关于《指数函数和对数函数》的教学分析
函数是贯穿中学数学的核心内容,本章继第二章学习完函数概念和基本性质后,较为系统地研究最重要的两个基本初等函数：指数函数和对数函数.通过这些函数的研究,使学生进一步理解到函数是刻画现实世界变化规律的重要模型,是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型.并要求结合实际问题,感受使用函数概念建立模型的过程与方法.
一、课程标准要求
（1）指数函数
①通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。
②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参见例2）。
（2）对数函数
①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.
②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
③知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x互为反函数（a > 0, a≠1）.
二、教学目标
1．知识与技能
⑴理解有理指数幂的含义，了解无理指数幂及实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
⑵了解指数函数模型的实际背景.
⑶理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性和特殊点.
⑷在解决实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型.
⑸理解对数的概念及其性质,知道能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数.
⑹了解对数的发展历史以及简化运算的作用.
⑺了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型.
⑻能够画出具体的对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点.
⑼了解反函数的定义,知道指数函数x
y a =与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.
⑽掌握幂函数、指数函数和对数函数的变化特点，会区别它们变化的速度的不同.
2. 过程与方法
⑴在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，引入有理指数幂及其运算性质，进一步体会用“有理数逼近有理数”的思想，并且能够让学生利用计算器或计算机实行实际操作，感受“逼近”过程.
⑵通过具体的指数函数图象，由特殊到一般地研究指数函数的性质.
⑶通过对数与指数之间的关系，理解对数概念，并根据指数与对数的关系及指数的运算性质推出对数的运算性质.
⑷通过具体实例引入一类新的基本函数——对数函数，并由对数函数的图象研究对数函数的性质，并通过类比指数函数，加深对对数函数的理解.
⑸借助函数图象，研究直线上升、指数增长以及对数增长与实际生活的联系.
3.情感、态度、价值观
⑴在从整数指数幂到有理数指数幂再到实数指数幂的推广过程中，以及指数函数和对数函数等内容的学习过程中，体会事物从特殊到一般，从低级到高级的发展规律，树立辨证唯物主义观点，养成实事求是的科学态度，培养科学的思维方式.
⑵在利用本章知识在解决实际问题的过程中，理解到知识来源于生活并最终服务于生活，提升学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心.
⑶本章内容蕴涵了很多数学思想方法，如归纳的思想、数形结合的思想、类比的思想等，通过这些思想方法在具体问题中的使用，体会这些数学思想方法，培养学生更加开阔的数学视野，逐步理解数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义.
⑷通过实例，提升解决实际问题的水平，发挥个人的水平，构建数学模型，养成独立思考问题的水平.
三、 知识结构与教学安排
1. 知识结构与教学顺序
2. 课时安排
本章教学时间约需要16课时，具体分配如下：
§1 正整数指数函数 2课时
§2 指数扩充及其运算性质 3课时
2．1 指数概念的扩充
2．2 指数运算的性质
§3 指数函数 3课时
3．1指数函数的概念
3．2指数函数2x y =和1()2x
y =的图像和性质
3．3 指数函数的图像和性质
§4 对数 3课时
4．1 对数及其运算
4．2 换底公式
§5 对数函数 3课时
5．1 对数函数的概念
5．2 2log y x 的图像和性质
5．3 对数函数的图像和性质
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1课时
小结与复习 1课时
四、 教学重点和难点
1.教学重点
（1）分数指数幂的概念、指数的运算性质.
（2）对数的概念和运算性质.
（3）指数函数和对数函数的图象和性质.
2.教学难点
（1）分数指数幂的概念.
（2）底数a 对指数函数与对数函数的函数值变化的影响.
（3）指数函数、对数函数以及幂函数增长的比较.
