第十二章 电磁感应及电磁场基本方程
12–1 如图12-1所示，矩形线圈abcd 左半边放在匀强磁场中，右半边在磁场外，当线圈以ab 边为轴向纸外转过60o过程中，线圈中 产生感应电流（填会与不会），原因是 。
解：线圈以ab 边为轴向纸外转过60o过程中，尽管穿过磁感应线的线圈面积发生了变化，但线圈在垂直于磁场方向的投影的面积并未发生变化，因而穿过整个线圈的磁通量并没有发生变化，所以线圈中不会产生感应电流。因而应填“不会”；“通过线圈的磁通量没有发生变化”。
12–2 产生动生电动势的非静电力是 力，产生感生电动势的非静电力是 力。
解：洛仑兹力；涡旋电场力（变化磁场激发的电场的电场力）。
12–3 用绝缘导线绕一圆环，环内有一用同样材料导线折成的内接正方形线框，如图12-2所示，把它们放在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向与线框平面垂直，当匀强磁场均匀减弱时，圆环中与正方形线框中感应电流大小之比为___________。
解：设圆环的半径为a
，圆环中的感应电动势1E 大小为
2
111d d d πd d d ΦB B
S a t t t
=
==E 同理，正方形线框中的感应电动势2E 大小为
2
212d d d 2d d d ΦB B
S a t t t
=
==E
而同材料的圆环与正方形导线的电阻之比为12R R =圆环与正方形线框中的感应电流之比为
122I I a ==
12–4 如图12-3所示，半径为R 的3/4圆周的弧形刚性导线在垂直于均匀磁感强度B 的平面内以速度v 平动，则导线上的动生电动势E = ，方向为 。
图12–5
图12–4
a
b
d
c
图12–1
B
a
图12–2
图12–3
解：方法一：用动生电动势公式()d l =
???B l v E 求解。
选积分路径l 的绕行方向为顺时针方向，建立如图12-4所示的坐标系，在导体上任意处取导体元d l ，d l 上的动生电动势为
d ()d cos d B R θθ=??B l =v v E
所以导线上的动生电动势为
3π
4
3π4
d cos d 0BR
BR θθ-===>??
v E E
由于ε>0，所以动生电动势的方向为顺时方向，即bca 方向。 方法二：用法拉第电磁感应定律求解。
如图12-5所示，连接ab 使导线构成一个闭合回路。设绕行方向为顺时针方向。又由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量Φ=BS =常数。由法拉第电磁感应定律
d d t
Φ
=-
E 可知，线圈中的感应电动势为E =0。又因 ab bca =+E E E
于是
[(2sin 45)]0ab bca
b R BR =-=--?=>v E
E
由于E >0，所以动生电动势的方向为顺时方向，即bca 方向。
12–5 长直密绕螺线管，长度及线圈匝数相同，半径分别为r 1，r 2，管内充满均匀介质，其磁导率分别为μ1，μ2。设r 1:r 2=1:2，μ1:μ2=2:1，当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比为L 1: L 2= ，磁能之比为W m1: W m2= 。
解：长直螺线管的自感系数为222
πN N L S r l l
μμ==，因此L 1: L 2=1:2。由磁能公式2
m 12
W LI =
，因此W m1: W m2=1:2。 12–6 麦克斯韦关于电磁场理论提出的两个基本观点，即两个基本假设是 和 。反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为
∑??==?n
i i S q 0
d S D （a ）
??
????-=-
=?S L
t t
ΦS B
l E d d d d （b ）
0d =???S S B （c ）
????
??=???
? ??
??+=
?S S L
t S J S D J l H d d d 全 （d ）
试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的，将其代号填入空白处。
（1）变化的磁场一定伴随有电场： ； （2）磁感应线是无头无尾的： ； （3）电荷总伴随有电场： 。
解：两个基本假设是“感生电场假设（变化的磁场激发涡旋电场）”和“位移电流假设（变
化的电场激发涡旋磁场）”。??
????-=-
=?S L
t t
ΦS B
l E d d d d 表示变化的磁场一定伴随有电场；
故（1）处填（b ）；
0d =???S S B 表示磁感应线是无头无尾的，故（2）处填（c ）：∑??==?n
i i
S q 0
d S D 表示电荷总伴随有电场，故（3）处填（a ）：
12–7 如图12-6所示，导线AB 在均匀磁场中作下列四种运动： （1）垂直于磁场作平动；
（2）绕固定端A 作垂直于磁场转动； （3）绕其中心点O 作垂直于磁场转动；
（4）绕通过中心点O 的水平轴作平行于磁场的转动。
关于导线AB 的感应电动势错误的结论是[ ]。
A ．（1）有感应电动势，A 端为高电势
B ．（2）有感应电动势，B 端为高电势
C ．（3）无感应电动势
D ．（4）无感应电动势； 解：（2）有感应电动势，A 端为高电势。
由d ()d =??B l E v 可得，（1）图中感应电动势E 由B →A ，所以A 端为高电势；（2）图中感应电动势E 由B →A ，所以A 端为高电势；（3）将AB 棒的电动势看作是OA 棒和OB 棒上电动势的代数和，由于OA E =OB E ，则AB E =AO E +OB E = -OA E +OB E =0，因此AB 棒上的电动势为零。（4）由于()?B v 的方向与d l 垂直，所以E =0，即无感应电动势。正确答案为（B ）。
12–8 如图12-7所示，均匀磁场被局限在无限长圆柱形空间内，且成轴对称分布，图为此磁场的截面，磁场按d B /d t 随时间变化，圆柱体外一点P 的感应电场E i 应[ ]。
A ．等于零
B ．不为零，方向向上或向下
C ．不为零，方向向左或向右
D ．不为零，方向向内或向外
E ．无法判定
解：感应电场E i 与–d B /d t 遵从右手螺旋系统，所以正确答案应选择（B ）。
12–9 如图12-8所示，在水平地面下有一条沿东西方向铺设的水平直导线，导线中通有自东向西稳定、强度较大的直流电流。现用一闭合的检测线圈（线圈中串有灵敏电流计，图中未画出）检测此通电直导线的位置，若不考虑地磁场的影响，在检测线圈位于水平面内，从距直导线很远处由北向南沿水平地面通过导线的上方并移至距直导线很远处的过程中，俯视检测线圈，其中的感应电流的方向是：[ ]
A ．先顺时针后逆时针
B ．先逆时针后顺时针
C ．先顺时针后逆时针，然后再顺时针
D ．先逆时针后顺时针，然后再逆时针
解：
从距直导线很远处由北向南沿水平地面通过导线的上方并移至距直导线很远处的过
A B 图12–
6
图12–7 图12–
8
程中，磁场线至下而上通过检测线圈。从距直导线很远处由北向南沿水平地面通过导线的上方的过程中，磁通量增大，由楞次定律可判断，感应电流方向为图中逆时针；当检测线圈从正上方移至距直导线很远处的过程中，磁通量减小，由楞次定律可判断，感应电流方向为图中顺时针。故答案应选（D ）。
12–10 北半球海洋某处，地磁场水平分量B 1=0.8×10–4T ，竖直分量B 2=0.5×10–4T ，海水向北流动。海洋工作者测量海水的流速时，将两极板竖直插入此处海水中，保持两极板正对且垂线沿东西方向，两极板相距L =20m ，如图12-9所示。与两极板相连的电压表（可看作理想电压表）示数为V =0.2mV ，则[ ]。
A ．西侧极板电势高，东侧极板电势低
B ．西侧极板电势低，东侧极板电势高
C ．海水的流速大小为0.125m/s
D ．海水的流速大小为0.2m/s
解：由于地球北极是地磁南极，故磁场应中斜向下穿入水面。将海水看成是水平向北（垂直于纸面向里）移动的导体，地相对
磁场水平分量，水流不切割磁场线，相对于竖直分量，水流切割作切割磁场线运动，由楞次定律可以判断西侧极板电势高，东侧极板电势低。水的流速为
3
420.2100.2m /s 0.51020
V B L --?===??v
由此可见，正确答案应选（A ）和（D ）。
12–11 关于由变化的磁场所产生的感生电场（涡旋电场），下列说法正确的是[ ]。 A ．感生电场的电场线起于正电荷，终止于负电荷 B ．感生电场的电场线是一组闭合曲线 C ．感生电场为保守场
D ．感生电场的场强
E k 沿闭合回路的线积分为零
分析与解：静电场由静止电荷激发，电场线不闭合，有头有尾，起于正电荷，终止于负电荷。而感生电场是由变化的磁场激发，电场线是一组无头无尾的涡旋闭合曲线；感生电场的环量不等于零，d d L
S t
??=-?????
