线性分析在结构方面就是指应力应变曲线刚开始的弹性部分，也就是没有达到应力屈服点的结构分析
非线性分析包括状态非线性，几何非线性，以及材料非线性，状态非线性比如就是钓鱼竿，几何比如就是物体的大变形，材料比如就是塑性材料属性。
2．非线性行为的原因
引起结构非线性的原因很多，主要可分为以下3种类型。
（1）状态变化（包括接触）
许多普通结构表现出一种与状态相关的非线性行为。例如，一根只能拉伸的电缆可能是松弛的，也可能是绷紧的；轴承套可能是接触的，也可能是不接触的；冻土可能是冻结的，也可能是融化的。这些系统的刚度由于系统状态的改变而突然变化。状态改变或许和载荷直接有关（如在电缆情况中），也可能是由某种外部原因引起的（如在冻土中的紊乱热力学条件）。接触是一种很普遍的非线性行为，接触是状态变化非线性类型中一个特殊而重要的子集。（2）几何非线性
结构如果经受大变形，其变化的几何形状可能会引起结构的非线性响应。如图5.2所示的钓鱼杆，在轻微的载荷作用下，会产生很大的变形。随着垂向载荷的增加，杆不断弯曲导致动力臂明显减少，致使杆在较高载荷下刚度不断增加。
（3）材料非线性
非线性的应力-应变关系是结构非线性的常见原因。许多因素可以影响材料的应力-应变性质，包括加载历史（如在弹-塑性响应状况下）、环境状况（如温度）、加载的时间总量（如在蠕变响应状况下）等。
3．非线性结构分析中应注意的问题
（1）牛顿-拉普森方法
ANSYS程序的方程求解器可以通过计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。然而，非线性结构的行为不能直接用这样一系列的线性方程来表示，需要一系列的带校正的线性近似来求解非线性问题。
一种近似的非线性求解是将载荷分成一系列的载荷增量。可以在几个载荷步内或者在一个载荷步的几个子步内施加载荷增量。在每一个增量的求解完成后，继续进行下一个载荷增量之前，程序调整刚度矩阵以反映结构刚度的非线性变化。遗憾的是，纯粹的增量近似不可避免地随着每一个载荷增量积累误差，最终导种结果失去平衡，如图5.3a所示。
ANSYS程序通过使用牛顿-拉普森平衡迭代克服了这种困难，在某个容限范围内，它使每一个载荷增量的末端解都达到平衡收敛。图5.3b描述了在单自由度非线性分析中牛顿-拉普森平衡迭代的使用。在每次求解前，NR方法估算出残差矢量，这个矢量是回复力（对应于单元应力的载荷）和所加载荷的差值。之后，程序使用非平衡载荷进行线性求解，并且核查收敛性。如果不满足收敛准则，则重新估算非平衡载荷，修改刚度矩阵，获得新解，持续这种迭代过程直到问题收敛。
几何非线性分析
随着位移增长，一个有限单元已移动的坐标可以以多种方式改变结构的刚度。一般来说这类问题总是非线性的，需要进行迭代获得一个有效的解。
大应变效应
一个结构的总刚度依赖于它组成单元的方向和刚度。当一个单元的节点经历位移后，那个单元对总体结构刚度的贡献可以以两种方式改变。首先，如果这个单元的形状改变，它的单元刚度将改变，如图5.9a所示；其次，如果这个单元的取向改变，它的单元刚度也将改变，如图5.9b所示。小变形和小应变分析假定位移小到足够使所得到的刚度改变无足轻重。这
种刚度不变假定意味着使用基于最初几何形状的结构刚度进行一次迭代足以计算出小变形分析中的位移。相反，大应变分析说明由单元的形状和取向改变导致的刚度改变。因为刚度受位移影响，且反之亦然，所以在大应变分析中需要多次迭代求解来得到正确的位移。ANSYS 程序通过执行NLGEOM，ON命令来激活大应变效应。对于大多数实体单元（包括所有的大应变和超弹单元），以及部分的壳单元，大应变特性是可用的。
大应变处理对一个单元经历的总应变没有理论限制。然而，应限制应变增量以保持精度。因此，总载荷应当被分成几个较小的载荷步。无论何时（当系统是非保守系统，在模型中有塑性或摩擦，或者有多个大位移解存在时）使用小的载荷增量都具有双重重要性。
材料非线性分析
1．概述
（1）塑性定义
塑性是指在某种给定载荷下，材料产生永久变形的特性，对于大多的工程材料来说，当其内部应力低于比例极限时，应力与应变的关系是线性的。在其应力低于屈服点时，表现为弹性行为。也就是说，当移走载荷时，其应变也完全消失。
由于屈服点和比例极限相差很小，因此在ANSYS程序中，假定它们相同。在应力-应变曲线中，低于屈服点的称为弹性部分，超过屈服点的称为塑性部分，也叫做应变强化部分。塑性分析中考虑了塑性区域的材料特性。
（2）路径相关性
既然塑性是不可恢复的，那么它就与加载历史有关，这类非线性问题叫做与路径相关的或非保守的非线性。
路径相关性是指对一种给定的边界条件，可能有多个正确的解。为了得到真正正确的结果，必须按照系统真正经历的加载过程加载。
（3）率相关性
塑性应变的大小可能是加载速度的函数，如果塑性应变的大小与时间无关，这种塑性叫做率无关的塑性；相反，与应变率有关的塑性叫做率相关的塑性。
大多数材料都有某种程度上的率相关性，但在大多数静力分析中所经历的应变率范围较小，两者的应力-应变曲线差别不大，所以在一般的分析中，总是认为塑性是与率无关的。（4）工程应力、应变与真实的应力、应变
塑性材料的数据一般以拉伸的应力-应变曲线形式给出。材料数据可以是工程应力（P/A0）与工程应变（），也可以是真实应力（P/A）与真实应变（）。
大应变塑性分析中一般采用真实的应力-应变数据，而小应变分析中一般采用工程的应力-应变数据。
（5）激活塑性
当材料中的应力超过屈服点时，塑性被激活，即有塑性应变发生，而屈服应力本身可能是下列某个参数的函数：
l 温度
l 应变率
l 应变历史
l 侧限压力（静水压应力）
l 其他参数
非线性大作业 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
工程结构非线性分析 学院： 姓名： 学号： 指导教师：
目录 1、预应力混凝土梁截面非线性 0 1.1 材料的本构关系 0 1.2 平截面假定 (2) 1.3 预应力筋作用下截面初应变的求解 (3) 2、预应力混凝土梁构件的非线性 (4) 2.1 构件弯曲的一般理论 (4) 2.2 共轭梁分析法 (4) 2.3 预应力钢筋混凝土梁非线性分析的数值法 (5) 3、算例分析 (7) 3.1 试验梁简介 (7) 3.2 截面非线性与构件非线性分析程序编制 (8) 3.3 试验结果验证 (9) 3.4 结果分析 (11) 参考文献 (12) 附录 (13)