五、 教学建议
1.注意与初中内容及选修内容的衔接
●与初中内容的衔接
本章内容是与初中数学最近的结合点。如果初中的内容没有学习好或遗忘的过多，学习本章就有障碍。本章很多内容都是在初中的基础上讲授的，如函数的概念、函数图象的描绘；又如指数概念的扩充，如果没有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识，有理数指数幂就无法给出，运算性质也是如此，所以在本章教学中要注意与初中所学的相关内容的联系，做好初、高中数学的衔接和过渡工作。
●与选修的衔接
必修1是对函数概念的再理解阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数，从而使学生获得较为系统的函数知识，并初步培养了函数的应用意识，为今后必修4学习三角函数、必修5学习数列选修中学习导数及其应用，概率 ，坐标系与参数方程，打下良好的基础,这些内容是函数及其应用研究的深化和提升，也是进一步学习、参加生产和实际生活中需要具备的基础知识．总体上，函数的学习经历了一个持续螺旋上升的过程。所以，要注意必修与选修的的联系，也要注意联系物理、化学等学科的知识内容来丰富和巩固本章的内容。
2. 准确把握教学要求
与以往教材比较，本章在内容、要求以及处理方式上都发生了很多变化，归纳起来有如下几点：
●以往教材要求掌握有理指数幂的运算性质，不要求学生了解无理指数幂，不要求用有理指数幂逼近无理指数幂；本章要求通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算，并体会“用有理数逼近无理数”的思想。
●以往教材在对数换底公式上没有要求；这里要求学生知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。
●以往教材要求掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质；这里要求能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
●以往教材要求了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数；这里对反函数的处理，只要求以具体函数为例实行解释和直观理解，只通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数x
y a =和对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数，不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。
●以往教材对指数函数与对数函数的应用没有给出明确的要求；这里要求学生在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。
教学中要切实注重上述变化，把主要精力用在让学生通过具体实例了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，通过实例体会、理解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义，以及了解这些函数模型的广泛应用上，而不要过度地追求那些细枝末节（如求定义域、值域，讨论复合函数的单调性、奇偶性等）。
3.突出指数与对数函数是现实世界中的重要数学模型，强调它们的实际背景和应用价值
把指数函数、对数函数等作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，要求结合实际问题，感受使用函数概念建立模型的过程与方法，强调指数函数、对数函数、幂函数是三类不同的函数增长模型，这是本章学习要求的重要变化。所以，要增强让学生通过具体实例了解指数函数、对数函数模型实际背景的教学；要利用适当的事例，让学生体会、理解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；另外，还能够要求学生通过收集现实生活中普遍使用的函数模型实例，去了解这些函数模型的广泛应用。
4. 引导学生体会数学知识结构的严谨性
本章中，指数幂概念及其运算性质的拓展内涵了数学研究中对数学知识发展的逻辑合理
性、严谨性的要求，教学中要引导学生认真体会。指数幂的运算性质，是在整数指数幂的基础上，先将整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质；然后在有理指数幂逼近无理指数幂的思想指导下，再将有理指数幂的运算性质推广到了实数范围。能够让学生利用计算器或计算机实行实际操作，感受“逼近”过程。指数幂的运算性质的每一次推广，都需要考虑严谨性的要求。
5.充分发挥函数图象的几何直观作用，增强数形结合思想教学
数形结合、几何直观等数学思想方法是本章学习中的重要思想方法，它们对于理解本章的几个基本初等函数的性质（例如增长模式）是十分重要的，同时信息技术又使得函数作图变得方便、快捷，并且能够构建一种动态环境，为学生利用图象直观研究函数性质提供了有力工具。所以，本章内容是学习数形结合、几何直观等数学思想方法很好的数学载体.教学中应充分注意发挥函数图象的作用，让学生自己作出函数图像，通过观察图象变化规律来研究函数的性质。
6. 恰当使用信息技术
教科书虽然没有明确提示利用信息技术研究指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质，但本章中有很多内容适合使用信息技术，例如指数、对数值的计算；借助计算工具，比较指数函数、对数函数与幂函数增长的差异；借助计算器或计算机画出具体的指数函数、对数函数的图象，探索并理解它们的单调性与特殊点，等等。都体现了增强与信息技术整合的要求．所以，只要条件允许，教学中就理应充分使用信息技术。
当前数学课程改革的思路之一是课程设置应注重学生对社会的适合性，并将培养学生创新精神和实践水平摆到突出地位。“数学的应用价值和思维价值正在相互交融。数学对少数人有用的时代已经过去，它正在成为今日社会的一张‘通行证’”。很明显，教材在这个单元内容的选择上非常注重贴近生活实际和和与其他学科间的沟通，如生物，物理、化学、考古、社会等大量的实际案例。这是因为，综合水平的培养是建立在学科知识综合基础上实行的，是建立在与其他学科相关知识联系的基础上实行的。所以，首先就要求教师有这种综合意识，并努力挖掘与本学科相关的其他学科的知识，启发引导学生主动参与这种迁移学习活动，并增强“综合实践活动”课的力度。