B
E l S k ，说明它是有旋场、非保守场。因而正确答案为（B ）。
12–12 对位移电流，下述说法正确的是[ ]。 A ．位移电流的物理本质是变化的电场，但也能激发磁场 B ．位移电流是由线性变化磁场产生的 C ．位移电流的热效应服从焦耳–楞次定律 D ．位移电流只在平板电容器中存在
解：位移电流的起源于变化的电场，变化的电场激发磁场，但位移电流不涉及定向运动的电荷，也就不服从焦耳热效应、安培力等定律。因而正确答案为（A ）。
12–13 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为Φ=8.0?10–5sin100πt （SI ），求在t =1.0?10–2s 时，线圈中的感应电动势。
解：线圈的磁链为
531008.010sin1008.010sin100N t t ψΦ--==??π=?πWb
线圈中的感应电动势为
图12–9
d 2.51cos100πd t t
ψ
=-
=-E V 当t =1.0?10–2s 时，
22.51cos100π 2.51cos(100π 1.010) 2.51t -=-=-??=E V
12–14如图12-10所示，一均匀磁场与矩形导体回路面法线单位矢量e n 间的夹角为π/3θ=，已知磁感应强度B 随时间线性增加，即B =kt （k >0）
，回路的AB 边长为l ，以速度v 向右运动，设t =0时，AB 边在x =0处。求任意时刻回路中感应电动势的大小和方向。
解：任意时刻t ，回路的面积为S =lx ，回路的磁通量为
cos cos BS ktlx Φθθ=?B S ==
则回路中的感应电动势大小为
d d(cos )d cos cos d d d ktlx x
klx ktl t t t
Φθθθ
=
==+E 由于x t =v ，d d x
t =v ，则
π
2cos 2cos
3
kl t kl t kl t θ===v v v E 电动势的方向由A 指向B 。
12–15 一长直电流I 与直导线AB （AB =l ）共面，如图12-11所示。AB 以速度v 沿垂直于长直电流I 的方向向右运动，求图示位置时导线AB 中的动生电动势。
解：在直导线AB 上任取电流元d l ，如图12-12所示，可得直导线AB 中产生的电动势
为
()d AB l =
???B l v E d sin(,)cos(,d )l B l =??B B l v v v
0cos d 2πl I
l r
μθ=
?
v 由于d sin d r l θ=，将其代入上式，得
sin 0d cot 2π
d l AB d
I r r θ
μθ+=
?
?v
E 0sin cot ln
2πI d l d
μθ
θ+=?v 由于AB E >0，所以AB E 的方向由A 指向B ，B 点电势高。
12–16如图12-13所示，长为L 的铜棒AB ，以距端点a 处为支点O ，并以角速率ω顺时针绕通过支点O 且垂直于铜棒的轴转动。设磁感应强度B 的均匀磁场与轴平行，求棒AB
图12–10
图12–12
v d l d
A r
I
B
B
图12–11
v
d
A
I
B
θ
两端的电势差V AB 。
解：方法一：如图12-14所示，以支点O 为坐标原点，沿棒取Or 为坐标轴，在棒上距点O 为r 处取导体元d r ，它的线速度为v ，即v =ωr 。由动生电动势公式知
d ()d d d B r Br r ω=??=B l =v v E
则长为L -a 的OB 棒上的电动势为
201
d ()2
L a
OB Br r B L a ωω-=
-?=E
同理，长为a 的OA 棒上的电动势为
20
1()d d 2
a
a
OA AO Br r Ba ωω=-=
??=
??B l =v E E
将AB 棒的电动势看作是OA 棒和OB 棒上电动势的代数和，如图12-15所示，则AB 棒上的电动势为
22111
()(2)222AB AO OB Ba B L a BL L a ωωω=+=-+-=-E E E
因此棒两端的电势差为
(2)2
AB AB B
V L L a ω=-=-
-E
当L >2a 时，B 端的电势高于A 端的电势。
方法二：在棒上距点O 为r 处取导体元d r ，如图12-14所示，则
1
()d d (2)2
L a
L a
AB a
a
Br r BL L a ωω----=
??=
=-??B l v E
因此棒两端的电势差为
(2)2
AB AB B
V L L a ω=-=-
-E
12–17 如图12-16所示，金属杆AB 在导线架上以匀速v 向右滑动。已知金属杆AB 的长为50cm ，v =4.0m/s ，R =0.2Ω，磁感应强度B =0.5T ，方向垂直回路平面。试求：
（1）作用在金属杆AB 上的拉力； （2）拉力做功的功率； （3）电阻R 上所消耗的功率。
解：（1）在金属杆AB 运动时产生的动生电动势大小为
()d a
b Bl =
??=?B l v v E
方向由b →a 。
感应电流为
Bl
I R R
=
=
v E 磁场作用在AB 上的力水平向左，大小为
22224.00.500.500.20
B l F BIl R ??===v
N=1.25N
A
图12–15
图12–14
R
图2–
16
图12–13
作用在金属杆AB 上的拉力F ′应与F 大小相等，方向相反，即水平向右F ′=1.25N 。 （2）拉力做功的功率为
1.254P F ''==?v W=5.0W
（3）电阻R 上所消耗的功率
2222222
40.500.500.20
B l P R R ??===
v E W=5.0W 计算表明，拉力所做的功全部转化为电路中的焦耳热。
12–18 如图12-17所示，长直导线中通有电流I =5A ，另有一矩形线圈共1000匝，宽a =10cm ，长l =20cm ，以速度v =2m/s 向右平动，（1）求当d =10cm 时线圈中的感应电动势；（2）若线圈不动，而长导线中通有交变电流I =5sin100πt （A ），则线圈内的感应电动势将为多大？
解：（1）方法一：用法拉第电磁感应定律d d t
Φ
=-
E 计算。 线圈处于非均匀磁场中，当线圈运动到距长直导线x 远处时，磁感应强度大小为
02πI
B x
μ=
方向垂直纸面向里。
在线圈中取小面积元d S =l d x ，如图12-18中阴影部分，取顺时针方向为矩形线圈回路的正方向，则面积元d S 的方向也垂直纸面向里，由于d x 足够小，可以近似认为该面积元内的B 是均匀的，则该面积元的磁通量d Φ为
0d d d d 2πI
B S l x x
μΦ=?B S ==
通过线圈中的总磁通量为
00=
d d ln
2π2πa x x
I
Il a x
l x x x
μμΦΦ++=
=?
? 即Φ为x 的函数。
由法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势为
0d d d 2π()d INl a x
N
t x x a t
μΦ=-=+E 因为x 是t 的函数，
d d x
t
=v ，所以线圈中的感应电动势为 02π()
INla x x a μ=
+v
E
由题设，当线圈左边离开导线的距离为x =d =10cm 时，
72202224π1051000201010102
2π()
2π1010(10101010)
INla x x a μ------????????=
=
+???+?v
E =2?10–3V
由于E >0，所以它的方向为顺时针方向，即ABCDA 方向。 方法二：用动生电动势公式i ()d l =
???B l v E ，对矩形线圈的每一边求感应电动势，再
图12–18
I 图12–17
利用
()d ()d ()d ()d ()d L AB BC CD DA L =
??=??+??+??+???????B B l B l B l B l E v v v v v
AB BC CD DA =+++E E E E
进行计算。其等效电路如图12-19所示。
取绕行回路正方向为顺时针方向。对于矩形线圈上、下两边AB 、CD ，由于()?B v 与d l 方向垂直，所以
()d 0B
AB A =??=?B l v E ()d 0D
CD C =
??=?B l v E
矩形线圈处于非均匀磁场中，距长直载流导线x 远处的磁感应强度为
02πI
B x
μ=
其方向垂直纸面向里。
0010()d d 2π2πA
b
DA D
I I
l l d d
μμ=??=
=??
B l v v v E 0020
()d d 2π()
2π()
C
b
BC B
I
I
l l
d a d a μμ=
??=-
=-++??B l v v
v E
每匝矩形线圈中的感应电势为
000112π2π()2πAB BC CD DA I I I l l l d d a d d a μμμ??
=+++=-=- ?++??
E E E E E v v v
72
2224π10511
22010
2π1010
10101010-----????=???- ???+??? =2?10–6V
矩形线圈中总的动生电动势为
61000210N N -==??E E V=2?10–3V
因为N E >0，所以它的方向沿顺时针方向，即ABCDA 方向。
（2）若线圈不动，导线中电流变化，则穿过线圈的磁通量变化，产生感应电动势。 通过线圈的磁链为
0ln
2π
INl d +a
N d
μψΦ== 线圈中总的感应电动势为
0d d ln
d 2d Nl d +a I t d t
μψ
=-
=-πE 722224101000201010101010d(5sin100)
ln 2d 1010t t -----??π?????+?π=- ?
?π???
24.3510cos100t -=-?πV
12–19 一单匝圆形线圈位于xoy 平面内，其中心位于原点O ，半径为a ，电阻为R ，平行与z 轴有一匀强磁场，假设R 极大，求：当磁场依照B=B 0e -αt
的关系降为零时，通过该线
E DA E BC
A
B
C
D 图12–19
圈的电流和电量。
解：根据法拉第电磁感应定律
m d d t Φ=-
E ()
0d
e d t S B t
α-=-()0e t SB αα-=-- 20πe
t
a B αα-=
电动势为正，说明它的方向与B 构成右手螺旋关系。
线圈中的感应电流
20πe
t
a B i R R
αα-==E 感应电流的方向亦与B 构成右手螺旋关系。
在0~t 时间内，通过线圈某一截面的电量为
2000πd e d t
t t a B q i t t R αα-==?
?
()
20π1e t a B R α-=-()()m0m 1t R =Φ-Φm 1
R
=-?Φ
当B 降为零时，通过线圈截面的总电量为
20m0
0πd a B q i t R R
∞
Φ===
?
