1.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,CB⊥平面PAB,AD∥BC,且PA=PB=AB=BC=2AD=.2
(Ⅰ)求证:平面DPC⊥平面BPC;
(Ⅱ)求二面角C﹣PD﹣B 的余弦值.
2.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,且PA=AD=2,,
E、F 分别为AD、PC中点.
(1)求点 F 到平面PAB的距离;(2)求证:平面PCE⊥平面PBC;
(3)求二面角E﹣PC﹣D 的大小.
3.《九章算术》中, 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马, 将四个面
都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图, 在阳马P ABCD中, 侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD, 过棱PC的中点E, 作EF⊥PB交PB于点F, 连接DE,DF,BD,BE.
(1) 证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑;
(2) 若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为, 求的值.
4.如图所示三棱柱ABC A1 B1C1中,AA1 平面ABC ,四边形ABCD 为平行四边形,AD 2CD ,AC CD .
(Ⅰ)若AA1 AC , 求证:AC1 平面A1B1CD ;
(Ⅱ)若A1D 与BB1 所成角的余弦值为21
7 ,求二面角
C A1
D C1 的余
弦值.
5.在直角梯形ABCD中,AB // CD, AD AB, DC 3, AB 2,
AD 1, AE EB, DF 1, 现把EF 它沿折起,得到如图所示的几何体,连接DB, AB, DC ,使DC 5.
(1 )求证:平面DBC 平面DFB ;
(2 )判断在线段DC 上是否存在一点H ,使得二面角 E BH C 的余
弦值为
30
6
,若存在,确定H 的位置,若不存在,说明理由.
6.如图,四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,AB 2AD 4 ,BD 2 3 ,PD 底面ABCD.
(1)证明:平面PBC 平面PBD ;
(2)若二面角P BC D 的大小为,求AP 与平面PBC 所成角的正弦值.
6
7.在三棱锥A BCD 中, A B B C 4 , A D B D C D22, 在底面 B C D内作
C E C D,且CE 2.
(1)求证:CE // 平面ABD ;
(2)如果二面角 A BD C 的大小为90 ,求二面角 B AC E 的余弦值.
8.如图,在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,AD AP ,
E 为棱PD 中点.
P
E
M
D
C
A
B
F
(1)求证:PD ⊥平面ABE ;
(2)若F 为AB 中点,PM PC (0 1),试确定的值,使二面角P FM B 的
余弦值为
3
3
.
9.如图,在三棱柱ABC A1B1C1 中,点C 在平面A1B1C1 内的射影点为
A B的中点O, AC BC AA1, AC
B 90 .
1 1
(1)求证: AB 平面O CC ;(2)求二面角
1 A CC B的正弦值.
1
3
10.已知多面体 ABCDEF 如图所示 . 其中 ABCD 为矩形, △DAE 为等腰直角三角形,
DA ⊥ AE ,四边形 AEFB 为梯形, 且 AE ∥BF ,∠ABF 90 ,AB BF 2AE 2 . (1)若 G 为线段 DF 的中点,求证: EG ∥平面 ABCD .
(2)线段 DF 上是否存在一点 N ,使得直线 BN 与平面 FCD 所成角的余弦值等于
21 5
?若存在,请指出点 N 的位置;若不存在,请说明理由
.
11.在如图所示的几何体中,平面 ADNM 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形,四边形
π
ADNM 是矩形,
DAB
,
AB 2 , AM 1, E 是 AB 的中
3
点.( Ⅰ) 求证: DE 平面
ABM ;
N (II)
在线段 AM 上是否存在点 P ,使二面角 P EC D 的大小为
若存在,求出
AP 的长;若不存在,请说明理由.
π ? 4
M
D C
A
E
B
12.如图,已知梯形 CDEF 与△ ADE 所在平面垂直, AD ⊥DE ,CD ⊥DE ,AB ∥CD ∥EF ,AE=2DE=8, AB=3,EF=9.CD=12,连接 BC ,BF .
(Ⅰ)若 G 为 AD 边上一点, DG= DA ,求证: EG ∥平面 BCF ; (Ⅱ)求二面角 E ﹣BF ﹣C 的余弦值.
13.如图三棱柱中,侧面为菱形,.
(1) 证明:;
(2) 若,,,求二面角的余弦值.
14.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D 是B1C1 的中点.
