例2 )若非零向量，则，)⊥(3满足||)＝|3的夹角为( ) ππ3πA. B. C. D.π424πabababab的夹角2－＋与＝|2，|，则|＝32(2)若平面向量与平面向量，的夹角等于|3的余弦值等于( ) 1111A. B.－ C. D.－262612121→→→→ABCOAOABACAB与)＝(＋，则上的三点，若2 变式训练(2014·课标全国Ⅰ)已知，，为圆2→AC的夹角为________. 教育资料． . 利用数量积求向量的模题型三 baababab等于＋的夹角为|120°，则|＝2，且例3 (1)已知平面向量|2和与，|||＝1，) ( B.4 A.2 D.6 5 C.2ABCDADBCADCADBCPDC上的动点，则是腰＝，∠1＝90°，，＝(2)已知直角梯形2中，，∥→→PAPB|的最小值为________. ＋3|1eeeebbe·.是平面单位向量，且若平面向量·满足变式训练3 (2015·浙江)已知，＝beb|＝，则＝|·________. 112212 ＝12

(完整版)《平面向量》测试题及答案

《平面向量》测试题一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。

6290平面向量的数量积的坐标表示

第十三教时教材：平面向量的数量积的坐标表示目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。过程：一、复习： 1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示 2．平面向量数量积的运算 3．两平面向量垂直的充要条件 4．两向量共线的坐标表示：二、课题：平面两向量数量积的坐标表示 1．设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ?i = 1，j ?j = 1，i ?j = j ?i = 0 2．推导坐标公式： ∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ∴a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2 从而获得公式：a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 例一、设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ?b 解：a ?b = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2 3．长度、角度、垂直的坐标表示 1?a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | =22y x + 2?若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则=221221)()(y y x x -+- 3? co s θ = | |||b a b a ??2 2 2 22 1 2 12121y x y x y y x x +++= 4?∵a ⊥b ? a ?b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则） 4．例二、已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形。证：∵=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3) ∴?=1×(-3) + 1×3 = 0 ∴⊥ ∴△ABC 是直角三角形三、补充例题：处理《教学与测试》P153 第73课例三、已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ?a = 9与x ?b = -4的向量x 。解：设x = (t , s )，由x ?a = 9 ? 3t - s = 9 t = 2 由x ?a = 9 ? 3t - s = 9 s = -3 ∴x = (2, -3) 例四、如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90?，求点B 和向量AB 的坐标。解：设B 点坐标(x , y )，则= (x , y )，= (x -5, y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由??? ?????????= =-==????=+=--+272323272941002522112 2 y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)2 7 ,23(；=)27,23(--或)23,27(- 例五、在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值。解：当A = 90?时，?= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =2 3 - 当B = 90?时，AB ?BC = 0，BC =AC -AB = (1-2, k -3) = (-1, k -3) ∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k = 3 11 当C = 90?时，AC ?BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2 13 3± 四、小结：两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示五、作业： P121 练习及习题5.7 《教学与测试》P154 5、6、7、8，思考题 ? A O B

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧【命题趋向】由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ．例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ，所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时

向量数量积专题(总)

平面向量的数量积【知识点精讲】一、平面向量的数量积（1）已知两个非零向量a r 和b r ，记为OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，则)0(πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r ，并规定[],0,a b π<>∈r r 。如果a 与b 的夹角是2 π，就称a r 与b r 垂直，记为.a b ⊥r r （2）cos ,a b a b <>r r r r 叫做向量a r 与b r 的数量积（或内积），记作a b ?r r ，即b a ? cos ,a b a b <>r r r r . 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 两个非零向量a r 与b r 垂直的充要条件是0.a b ?=r r 两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是.a b a b ?=±r r r r 二、平面向量数量积的几何意义数量积a b ?r r 等于a r 的长度a r 与b r 在a r 方向上的投影cos b θr 的乘积，即cos a b a b θ ?=r r r r （b r 在a r 方向上的投影为cos a b b a θ?=r r r r ）；a r 在b r 方向上的投影为 cos .a b a b θ?=r r r r 三、平面向量数量积的重要性质性质1 cos .e a a e a θ?=?=r r r r r 性质2 0.a b a b ⊥??=r r r r 性质3 当a r 与b r 同向时，a b a b ?=r r r r ；当a r 与b r 反向时，a b a b ?=-r r r r ；22a a a a ?==r r r r 或 a =r 性质4 cos (00)a b a b a b θ?=≠≠r r r r r r r r 且性质5 a b a b ?≤r r r r 注：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题。四、平面向量数量积满足的运算律（1）a b b a ?=?r r r r （交换律）；

(完整版)高中数学平面向量测试题及答案

平面向量测试题一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（）（A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（）（A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（）（A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝－5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是（）（A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （）（A ）向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。（B ）向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。（C ）向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。（D ）向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（）（A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ）－1 （C ） 1± （D ）任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（）（A ）（－14，16）（B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4）

专题二培优点9 平面向量数量积的最值问题

培优点9 平面向量数量积的最值问题平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝????1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →| AC →|＝t ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝????1t －1，－4· (－1，t －4) ＝17－????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________．答案 5－213 解析以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，

设P (2cos θ，2sin θ)????π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0

平面向量数量积

第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

2020年高考数学试题分类汇编平面向量

九、平面向量一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的最大值为（A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤，则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D

高考数学平面向量及其应用习题及答案百度文库

一、多选题 1．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 2．已知点()4,6A ，33,2 B ??- ?? ? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 3．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 5．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（） A ． B ． C ．8 D ． 8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（） A B C D ．9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八

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