可见，q 仅与磁通量的变化值m Φ?有关，而与变化过程无关，即与B (t )无关。
12–20 如图12-21所示，一长为l ，质量为m 的导体棒ab ，其电阻为R ，并沿两条平行的导电轨道无摩擦地下滑。轨道的电阻可忽略不计，轨道与导体构成一闭合回路。轨道所在平面与水平面成θ角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度B 的方向与水平垂直，且竖直向上。求证：导体棒下滑时，达到稳定速度的值是22
2
sin cos mgR B l θθ
=
v 。
解：导体棒ab 在重力作用下沿轨道下滑，这时通过闭合回路abcda 的磁通量要随时间发生变化，于是在棒上就会产生动生电动势和感应电流，因此棒ab 在磁场中又会受到安培力的作用。当安培力与重力在斜面上的分力大小相等，方向相反时，棒以匀速下滑。这时可得棒的速度，即为所证的值。
设导体棒ab 速度为v 。由于导体在磁场中运动产生的动生电动势为
π
()d sin()d cos 2
b
a B l Bl θθ=??+=??
l B l =v v v E
回路abcda 中感应电流为
cos Bl I R R
θ
=
=
E v 流向由b →a 。
通过导体棒ab 的电流在磁场中受到安培力
22cos cos d l Bl B l F I IlB lB R R
θθ
=?===?
l B v v
由图12-22可判断出该力的方向水平向左。
如图12-23所示，F 沿斜面的分量为
图12–21
图12–22
图12–20
22222cos cos cos cos B l B l F F R R
θθ
θθ===
//v v 导体棒ab 所受重力为G =mg ，其沿斜面的分量为
sin G mg θ=//
当此两力平衡时，即F //=G //时，速度达稳定值，由
222cos sin B l mg R
θ
θ=v
得
222sin cos mgR B l θθ
=
v
12–21 如图12-24所示，在半径为R 的圆柱形空间有垂直于纸面向内的变化的均匀磁场B （
d 0d t
>B
）
，金属棒ab =bc =R ，求金属棒ac 上的感应电动势。 解：（1）方法一：由感生电动势公式求解。 由磁场分布的轴对称性可知，磁场变化时在圆柱
体所产生的感应电场E k 的电场线是以圆柱轴线上的某点为圆心的同心圆，且同一圆环上各点E k 的大小相等，方向逆时针，如图12-25所示。以圆柱轴线为中心，在垂直于圆柱轴线的平面内，作一半径为r 的圆形闭合路径，回路的绕行方向为逆时针，由感生电动势定义式可知，
k d d d d l
t
=
?=-
????
S B
E l S E 当r k1d 2ππd B E r r t = k1d ,()2d r B E r R t = < 当r >R 时，2k2d 2ππd B E r R t = 2k2d ,()2d R B E r R r t => 由于金属棒ac 所在区域与bc 所在区域的E k 表达式不同，所以要分段积分，故 k k1k2d d d c b c ac ab bc a a b = ?=?+?=+???E l E l E l E E E 如图12-26所示，对ab 段，E k 的方向为逆时针，取线元d l ，d l 与E k 夹角为θ，d l 到管轴的距离为r ，将几何关系h =r cos θ=R cos30?代入积分，可得 k1k1d cos d b b ab a a E l θ= ?= ??E l E d 1d cos d cos d 2d 2d b b a a r B B l =r l t t θθ=? ? 图12–23 图12– 24 图12–25 1d d d d 2d 2d b b a a B h B h l l t t = =?? d 1d cos302d 2d h B B R R R t t = =? = 对bc 段，有 k2k2d cos d c c bc b b E l θ=?=??E l E 22 d d cos cos d d 2d 2d c c b b R B R B l = l r t t r θθ= ?? 利用关系l =h tan θ，d l =h sec 2θd θ和cos h r θ= ，cos h r θ=将上述积分统一变量，并注意到 16θπ= ，23 θπ =，代入上式有 212222 d cos d cos πd d cos sec d 2d 2d 12d c bc b R B R B R B l h t r t h t θθθθθθθ===?? E 因此，整个金属棒ac 上的感生电动势为 2πd 12d ac ab bc B R t ?=+=+???? E E E 方向由a →c ，即c 端电势高。 方法二：由法拉第电磁感应定律求解。 由磁场分布的轴对称性可知，磁场变化时在圆柱体所产生的感应电场的电场线是以圆柱轴线上的某点为圆心的同心圆，且同一圆上各点E k 的大小相等，方向逆时针，沿某点的切向方向。如图12-27所示，连接Oa ，Ob ，按电动势的定义，在闭合回路OabcdO 中的电动势为 k d OabcdO l = ??E l E k k k d d d c O a a c O = ?+ ?+ ????E l E l E l ac cO Oa =++E E E 其中Oa ，Oc 均沿半径方向，与感生电场E k 的方向始终垂直，所以 k k d d 0O a cO Oa c O ==?=?=?? E l E l E E 则该回路的感应电动势等于金属棒ac 上的感应电动势，即 k k d d c OabcdO ac l a = ?= ?=??E l E l E E 由法拉第电磁感应定律回路的感应电动势大小为 d d d d d ()d d d d OabcdO ac Oab Obd B B S S S t t t t Φ ==- =?==+?? S B S E E 图12–27 图12–26 22d 11ππd cos30d 22612d B B RR R R t t ???= ?+=+? ?????? 方向由a →c ，即c 端电势高。 12–22 一无限长直导线，通有电流I ，在它旁边放有一共平面的矩形金属框，边长分别为a 和b ，电阻为R ，如图12-28所示。当线圈绕OO ′轴转过180?时，试求流过线框截面的感应电量。 解：由法拉第电磁感应定律，感应电动势为 d d t Φ =- E 回路中感应电流为 1d d i R R t Φ = =- E 通过回路的感应电量为 21121d 11 d d d ()d q i t t R t R R ΦΦΦΦΦΦ==-=-=-??? 2 2 0012d d d ln 2π2π2a a d S S d I Ib d a B S b r r d a μμΦ+-+= ?= = =-????? B S 当线圈绕OO ′轴转过180?， 022ln 2π 2Ib d a d a μΦ+=-- 因此，有 0121 2()ln π2Ib d a q R R d a μΦΦ+= -=- 12–23 半径为2.0cm 的螺线管，长30.0cm ，上面均匀密绕1200匝线圈，线圈内为空气。 （1）求此螺线管的自感系数。 （2）当螺线管中电流以3.0?102A/s 的速率增加时，在线圈中产生的自感电动势多大？ 解：（1）当通以电流I 时，线圈内磁感强度为 00 N B nI I l μμ== 通过螺线管的磁链为 2 00N N N NBS N IS IS l l ψΦμμ==== 该螺线管的自感系数为 222 722 00π4π101200π0.020.3 N S N R L I l l μμψ -????= = = ==7.6?10–3H （2）由自感电动势定义得 32d 7.610 3.010d L I L t -=-=-???E = -2.3V 负号表示自感电动势的方向与电流的方向相反。 12–24 如图12-29所示，两条平行的输电线半径为a ，二者中心相距为D ，电流一去一 I d 图12–28 回。若忽略导线内的磁场，求证这两条输电线单位长度的自感0ln πD a L a μ-=。 证明：在两输电线之间取一面元d S =l d x ，如图12-30所示，则面元上任一点的磁感应强度为 001222()I I B B B x D x μμ=+=+ππ- 00d d d d 2π2π()I I B S l x x D x μμΦ??=?=+??-?? B S = 通过长为l 的两输电线间的面积的磁通量为 000d d ln 2π2π()πD a a I I Il D a l x x D x a μμμΦΦ-??-== + =??-? ? ?? 故单位长度的输电线的自感为 0ln πD a L Il a μΦ -= = 由此得证。 12–25 如图12-31所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S 1和S 2，磁导率分别为μ1和μ2，管长为l ，匝数为N ，求螺线管的自感（设管的截面很小）。 解：设有电流I 通过螺线管，则管中两介质中磁感强度分别为 111 N B nI I l μμ== 222N B nI I l μμ== 通过线圈横截面的总磁通量是截面积分别为S 1和S 2的两部分磁通量之和 1211221122N N B S B S IS IS l l ΦΦΦμμ=+=+=+ 通过螺线管的N 匝回路的磁链为 2211221122()N IS N IS N N N N IS IS l l l l μμψΦμμ==+=+ 则自感为 N , S , S 图12–31 图12– 29 I I 图12– 30 I 2211 22 N S N S L I l l μμψ = = + 12–26 如图12-32所示，真空中一矩形截面螺绕环由细导线均匀密绕而成，内半径为R 1，外半径为R 2，高为h ，共N 匝，如图所示。求此螺绕环的自感系数。 解：（1）当螺绕环通有电流I 时，由于螺绕环具有轴对称性，在环内取以环中心为圆心，半径为r 的圆形回路，圆周上各点B 相等，由安培环路定理有 0d l NI μ?=?B l 02πB r NI μ= 则圆上各点的磁感应强度为 02πNI B r μ= 在螺绕环的纵截面上距轴线r 处取一宽为d r ，长为h ，与轴平行的面积元d s =h d r ，如图12-33所示，则穿过面积元的磁通量为 0d d d d 2πNI B S h r r μΦ=?