(1)证明:A1D⊥平面A1BC;
(2)求二面角A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值.
15.如图,在四棱锥中,底面为菱形, 为的中点.
(Ⅰ)若,求证:平面平面;
(Ⅱ)若平面平面,且,点在线段上,试确定点
的位置,使二面角大小为,并求出的值.
16.已知在边长为 4 的等边△ABC(如图 1 所示)中,MN∥BC,E 为BC的中点,连接AE 交MN 于点F,现将△AMN 沿MN 折起,使得平面AMN ⊥平面MNCB(如图 2 所示).
(1)求证:平面ABC⊥平面AEF;
(2)若S BCNM=3S△AMN ,求直线AB 与平面ANC所成角的正弦值.
17.如图(1),在五边形BCDAE 中,CD // AB ,BCD 90 ,CD BC 1,AB 2,
ABE 是以AB 为斜边的等腰直角三角形.现将ABE 沿AB 折起,使平面ABE 平面ABCD ,如图(2),记线段AB 的中点为O .
(1)求证:平面ABE 平面EOD ;
(2)求平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角的大小.
18.如图,在等腰梯形ABCD 中,AB / /CD ,AD DC CB 1,ABC 60 ,四边形ACFE 为矩形,平面ACFE 平面ABCD ,CF 2 .
(1)求证:BC 平面ACFE ;
(2)点M 在线段EF 上运动,设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为
( 90 ) ,试求cos 的取值范围.
高中数学“立体几何”教学研究 一 . “立体几何”的知识能力结构 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的,在必修2中,先从对空间几何体的整体认识入手,主通过直观感知、操作确认,获得空间几何体的性质,此后,在空间几何体的点、直线和平面的学习中,充分利用对模型的观察,发现几何体的几何性质并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质,从微观上为进一步深入研究空间几何体做了必要的准备.在选修2-1中,首先引入空间向量,在必修2的基础上完善了几何论证的理论基础,在此基础上对空间几何体进行了深入的研究. 首先安排的是对空间几何体的整体认识,要求发展学生的空间想像能力,几何直观能力,而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中,以长方体为模型,通过说理(归纳出判定定理,不证明)或简单推理进行论证(归纳并论证明性质定理), 在“空间向量与立体几何”的学习中,又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合,完善了空间几何推理论证的理论基础,并对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中,把空间想像能力,逻辑推理能力,适当分开,有所侧重地、分阶段地进行培养,这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力,同时降低学习立体几何的门槛,同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念. 二. “立体几何”教学内容的重点、难点 1.重点: 空间几何体的结构特征:柱、锥、台、球的结构特征的概括; 空间几何体的三视图与直观图:几何体的三视图和直观图的画法; 空间几何体的表面积与体积:了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式; 空间点、直线、平面的位置关系:空间直线、平面的位置关系; 直线、平面平行的判定及其性质:判定定理和性质定理的归纳; 直线、平面垂直的判定及其性质:判定定理和性质定理的归纳. 2.难点: 空间几何体结构特征的概括:柱、锥、台球的结构特征的概括; 空间几何体的三视图与直观图:识别三视图所表示的几何体; 空间点、直线、平面的位置关系:三种语言的转化; 直线、平面平行的判定及其性质:性质定理的证明; 直线、平面垂直的判定及其性质:性质定理的证明.
必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线,可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线和这个平面平行 3、两面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面,则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义:没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义:成? 90角 2、直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义:两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是:? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是:? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是:? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量;取值范围是:? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心:内切圆的圆心,角平分线的交点 2、外心:外接圆的圆心,垂直平分线的交点 3、重心:中线的交点 4、垂心:高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是() A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行; (3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
高中立体几何试题 1. 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角111C BD A --的大小. 解析:如图9-43,在平面B C D 11内作11BD E C ⊥,交1BD 于E .连结E A 1,设正方体棱长为a ,在△11BD A 和△11BD C 中,a D C D A ==1111,a B C B A 211==,11 BD BD = a 3=,∴ △11BD A ≌△11BD C ,∵ 11BD E C ⊥,∴ 11BD E A ⊥,∴ 11EC A ∠ 二面角111C BD A --的平面角.在Rt△11D BC 中,?=∠9011B C D ,∴ 111112121BD E C BC D C ?=?,∴ a a a a E C 32321=?=,在△11EC A 中,= =E C E A 11 a 32,a C A 211=,213 2322)2(3232cos 22211-=?-???? ??+???? ??=∠a a a a a EC A ,110 EC A ∠?< ?180<,?=∠∴120 11EC A 2. 如图9-50,点A 在锐二面角??-MN -??的棱MN 上,在面??内引射线AP ,使AP 与MN 所成的∠PAM 为45°,与面??所成的角为30°,求二面角??-MN -??的大小.