作业2：预应力混凝土梁的非线性全过程分析 要求： 1.阐述预应力混凝土梁截面和构件非线性全过程分析的理论背景； 2.编制相应的截面和构件非线性分析程序，给出具体算例分析结果，方法及程序的适用性必须有试验结果的验证。
1、预应力混凝土梁截面非线性 1.1 材料的本构关系 1.1.1 混凝土本构关系 混凝土受压采用Rush 建议的应力—应变曲线，如图1-1所示。 0cu f c σ 图1-1 混凝土受压应力-应变曲线 000[1(1)]n c c c c c c cu f f εεεεεεε ? -- 0≤≤?σ=? ? <≤? 式中c σ——对应于混凝土应变为c ε时的混凝土压应力； c f ——混凝土抗压强度标准值； cu ε——正截面处于非均匀受压时的混凝土极限压应变， 50.0033(50)10cu cu f ε-=--?，当0.0033cu ε>时，取为0.0033； 0ε——受压峰值应变，500.0020.5(50)10cu f ε-=+-?，当00.002ε<时，取为0.002； n ——系数，,1 2(50)60 cu k n f =- -，当 2.0n >时，取为2.0。 为计算方便，混凝土受拉应力-应变曲线采用线性式，如图1-2所示。
有限元非线性计算特点 文章通过几个典型的工程计算模型，分析比较有限元线性与非线性计算结果，阐释了有限元非线性计算的特点及优点。 标签：工程计算；线性；非线性 1 引言 有限元单元法已成为强有力的数值解法来解决工程中遇到的大量问题，其应用范围从固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题，有限元的线性分析已被广泛采用。但对于许多航空工程中遇到的问题，如进气道等，仅仅采用线性求解是不真实的，而采用非线性计算将更符号实际情况。本文借助MSC/NASTRAN有限元分析程序，对于典型的工程计算模型分析比较线性与非线性计算结果，从而给出非线性计算相对于线性计算的优点及特点。 2 有限元非线性计算的特点及优点 为了明确有限元非线性计算结果与线性计算结果的差异，更好的展现有限元非线性计算的特点，本节将借助于有限元分析软件MSC/NASTRAN，对一受外载的矩形薄板根据不同的边界条件，进行非线性及线性静力分析，通过分析比较计算结果，说明有限元非线性静力计算中的一些特点。 2.1 非线性与线性计算结果随载荷的变化 首先，给出薄板尺寸、载荷。 模型尺寸：薄板尺寸为500×500×1.5mm。 载荷：受法向气动压力（pressure），气动压力由小到大变化依次为0.01MPa、0.02MPa、0.04MPa、0.08MPa、0.16MPa。 取薄板中央节点位移、应力及薄板边缘中部节点位移，比较线性计算结果和非线性计算结果。在分别进行有限元线性及非线性分析后，给出位移、应力及支反力结果随载荷的变化曲线。图1、图3、图5分别为采用限元线性计算得到的参考点的位移、应力及支反力变化曲线；图2、图4、图6分别为采用有限元非线性计算得到的参考点的位移、应力及支反力变化曲线。 由圖1、3、5可见，采用线性静力分析后，参考点位移、应力、支反力均随载荷增加而线性增大，位移、应力、支反力与载荷呈明显的线性关系，这是线性静力分析的特点。对于本例，可以预言，在其它条件不变的情况下，计算出一套载荷下的结果，就可以按照线性关系求出压力载荷下的位移、应力及支反力结果。
ANSYS 非线性分析指南(1) 基本过程 第一章结构静力分析 1. 1 结构分析概述 结构分析的定义： 结构分析是有限元分析方法最常用的一个应用领域。结构这个术语是一个广义的概念，它包括土木工程结构，如桥梁和建筑物；汽车结构，如车身、骨架；海洋结构，如船舶结构；航空结构，如飞机机身、机翼等，同时还包括机械零部件，如活塞传动轴等等。 在ANSYS 产品家族中有七种结构分析的类型，结构分析中计算得出的基 本未知量- 节点自由度，是位移；其他的一些未知量，如应变、应力和反力， 可通过节点位移导出。 七种结构分析的类型分别是： a. 静力分析- 用于求解静力载荷作用下结构的位移和应力等。静力分析 包括线性和非线性分析。而非线性分析涉及塑性、应力刚化、大变形、大应变、超弹性、接触面和蠕变，等。 b. 模态分析- 用于计算结构的固有频率和模态。 c. 谐波分析- 用于确定结构在随时间正弦变化的载荷作用下的响应。 d. 瞬态动力分析- 用于计算结构在随时间任意变化的载荷作用下的响应，并且可计及上述提到的静力分析中所有的非线性性质。 e. 谱分析- 是模态分析的应用拓广，用于计算由于响应谱或PSD 输入 随机振动引起的应力和应变。 f. 屈曲分析- 用于计算屈曲载荷和确定屈曲模态，ANSYS 可进行线性特征值和非线性屈曲分析。 g. 显式动力分析- ANSYS/LS-DYNA可用于计算高度非线性动力学和复 杂的接触问题。 除了前面提到的七种分析类型，还有如下特殊的分析应用： ? 断裂力学 ? 复合材料 ? 疲劳分析
? p-Method 结构分析所用的单元：绝大多数的ANSYS 单元类型可用于结构分析。单元类型从简单的杆单元和梁单元一直到较为复杂的层合壳单元和大应变实体单元 1.2 结构线性静力分析 静力分析的定义： 静力分析计算在固定不变的载荷作用下结构的响应。它不考虑惯性和阻尼的影响，如结构受随时间变化载荷的情况。可是静力分析可以计算那些固定不变的惯性载荷对结构的影响，如重力和离心力；以及那些可以近似为等价静力作用的随时间变化载荷，如通常在许多建筑规范中所定义的等价静力风载和地震载荷。 静力分析中的载荷： 静力分析用于计算由那些不包括惯性和阻尼效应的载荷作用于结构或部件上引起的位移、应力、应变和力。固定不变的载荷和响应是一种假定，即假定载荷和结构的响应随时间的变化非常缓慢，静力分析所施加的载荷包括： ? - 外部施加的作用力和压力 ? - 稳态的惯性力如中力和离心力 ? - 位移载荷 ? - 温度载荷 线性静力分析和非线性静力分析 静力分析既可以是线性的也可以是非线性的。非线性静力分析包括所有的非线性类型：大变形、塑性、蠕变、应力刚化、接触、间隙单元、超弹性单元等，本节主要讨论线性静力分析，非线性静力分析在下一节中介绍。 线性静力分析的求解步骤 1 建模 2 施加载荷和边界条件求解 3 结果评价和分析