C 咨询电话：4006-211-001 WWW r haOfangfa COm 1 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ：：： a ：：： 1两种不同情况。 1、指数函数： 定义：函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。 定义域为R 底数是常数，指数是自变量。 认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于X 轴上方； （1）X 取任何实数值时，都有 a X A0 ； （2）图象都经过点（0, 1）； （2）无论a 取任何正数，X = 0时，y = 1 ； （3） y — 2 ， y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1 （3）当 a > 1 时，｛ →, X 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， < < 0 ,贝U a <1 X A 0 ,贝U a x V 1 y = — ［的图象正好相反； 当 0 ca c1 时，< X ￡ 0 ,贝U a x A 1 k （4） y =2X ， y=10X 的图象自左到右逐渐 （4）当a >1时，y =a x 是增函数， 当0cac1时，y=a x 是减函数。 为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。 X 因为若a ：：;0 时, X 1、对三个指数函数 a = 0 ， y = 0 a =1 时，y = 1 =1x 的反函数不存在, y =a x ，y =Iog a X 在
上升，y = f l］的图象逐渐下降。 k2 J ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y=2x和y=10x相交于（0，1）， 的图象在y =2x的图象的上方，当X ：：：0 ,刚好相反，故有1 0 2. 22及10 ^ ：：： 2 ^。 步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a tl = N（a . 0且a ■■ 1）,那么数b就叫做以a为底的对数，记作b = Iog a N （a是底数，N是 真数，log a N是对数式。） 由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如: 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成 比较好办。 解：设Iog 0.32 X ■? 0 时，y = 10 % ②y =2x与y X 的图象关于y轴对称。 ③通过y = 2 X X 三个函数图象，可以画出任意一个函数y = a 示意图，如y =3x的图象，一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间，且过点（0, 1）,从而y = X 也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进 再改写为指数式就
指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a ＞0, f (x)＝ x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性.
例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习:
指数函数与对数函数专项练习 例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x ) 的反函数f －1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0)0(f >=?=-?=, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax )x (u 2-=, 对称轴a 21 x =. (1) 当1a >时, 1a 0)2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >， 2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一 直角坐标系中的图像可能是【答案】D
2020-2021学年高一数学单元知识梳理：指数函数与对数函数 1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化． 2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时，
函数的单调性及图象特点． 3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较． 4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题． 6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点． 8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择． 9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 一、指数、对数函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单
第七讲: 指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a ＞0, f (x)＝ x x e a a e - 是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f －1 (x)的奇偶性与单调性.
