（一）数列通项公式的求法 8.(1)和型: )(1n f a a n n =++
基本思路是，由)(1n f a a n n =++得)1(21+=+++n f a a n n ，相减，得奇数项成等差，偶数项成等
差，分别求奇数项通项，偶数项通项。
例如：数列{}n a 中相邻两项n a ，1+n a 是方程032=++n b nx x 的两根，已知1710-=a ，则51b =____．
(2)积型：)(1n f a a n n =?+
基本思路是，由)(1n f a a n n =?+，得)1(21+=?++n f a a n n ，两式相除，得奇数项成等比，偶数项成等比，分别求奇数项通项，偶数项通项，做法与“商型”相乘的思路相反．
例如：已知数列}{n a 中，11=a ，n
n n a a )2
1(1=?+，则数列}{n a 的通项公式为________．
特别地：
(1)如果数列}{n a 从第2项起的每一项与前一项的和为定值，则此数列}{n a 为等和数列。
递推公式为：???=+=+c a a a
a n n 1
1 （c 为常数），则n n a a =+2．即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶
数项也相等．
(2)如果数列}{n b 从第2项起的每一项与前一项的积为定值，则此数列}{n b 为等积数列。
递推公式为：???=?=+p b b b
b n
n 11 （p 为常数），则n n a a =+2，即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶
数项也相等．
9.周期型
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例如：已知数列}{n a 满足)(1
33,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则56a =______.
10.取对数法
形如r
n n pa a =+1，一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。 例如.设正项数列{}n a 满足11=a ，212-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.
11.换元法：适用于含有根式递推关系式
类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。
例如.已知数列}{n a 中，111
(14116
n n a a a +=++=，，求数列}{n a 的通项公式.
练习：
1.数列{}n a 满足01=a ，n a a n n 21=++，则数列{}n a 的通项公式为_________.
2.数列{}n a 中，若31=a ，)(*1N n a a n n ∈=+，则数列{}n a 的通项公式=n a ________.
3.若数列{}n a 满足???
????
<≤-≤≤=+)
121(,12)210(,21
n n n n n a a a a a ，若761=a ，则2014a 的值为___________。
4.在数列}{n a 中，12211,5,n n n a a a a a ++===-，则1998a 的值为___________。
5.已知数列}{n a 满足：11=a ，543221+++=+n n a a n n ，则数列{}n a 的通项公式=n a ________.
总结：形如)001(21≠≠+++=+a p c bn an pa a n n ，，解法： 利用待定系数法构造等比数列，令2
21(1)(1)()n n a x n y n c p a xn yn c ++++++=+++，
与已知递推式比较，解出y x ,,z.从而转化为
{}2n
a
xn yn c +++是公比为p 的等比数列。
6.已知数列}{n a 满足：11=a ，3221++=-n n n a a ，则数列{}n a 的通项公式=n a ________.
7.已知数列}{n a 满足：21=a ，*
N n ∈?，0>n a ， 且0)1(2
112=-++++n n n n na a a a n ，则数列{}n a
的通项公式=n a ________.
总结：当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得a n . 8.已知在各项均不为零的数列}{n a 中，11=a ，)(02*
11N n a a a a n n n n ∈=-+++. （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 满足1+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .
总结：数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式两边同乘以
,11-n n a a 先求出.,1
n n
a a 再求得
9.已知数列}{n a 满足2
2221
3221n
a a a a n n =
++++- ，*N n ∈. （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设n n a n b )12(-=，求数列}{n b 的前项和n S .
10.已知数列}{n a 满足：11=a ，2
1
41+=++n a a n n ，*N n ∈. （Ⅰ）证明数列}{12-n a 为等差数列；
（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式及其前n 项和n S .
11.已知数列}{n a 满足：c a =1，)1(12*1N n c a a n n ∈≠+=+，，记数列}{n a 的前n 项和为n S .
（Ⅰ）令1-=n n a b ，证明：数列}{n b 是等比数列；
（Ⅱ）求最小的实数c ，使得对任意*
N n ∈，都有3≥n S 成立.