学院：材料科学与工程学院专业：材料工程 姓名：飞学号：1125 作业： 找出几个所在专业研究领域的重要而且有研究价值的非线性问题及其模型，要求写出相应的模型方程及其所涉及的变量参数涵义，并列举出研究该模型的主要研究现状。（不少于3种） 举例1：材料力学领域的非线性问题 非线性本构和非线性本构复合材料 1.1 研究非线性本构模型的意义 从力学的角度来看，C/SiC复合材料属于准脆性的各向异性材料。以碳纤维、热解碳界面和SiC基体三种典型组分构成的C/SiC复合材料为例，相对于脆性的单质陶瓷，该材料具有较好的韧性。主要原因是在机械载荷作用下，材料内部存在如前所述的基体开裂、界面脱粘和滑移、纤维断裂和拔出等多种能量耗散机制。虽然这些细观损伤模式有别于金属的屈服机理，但是材料表现出类似的弹塑性-损伤力学行为。图1-1为C/SiC复合材料在沿轴向拉伸加卸载条件下的典型应力-应变曲线，从图中可看出：材料的线弹性极限较低，通常为20MPa左右；当应力水平超过弹性极限之后，材料的弹性模量（E0）开始减小，同时产生类似于不可回复的残余应变，卸载-重加载过程中应力-应变曲线形成迟滞环，且迟滞环的宽度随卸载点应力的增大而不断增大。该材料的剪切应力-应变关系也有类似的特征。由此易知，在对C/SiC复合材料的应力-应变关系进行分析描述时，传统的线弹性本构模型已经不再胜任；而如果仅在线弹性范围内使用该材料，则不能充分发挥出材料的力学性能，安全裕度过大，与航空航天器追求减重的目标不符。因此需要充分了解该材料的非线性力学行为，特别是其内部的损伤机理与特性，并为其建立合适的非线性本构模型。
图1-1 C/SiC复合材料的典型拉伸加/卸载应力-应变曲线 建立非线性本构模型的一个重要作用是辅助C/SiC复合材料的结构优化设计。如前所述，目前C/SiC复合材料已经开始逐步在航空航天器结构上使用，轻质、可重复使用等特性有助于提高飞行器的性能，并降低寿命周期内的使用和维护成本，但是这类材料仍然存在造价高的缺点。例如，德国DLR为X-38 V201飞行器提供的全C/SiC复合材料襟翼的尺寸约为1.4m×1.6m，重68公斤，造价高达2千万美元。这是由材料制备工艺的特点决定的。以较为成熟的等温CVI 工艺为例，该工艺具有能够制备出高纯度的基体、可用于一定厚度构件的近尺寸成型等诸多优点，但是为防止沉积的基体太快地封堵预制体孔隙通道，需要在相对缓慢的沉积速率下进行，因此材料的制备周期长，通常需要几周或数百小时的时间，而且化学反应过程中生成的HCl等副产物对设备有腐蚀作用，导致制备成本偏高，限制了材料的推广应用。因此，为C/SiC复合材料建立合适的本构模型，在结构设计阶段将本构模型与商业有限元软件结合，准确计算和结构在不同受载条件下的应力状态并预测其承载能力，有助于结构的优化设计，同时省去或减少大量的试件制备和测试过程，从而降低热结构的研发成本。国内已经对C/SiC 的损伤机理和本构模型开展了一些研究工作。潘文革等人对二维和三维编织C/SiC复合材料在单轴拉伸载荷下的损伤演化进行了试验研究，通过分析声发射事件数和相对能量等参数，发现两种材料的拉伸损伤过程大致分为初始损伤阶段、过渡阶段、损伤加速和快速断裂阶段；杨成鹏等人对二维编织C/SiC复合材料单轴拉伸非线性力学行为进行了试验研究，通过循环加卸载试验方法，获得了材料的残余应变和卸载模量随拉伸应力的变化关系，并建立了基于剪滞理论的细观损伤力学模型；陶永强等人将二维编织结构简化成正交铺层和纤维束波动部分的组合，采用了Curtin和Ahn提出的基体随机开裂、纤维随机断裂的统计分布理论以及体积平均方法，预测了二维编织C/SiC复合材料的应力-应变关系。此
ANSYS结构非线性分析指南连载四--第四章材料非线性分析 (二) (2014-04-27 10:47:15) 转载▼ 标签： it 4.3 超弹性分析 4.3.1 超弹理论 4.3.1.1 超弹的定义 一般工程材料（例如金属）的应力状态由一条弹塑性响应曲线来描述，而超弹性材料存在一个弹性势能函数，该函数是一个应变或变形张量的标量函数，而该标量函数对应变分量的导数就是相应的应力分量。 上式中：[S]＝第二皮奥拉－克希霍夫应力张量 W＝单位体积的应变能函数 [E]＝拉格朗日应变张量 拉格朗日应变可以由下式表达：[E]＝1/2（[C]-I） 其中：[I]是单位矩阵，[C]是有柯西－格林应变张量 其中[F]是变形梯度张量，其表达式为： x：变形后的节点位置矢量 X：初始的节点位置矢量 如果使用主拉伸方向作为变形梯度张量和柯西－格林变形张量的方向，则有： 其中： J=初始位置与最后位置的体积比 材料在第i个方向的拉伸率 在ANSYS程序中，我们假定超弹材料是各向同性的，在每个方向都有完全相同的材料特性，在这种情况下，我们既可以根据应变不变量写出应变能密度函数，也可以根据主拉伸率写出应变能密度函数。 应变不变量是一种与坐标系无关的应变表示法。使用它们就意味着材料被假定是各向同性的。Mooney －Rivlin和Blatz－Ko应变能密度函数都可以用应变不变量表示，应变不变量可以柯西－格林应变张量和主拉伸率表示出来：