例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[- , 求a 的值. (二) 专题测试与练习: 一. 选择题 1. 设0x >且) (0,b a, ,1b a x x ∞+∈<<, 则a 、b 的大小关系是 ( ) A. 1a b << B. 1b a << C. a b 1<< D. b a 1<< 2. 如果1a 0<<, 那么下列不等式中正确的是 ( ) A. 21 31 )a 1()a 1(->- B. )a 1(log ) a 1(+- C. 2 3)a 1()a 1(+>- D. 1)a 1()a 1(>-+ 3. 已知x 1是方程3x lg x =+的一个根, 2x 是方程310x x =+的一个根, 那么21x x +的值 是 ( ) A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 4. ,0z log log log y log log log x log log log 324243432===则z y x ++的值为 ( ) A. 50 B. 58 C. 89 D. 111 5. 当1a >时, 在同一坐标系中, 函数x a y -=与=y x log a 的图象是图中的 ( ) 6. 若函数)x (f 与=)x (g x ) 2 1 (的图象关于直线x y =对称, 则)x 4(f 2 -的单调递增区间是( ) A. ]2 ,2(- B. ) ,0[∞+ C. )2 ,0[ D. ]0 ,(-∞ 二. 填空题 7. 已知522x x =+-, 则=+-x x 88 . 8. 若函数=y 2x log 2+的反函数定义域为),3(∞+ , 则此函数的定义域为 . 9. 已知=y )ax 3(log a -在]2 ,0[上是x 的减函数, 则a 的取值范围是 . 10.函数=)x (f )1a ,0a (a x ≠>在]2 ,1[上的最大值比最小值大2 a , 则a 的值为 . 三. 解答题 11. 设 1x 0 <<, 试比较|)x 1(log a -|与|)x 1(log a +|的大小.
指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x =1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1， 但y x =1的反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210，，的图 象的认识。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0 时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及 10222--<。
②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间，且过点()01，，从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： () 313 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1
指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 14 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但 y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210，，的图象的 认识。 图象特征与函数性质：
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及10222--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ? ? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的 示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间，且过点()01，，从而y x =?? ? ? ? 13也由 关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0 故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： 求lo g .032524?? ? ? ? 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log .032524?? ? ? ?=x ，再改写为指数式就比较好办。 解：设log .032524?? ? ? ?=x
指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 （一）指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( （二）指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，形如x a y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y ＞0 值域y ＞0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点（0，1） 定点（0，1） 二.对数函数 （一）对数 1.对数的概念：一般地，如果N a x =（0>a 且1≠a ），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做底数，N 叫做真数，N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数
3.两个重要对数 （1）常用对数：以10为底的对数N lg （2）自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln （二）对数的运算性质（0>a 且1≠a ，0,0>>N M ） ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式：a b b c c a log log log =（0>c 且1≠c ） 关于换底公式的重要结论：①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a （三）对数函数 1.对数函数的概念：形如x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做对数函数，其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 0
经典例题透析 类型一、求函数的反函数 例1．已知f(x)=225x - (0≤x ≤4)， 求f(x)的反函数. 思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域). 解：∵0≤x ≤4，∴0≤x 2≤16， 9≤25-x 2≤25，∴ 3≤y ≤5， ∵ y=225x -， y 2=25-x 2，∴ x 2=25-y 2.∵ 0≤x ≤4，∴x=225y - (3≤y ≤5) 将x ， y 互换，∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2．已知f(x)=21(0)1(0) x x x x +≥??-0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式. 思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ，b 的点，也就有了两个求解a ，b 的方程. 解： ? ?+?=+?=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51， b=521，∴ f(x)=-51x+521. 另：这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x 上. 例5．已知f(x)= ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253 x x +-，求a ，b ，c 的值. 思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f -1(x)=253 x x +-的反函数就是函数f(x). 解：求f -1(x)=253 x x +-的反函数，令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2)，f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-，∴ a=3， b=5， c=-2.