=B S = 整个截面上磁通量为 2 1 0021 d d ln 2π2πR R NI NIh R h r r R μμΦΦ== =? ? 螺绕环的磁链 2002211 ln ln 2π 2πNIh N Ih R R N N R R μμψΦ=== 因此螺绕环的自感系数为 2021 ln 2π N h R L I R μψ = = 12–27 一矩形线圈长l =20cm ，宽b =10cm ，由100匝表面绝缘的导线绕成，放置在一根长直导线的旁边，并和直导线在同一平面内，该直导线是一个闭合回路的一部分，其余部离线圈很远，其影响可忽略不计。求图12-34中（a ）（b ）两种情况下，线圈与长直导线间的 图12–33 图12–32 互感。 解：（1）图12-34（a ）情况。 设长直导线上有电流I ，在矩形线圈面积上距直导线x 处，取一宽为d x ，长为l 且与直导线平行的长条形面积元d S =l d x ，如图12-35所示。该面积元上磁感应强度为 02πI B x μ=，在导线右边平面内其方向垂直纸面向里，通过 面积元的磁通量为 0d d d d 2πI B S l x x μΦ=?=B S = 则整个线圈上的磁通量为 200d d ln 22π2π b b I Il l x x μμΦΦ== = ?? 线圈与长直导线间的互感为 N M I I ψ Φ= = 0ln 22πNl μ= 74π101000.2 ln 22π -???= =2.8?10–6H （2）图12-34（b ）情况。 设长直导线上有电流I ，将矩形线圈视为许多宽为d x ，长为l 的长条形面积元d S 组成，在两个关于长直导线对称的面积元上，磁感应强度大小相等，方向相反，因而这两个面积元的磁通量大小相等，符号相反，代数和为零，进而整个矩形面积的磁通量为零，如图12-26所示，因此线圈与长直导线间的互感也为零。 12–28 一螺绕环，横截面的半径为a ，中心线的半径为R ，R >>a ，其上由表面绝缘的导 线密绕两个线圈，一个N 1匝，另一个N 2匝，试求： （1）两个线圈的自感L 1和L 2； （2）两个线圈的互感M ； 图12– 35 图12– 36 （a ） l （b ） 图12–34 （3）M 与L 1和L 2的关系。 解：设在匝数为N 1的螺绕环1中通以电流I 1，在匝数为N 2的螺绕环2中通以电流I 2， （1）由于R >>a ，环中B 可视为均匀，线圈1中，电流I 1产生的磁场为 01110112πN I B n I R μμ== 每匝的磁通量为 2 2 011 0111111π2π2N I N I a B S a R R μμΦ=?== = B S 线圈1的磁链 22 011111112N I a N R μψΦ== 因此线圈1的自感系数为 22 0111 11 2N a L I R μψ= = 同理，线圈2的自感系数为 22 0222 22 2N a L I R μψ= = （2）螺绕环1中通以电流I 1，它在螺绕环2中产生的磁通量为 2 011211112N I a B S R μΦΦ=== 磁链为 2 0121212212N N I a N R μψΦ== 因此互感系数为 2 01221 1 2N N a M I R μψ= = （3）2224 2012122 4N N a L L M R μ?==。因此，M =k =1，此两线圈为 完全耦合。 12–29 未来可能会利用超导线圈中持续大电流建立的磁场来储存能量。要储存1KW ?h 的能量，利用1.0T 的磁场，需要多大体积的磁场？若利用线圈中500A 的电流储存上述能量，则该线圈的自感系数应为多大? 解：需要的磁场的体积为 760m m 22 m 224π10 3.6101W W V w B μ-????====9.0m 3 所需线圈的自感系数为 6 m 2 2 22 3.61029500 W L I ??= = =H 12–30 一长直的铜导线，截面半径为5.5mm ，通有电流20A 。求导线表面处的电场能量密度和磁场能量密度。铜的电阻率1.69?10–8Ω?m 。 解：铜导线表面处的磁感应强度 02πI B R μ= 铜导线表面处的磁场能量密度 2272 0m 22232 04π102028π8π(5.510)I B w R μμ--??=== ???=0.21J/m 3 根据欧姆定律的微分形式，铜导线表面处的电场为 2 πj I E j R ρρσ = == 式中σ和ρ分别为铜的电导率和电阻率。 电场能量密度为 2 2 22000e 2242 2π2πE I I w R R εεερρ? ? = == ??? 12822 234 8.8510(1.6910)202π(5.510)---????= ???=5.6?10–17 J/m 3 12–31 半径为R 的圆柱形长直导体，均匀流过电流I ，（1）求证：导体内单位长度储存 的磁能为2 016π I μ（设导体的相对磁导率μr ≈1）;（2）在导体外部磁场中，与导体内部磁能相 等的范围是多大？ 解：由H 的安培环路定理可得导体内、外的磁场强度分布。 当r 2 2d 2πππl I H r r R ?==?H l 2 ,()2πIr H r R R = < 当r >R 时，有 d 2πl H r I ?==?H l ,()2πI H r R r = > 由 22m 0r 11 22 w H H μμμ== 当r 2 220r m 0r 2241 22π8πI r Ir w R R μμμμ??== ??? 当r >R 时，在半径r 处的磁能密度为 2 20r m 0r 22 122π8πI I w r r μμμμ??'== ??? （1）在导体内取半径为r ，长度为l ，厚为d r 与导体同轴的圆柱形薄壳，如图12-37所 图12– 37 示。薄壳处的磁能密度为22 0r m 24 8πI r w R μμ= 薄壳体积d V =2πrl d r 薄壳中的磁能为 23 0r m m 4 d d d 4πI lr W w V r R μμ== 单位长度导体内的总磁能为 23220r 0r 0m m m 4 011 d d d 16π16π4πR I r I I W W w V r l l R μμμμμ====≈??? （2）同样，单位长度下，导体外部半径在R +r ′范围内的磁能为 2 220r 0r 0m m m 22111d d 2πd ln ln 4π4π8πr R I I I r r W W w V rl r l l l R R r μμμμμ''''''====≈??? 导体外部磁能与导体内部磁能相等，有 2 2 00ln 16π 4π I I r R μμ' = 因此 14e r R '= 12–32 （1）试证明平行板电容器两极板之间的位移电流可写为d d d V I C t =，其中C 是电容器的电容，V 是两极板间的电势差。（2）要在1.0μF 的电容器内产生1.0A 的位移电流，加在电容器上的电压变化率应是多大？ 证明：（1）设平行板电容器极板上单位面积的带电量为σ，则由高斯定理可计算出平行板电容器两极板间的电位移大小为 D σ= 电容器平行于极板的截面上的电位移通量为 D DS S q CU Φσ==== 因此，电容器中的位移电流 d d d d d V I C t t Φ= = 得证。 （2）由（1）可知，加在电容器上的电压变化率应为 d 6 d 1.0 d 1.010I V t C -==?=1.0?106V/s 8章习题及答案 1、如图所示，一矩形金属线框，以速度v 从无场空间进入一均匀磁场中，然后又从磁场中出来，到无场空间中．不计线圈的自感，下面哪一条图线正确地表示了线圈中的感应电流对时间的函数关系？(从线圈刚进入磁场时刻开始计时，I 以顺时针方向为正) 2、一块铜板垂直于磁场方向放在磁感强度正在增大的磁场中时，铜板中出现的涡流(感应电流)将 (A) 加速铜板中磁场的增加． (B) 减缓铜板中磁场的增加． (C) 对磁场不起作用． (D) 使铜板中磁场反向． ［ ］ 3、半径为a 的圆线圈置于磁感强度为B 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直， 线圈电阻为R ；当把线圈转动使其法向与B 的夹角=60°时，线圈中通过的电荷与线圈面积及转动所用的时间的关系是 (A) 与线圈面积成正比，与时间无关． (B) 与线圈面积成正比，与时间成正比． (C) 与线圈面积成反比，与时间成正比． (D) 与线圈面积成反比，与时间无关． ［ ］ 4、在无限长的载流直导线附近放置一矩形闭合线圈，开始时线圈与导线在同一平面内，且线圈中两条边与导线平行，当线圈以相同的速率作如图所示的三种不同方向的平动时，线圈中的感应电流 (A) 以情况Ⅰ中为最大． (B) 以情况Ⅱ中为最大． (C) 以情况Ⅲ中为最大． (D) 在情况Ⅰ和Ⅱ中相同． B I (D) I (C) b c d b c d b c d v v I 5、一矩形线框长为a 宽为b ，置于均匀磁场中，线框绕OO ′轴， 以匀角速度旋转(如图所示)．设t =0时，线框平面处于纸面 内，则任一时刻感应电动势的大小为 (A) 2abB | cos ω t |． (B) ω abB (C)t abB ωωcos 2 1． (D) ω abB | cos ω t |． (E)ωabB |sin ωt |． 6、如图所示，导体棒AB 在均匀磁场B 中绕通过C 点的垂直于棒长且沿磁场方向的轴OO ' 转动（角速度ω 与B 同方向）， BC 的长度为棒长的3 1 ，则 (A) A 点比B 点电势高． (B) A 点与B 点电势相等． (B) A 点比B 点电势低． (D) 有稳恒电流从A 点流向B 点． [ ] 7、如图，长度为l 的直导线ab 在均匀磁场B 中以速度v 移动，直导线ab 中的电动势为 (A) Blv ． (B) Blv sin ． (C) Blv cos ． (D) 0． ［ ］ 8、如图所示，M 、N 为水平面内两根平行金属导轨，ab 与cd 为 垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直裸导线．外磁场垂直水 平面向上．当外力使ab 向右平移时，cd (A) 不动． (B) 转动． (C) 向左移动． (D) 向右移动．［ ］ 9、如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B 平行于ab 边，bc 的长度为l ．当金属框架绕ab 边以匀角速度转动 时，abc 回路中的感应电动势和a 、c 两点间的电势差U a – U c 为： (A) =0，U a – U c =221l B ω． (B) =0，U a – U c =221l B ω-． (C) =2l B ω，U a – U c =221l B ω． (D) =2l B ω，U a – U c =22 1l B ω-． v c a b d N M B B a b c l ω 大学物理吴百诗习题答案 电磁感应 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 法拉第电磁感应定律 10-1如图10-1所示，一半径a ＝，电阻R ＝×10-3Ω的圆形导体回路置于均匀磁场中，磁场方向与回路面积的法向之间的夹角为π/3，若磁场变化的规律为 T 10)583()(42-?++=t t t B 求：（1）t ＝2s 时回路的感应电动势和感应电流； （2）最初2s 内通过回路截面的电量。 解：（1）θcos BS S B =?=Φ V 10)86(6.110)86()3 cos(d d cos d d 642--?+?-=?+?-=-=Φ- =t t a t B S t i π πθε s 2=t ，V 102.35-?-=i ε，A 102100.1102.32 3 5---?-=??-= =R I ε 负号表示i ε方向与确定n 的回路方向相反 （2）42 2123 112810 3.140.1()[(0)(2)]cos 4.410C 1102 i B B S q R R θ---???=Φ-Φ=-??==??? 10-2如图10-2所示，两个具有相同轴线的导线回路，其平面相互平行。大回路中有电流I ， 小的回路在大的回路上面距离x 处，x >>R ，即I 在小线圈所围面积上产生的磁场可视为是均匀的。若 v dt dx =等速率变化，（1）试确定穿过小回路的磁通量Φ和x 之间的关系；（2）当x ＝NR （N 为一正数），求小回路内的感应电动势大小；（3）若v ＞0，确定小回路中感应电流方向。 解：（1）大回路电流I 在轴线上x 处的磁感应强度大小 2 02 232 2() IR B R x μ= +，方向竖直向上。 R x >>时，2 03 2IR B x μ= ，22 203 2IR r B S BS B r x πμπΦ=?==?= （2）224032i d dx IR r x dt dt πμε-Φ=-=，x NR =时，2024 32i Ir v R N πμε= 图 10- 第二章电磁感应与电磁场章末综合检测 (时间：90分钟；满分100分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确) 1．下列过程中一定能产生感应电流的是( ) A．导体和磁场做相对运动 B．导体一部分在磁场中做切割磁感线运动 C．闭合导体静止不动，磁场相对导体运动 D．闭合导体内磁通量发生变化 2．关于磁通量的概念，下列说法中正确的是( ) A．磁感应强度越大，穿过闭合回路的磁通量也越大 B．磁感应强度越大，线圈面积越大，穿过闭合回路的磁通量也越大 C．穿过线圈的磁通量为零时，磁感应强度不一定为零 D．磁通量发生变化时，磁感应强度一定发生变化 3．如图2－3，半径为R的圆形线圈和矩形线圈abcd在同一平面内，且在矩形线圈内有变化的磁场，则( ) 图2－3 A．圆形线圈有感应电流，矩形线圈无感应电流 B．圆形线圈无感应电流，矩形线圈有感应电流 C．圆形线圈和矩形线圈都有感应电流 D．圆形线圈和矩形线圈都无感应电流 4．以下叙述不正确的是( ) A．任何电磁波在真空中的传播速度都等于光速 B．电磁波是横波 C．电磁波可以脱离“波源”而独自存在 D．任何变化的磁场都可以产生电磁波 5．德国《世界报》曾报道过个别西方发达国家正在研制电磁脉冲波武器——电磁炸弹．若一枚原始脉冲波功率10 kW、频率5千兆赫的电磁炸弹在不到100 m的高空爆炸，它将使方圆400 m2～500 m2地面范围内电场达到每米数千伏，使得电网设备、通信设施和计算机中的硬盘与软盘均遭到破坏．电磁炸弹有如此破坏力的主要原因是( ) A．电磁脉冲引起的电磁感应现象 B．电磁脉冲产生的动能 C．电磁脉冲产生的高温 D．电磁脉冲产生的强光 6．在图2－4中，理想变压器的原副线圈的匝数比为n1∶n2＝2∶1，A、B为完全相同的灯泡，电源电压为U，则B灯两端的电压有( ) 图2－4 A．U/2 B．2U 习题9 9-1在磁感应强度B 为0.4T 的均匀磁场中放置一圆形回路，回路平面与B 垂直，回路的面积与时间的关系为：S=5t 2+3(cm 2),求t=2s 时回路中感应电动势的大小？ 解：根据法拉第电磁感应定律得 dt d m Φ- =εdt dS B =Bt 10= V 4108-?=ε 9-2 如题9-2图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a .设半圆环以速度v 平行导线平移.求半圆环感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压U M －U N . 题9-2 解: 作辅助线MN ，则在MeNM 回路中，沿v 方向运动时0d =m Φ ∴ 0=MeNM ε 即 MN MeN εε= 又∵ ? +-<+-= =b a b a MN b a b a Iv l vB 0ln 2d cos 0πμπε 所以MeN ε沿NeM 方向， 大小为 b a b a Iv -+ln 20πμ M 点电势高于N 点电势，即 b a b a Iv U U N M -+= -ln 20πμ 题9-3 9-3 如题9-3图所示，在两平行载流的无限长直导线的平面有一矩形线圈.两导线中的电流 方向相反、大小相等，且电流以d I d t 的变化率增大，求： (1)任一时刻线圈所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势. 解: 以向外磁通为正则 (1) ]ln [ln π2d π2d π2000d a d b a b Il r l r I r l r I a b b a d d m +-+= -= ?? ++μμμΦ (2) t I b a b d a d l t d d ]ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε 题9-4 9-4 如题9-4图所示，长直导线通以电流I ＝5 A ，在其右方放一长方形线圈，两者共面.线圈长b ＝0.06 m ，宽a ＝0.04 m ，线圈以速度v ＝0.03 m/s 垂直于直线平移远离.求：d ＝0.05 m 时线圈中感应电动势的大小和方向. 解: AB 、CD 运动速度v 方向与磁力线平行，不产生感应电动势． 1．一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为t sin .Φπ51008-?=，求在s .t 21001-?=时，线圈中的感应电动势。 2．如图所示，用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆。使 这根半圆形导线在磁感强度为 B 的匀强磁场中以频率f 旋转， 整个电路的电阻为R ，求感应电流的表达式和最大值。 解：由于磁场是均匀的，故任意时刻穿过回路的磁通量为 θcos )(0BS Φt Φ+= 其中Φ0等于常量，S 为半圆面积， ft t π?ω?θ200+=+= )2cos(21)(020?ππ++=ft B r Φt Φ 根据法拉第电磁感应定律，有)2sin(d d 022?ππε+=-=ft fB r t Φ 因此回路中的感应电流为 )2sin()(022?ππε+==ft R fB r R t I 则感应电流的最大值为 R fB r I 22m π= 3．如图所示，金属杆 AB 以匀速v = 2.0 m .s -1平行于一长 直导线移动，此导线通有电流 I = 40 A 。问：此杆中的感应电 动势为多大？杆的哪一端电势较高？ 解1：杆中的感应电动势为 V 1084.311ln 2d 2d )(501 .11.00AB AB -?-=-=-=??=??πμπμεIv x v x I l B v 式中负号表示电动势方向由B 指向A ，故点A 电势较高。 解2：对于 右图，设杆AB 在一个静止的U 形导轨上运动， 并设顺时针方向为回路ABCD 的正向，根据分析，在距直导线 x 处，取宽为d x 、长为y 的面元d s ，则穿过面元的磁通量为 x y x I Φd 2d d 0πμ=?=S B 穿过回路的磁通量为 11ln 2d 2d 01.11.00πμπμIy x y x I ΦΦS -===?? 回路的电动势为 V 1084.311ln 2d d 11ln 2d d 500-?-=-=-==πμπμεIv t y I t Φ 由于静止的U 形导轨上电动势为零，所以 V 1084.35AB -?-==εε 式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说电动势方向应由B 指向A ，故点A 电势较高。 习题 8-6 一根无限长直导线有交变电流0sin i I t ω=，它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD ，如图所示，长为l 的AB 和CD 两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为a 和b ，试求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。 解 建立如图所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元dS ldx =，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为 02m i d B dS ldx x μφπ=?= 通过矩形面积CDEF 的总磁通量为 0000ln ln sin 222b m a i il I l b b ldx t x a a μμμφωπππ===? 