一个根据应量不变量写出来的应变能密度函数如下： 为材料常数，上式是两个常数的Mooney－Rivlin应变能密度函数。 超弹材料可以承受十分大的弹性变形，百分之几百的应变是很普遍的，既然是纯弹性应变，因此超弹性材料的变形是保守行为，与加载路径无关。 4.3.1.2 不可压缩缩性 大多数超弹材料，特别是橡胶和橡胶类材料，都是几乎不可压缩的，泊松比接近于0.5，不可压缩材料在静水压力下不产生变形，几乎不可压缩材料的泊松比一般在0.48至0.5之间（不包含0.5），对这些材料，在单元公式中必须考虑不可压缩条件。在ANSYS程序中，不可压缩超弹单元修改了应变能密度函数，在单元中明确地包含了压力自由度。压力自由度使不可压缩条件得到满足，而不降低求解速度。压力自由度是一种内部自由度，被凝聚在单元内部。 4.3.1.3 超弹单元 有三种单元适合于模拟超弹性材料： 不可压缩单元有HYPE56，58，74和158，这些单元适用于模拟橡胶材料。 可压缩单元有HYPER84和86，HYPER84既可以是4节点矩形也可以是8节点矩形单元，这种单元主要用来模拟泡沫材料。 18X族单元(除LIMK和BEAM单元外，包括SHELL181, PLANE182,PLANE183,SOLID185,SOLID186,和SOLID187)。18X族单元消除了体积锁定，既适用于不可压材料，又适用于可压材料。参见《ANSYS Elements Reference》的“Mixed U-P Formulations”。 4.3.2 超弹材料选项 超弹性可用于分析橡胶类材料(elastomers)，这种材料可承受大应变和大位移，但体积改变极微(不可压缩)。这种分析需用到大应变理论[ NLGEOM ,ON]。图4-13是一个例子。 图4-13 超弹性结构 在ANSYS超弹性模型中，材料响应总是假设各向同性和等温性。由于这一假设，应变能势函数按应变不变量来表示。除非明确指出，超弹性材料还假设为几乎或完全不可压缩材料。材料热膨胀也假定为各向同性的。 ANSYS在模拟不可压缩或几乎不可压缩超弹性材料时，应变能势函数有几种选项。这些选项均适用于SHELL181,PLANE182, PLANE183, SOLID185, SOLID186, SOLID187 单元。可以通过TB ,HYPER 命令的 TBOPT参数进入这些选项。
Ansys培训Solidworks培训有限元分析机构运动仿真 Animator动画仿真、CosmosWork有限元分析：强度、安全系数、正应力、撞击掉落测试、机构尺寸优化、频率分析、扭曲分析、疲劳分析、设计情形等。CosmosMotion机构运动仿真：机构零部件的质心加速度、角加速度、瞬时速度、动量、动能等运动几何关系数据并输出数据表格及曲线图等。 COSMOS的详细功能模块 (1)、前、后处理器（GEOSTAR） GEOSTAR是一个在交互图形用户环境中完全结合特征几何造型和前后处理的处理器。作为最直观的前后处理器之一，GEOSTAR解决复杂模型问题很容易。把COSMOS/M的结构、热力、流力、电磁和优化模块加在一起。 (2)、静力分析模块（STAR） 静力分析模块提供了一个完全集成的带有强大静态分析性能的前后处理器，它将在操作环境中即时显示设计过程。 (3)、频率及挫屈分析模块（DSTAR） 使用DSTAR你能确定在真实的操作环境下，你的设计时怎样进行的。它可以评估出自然频率和系统相应的模式形状。DSTAR也能计算挫屈载荷和相关的挫屈问题特征模式形状。 (4)、热效分析模块（HSTAR） 热效分析模块用来分析稳态和瞬态加热条件如对流、传导和辐射问题（二维和三维），计算温度，温度梯度和热流，解算模拟场应用。 (5)、非线性分析模块（NSTAR） 非线性分析模块提供二维和三维非线性静态和动态分析功能，包括大位移，大塑性，超塑性，粘性，蠕变，非线性热力和柱体挫屈分析，也能够研究三维模型交叉曲面的非线性接触问题。 (6)、疲劳分析模块（FSTAR） 疲劳分析模块分析在循环机械和热力载荷的影响下，机构受到的疲劳程度。FSTAR将提示你产品的疲劳周期影响并显示疲劳破坏的断面。疲劳分析模块计
大作业 三 1. 给定初值 0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用程序. 解：Matlab 程序如下： 函数m 文件：fu.m function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end 函数m 文件：dfu.m function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end 用Newton 法求根的通用程序Newton.m clear; x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:');
flag=1; while flag==1 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) while flag==1 sigma=k*eps; x0=sigma; k=k+1; m=0; flag1=1; while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) end end fprintf('最大的sigma 值为：%f\n',sigma); 2．求下列方程的非零根 5130.6651()ln 05130.665114000.0918 x x f x x +?? =-= ?-???解： Matlab 程序为： （1）主程序 clear clc format long x0=765; N=100; errorlim=10^(-5); x=x0-f(x0)/subs(df(),x0); n=1; 第10章 非线性动力有限元法 (1) 10.1 几何非线性问题的有限元法 (2) 10.1.1 几何非线性问题的牛顿迭代法 ........................................................................... 2 10.1.2 典型单元的切线刚度矩阵 ................................................................................. 4 10.2 材料非线性问题的有限元法 (8) 10.2.1 弹/粘塑性问题的基本表达式 .............................................................................. 