指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数
指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值
（1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5）6323 1.512??= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b
精品资料 欢迎下载 第四章《指数函数与对数函数》测试卷 一、填空题 1. （ ） A 、118 4 23? B 、314 4 23? C 、213 4 23? D 、8 4 23? 2. =??4 36482（ ） A 、4 B 、8152 C 、2 72 D 、8 3. 函数()f x = （ ） A.（1，3） B. [-∞，3] C. [3，+∞] D. R 4. 3log 81= （ ） A 、2 B 、4 C 、2- D 、-4 5. 指数函数的图象经过点)27,2 3(，则其解析式是 （ ） A 、x y 3= B 、x y )3 1(= C 、x y 9= D 、x y )9 1(= 6. 下列函数在区间（0，+∞）上是减函数的是 （ ） A 、12y x = B 、3 1x y = C 、2y x -= D 、2 y x = 7. 将25628 =写成对数式 （ ） A 、2256log 8= B 、28log 256= C 、8256log 2= D 、2562log 8= 8. 将ln a = b (a >0) 写成指数式 （ ） A 、10 b = a B 、e b = a C 、 a b = e D 、 e a = b 9. 求值2 2ln log 16lg 0.1e +-等于（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 10. 如果32log (log )1x =，那么x =（ ） A 、8 B 、9 C 、2 D 、3 11. 函数x x f lg 21)(-= 的定义域为（ ） A 、(,10) -∞ -(10,)+∞ B 、（-10，10） C 、（0，100） D 、（-100,100） 12. 3 0.7、3log 0.7、0.7 3 的大小关系是（ ） A 、30.730.73log 0.7 << B 、30.730.7log 0.73<< C 、 30.7 3log 0.70.73<< D 、 0.73 3log 0.730.7<< 二、填空题： 1．用不等号连接： （1）5log 2 6l o g 2 ，（2）若n m 33>，则m n ；（3）35.0 36.0 2. 若43x =， 3 4 log 4=y ，则x y += ； 3. 方程x x 28 )3 1 (3 2--=的解集为______________； 4. 若x x f 2)2(=，则=)8(f ； 三、解答题 1.. 解下列不等式： （1）0)3(log 3<-x （2）14 3log 指数函数、对数函数知识点 知识点内容典型题 整数和有理指数幂的运算 a 0＝1(a≠0)；a－n＝ 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n＝n a m(a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) 当n∈N*时，(n a)n＝a 当为奇数时，n a n＝a 当为偶数时，n a n＝│a│＝ a (a≥0) －a (a＜0) 运算律:a m a n＝a m + n (a m)n＝a m n (ab)n＝a n b n 1.计算: 2－1×6423＝. 2. 224282＝； 333363＝ . 3343427＝； 393 36 ＝ . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指数函数的概念、图象与性质1、解析式:y＝a x(a＞0，且a≠1) 2、图象: 3、函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的性质: ①定义域:R ，即(－∞，＋∞) 值域:R+ , 即(0，＋∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性:在定义域R上 当a＞1时，在R上是增函数 当0＜a＜1时,在R上是减函数 ④极值:在R上无极值(最大、最小值) 当a＞1时，图象向左与x轴无限接近； 当0＜a＜1时,图象向右与x轴无限接 近. ⑤奇偶性:非奇非偶函数. 5.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象过 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =；② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.10.4－0.2 , ②0.30.40.40.3, 233322. ③(2 3 )－ 1 2,( 2 3 )－ 1 3,( 1 2 )－ 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数， 则a的取值范围( ) A.a＜3 B.c C.a＞3 D.2＜a＜3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函 数，则a适合的条件是( ) A.|a|＞1 B.|a|＞2 C.a＞2 D.1＜|a|＜2 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 指数函数与对数函数 一、实数指数幂 1、实数指数幂：如果x n =a （n ∈N +且n ＞1），则称x 为a 的n 次方根。当n 为奇数时，正数a 的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。这时，a 的n 次方根只有一个，记作n a 。当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，它们互为相反数，分别记作n a ，－ n a 。它们可以写成±n a 的形式。负数没有 （填“奇”或“偶”）次方根。 