解析:如图答9-44,取AP 上一点B ,作BH ⊥??于H ,连结AH ,则∠BAH 为射线AP 与平面??所成的角,∴ ∠BAH =30°,再作BQ ⊥MN ,交MN 于Q ,连结HQ ,则HQ 为BQ 在平面??内的射影.由三垂线定理的逆定理,HQ ⊥MN ,∴ ∠BQH 为二面角??-MN -??的平面角. 图答9-44 设BQ =a ,在Rt△BAQ 中,∠BQA =90°,∠BAM =45°,∴ a AB 2=,在Rt△BAH 中∠BHA =90°,∠BAH =30°,∴ a BH 22= .在Rt△BHQ 中,∠BHQ =90°,BQ =a ,a BH 2 2=,∵ ∠BQH 是锐角,∴ ∠BQH =45 即二面角??-MN -??等于45°. 3. 如图,四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形,AB∥DC,AB⊥BC,且AB =2 1CD ,侧棱PB⊥底面ABCD ,PC =5,BC =3,ΔPAB 的面积等于6,若平面DPA 与平面CPB 所成的二面角为α,求α. 解析:平面DPA 与平面CPB 有一公共点P ,要画出它们构成的二面角的平面角必须确定它们公共交线,DA 和CB 的延长线的交点E 是它们的另一公共点.由公理二,PE 就是二面角的公共棱.有了公共棱,二面角的平面角就生了根. 解 延长DA 交CB 的延长线于E ,连PE ,则PE 就是平面DPA 和平面CPB 的交线. ∵AB∥DC,AB⊥BC,∴DC⊥BC,PB⊥底面ABCD. ∴PB⊥DC,∴DC⊥平面PCE. 作CF⊥PE 于F ,连DF 由三垂线定理得PE⊥DF,∴∠DFC=α. ∵AB= 2 1CD ,PC =5,BC =3,∴PB=4. S ΔPAB =6,∴AB=3,CD =6,DC AB =EC EB =21.
一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、在同一平面的两条直线,可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面的一条直线平行,则这条直线和这个平 面平行 3、两面平行,则其中一个平面的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面,则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义:没有公共点 2、如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、定义:如果一条直线和平面的任何一条直线都垂直,则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面的两条相交线垂直,则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直,那么在一个平面垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 90角 1、定义:成? 2、直线和平面垂直,则该线与平面任一直线垂直 3、在平面的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线 垂直 4、在平面的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影 垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义:两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 90 1、二面角的平面角为?
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲:立体几何 1、(2010一试7)正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等,P 是1CC 的中点,二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =,则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==,所以cos m n m n α?=? ,即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二:如图,PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .
连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中,OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、(2011一试6)在四面体ABCD 中,已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ,设CD 与平面ABD 所成角为θ,可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ. 在△DMN 中,332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM .学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN , 故2=MN .四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD .故球O 的半径3=R . 3、(2012一试5)设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球.若正三棱锥P ABC -的
线面角的求法 1.直接法 :平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段,垂线段,斜线在平面内的射影所组成的直角三角形,垂线段是其中最重要的元素,它可以起到联系各线段的作用。 例1 ( 如图1 )四面体ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点,求(1)BC 与平面SAB 所成的角。(2)SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:(1) ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影, ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 (2) 连结SM,CM ,则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH /SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7/7 (“垂线”是相对的,SC 是面 SAB 的垂线,又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理,其思路是:先找出与已知平面垂直的平面,然后一面内找出或作出交线的垂线,则得面的垂线。) 2. 利用公式sin θ=h /ι 其中θ是斜线与平面所成的角, h 是 垂线段的长,ι是斜线段的长,其中求出垂线段的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又是难点,为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 ( 如图2) 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ,求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解:设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ,∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1/3 S △AB 1C 1 ·h= 1/3 S △BB 1C 1 ·AB,易得h=12/5 ,
立 体几何试题 一.选择题(每题4分,共40分) 1.已知AB 0300300150空间,下列命题正确的个数为( ) (1)有两组对边相等的四边形是平行四边形,(2)四边相等的四边形是菱形 (3)平行于同一条直线的两条直线平行 ;(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是( ) A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点,作与α平行的平面,则这样的平面可作( ) A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( ) A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二.填空题(每题4分,共16分) 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ,设直线AB 与平面α交于点O ,则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个,过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块
高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求:AM 及CN 所成的角的余弦值; 解析:(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ,则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1, 则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中,CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注:1、本题的平移点是N ,按定义作出了异面直线中一条的平行线,然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长,再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角,也可能是它的邻补角,在直观图中无法判定,只有通过解三角形后,根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成的角)或钝角(异面直线所成的角的邻补角)。最后作答时,这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示,在空间四边形ABCD 中,点E 、F 分别是BC 、AD 上的点,已知AB=4,CD=20,EF=7, 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。 解析:在BD 上取一点G ,使得3 1 =GD BG ,连结EG 、FG 在ΔBCD 中,GD BG EC BE = ,故EG//CD ,并且4 1==BC BE CD EG , 所以,EG=5;类似地,可证FG//AB ,且 4 3 ==AD DF AB FG , 故FG=3,在ΔEFG 中,利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ,故∠FGE=120°。 另一方面,由前所得EG//CD ,FG//AB ,所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角,于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=c ,AB=a ,AD=b ,且a >b .求AC 1及BD 所成的角的余弦. A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O
高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ,α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=b,a∥α,a∥β,则a∥b. (2)两直线垂直的判定
(2012江西省)(本小题满分12分) 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F是线段AB上的两点,且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=42,DE=4.现将△ADE,△CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合与 点G,得到多面体CDEFG. (1)求证:平面DEG⊥平面CFG; (2)求多面体CDEFG的体积。 【解析】(1)由已知可得AE=3,BF=4,则折叠完后EG=3,GF=4,又因为EF=5,所以可得EGGF又因为CF底面EGF,可得CFEG,即EG面CFG所以平面DEG⊥ 平面CFG. (2)过G作GO垂直于EF,GO即为四棱锥G-EFCD的高,所以所求体积为 1112 S正方形GO5520 DECF 335 Word资料
2012,山东(19)(本小题满分12分) 如图,几何体EABCD是四棱锥,△ABD为正三角形, CBCD,ECBD. (Ⅰ)求证:BEDE; (Ⅱ)若∠BCD120,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC. 解:设BD中点为O,连接OC,OE,则由BCCD知,COBD, 又已知CEBD,所以BD平面OCE. 所以BDOE,即OE是BD的垂直平分线, 所以BEDE. (II)取AB中点N,连接MN,DN, ∵M是AE的中点,∴MN∥BE,∵△ABD是等边三角形,∴DNAB. 由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即BCAB,所以ND∥BC, 所以平面MND∥平面BEC,故DM∥平面BEC. Word资料
BC2012浙江20.(本题满分15分)如图,在侧棱锥垂直 底面的四棱锥ABCDA1B1C1D1中,AD//BC,AD A D FE AB,AB2,AD2,BC4,AA2,E是DD的中点,F 11 是平面B1C1E与直线AA1的交点。A1 B1 D1 (第20题图) C1 (Ⅰ)证明:(i)E F//A 1D1;(ii)BA1平面B1C1EF; (Ⅱ)求B C与平面 1 B CEF所成的角的正弦值。 11 解析:本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面所成角等基础知识,同时考查空间想象能力和推理认证能力。 (Ⅰ)(i)因为C1B1//A1D1,C1D1平面ADD1A1,所以C1B1//平面A1D1DA. 又因为平面B1C1EFI平面A1D1DAEF,所以C1B1//EF, 所以A1D1//EF. (ii)因为BB1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1. 又因为B1C1B1A1,所以B1C1平面ABB1A1,所以B1C1BA1. 2 在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,tanA1B1FtanAA1B, 2 即A1B1FAA1BBA1B1F. 所以BA1平面B1C1EF. A B C D (Ⅱ)设BA1与B1F交点为H,连接C1H, 由(Ⅰ)知BA1平面B1C1EF. F E H B1 A1 D1 C1
立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱: 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 (3)棱台: 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,' h 为斜高,l 为母线) ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表 (3)柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1()3 V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 (4)球体的表面积和体积公式:V 球=343 R π ; S 球面=24R π
高一必修二经典立体几何专项练习题 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内——有无数个公共点 (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行——没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: aβ bβ a∩b =pβ∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a ∥α a β a∥b α∩β= b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α∥β α∩γ=a a∥b β∩γ=b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A
立体几何复习精选 一.选择 10 1模 5.已知p :直线a 与平面α内无数条直线垂直,q :直线a 与平面α垂直.则p 是q 的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 三.大题 18.如图5所示,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是圆的直径,60ABD ∠=,45BDC ∠=,ADP BAD △∽△. (1)求线段PD 的长; (2)若11PC R =,求三棱锥P ABC -的体积. C P A B 图5 D
09 1模 如图4,A A 1是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点, 12AA AB ==. (1)求证:BC ⊥平面AC A 1; (2)求三棱锥1A ABC -的体积的最大值.