8 10.2.2 粘塑性应变增量和应力增量 ............................................................................... 9 10.2.3 弹/粘塑性平衡方程 ............................................................................................ 10 10.3 材料非线性问题的动力有限元法 ................................................................................ 11 10.4 应用举例 (14) 10.4.1 粘弹粘塑性动力有限元分析举例 ................................................................... 14 习题.. (15) 第10章 非线性动力有限元法 当机械结构受到较大的外载荷，或受到持续时间较短的冲击载荷作用时，结构会产生过大的变形, 以至于必须考虑结构几何大变形对结构整体刚度及固有频率的影响，即所谓的几何非线性影响。另外, 对于多数非线性动力学问题，还需要考虑材料非线性、接触非线性等方面的影响。 非线性动力学分析求解的基本方程有如下形式 0=-+P I u M (4.141) 式中，Ku u C I += 为粘性效应项，考虑阻尼、粘塑、粘弹等效应。P 为外部激励。 对于考虑各种非线性效应的动力学问题求解，需要对动力学方程进行直接时间积分。即非线性动力有限元分析具有如下特点：（1）问题分析过程需要考虑时间积分效应，不必做模态分析，不必提取固有频率；（2）采用直接积分方法求解非线性动力学方程，需要对时间作积分计算，因此计算量远远大于线性模态动力学方法；（3）非线性动力学分析中可以施加不同类型的载荷，包括结点力、非零位移、单元载荷；（4）在每个时间步上，进行质量、阻尼、及刚度的集成，采用完整矩阵，不涉及质量矩阵的近似；（5）可以同时考虑几何、材料和接触等多种非线性效应。 非线性动力有限元分析程序常采用隐式Hilber-Hughes-Taylor 法进行时间积分运算。这种方法适于模拟非线性结构的动态问题，对于冲击、地震等激发的结构动态响应以及一些由于塑性或粘性阻尼造成的能量耗散，隐式算法特别有效。隐式积分方法需要对刚度矩阵求逆计算，并通过多次迭代求解增量步平衡方程。隐式Hilber-Hughes-Taylor 时间积分算法为无条件稳定，对时间步长没有特别的限制。 采用子空间法也可以对动力学平衡方程作时间积分运算。子空间法是提取模态分析得到的各阶特征模态，并采用与线性模态动力学分析方法相近的分析方式进行求解。对于带有微小非线性效应的问题，如材料小范围进行入屈服、结点转角不大的情况，子空间法效率比进接积分法要高。 有限元法的基本思想及计算步骤 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1）连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2）单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量F x，F y。三个结点共六个结点位移分量可用列 第9章非线性问题的有限单元法 9.1 非线性问题概述 前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。 1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变) 材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。 2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化) 几何非线性是有结构变形的大位移引起的。例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。 3. 状态非线性(接触, 单元死活) 状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。 9.2 非线性有限元问题的求解方法 对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。 1.迭代法 迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。 与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。以平面问题 为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。在求解非线性方程组时，一般采用迭代 法。 2. 牛顿—拉斐逊方法 ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。然而，非线性结构的行为不能直接用这样一系列的线性方程表示。需要一系列的带校正的线性近似来求解非线性问题。 一种近似的非线性救求解是将载荷分成一系列的载荷增量，即逐步递增载荷和平衡迭代。它可以在几个载荷步内或者在一个载荷步的几个子步内施加载荷增量。在每一个增量的 一．何为收敛？在这里我引用一个会员的提问来解释这个问题： Q:结构非线性静力分析经常出现收敛这个词，如：收敛容限，收敛准则，收敛的解，位移收敛检验等，请解释，thanks! A: 个人是这样理解的 谈到收敛总会和稳定性联系在一起， 简单的说，就是在进行求解过程中的一些中间值的误差对于结果的影响的大小，当中间量的误差对于你的数值积分的结果没有产生影响，就说明你的积分方法是稳定的，最终你的 数值积分的结果就会收敛于精确解；当中间量的误差导致数值积分结果与精确解有很大的差别时，就说明你的方法稳定性不好，你的数值积分结果不会收敛于精确解。 