由法拉第电磁感应定律有 00ln cos 2m d I l b t dt a φμωεωπ=- =- 8-7 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n ，在管的中心放置一绕了N 圈，半径为r 的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI dt ，球小 线圈中感应的电动势。 解 无限长直螺线管内部的磁场为 0B nI μ= 通过N 匝圆形小线圈的磁通量为 2 0m NBS N nI r φμπ== 由法拉第电磁感应定律有 20m d dI N n r dt dt φεμπ=- =- 8-8 一面积为S 的小线圈在一单位长度线圈匝数为n ，通过电流为i 的长螺线管内，并与螺线管共轴，若0sin i i t ω=，求小线圈中感生电动势的表达式。 解 通过小线圈的磁通量为 0m BS niS φμ== 由法拉第电磁感应定律有 000cos m d di nS nSi t dt dt φεμμωω=- =-=- 8-9 如图所示，矩形线圈ABCD 放在1 6.010B T -=?的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为60α=?，长为0.20m 的AB 边可左右滑动。若令AB 边以速率 15.0v m s -=?向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。 解 利用动生电动势公式 班级______________学号____________________________ 练习 十七 一、选择题 1． 如图所示，有一边长为1m 的立方体，处于沿y 轴指 向的强度为0.2T 的均匀磁场中，导线a 、b 、c 都以50cm/s 的速度沿图中所示方向运动，则 （ ） (A)导线a 等效非静电性场强的大小为0.1V/m ； (B)导线b 等效非静电性场强的大小为零； (C)导线c 等效非静电性场强的大小为0.2V/m ； (D)导线c 等效非静电性场强的大小为0.1V/m 。 2． 如图所示，导线AB 在均匀磁场中作下列四种运动，（1）垂直于磁场作平动；（2）绕固定端A 作垂直于磁场转动；（3）绕其中心点O 作垂直于磁场转动；（4）绕通过中心点O 的水平轴作平行 于磁场的转动。关于导线AB 的感应电动势哪个结 论是错误的？ （ ） (A)（1）有感应电动势，A 端为高电势； (B)（2）有感应电动势，B 端为高电势； (C)（3）无感应电动势； (D)（4）无感应电动势。 3． 一“探测线圈”由50匝导线组成，截面积S ＝4cm 2，电阻R =25∧。若把探测线圈在磁场中迅速翻转?90，测得通过线圈的电荷量为C 10 45 -?=?q ，则磁感应强度B 的大 小为 （ ） (A)0.01T ； (B)0.05T ； (C)0.1T ； (D)0.5T 。 4． 如图所示，一根长为1m 的细直棒ab ，绕垂直于棒且过其一端a 的轴以每秒2转的角速度旋转，棒的旋转平面垂直于0.5T 的均匀磁场，则在棒的中点，等效非静电性场强的大小和方向为（ ） (A)314V/m ，方向由a 指向b ； (B)6.28 V/m ，方向由a 指向b ； (C)3.14 V/m ，方向由b 指向a ； (D)628 V/m ，方向由b 指向a 。 二、填空题 1． 电阻R ＝2Ω的闭合导体回路置于变化磁场中，通过回路包围面的磁通量与时间的关 系为)Wb (10)285(3 2-?-+=Φt t m ，则在t =2s 至t =3s 的时间，流过回路导体横截面 的感应电荷=i q C 。 （1） （2） （3） （4） 法拉第电磁感应定律 10-1如图10-1所示，一半径a ＝0.10m ，电阻R ＝1.0×10-3Ω的圆形导体回路置于均匀磁场中，磁场方向与 回路面积的法向之间的夹角为π/3，若磁场变化的规律为 T 10)583()(4 2-?++=t t t B 求：（1）t ＝2s 时回路的感应电动势和感应电流； （2）最初2s 通过回路截面的电量。 解：（1）θcos BS S B =?=Φ V 10)86(6.110)86()3 cos(d d cos d d 642--?+?-=?+?-=-=Φ- =t t a t B S t i π πθε s 2=t ，V 102.35 -?-=i ε，A 10210 0.1102.323 5---?-=??-==R I ε 负号表示i ε方向与确定n 的回路方向相反 （2）422 123 112810 3.140.1()[(0)(2)]cos 4.410C 1102 i B B S q R R θ---???=Φ-Φ=-??==??? 10-2如图10-2所示，两个具有相同轴线的导线回路，其平面相互平行。大回路中有电流I ，小的回路在大 的回路上面距离x 处，x >>R ，即I 在小线圈所围面积上产生的磁场可视为是均匀的。若 v dt dx =等速率变化，（1）试确定穿过小回路的磁通量Φ和x 之间的关系；（2）当x ＝NR （N 为一正数），求小回路的感应电动势大小；（3）若v ＞0，确定小回路中感应电流方向。 解：（1）大回路电流I 在轴线上x 处的磁感应强度大小 2 02232 2()IR B R x μ= +，方向竖直向上。 R x >>时，2 03 2IR B x μ= ，22 2 03 2IR r B S BS B r x πμπΦ=?==?= （2）224032i d dx IR r x dt dt πμε-Φ=-=，x NR =时，2024 32i Ir v R N πμε= （3）由楞次定律可知，小线圈中感应电流方向与I 相同。 动生电动势 10-3 一半径为R 的半圆形导线置于磁感应强度为B 的均匀磁场中，该导线以 速度v 沿水平方向向右平动，如图10-3所示，分别采用（1）法拉第电磁感应定律和（2）动生电动势公式求半圆导线中的电动势大小，哪一端电势高？ 解：（1）假想半圆导线在宽为2R 的U 型导轨上滑动，设顺时针方向为回路方向， 在x 处 2 1(2)2m Rx R B π=+Φ，∴22m d dx RB RBv dt dt εΦ=-=-=- 由于静止U 型导轨上电动势为零，所以半圈导线上电动势为 2RBv ε=- 负号表示电动势方向为逆时针，即上端电势高。 图10-2 第十三章 电磁感应 电磁场习题 （一） 教材外习题 电磁感应习题 一、选择题： 1．一块铜板放在磁感应强度正在增大的磁场中时，铜板中出现涡流（感应电流），则涡流将 （A ）加速铜板中磁场的增加 （B ）减缓铜板中磁场的增加 （C ）对磁场不起作用 （D ）使铜板中磁场反向 （ ） 2．在如图所示的装置中，当把原来静止的条形磁铁从螺线管中按图示情况抽出时， （A ）螺线管线圈中感生电流方向如A 点处箭头所示。 （B ）螺线管右端感应呈S 极。 （C ）线框EFGH 从图下方粗箭头方向看去将逆时针旋转。 （D ）线框EFGH 从图下方粗箭头方向看去将顺时针旋转。 （ ） 3．在无限长的载流直导线附近放置一矩形闭合线圈，开始时线圈与导线在同一平面内，且线圈中两条边与导线平行，当线圈以相同的速率作如图所示的三种不同方向的平动时，线圈中的感应电流 （A ）以情况Ⅰ中为最大 （B ）以情况Ⅱ中为最大 （C ）以情况Ⅲ中为最大 （D ）在情况Ⅰ和Ⅱ中相同 （ ） 4．如图所示，一矩形金属线框，以速度v 从无场空间进入一均匀磁场中，然后又从磁场中 出来，到无场空间中。不计线圈的自感，下面哪一条图线正确地表示了线圈中的感应电流对 时间的函数关系？（从线圈刚进入磁场时刻开始计时，I 以顺时针方向为正） 5．如图，一矩形线框（其长边与磁场边界平行）以匀速v 自左侧无场区进入均匀磁场又穿出，进入右侧无场区，试问图（A ）—（E ）中哪一图象能最合适地表示线框中电流i 随时间t 的变化关系？（不计线框自感） （ ） 6．在一个塑料圆筒上紧密地绕有两个完全相同的线圈aa '和bb '，当线圈aa '和bb '如图（1）绕制时其互感系数为M 1，如图（2）绕制时其互感系数为M 2，M 1与M 2的关系是 （A ）M 1 = M 2 ≠ 0 （B ）M 1 = M 2 = 0 （C ）M 1 ≠ M 2，M 2=0 （D ）M 1≠M 2，M 2≠0 （ ） 7．真空中两根很长的相距为2a 的平行直导线与电源组成闭合回路如图。已知导线中的电流强度为I ，则在两导线正中间某点P 处的磁能密度为 （A ）200)2(1a I πμμ （B ）200)2(21 a I πμμ （C ）200)2(21 a I πμμ （D ）0 （ ） 第十三章 电磁感应 一 选择题 3．如图所示，一匀强磁场B 垂直纸面向内，长为L 的导线ab 可以无摩擦地在导轨上滑动，除电阻R 外，其它部分电阻不计，当ab 以匀速v 向右运动时，则外力的大小是： R L B R L B R L B R BL L B 222222222 E. D. 2 C. B. A.v v v v v 解：导线ab 的感应电动势v BL =ε，当 ab 以匀速v 向右运动时，导线ab 受到的外力与安培力是一对平衡力，所以R L B L R B F F v 22===ε 安外。 所以选（D ） 4．一根长度L 的铜棒在均匀磁场B 中以匀角速度ω旋转着，B 的方向垂直铜棒转动的平面，如图，设t = 0时，铜棒与Ob 成θ角，则在任一时刻t 这根铜棒两端之间的感应电动势是：（ ） A. )cos(2θωω+t B L B. t B L ωωcos 2 12 C. )cos(22θωω+t B L D. B L 2ω E. B L 22 1ω 解：???= ==??=L L BL l l B l B )00221d d d ωωεv l B v （ 所以选（E ） 6．半径为R 的圆线圈处于均匀磁场B 中，B 垂直于线圈平面向上。如果磁感应强度为B =3 t 2+2 t +1，则线圈中的感应电场为：（ ） A ． 2π(3 t + 1)R 2 ,顺时针方向； Ｂ． 2π(3 t + 1)R 2 ,逆时针方向； C ． (3 t + 1)R ,顺时针方向； D ． (3 t + 1)R ,逆时针方向； 解：由??? ???