18在长方体1111112,ABCD A B C D AB BC A C -==中,过、、B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图4所示的几何体111ABCD A C D -,且这个几何体的体积为 403 。 (1)证明:直线1A B ∥平面11CDD C ; (2)求棱1A A 的长; (3)求经过11A C 、、B 、D 四点的球的表面积。 10 1模 17.(本小题满分14分) 如图6,正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ,AE ⊥平面CDE ,且3AE =,6AB =. (1)求证:AB ⊥平面ADE ; (2)求凸多面体ABCDE 的体积. A B C D E 图5
立体几何简答题练习 1、正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ。求证:PQ∥平面BCE.(用两种方法证明) 2、如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别在PA、BD上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF∥平面PBC. 3、如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 的棱BC,CC 1 ,C 1 D 1 ,AA 1 的中点。 求证:(1)EG∥平面BB 1D 1 D; (2)平面BDF∥平面B 1D 1 H.
4、如图所示,已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别为AB 、PC 的中点,平面PAD ∩平面PBC =l. (1)求证:l ∥BC ; (2)MN 与平面PAD 是否平行?试证明你的结论。 5、如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,SA ⊥底面ABCD ,SA=SB ,点M 是SD 的中点,AN ⊥SC ,且交SC 于点N 。 (1)求证:SB ∥平面ACM ; (2)求证:平面SAC ⊥平面AMN ; (3)求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.
7、如图,在四棱柱ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中,底面ABCD是等腰梯形,∠ DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点。 (1)求证:C 1M∥平面A 1 ADD 1 ; (2)若CD 1垂直于平面ABCD且CD 1 =3,求平面C 1 D 1 M和平面ABCD所成的角(锐角) 的余弦值。 8、如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,E是PC的中点. (1)证明:PA∥平面EDB; (2)证明:BC⊥DE.
高中数学立体几何练习题精选试卷 姓名班级学号得分 说明: 1、本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分100分。考试时间90分钟。 2、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内,第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后,只收第Ⅱ卷 第Ⅰ卷(选择题) 一.单选题(每题2分,共40分) 1.设直线l,m和平面α,β,下列条件能得到α∥β的有() ①l?α,m?α,且l∥β,m∥β; ②l?α,m?α且l∥m; ③l∥α,m∥β且l∥m. A.1个B.2个C.3个D.0个 2.一个四面体中如果有三条棱两两垂直,且垂足不是同一点,这三条棱就象中国武术中的兵器--三节棍,所以,我们常把这类四面体称为“三节棍体”,三节棍体ABCD四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A(0,0,0)、B(0,4,0)、C(4,4,0)、D(0,0,2),则此三节棍体外接球的表面积是() A.36πB.24πC.18πD.12π
3.一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°,它的表面积为a,则它的底面积为()A.B.C.D. 4、如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为4,且侧棱AA1⊥底面ABC,其主视图是边长为4的正方形,则此三棱柱的侧视图的面积为() A.16B.2C.4D. 5.三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=2,则三棱锥P-ABC的外接球的体积是() A.2πB.4πC.πD.8π 6.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,过对角线BD‘的一个平面交AA′于点E,交CC′于点F.则下列结论正确的是() ①四边形BFD′E一定是平行四边形 ②四边形BFD′E有可能是正方形 ③四边形BFD′E在底面ABCD的投影一定是正方形 ④四边形BFD′E有可能垂于于平面BB′D. A.①②③④B.①③④C.①②④D.②③④ 7.如图,在四面体A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,若AB=BC=CD=1,则AD=()
2015-2017立体几何高考真题 1、(2015年1卷6题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有( ) (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ,则12384r ??==16 3 r =,所以米堆的体积为211163()5433????=320 9 ,故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22,故选B. 考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、(2015年1卷11题)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π,则r=( ) (A )1 (B )2 (C )4 (D )8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r ,圆柱的高为2r ,其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π,解得r=2,故选B. 考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、(2015年1卷18题)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.