我想当你对于稳定性和收敛的概念真正理解后，那些名词对于你来说，并不是问题，力学的问题最终都会和数学联系在一起，建议你看看数值积分方面的教程，学好了数学，力学对于你来说就是a piece of cake。 Q:那么说收不收敛，最终都是因为采用的计算方法和计算参数选取的问题了？ A: 就本人所学的专业来说，很大程度上取决于所采用的算法，我学的是结构工程，举个例子吧 :当在进行结构动力时程分析时，采用的几分方法有线性加速度法，威尔逊－theta法，对于线性加速度法，当时间步长大于周期的0.5倍时，计算结果很可能出现不收敛，而当时间步长小于0.1倍的周期时，才有可能获得稳定的计算结果；而威尔逊－theta法，实质上就是线性加速度法的修正形式，很多实例表明当theta值大于1.37时，这种算法是无条件稳定的。 当然影响计算结果是否收敛的原因有很多，比如初始条件，我所指的仅仅是我所学专业的一个问题的很小的一个方面。 A: 说白了，就是数学。 牵涉到实际的计算问题时，才发现数学实在是太有用了，不过可惜数学实在学得不好。 A: 收敛的问题，就好像你往水里扔一块石头激起的波浪，慢慢会平息下来，这就收敛了。计算的时候就是这样，数据在每次迭代的时候在精确解的周围震荡，最后无限趋向于精确解。我想学过级数的人就应该知道，里面就有个无穷级数的和收敛的问题。 数学真的非常重要，特别是研究做的比较深入以后，有些东西别人没做过，要靠自己推导，有些迭代方法也需要自己证明是否收敛，或者方法的可靠性等等，都需要比较扎实的数学基础。有时候想解决一个问题，却苦于没有数学工具，这让我觉得学校教育应该在现代数学的一些方面多做些介绍，至少应该让人大概知道一个问题应该朝哪个方面去想，就算不懂，学起来也有个方向。 A: 首先说明，我对收敛问题没有做过专门研究2，只是在学习中多次遇到，说说我对收敛的理解，当然，也提出点疑问。 1）收敛问题，是不是可以定义为当前解法中解是不是趋近于真实解的问题。 2）我觉得现在有一种，或者说一类方法，就是求问题数值解的问题。这类问题并不要求或难以求出解析解。对这类问题的一个解决思路是：假设初始解，通过目标函数对初始解进行反馈，调整，从而去接近于真实解或最优解。这类解法有一个重要的问题，就是下一步的解要比当前解更趋近于真实解的问题。我认为这就是收敛问题的由来。 希望大家批评指正！ 三维有限元法计算过程 三维有限元法的计算过程： 1）网格单元剖分； 2）线性插值； 3）单元分析； 4）总体刚度矩阵合成； 5）求解线性方程组等部分组成。 一、偏微分方程对应泛函的极值问题 矿井稳恒电流场分布示意图 主要任务是分析在给定边界条件下，求解稳定电流场的Laplace 方程或Poisson方程的数值解，即三维椭圆型微分方程的边值问题： ) ()((0)(0 )()()(000z z y y x x I F u n u n u F z u z y u y x u x Lu w D ---=???? ?????=+??=??=????+????+????≡ΓΓ+Γδδδγσσσ 上述微分方程边值问题等价于下面泛函的极小值问题： dS U dxdydz fU z U y U x U U J w D ?????Γ+Γ+ΓΩ +-??+??+??=222221 }])()()[(2{][γσσ 二、网格剖分 ∞1 ρi i h ρ......... ... 1、网格单元的类型 图2-5 网格单元类型 2、网格单元剖分原则及其步长选择 因此，网格内的单元剖分应按以下剖分原则 1）、各单元节点（顶点）只能与相邻单元节点（顶点）重合，而 不能成为其它单元内点； 2）、如果求解区域对称，那么单元剖分也应该对称； 3）、在场变化剧烈的区域网格剖分单元要密一些，在场变化平缓 的区域单元密度应小。 4）、网格单元体的大小变化应逐步过渡。 根据上述剖分原则，以x 、y 、z 坐标轴原点o 为中心，分别向x 、y 、z 方向的两侧作对称变步长剖分，距o 越远，步长应越大。常用的变步长方法有： c i x x i i )1(1+=?-?+ c x x i i =??+/1(i ≠0) c x x i i =?-?+1 1 1(i ≠0) 以上各式中c 为常数，1+?i x 、i x ?为同一坐标轴上相邻步长值。以x 方向为例，可知，x 正方向与负方向对称，只相差一负号。若令00=?x ，只要给出距原点最近节点的坐标1x ?，由上式即可求出其它相应的步长i x ?。同理可求得y 、 z 方向上的变步长i y ?、i z ?。 3、网格剖分方法 图2-6 平面内节点编号示意图 1.软件形式： ㈠. SolidWorks的内置形式： ◆COSMOSXpress——只有对一些具有简单载荷和支撑类型的零件的静态分析。 ㈡. SolidWorks的插件形式： ◆COSMOSWorks Designer——对零件或装配体的静态分析。 ◆COSMOSWorks Professional——对零件或装配体的静态、热传导、扭曲、频率、掉落测试、优化、疲劳分析。 ◆COSMOSWorks Advanced Professional——在COSMOSWorks Professional的所有功能上增加了非线性和高级动力学分析。 ㈢. 单独发行形式： ◆COSMOS DesignSTAR——功能与COSMOSWorks Advanced Professional相同。 2.使用FEA的一般步骤： FEA=Finite Element Analysis——是一种工程数值分析工具，但不是唯一的数值分析工具！其它的数值分析工具还有：有限差分法、边界元法、有限体积法… ①建立数学模型——有时，需要修改CAD几何模型以满足网格划分的需要， （即从CAD几何体→FEA几何体），共有下列三法： ▲特征消隐：指合并和消除在分析中认为不重要的几何特征，如外圆角、圆边、标志等。▲理想化：理想化是更具有积极意义的工作，如将一个薄壁模型用一个平面来代理（注：如果选中了“使用中面的壳网格”做为“网格类型”，COSMOSWorks会自动地创建曲面几何体）。▲清除：因为用于划分网格的几何模型必须满足比实体模型更高的要求。