（一）数列通项公式的求法 8.(1)和型: )(1n f a a n n =++
基本思路是，由)(1n f a a n n =++得)1(21+=+++n f a a n n ，相减，得奇数项成等差，偶数项成等
差，分别求奇数项通项，偶数项通项。
例如：数列{}n a 中相邻两项n a ，1+n a 是方程032=++n b nx x 的两根，
已知1710-=a ，则51b =____． 分析：由题意：n a +n a n 31-=+ ①，得： 1+n a +)1(32+-=+n a n ②，
②—①：32-=-+n n a a ．
所以该数列的所有的奇数项成等差，所有的偶数项也成等差，公差都为-3．
(2)积型：)(1n f a a n n =?+
基本思路是，由)(1n f a a n n =?+，得)1(21+=?++n f a a n n ，两式相除，得奇数项成等比，偶数项成等比，分别求奇数项通项，偶数项通项，做法与“商型”相乘的思路相反．
例如：已知数列}{n a 中，11=a ，n
n n a a )2
1(1=?+，求数列}{n a 的通项公式．
特别地：
(1)如果数列}{n a 从第2项起的每一项与前一项的和为定值，则此数列}{n a 为等和数列。 递推公式为：??
?=+=+c
a a a
a n n 11 （c 为常数），则n n a a =+2．即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶
数项也相等．
(2)如果数列}{n b 从第2项起的每一项与前一项的积为定值，则此数列}{n b 为等积数列。
递推公式为：???=?=+p b b b
b n
n 11 （p 为常数），则n n a a =+2，即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶
数项也相等．
9.周期型
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例如：已知数列}{n a 满足)(1
33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=
=+，则56a =______.
10.取对数法
形如r
n n pa a =+1，一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。 例如.设正项数列{}n a 满足11=a ，212-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.
解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n n a a ，设1log 2+=n a
n b ， 则12-=n n b b ，{}n b 是以2为公比的等比数列，11log 1
21=+=b .
11221--=?=n n n b ，122
1log -=+n a n
，12log 12-=-n a n ， ∴1
21
2--=n n a
11.换元法：适用于含有根式递推关系式
类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。
例如.已知数列}{n a 中，111
(14116
n n a a a +=
++=，，求数列}{n a 的通项公式.
解法： 令n b =21(1)24
n n a b =
-，代入得22
14(3)n
n b b +=+，
则123n n b b +=+，即11322n n b b +=
+，可化为11
3(3)2
n n b b +-=-，
所以{3}n b -是以13332b -===为首项，以
2
1
为公比的等比数列，
因此12
1132()()22n n n b ---==，
21()32n -=+，得2111
()()3423
n n n a =++。
评注：n b ，使得所给递推关系式转化113
22
n n b b +=
+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
练习：
1.数列{}n a 满足01=a ，n a a n n 21=++，则数列{}n a 的通项公式为_________.
2.数列{}n a 中，若31=a ，)(*1N n a a n n ∈=+，则数列{}n a 的通项公式=n a ________.
3.若数列{}n a 满足???
????
<≤-≤≤=+)
121(,12)210(,21
n n n n n a a a a a ，若761=a ，则2014a 的值为___________。
4.在数列}{n a 中，.19981221,,5,1a a a a a a n n n 求-===++.
解：由条件,)(11123n n n n n n n a a a a a a a -=--=-=+++++
即,,363n n n n n a a a a a =-=∴-=+++即每间隔6项循环一次.1998=6×333，∴.461998-==a a 结论：数列有形如0),(12=++n n n a a a f ，的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构
成循环关系而求出.n a
5.已知数列}{n a 满足：11=a ，543221+++=+n n a a n n ，则数列{}n a 的通项公式=n a ________.
总结：形如)001(21≠≠+++=+a p c bn an pa a n n ，， 解法：利用待定系数法构造等比数列，令2
21(1)(1)()n n a x n y n c p a xn yn c ++++++=+++，
与已知递推式比较，解出y x ,,z.从而转化为
{}2n
a
xn yn c +++是公比为p 的等比数列。
6.已知数列}{n a 满足：11=a ，3221++=-n n n a a ，则数列{}n a 的通项公式=n a ________.
7.已知数列}{n a 满足：21=a ，*
N n ∈?，0>n a ， 且0)1(2
112=-++++n n n n na a a a n ，则数列{}n a
的通项公式=n a ________.
总结：当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得a n . 8.已知在各项均不为零的数列}{n a 中，11=a ，)(02*
11N n a a a a n n n n ∈=-+++. （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 满足1+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .
总结：数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式两边同乘以
,11-n n a a 先求出.,1
n n
a a 再求得 9.已知数列}{n a 满足2
2221
3221n a a a a n n =
++++- ，*
N n ∈. （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设n n a n b )12(-=，求数列}{n b 的前项和n S .