-=?S B l E d d i t ，则感应电场的大小满足 选择题4图 选择题3图 v 9-1两个半径分别为R 和r 的同轴圆形线圈相距x ，且R >>r ，x >>R ．若大线圈通有电流I 而小线圈沿x 轴方向以速率v 运动，试求小线圈回路中产生的感应电动势的大小． 解：在轴线上的磁场 () ()2 2 003 3 2 2 2 22IR IR B x R x R x μμ= ≈ >>+ 3 2 202x r IR BS πμφ= = v x r IR dt dx x r IR dt d 4 22042202332πμπμφ ε=--=-= 9-2如图所示，有一弯成θ 角的金属架COD 放在磁场中，磁感强度B ? 的方向垂直于金属架 COD 所在平面．一导体杆MN 垂直于OD 边，并在金属架上以恒定速度v ?向右滑动，v ? 与 MN 垂直．设t =0时，x = 0．求当磁场分布均匀，且B ? 不随时间改变，框架内的感应电动势i ε． 解：12m B S B xy Φ=?=?,θtg x y ?=,vt x = 22212/()/i d dt d Bv t tg dt Bv t tg ε?θθ=-=-=?，电动势方向：由M 指向N 9-3 真空中，一无限长直导线，通有电流I ，一个与之共面的直角三角形线圈ABC 放置在此长直导线右侧。已知AC 边长为b ，且与长直导线平行，BC 边长为a ，如图所示。若线圈以垂直于导线方向的速度v 向右平移，当B 点与直导线的距离为d 时，求线圈ABC 内的感应电动势的大小和方向。 解：当线圈ABC 向右平移时，AB 和AC 边中会产 生动生电动势。当C 点与长直导线的距离为d 时，AC 边所在位置磁感应强度大小为：02() I B a d μπ= + AC 中产生的动生电动势大小为： x r I R x v C D O x M θ B ? v ? 第6章 电磁感应 思考讨论题 1·判断下列情况下可否产生感应电动势，若产生，其方向如何确定？ （1）图8.1a ，在均匀磁场中，线圈从圆形变为椭圆形； （2）图8.1b ，在磁铁产生的磁场中，线圈向右运动； （3）图8.1c ，在磁场中导线段AB 以过中点并与导线垂直的轴旋转； （4）图8.1d ，导线圆环绕着通过圆环直径长直电流转动（二者绝缘）。 解：（1）线圈面积变小，产生顺时针方向的感应电动势（俯视） （2）产生电动势，从左往右看顺时针方向。 （3）产生电动势，由B 指向A 。 （4）不产生电动势。 2·一段导体ab 置于水平面上的两条光滑金属导轨上（设导轨足够长），并以初速 v 0向右运 动，整个装置处于均匀磁场之中（如图8.2所示），在下列两种情况下判断导体ab 最终的运动状态。 解： 图 8.1a 图8.1b O 图8.1c 图8.1d 图8.2a 图8.2b 3·长直螺线管产生的磁场 B 随时间均匀增强， B 的方向垂直于纸面向里。判断如下几种情 况中，给定导体内的感应电动势的方向，并比较各段导体两端的电势高低： （1）图8.3a ，管内外垂直于 B 的平面上绝缘地放置三段导体ab 、cd 和ef ，其中ab 位于 直径位置，cd 位于弦的位置，ef 位于 管外切线的位置。 （2）图8.3b ，在管外共轴地套上一个导体圆环（环面垂直于 B ），但它由两段不同金属材 料的半圆环组成，电阻分别为R 1、R 2，且R R 12>，接点处为a 、b 两点。 解：（1）b a U U =，c d U U >，f e U U > （2）b a U U > 4·今有一木环，将一磁铁以一定的速度插入其中，环中是否有感应电流？是否有感应电动势？如换成一个尺寸完全相同的铝环，又如何？通过两个环的磁通量是否相同？ 解：木环没有感应电流。铝环有感应电流。通过两个环的磁通量相同。 5·两个互相绝缘的圆形线圈如图8.4放置。在什么情况下它们的互感系数最小？当它们的电流同时变化时，是否会有感应电动势产生？ 解：当两者相互垂直放置时，互感系数最小，为0。 此时当电流变化时，没有互感电流。 6·试比较动生电动势和感生电动势（从定义、非静电力、一般表达式等方面分析）。 解：由定义知二者产生的原因不同。 （1）如果外磁场不变，而导体（或回路）的位置、形状等有变化，则产生动生电动势。 （2）如果导体（或回路）都固定不动，只有外磁场在变化，则产生感生电动势。 （3）从物理本质上看，它们都由不同的非静电力产生，前者为洛仑兹力，后者为涡旋电场力。 f 图8.3a b 2 R 1R a 图8.3b 图8.4 电磁感应综合典型例题 【例11电阻为R的矩形线框abed，边长ab=L, ad=h,质量为m 自某一高度自由落下，通过一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁 场区域的宽度为h,如图所示，若线框恰好以恒定速度通过磁场，线 框中产生的焦耳热是 _________ ?（不考虑空气阻力） 【分析】线框通过磁场的过程中，动能不变。根据能的转化和守恒，重力对线框所做的功全部转化为线框中感应电流的电能，最后又全部转化为焦耳热?所以，线框通过磁场过程中产生的焦耳热为 Q=W=mg- 2h=2mgh 【解答1 2mgh 【说明】本题也可以直接从焦耳热公式Q=l2Rt进行推算: 设线框以恒定速度v通过磁场，运动时间 从线框的cd边进入磁场到ab边离开磁场的过程中，因切割磁感 线产生的感应电流的大小为 cd边进入磁场时的电流从d到c, cd边离开磁场后的电流方向从a到b.整个下落过程中磁场对感应电流产生的安培力方向始终向上, 大小恒为 据匀速下落的条件，有 因线框通过磁场的时间，也就是线框中产生电流的时间，所以据 焦耳定律，联立（I ）、（2）、（3）三式，即得线框中产生的焦耳热 为 Q=2mgh 两种解法相比较，由于用能的转化和守恒的观点，只需从全过程 考虑，不需涉及电流的产生等过程，计算更为简捷. 【例2】一个质量m=0.016kg、长L=0.5m,宽d=0.1m、电阻R=0.1 Q的矩形线圈，从离匀强磁场上边缘高h i=5m处由静止自由下落.进 入磁场后，由于受到磁场力的作用，线圈恰能做匀速运动（设整个运 动过程中线框保持平动），测得线圈下边通过磁场的时间△t=0.15s，取g=10m/s，求： （1）匀强磁场的磁感强度B; （2）磁场区域的高度h2； 《大学物理C1(上、下)》练习册及答案 大学物理C（上、下）练习册 ?质点动力学 ?刚体定轴转动 ?静电场电场强度 ?电势静电场中的导体 ?稳恒磁场 ?电磁感应 ?波动、振动 ?光的干涉 ?光的衍射 注：本习题详细答案，结课后由老师发放 一、质点动力学 一、选择题 1. 以下几种运动形式中，加速度a 保持不变的运动是： （A ）单摆的运动； （B ）匀速率圆周运动； （C ）行星的椭圆轨道运动； （D ）抛体运动 。 ［ ］ 2. 质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈．在2T 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为 (A) 2 R /T , 2R/T ． (B) 0 , 2R /T (C) 0 , 0． (D) 2R /T , 0. ［ ］ 3. 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，S 表示路程，a 表示切向加速度，下列表达式中， (1) a t d /d v ， (2) v t r d /d ， (3) v t S d /d ， (4) t a t d /d v ． (A) 只有(1)、(4)是对的． (B) 只有(2)、(4)是对的． (C) 只有(2)是对的． (D) 只有(3)是对的． ［ ］ 4. 一运动质点在某瞬时位于矢径r 的端点处，其速度大小的表达式为 (A )t d dr ； （B ）dt r d ； （C ）dt r d || ； （D ）222dt dz dt dy dt dx ［ ］ 5. 质点作半径为R 的变速圆周运动时的加速度大小为(v 表示任一时刻质点的速率) 习题9 9-1在磁感应强度B 为0、4T 的均匀磁场中放置一圆形回路,回路平面与B 垂直,回路的面积与时间的关系为:S ＝５t 2＋3(cm 2),求t=2s 时回路中感应电动势的大小？ 解:根据法拉第电磁感应定律得 dt d m Φ- =εdt dS B =Bt 10= V 4108-?=ε ９-2 如题9－２图所示,载有电流I 的长直导线附近,放一导体半圆环Ｍe Ｎ与长直导线共面,且端点MN 的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b ,环心O 与导线相距a 、设半圆环以速度ｖ平行导线平移.求半圆环内感应电动势的大小与方向及MN 两端的电压U M -ＵN 、 题９-2 解: 作辅助线MN ,则在MeNM 回路中,沿v 方向运动时0d =m Φ ∴ 0=MeNM ε 即 MN MeN εε= 又∵ ?+-<+-= =b a b a MN b a b a Iv l vB 0ln 2d cos 0πμπε 所以MeN ε沿NeM 方向, 大小为 b a b a Iv -+ln 20πμ M 点电势高于N 点电势,即 b a b a Iv U U N M -+= -ln 20πμ 题9－3 9-３ 如题9-3图所示,在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈、两导线中的电流方向相反、大小相等,且电流以错误!的变化率增大,求: (1)任一时刻线圈内所通过的磁通量; (２)线圈中的感应电动势、 解: 以向外磁通为正则 (1) ]ln [ln π2d π2d π2000d a d b a b Il r l r I r l r I a b b a d d m +-+= -= ?? ++μμμΦ (2) t I b a b d a d l t d d ]ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε 题9-４ 9-４ 如题９-4图所示,长直导线通以电流Ｉ=5 A,在其右方放一长方形线圈,两者共面、线圈长ｂ=0．06 m,宽a ＝0.04 m,线圈以速度v ＝0.0３ m ／s 垂直于直线平移远离、求:d ＝0．05 ｍ时线圈中感应电动势的大小与方向、 解: AB 、CD 运动速度v 方向与磁力线平行,不产生感应电动势. DA 产生电动势 ?==??