如模型中的细长面、多重实体、移动实体及其它质量问题会造成网格划分的困难甚至无法划分网格—这时我们可以使用CAD质量检查工具（即SW菜单: Tools→Check…）来检验问题所在，另外含有非常短的边或面、小的特征也必须清除掉（小特征是指其特征尺寸相对于整个模型尺寸非常小！但如果分析的目的是找出圆角附近的应力分布，那么此时非常小的内部圆角应该被保留）。 ②建立有限元模型——即FEA的预处理部分，包括五个步骤： ▲选择网格种类及定义分析类型（共有静态、热传导、频率…等八种类别）——这时将产生一个FEA算例，左侧浏览器中之算例名称之后的括号里是配置名称； ▲添加材料属性: 材料属性通常从材料库中选择，它不并考虑缺陷和表面条件等因素，与几何模型相比，它有更多的不确定性。 ◇右键单击“实体文件夹”并选择“应用材料到所有”——所有零部件将被赋予相同的材料属性。 ◇右键单击“实体文件夹”下的某个具体零件文件夹并选择“应用材料到所有实体”——某个零件的所有实体(多实体)将被赋予指定的材料属性。 ◇右键单击“实体文件夹”下具体零件的某个“Body”并选择“应用材料到实体”——只有 课程设计 课程名称：数值分析 设计题目：数值计算大作业 学号：S315070064 姓名：刘峰 完成时间：2015年10月25日 题目一、非线性方程求根 1.题目 假设人口随时间和当时人口数目成比例连续增长，在此假设下人口在短期内的增长建立数学模型。 （1）如果令()N t 表示在t 时刻的人口数目，β表示固定的人口出生率，则人口数目满足微分方程 () ()dN t N t dt β=，此方程的解为0()=t N t N e β； （2）如果允许移民移入且速率为恒定的v ，则微分方程变成() ()dN t N t v dt β=+， 此方程的解为0()=+ (1)t t v N t N e e βββ -； 假设某地区初始有1000000人，在第一年有435000人移入，又假设在第一年年底该地区人口数量1564000人，试通过下面的方程确定人口出生率β，精确到410-；且通过这个数值来预测第二年年末的人口数，假设移民速度v 保持不变。 435000 1564000=1000000(1)e e βββ + - 2.数学原理 采用牛顿迭代法，牛顿迭代法的数学原理是，对于方程0)(=x f ，如果)(x f 是线性函数，则它的求根是很容易的，牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程0)(=x f 逐步归结为某种线性方程来求解。 设已知方程0)(=x f 有近似根k x (假定0)(≠'x f )，将函数)(x f 在点k x 进行泰 勒展开，有 . ))(()()(???+-'+≈k k k x x x f x f x f 于是方程0)(=x f 可近似地表示为 ))(()(=-'+k k x x x f x f 这是个线性方程，记其根为1k x +，则1k x +的计算公式为 )() (1k k k k x f x f x x '- ==+，,,2,1,0???=k 第一章实体建模 第一节基本知识 建模在ANSYS系统中包括广义与狭义两层含义，广义模型包括实体模型和在载荷与边界条件下的有限元模型，狭义则仅仅指建立的实体模型与有限元模型。建模的最终目的是获得正确的有限元网格模型，保证网格具有合理的单元形状，单元大小密度分布合理，以便施加边界条件和载荷，保证变形后仍具有合理的单元形状，场量分布描述清晰等。 一、实体造型简介 1．建立实体模型的两种途径 ①利用ANSYS自带的实体建模功能创建实体建模： ②利用ANSYS与其他软件接口导入其他二维或三维软件所建立的实体模型。 2．实体建模的三种方式 (1)自底向上的实体建模 由建立最低图元对象的点到最高图元对象的体，即先定义实体各顶点的关键点，再通过关键点连成线，然后由线组合成面，最后由面组合成体。 (2)自顶向下的实体建模 直接建立最高图元对象，其对应的较低图元面、线和关键点同时被创建。 (3)混合法自底向上和自顶向下的实体建模 可根据个人习惯采用混合法建模，但应该考虑要获得什么样的有限元模型，即在网格划分时采用自由网格划分或映射网格划分。自由网格划分时，实体模型的建立比较1e单，只要所有的面或体能接合成一体就可以：映射网格划分时，平面结构一定要四边形或三边形的面相接而成。 二、ANSYS的坐标系 ANSYS为用户提供了以下几种坐标系，每种都有其特定的用途。 ①全局坐标系与局部坐标系：用于定位几何对象(如节点、关键点等)的空间位置。 ②显示坐标系：定义了列出或显示几何对象的系统。 ③节点坐标系：定义每个节点的自由度方向和节点结果数据的方向。 ④单元坐标系：确定材料特性主轴和单元结果数据的方向。 1．全局坐标系 全局坐标系和局部坐标系是用来定位几何体。在默认状态下，建模操作时使用的坐标系是全局坐标系即笛卡尔坐标系。总体坐标系是一个绝对的参考系。ANSYS提供了4种全局坐标系：笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系、Y-柱坐标系。4种全局坐标系有相同的原点，且遵循右手定则，它们的坐标系识别号分别为：0是笛卡尔坐标系(cartesian)，1是柱坐标系 (Cyliadrical)，2是球坐标系(Spherical)，5是Y-柱坐标系(Y-aylindrical)，如图2-1所示。 1. For the following dynamical systems 1）'' 30x x x ++= 2）' '2(1),(1)3x x x xy y y y xy =--=-- a) Find all fixed points and classify them. b) Sketch the phase space portrait. Solution for 1）：'' 3 0x x x ++= Set 121 ,y x y y '==. Then, the equation becomes to ， 1 23 2 11y y y y y '=??'=--? Set vector variable z, we can write ()z f z =, where 12y z y ?? =???? 213211()y y f z f y y y ????==????--???? There is only fixed point 00z ?? =???? The Jacobian matrix 2 10 1310Df y ??=??--?? Jacobian matrix for linearized system at the fixed point, () 0110Df y ?? =?? -?? Eigenvalues for this system are 12i λ=±, so they have zero real part and the method of linearization cannot decide about the stability. – 12 – 现代物业?新建设 2012年第11卷第5期 （1） 式中：[M]、[C]、[K]分别为桥梁结构的质量、阻尼、刚度矩阵； 、 和δ分别为桥梁结构的加速度、速度和位移向量；F为作用于桥梁空间梁单元的力向量。 求桥梁自振特性时，阻尼影响不大，一般不考虑其影响。令[C]=0、{F}=0,则得到其无阻尼自振方程， 即 （2）式(2)具有非零解的条件为: （3） 式中：[M]、[K]含义同式子（1），ω2为振型的特征值(自振频率)。式（2）的特征方程(频率方程)为: （4） 式中：[M]、[K]含义同式子（1），ωn 2为第n 阶振型的特征值（自振频率）；δn 为第n 阶振型向量，即主振型（模态）。对于式（3）求解广义特征值问题求解方法比较多，常用的有Lanczos向量迭代法、逆迭代法、Rayleigh- Ritz 法、Jacobi（雅可比）法、Ritz向量迭代法、子空间迭代法等。 ０ 前言 斜拉桥发展至今已有四十多年的历史，斜拉桥的主跨跨径也不断增大。目前，世界著名海峡正准备建造主跨1,300～3,000m的斜拉桥。斜拉桥具有外观轻巧、跨度大、结构性能好、施工简便等优点，在国内外得到迅速发展。斜拉桥的动力特性是其结构动力分析及设计的前提,结构的动力特性取决于结构的组成体系、刚度、质量和支承条件等。因此建立一种理想的大跨度斜拉桥动力分析模型，并进行动力分析，掌握其特性，具有十分重要的意义。 1 分析方法及原理 桥梁结构的振动特性主要取决于其各阶自振频率和主振型等。自振频率首先是表征结构刚性的指标，同时也是判断结构在动力作用下是否会发生车桥共振的依据。桥梁的动力方程可写为： 现代建设 Modern Construction 独塔斜拉桥非线性动力特性有限元分析 何军拥 （广东工贸职业技术学院，广州 广东 510510） 摘 要：自振频率是评价桥梁动力性能的重要依据。结合某斜拉桥工程设计实例，考虑结构的非线性，采用大型有限元分析程序ANSYS建立三维有限元模型。以等效弹性模量法模拟拉索，利用主从约束模拟塔梁的连接及边墩、辅助墩与主梁的连接；主塔与主梁之间设纵向阻尼器，模拟纵向漂浮体系，对模型进行动力分析，其分析结果为桥梁维修和养护提供参考意见。 关键词：独塔斜拉桥；ANSYS；动力特性 中图分类号：U448.41 文献标识码：A 文章编号：1671-8089（2012）05-0012-03 Finite Element Analysis of Nonlinear Dynamic Characteristics of Single Pylon Cable-Stayed Bridge HE Jun-yong (Guangdong College of Industry and Commerce, Guangzhou 510510) Abstract: Natural frequencies are critical bases to evaluate the dynamic performance of bridges. This paper takes a large cable-stayed bridge as an example and a ? nite element computing model is set up for this bridge based on software ANSYS, which is to carry out modal analysis and get relevant modal parameters. The equivalent elastic modulus method is applied to analog cable modulus. The master-slave constraint is used to analog tower and beam connections, the side piers, auxiliary pier and beam connection, and longitudinal damper located between the main beam and the main tower, to simulate vertical ? oat system. The results may be used as reference in bridge inspection etc. Keywords: Single pylon cable-stayed bridges; ANSYS; Dynamic behavior [作者简介] 何军拥（1971- ），男，湖南邵阳人，硕士，广东工 贸职业技术学院，副教授，高工，主要研究方向：工程力学、材料工程。第10章(非线性有限元) (1)分解
有限元法的基本思想及计算 步骤
第9章 非线性问题的有限单元法
非线性收敛判断
三维有限元法计算过程
solidworks进行有限元分析的一般步骤
数值计算大作业——刘剖析
ANSYS 有限元分析基本流程
非线性分析作业第2次(硕士博士非线性分析)
独塔斜拉桥非线性动力特性有限元分析
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