10.已知数列}{n a 满足：11=a ，2
1
41+=++n a a n n ，*N n ∈. （Ⅰ）证明数列}{12-n a 为等差数列；
（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式及其前n 项和n S .
11.已知数列}{n a 满足：c a =1，)1(12*1N n c a a n n ∈≠+=+，，记数列}{n a 的前n 项和为n S .
（Ⅰ）令1-=n n a b ，证明：数列}{n b 是等比数列；
（Ⅱ）求最小的实数c ，使得对任意*N n ∈，都有3≥n S 成立.
利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的
数列的通项公式与求和 112342421 {},1(1,2,3,)3 (1),,{}.(2)n n n n n n a n S a a S n a a a a a a a +===+++L L 数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求 1112 {},1(1,2,).:(1){ };(2)4n n n n n n n n a n S a a S n n S n S a +++== ==L 数列的前项和记为已知，证明数列是等比数列 *121 {}(1)()3 (1),; (2):{}. n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列 11211 {},,.2n n n n a a a a a n n +==++ 已知数列满足求 练习1 练习2 练习3 练习4
112{},,,.31n n n n n a a a a a n += =+ 已知数列满足求 1 11511{},,().632n n n n n a a a a a ++==+ 已知数列中,求 1 11{}:1,{}. 31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式 练习8 等比数列 {}n a 的前n 项和S ｎ ＝2ｎ －１，则 2 232221n a a a a ++++Λ 练习9 求和：5，55，555，5555，…，5(101)9n -，…； 练习5 练习6 练习7
练习10 求和： 111 1447(32)(31) n n +++ ??-?+ L 练习11 求和： 111 1 12123123n ++++= +++++++ L L 练习12 设{} n a 是等差数列， {} n b 是各项都为正数的等比数列，且11 1 a b == ，35 21 a b += ， 5313 a b += （Ⅰ）求{} n a ， {} n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列 n n a b ?? ?? ??的前n项和n S．
数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 二、典例讲解 1．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和 为n B ，求证：21 ③．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 112 13-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中， 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数）， 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的 逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++ 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+ 数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++， 求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； 高考专题—数列求和放缩法 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，1 3n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-，13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=* ()n N ∈，求数 列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++* ()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足2 11=a ，n a a n n 21+=+，* ()n N ∈求 数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2 51n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可得数列 λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{} n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列 {}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-* ()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数 列。 例：已知数列{}n a 满足11a =，122 n n n a a a += +*()n N ∈， 求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已 知 数 列 {} n a 满 足 11 a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， * ()n N ∈，求数列{}n a 的 通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{} n b （0n b ≠* n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b =求数列{}n c 的通 项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ=-++11，即数列? ? ????n n p a 为以p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数 列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1 15 5+++=n n n a a ，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的 前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2232221n a a a a ++++Λ. 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 232 1 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 2 1 )12(+ +=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求ο ο ο ο 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2+???+++ο 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设n n n b a c = ，求数列}{n c 的前n 项和n T . 类型五：裂项相消法 例.已知数列}{n a 中，) 2(1 += n n a n ，求n S . 1.求数列 1 1 ,,321,211++???++n n 的前n 项和. 2.在数列}{n a 中，1 1211++???