=A D I vb vBb l B v d 2d )(01πμε BC 产生电动势 ) (π2d )(02d a I vb l B v C B +-=??=? με ∴回路中总感应电动势 8021106.1)11 (π2-?=+-= +=a d d Ibv μεεε V 方向沿顺时针、 9-5 长度为l 的金属杆ａb 以速率v 在导电轨道a ｂｃｄ上平行移动、已知导轨处于均匀磁场Ｂ中,B 的方向与回路的法线成60°角(如题9-5图所示),Ｂ的大小为Ｂ＝kt (k 为正常数)、设t ＝０时杆位于cd 处,求:任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小与方向. 题9－5图 解: ?==?=?=2 22 12160cos d klvt lv kt Blvt S B m Φ ∴ klvt t m -=-=d d Φε 即沿abcd 方向顺时针方向. 第9章 电稳感应和电磁场 习题及答案 1. 通过某回路的磁场与线圈平面垂直指向纸面内，磁通量按以下关系变化： 23(65)10t t Wb -Φ=++?。求2t s =时，回路中感应电动势的大小和方向。 解：310)62(-?+-=Φ -=t dt d ε 当s t 2=时，V 01.0-=ε 由楞次定律知，感应电动势方向为逆时针方向 2. 长度为l 的金属杆ab 以速率υ在导电轨道abcd 上平行移动。已知导轨处于均匀磁场B 中， B 的方向与回路的法线成60°角，如图所示，B 的大小为B =kt (k 为正常数)。 设0=t 时杆位于cd 处，求：任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向。 解：任意时刻通过通过回路面积的磁通量为 202 1 60cos t kl t Bl S d B m υυ==?=Φ 导线回路中感应电动势为 t kl t m υε-=Φ- =d d 方向沿abcda 方向。 3. 如图所示，一边长为a ，总电阻为R 的正方形导体框固定于一空间非均匀磁场中，磁场方向垂直于纸面向外，其大小沿x 方向变化，且)1(x k B +=，0>k 。求： （1）穿过正方形线框的磁通量； （2）当k 随时间t 按t k t k 0)(=(0k 为正值常量)变化时，线框中感生电流的大小和方向。 解：（1）通过正方形线框的磁通量为 ??=?=Φa S Badx S d B 0 ?+=a dx x ak 0)1()2 1 1(2a k a += （2）当t k k 0=时，通过正方形线框的磁通量为 )2 1 1(02a t k a + =Φ 正方形线框中感应电动势的大小为 dt d Φ= ε)2 1 1(02a k a += 正方形线框线框中电流大小为 )2 11(02a R k a R I +==ε ，方向：顺时针方向 4.如图所示，一矩形线圈与载有电流t I I ωcos 0=长直导线共面。设线圈的长为b ，宽为a ； 0=t 时，线圈的AD 边与长直导线重合；线圈以匀速度υ 垂直离开导线。求任一时刻线圈中的感 应电动势的大小。 解：建立图示坐标系，长直导线在右边产生的磁感应强度大小为 x I B πμ20= t 时刻通过线圈平面的磁通量为 ???=ΦS S d B bdx x I a t t ?+=υυπμ20 t a t I b υυπμ+=ln 20 I A B C D b a υ t υ O x 练习（八） 电磁感应 1．半径为a 的圆线圈置于磁感强度为B 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线 圈电阻为R 。当把线圈转动使其法向与B 的夹角?=60α时，线圈中已通过的电量与线圈面积及转动的时间的关系是（ A ） （A ）与线圈面积成正比，与时间无关 （B ）与线圈面积成正比，与时间成正比 （C ）与线圈面积成反比，与时间成正比 （D ）与线圈面积成反比，与时间无关 2．一矩形线框边长为a ，宽为b ，置于均匀磁场中，线框绕OO ′轴以匀角速度ω旋转（如图1所示）。设t =0时，线框平面处于纸面内，则任一时刻感应电动势的大小为（ D ） （A ）2abB ω | cos ωt | （B ）abB ω （C ）2 1 abB ω | cos ωt | （D ）abB ω | cos ωt | （E ）abB ω | sin ωt | 图1 图2 3．面积为S 和2S 的两圆线圈1、2如图放置，通有相同的电流。线圈1的电流产生的通过线圈2的磁通用21?表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通用12?表示，则21?和12?的大小关系为：（ C ） 3题图 4．自感0.25H 的线圈中，当电流在（1/16）s 内由2A 均匀减少到零时，线圈中自感电动势的大小为：(2005级上考题) C （A ）V .3 1087-? （B ）2.0 V （C ）8.0 V （D ）V .2 1013-? 5．两个相距不太远的平面圆线圈，怎样放置可使其互感系数近似为零？设其中一线圈的轴线恰过另一线圈的圆心。C （A ）两线圈的轴线互相平行。 （B ）两线圈的轴线成45°角。 （C ）两线圈的轴线互相垂直。 （D ）两线圈的轴线成30°角。 6．空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表面上沿圆方向均匀地流着一层随时间变化的面电流)(t i ，则 （ B ） （A ）圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场。 （B ）任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零 （C ）沿圆筒外任意闭合环路上磁感应强度的环流不为零。 （D ）沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零。 7．在一自感线圈中通过的电流I 随时间t 的变化规律如图a 所示，若以I 的正方向作为ε 的正方向，则图中代表线圈内自感电动势ε随时间t 变化规律的曲线图是（ D ） 8．用线圈的自感系数L 来表示载流线圈磁场的能量公式2 2 1LI W m = D （A ）只适用于无限长密绕螺线管； （B ）只适用单匝线圈； （C ）只适用一个匝数很多，且密绕的螺线环； （D ）适用于自感系数L 一定的任意线圈。 9．在感应电场中电磁感应定律可写成 φdt d l d E L k -=?? 式中 E k 为感应电场的电场强度， 此式表明：（D ） （A ）闭合曲线 L 上 E k 处处相等， （B ）感应电场是保守力场， （C ）感应电场的电场线不是闭合曲线， （D ）在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念。 第九章 电磁感应 电磁场（一） 一。选择题 [ A ]1. 如图所示，导体棒AB 在均匀磁场B 中 绕通过C 点的 垂直于棒长且沿磁场方向的轴OO ' 转动（角速度ω 与B 同方向）， BC 的长度为棒长的3 1，则 (A) A 点比 B 点电势高． (B) A 点与B 点电势相等． (C) A 点比B 点电势低． (D) 有稳恒电流从A 点流向B 点 【分析】在B O '上取一个长度微元x d ，它离O '点的距离为x ，方 向向B 端。则x d 两端的电势差由动生电动势公式可求得： ()Bxdx vBdx x d B v d i ωε==??= 所以O '、B 两端的电势差为： 230 18 1 BL Bxdx V V L O B ωω= =-?' 同理O '、A 两端的电势差为： 2320 18 4 BL Bxdx V V L O A ωω= =-? ' 所以A 、B 两点的电势差可求得： 26 1 BL V V B A ω=- A 点的电势高。 [ D ]2. 在圆柱形空间有一磁感强度为B 的均匀磁场，如图所示．B 的大小以速率d B /d t 变化．在磁场中有A 、B 两点，其间可放直导线AB 和弯曲的导线AB ，则 (A) 电动势只在导线AB 中产生． (B) 电动势只在AB 导线中产生． (C) 电动势在AB 和AB 中都产生，且两者大小相等． (D) AB 导线中的电动势小于AB 导线中的电动势 【分析】连接oa 与ob ，ob ab ob oab εεεε++=。因为涡旋电场总是与圆柱截面垂直，所以 O A B ?B O O ′ B B A C oa 和ob 上的涡旋电场方向处处垂直于oa 、ob ，即0=?= =? → →l d E ob ob εε oab ob d dB S dt dt φεε==- =- o ab oab d d dt dt ??∴< [ C ]3.面积为S 和2 S 的两圆线圈1、2如图放置，通有相同的电流I ．线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通用Φ21表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的 磁通用Φ12表示，Φ21和Φ12的大小关系为： (A) Φ21 =2Φ12． (B) Φ21 >Φ12． (C) Φ21 =Φ12． (D) Φ21 = 2 1 Φ12． 【分析】由互感系数定义有，，因为，而，所以。 [ D ]4. 在一自感线圈过的电流I 随时间t 的变化规律如图(a)所示，若以I 的正流向作为 的正方向，则代表线圈自感电动势 随时间t 变化规律的曲线应为图(b)中(A)、(B)、(C)、(D)中的哪一个？ 【分析】dt dI L L -=ε，在每一段都是常量。dt dI [ C ]5.真空中两根很长的相距为2a 的平行直导线与电源组成闭合回路如图．已知导线中的电流为I ，则在两导线正中间某点P 处的磁能密度为 (A) 2 00)2( 1 a I πμμ . (B) 2 00)2( 21 a I πμμ . (C) 2 00)(21a I πμμ. (D) 0 . 【分析】两根导线在P 点的磁感应强度方向相同，所以P 点的磁感应强度大小为： 21B B B += t t t t t (b) (a)第八章__电磁感应习题及答案大学物理
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