例：填空： （1）、（38）3= ；（38-）3 = 。 （2）33 8= ；33)8(-= 。 （3）、44 5= ；44)5(-= 。 巩固练习： 1、将下列各分数指数幂写成根式的形式： （1）3 2a （2）5 3-b （b ≠0） 2、将下列各根式写成分数指数幂的形式： （1）52 a （2）3 5 1 a （a ≠0） 3、求下列幂的值： （1）、（-5）0； （2）、（a-b ）0； (3)、2-1； （4）、（47）4 。 2、实数指数幂的运算法则 ①、β α a a ?＝β α+a ②、βαa a ＝β α-a ③、β α)(a ＝αβ a ④、α )(ab ＝α α b a ? ⑤、α)(b a ＝αα b a 例1：求下列各式的值： ⑴、2 1100 ⑵、3 2 8- ⑶3 23 188? 例2：化简下列各式： ⑴、3a a ⑵、633333?? 巩固练习：1、求下列各式的值： ⑴、4 33 162 ?- ⑵、4482? ⑶553 25.042 ??- 2、化简下列各式： ⑴2 )3(-x ⑵232)(-y x ⑶203 53 2a a a a ???-（a ≠0） 二、幂函数 1、幂函数：形如α x y =（α∈Ｒ，α≠0）的函数叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数。 例1、判断下列函数是否是幂函数： ⑴、y ＝4x ⑵、y ＝3 -x ⑶、y ＝2 1 x ⑷、y ＝x 2 ⑸、s ＝4t ⑹、y ＝x x ++2) 1( ⑺、y ＝2 x +2x+1 巩固练习：观察下列幂函数在同一坐标系中的图象，指出它们的定义域： ⑴、y ＝x ；⑵、y ＝2 1x ；⑶y ＝1 -x ； ⑷y ＝2 x ；⑸y ＝41 -x 。 o x 1 1 y y ＝x y=x -1 y=x 2 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a x ，y log a x 在 a 1及 0 a 1两种不同情况。 1、指数函数： y x 且a 叫指数函数。 定义：函数 aa 0 1 定义域为 R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数 y a x 中的 a 必须 a 0且a 1 。 因为若 a 0时， y 4 x ，当 x 1 时，函数值不存在。 4 a 0 ， y 0x ，当 x 0 ，函数值不存在。 a 时， y 1 x x 虽有意义，函数值恒为 1，但 1 对一切 y 1x 的反函数不存在， 因 为 要 求 函 数 y a x 中 的 a 0且 a 1 。 x 1、对三个指数函数 y 2 x ， y 1 ，y 10x 的图象的 2 认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （ 1）图象都位于 x 轴上方； （ 1） x 取任何实数值时，都有 a x 0 ； 2 0 1 ）； （ 2）无论 a 取任何正数， x 0 时， y 1 ； （ ）图象都经过点（ ， （ 3） y 2x ， y 10 x 在第一象限内的纵坐 （ 3）当 a x 0，则 a x 1 1 时， 0，则 a x 1 标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， x 1 y 2 x x 0，则 a x 1 当 0 的图象正好相反； a 1时， 0，则 a x 1 x （ 4） y 2x ， y 10 x 的图象自左到右逐渐 （ 4）当 a 1 时， y a x 是增函数， 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较， 指数函数和对数函数综合 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 【要点链接】 1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较： 对数函数增长比较缓慢，指数函数增长的速度最快． 2．要能熟练掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像，并能利用它们的图像的增减情况解决 一些问题． 【随堂练习】 一、选择题 1．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是（ ） A ．1100 x y e = B ．100ln y x = C ．100y x = D ．1002x y =? 2．若112 2 a a -<，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．0a > C ．01a << D ．01a ≤≤ 3．x x f 2)(=，x x g 3)(=，x x h )2 1()(=，当x ∈（-)0,∞时，它们的函数值的大小关系 是（ ） A ．)()()(x f x g x h << B ．)()()(x h x f x g << C ．)()()(x f x h x g << D ．)()()(x h x g x f << 4．若b x <<1，2 )(log x a b =，x c a log =，则a 、b 、c 的关系是（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a b c << D ．b a c << 二、填空题 5．函数x e y x x y x y x y ====,ln ,,3 2 在区间(1,)+∞增长较快的一个是__________． 6．若a ＞0，b ＞0，ab ＞1，a 2 1log =ln2，则log a b 与a 2 1log 的关系是_________________． 7．函数2 x y =与x y 2=的图象的交点的个数为____________． 三、解答题 8．比较下列各数的大小： 5 2)2(－、21 )23(－、3)3 1(－、54 )32(－． 9．设方程2 22x x =-在(0,1)内的实数根为m ，求证当x m >时，2 22x x >-． 答案 1．A 指数增长最快． 2．C 在同一坐标系内画出幂函数2 1 x y =及2 1- =x y 的图象，注意定义域，可知10<
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