++++=n n n n a n ， 又1 2 +?=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项的和. 3.求和 求数列的通项与求和作业 1.已知数列}{n a 的首项11=a （1）若12n n a a +=+，则n a =__________； （2）若12n n a a +=，则n a =_________ 1 11{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式 (1) 求数列 4的通项公式； 1 a a 1 (2) 若a ，设b n n 丄，且数列b n 的前n 项和为「，求证：人 3 1 a n 1 a n i 3 n 1 a 2、已知数列 q 的前n 项和s n -，且a 1 1. 2 (1) 求数列耳的通项公式； (2) 令b n ln a n ，是否存在k (k 2,k N)，使得b k 、b k 1、b k 2成等比数列.若存在, 值；若不存在，请说明理由. 3、已知a n 是等差数列，a 2 3, a 3 5. ⑴求数列a n 的通项公式; 4、设数列a n 的前n 项和为S n ,且满足a 1 2, a . 1⑵对一切正整数n ，设b n n (1) n a n a n 1 ，求数列 b n 的前n 项和S n . 求出所有符合条件的 k 2S n 2 n 1,2,3L (1)求 a 2 ； (2)数列a n 的通项公式; 5、对于任意的n € N*，数列｛a n ｝满足 (I )求数列｛a n ｝的通项公式； (n )求证：对于 n 》2,—— a ? a a i 1 a 2 2 , a n n -1 .2 L n 1 2 1 2 1 2 1 L 2 1 J a n 1 2n 2 6、已知各项均为正数的数列 ｛a n ｝的前n 项和为S n 满足4S n a n 2a n ?(3)设 b n a n 1 S n i S n ,求证: b i b 2 b n (1)求a i 的值; (2)求｛a .｝的通项公式; 1 (1)求证：数列｛」｝是等差数列; a n 1 2 (2)求证：丄色更鱼L n 1 a 2 a 3 a ° (3)求证: 1 ~2 a i 1 ~2 a 2 a n ^,n N 2 7、已知数列耳满足a 1 2，a n 1a n 细1 1 0，" N 8已知首项大于0的等差数列 a n ｝的公差d 1，且二 a n a n 1 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((112 2 2 22 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ 第三讲（数列三） 本讲主要内容：数列通项和前n 项和 第一部分：旧知识复习 ①（（ 2.右的第三个数位________________ 【知识笔记】： ② 叠加法3.已知数列{}n a 满足* 132() n n a a n n N +=++∈，且12a =，求n a _____ 【知识笔记】： ４.已知数列{}n a 中，*112,2()n n n a a a n N +==+∈，求n a ______________ 5.在数列{}n a 中，121,2,a a ==且11(1)(2,0)n n n a q a qa n q +-=+-≥≠ （1）设 * 1()n n n b a a n N +=-∈，证明：{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式。 【知识笔记】： ③ ____ 7. ④*)N ， 9. ⑤ 倒数法 10.数列{}n a 中，1121,2n n n a a a a +== +，求n a _________ 【知识笔记】： 11.已知数列{}n a 中，1111,21 n n n S a S S --== +，求通项公式______________ ⑥ 构造辅助数列 12.已知数列{}n a 满足1111,12 n n a a a +==+ ，求其通项公式 【知识笔记】： 13.在数列{}n a 中，*112,431,n n a a a n n N +==-+∈，求n a ______________ 14. (①的n S ② 2x 图 ③ 令 （n n n 【知识笔记】： ④ 倒序相加法 18.已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，求 1 2 1231 ...n n n n n n n S C a C a C a C a +=++++ 【知识笔记】： 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证 .2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数 bx a x f 211 )(?+= ，若5 4)1(= f ，且 )(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证： .2 1 21)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(22 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ. 例4 已知222121n a a a +++=L ，222 121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++Λ2 211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+++ +n n Λ 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 1211 1,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L ） 例8 已知不等式 21111 [log ],,2232 n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,] [log 222≥+ 数列的通项公式与求和 1 练习1数列佝｝的前n项为S n，且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,) 3 (1) 求a2,a3, a4B值及数列｛a n｝的通项公式. (2) 求a2a4一-玄 n ■ 2 练习2 数列｛a n｝的前n项和记为S n，已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)?证明: n (1) 数列｛§L｝是等比数列； n (2) S n 1 = 4a n 1 * 练习3 已知数列｛a n｝的前n项为S n，S n = —@n -1)(门，N ) 3 (1)求耳忌 ⑵求证：数列｛a n｝是等比数列. 1 1 已知数列｛a n ｝满足 @ = — ,a n1 =a n ? - ,求a n . 2 n +n 练习5 已知数列 ｛an ｝ 满足?岭…&an,求歸 5 1 1 n * 练习6已知数列?｝中,印 ,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2 练习7已知数列｛a n ｝满足:a n 色^ , a , =1,求数列｛a n ｝的通项公式 3色」+1 ｛ ｝ 2 十2十2+…十2 等比数列 ｛a n ｝ 的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2 a 3 a n 5 (10n -1) 练习 9 求和：5, 55, 555, 5555，…，9 练习4 练习 练习10 求和： + +… + 1 4 4 7 (3n - 2) (3n 1) ’ 1 1 1 1 练习11 求和： 1 2 12 3 12 3 n 练习12 设 ｛a n ｝ 是等差数列， ｛b n ｝ 是各项都为正数的等比数列，且 = b^=1 , fa 1 a 5 b 3 =13 (I)求 ｛a n ｝ , ｛ b n ｝ 的通项公式；(H)求数列? 的前门项和S n . Sb = 21 高考数学数列放缩法技巧全汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n高中数列放缩法技巧大全
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