立体几何周练 命题人---王利军 一、选择题(每小题5分,共60分) 1、线段AB 在平面α内,则直线AB 与平面α的位置关系是 A 、A B α? B 、AB α? C 、由线段AB 的长短而定 D 、以上都不对 2、下列说法正确的是 A 、三点确定一个平面 B 、四边形一定是平面图形 C 、梯形一定是平面图形 D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定 A 、平行 B 、相交 C 、异面 D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中,下列几种说法正确的是 A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成 60o 角 5、若直线l ∥平面α,直线a α?,则l 与a 的位置关系是 A 、l ∥a B 、l 与a 异面 C 、l 与a 相交 D 、l 与a 没有公共点 6、下列命题中:(1)、平行于同一直线的两个平面平行;(2)、平行于同一平面的两个平面平行; (3)、垂直于同一直线的两直线平行;(4)、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点,如果与EF GH 、能相交于点P ,那么 A 、点必P 在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上 C 、点P 必在平面ABC 内 D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ,b ,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若a ∥M ,b ∥M ,则a ∥b ;②若b ?M , a ∥ b ,则a ∥M ;③若a ⊥ c ,b ⊥c ,则a ∥b ;④若a ⊥M ,b ⊥M ,则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 9、一个棱柱是正四棱柱的条件是 A 、底面是正方形,有两个侧面是矩形 B 、底面是正方形,有两个侧面垂直于底面 C 、底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D 、每个侧面都是全等矩形的四棱柱 10、在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个
空间立体几何 知识点归纳: 1. 空间几何体的类型 (1)多面体:由若干个平面多边形围成的几何体,如棱柱、棱锥、棱台。 (2)旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。 如圆柱、圆锥、圆台。 2. 一些特殊的空间几何体 直棱柱:侧棱垂直底面的棱柱。正棱柱:底面多边形是正多边形的直棱柱。 正棱锥:底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。 正四面体:所有棱都相等的四棱锥。 3. 空间几何体的表面积公式 棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和 _ 2 圆柱的表面积:S =2 rl 2 r2圆锥的表面积:S =理「I ?二r 2 2 圆台的表面积:S =理rl 7 r?二RI ?二R 球的表面积:s= 4 R2 4 ?空间几何体的体积公式 1 柱体的体积:V = S底 h 锥体的体积:v = - S底h 3底 1 ---------- 、, 4 3 台体的体积:V = —( S上?S上S T S下)h 球体的体积:V R 3 '3 5.空间几何体的三视图 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图。 侧视图:光线从几何体的左边向右边正投影,得到的投影图。 俯视图:光线从几何体的上面向右边正投影,得到的投影图。 画三视图的原则: 长对正、宽相等、高平齐。即正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽,侧视图和正视图一样高。 6 .空间中点、直线、平面之间的位置关系 (1) 直线与直线的位置关系:相交;平行;异面。
(2)直线与平面的位置关系:直线与平面平行;直线与平面相交;直线在平面内。 (3)平面与平面的位置关系:平行;相交。 7. 空间中点、直线、平面的位置关系的判断 (1)线线平行的判断: ①平行公理:平行于同一直线的两直线平行。 ②线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相 交,那么这条直线和交线平行。 ③面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 ④线面垂直的性质定理:垂直于同一平面的两直线平行。 (2)线线垂直的判断: ①线面垂直的定义:若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。 ②线线垂直的定义:若两直线所成角为,则两直线垂直 ③一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。 (3)线面平行的判断: ①线面平行的判定定理:如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平 面平行。 ②面面平行的性质定理:两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 (4)线面垂直的判断: ①线面垂直的判定定理:如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这 个平面。 ②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 ③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ④如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个 (5)面面平行的判断: