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初中数学：轴对称-等腰三角形知识点归纳总结

初中数学

轴对称、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形

轴对称图形

如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴．

有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．

轴对称

有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称.

图形轴对称的性质

如果两个图形成轴对称,?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

轴对称与轴对称图形的区别

轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,?成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称．

线段的垂直平分线

（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）.

(2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来,?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合.

轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．?

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到.

轴对称变换的性质

（1)经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样

(2)?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点.

(３）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

作一个图形关于某条直线的轴对称图形

(1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

(2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．

关于坐标轴对称

点P（x,y)关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）

点Ｐ(ｘ,y)关于ｙ轴对称的点的坐标是（－x,ｙ）

关于原点对称

点P(ｘ,y)关于原点对称的点的坐标是（-x,－y)

关于坐标轴夹角平分线对称

点P(x,y)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=ｘ对称的点的坐标是(y,ｘ)

点P(ｘ，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝ -x对称的点的坐标是（-y，-x) 关于平行于坐标轴的直线对称

点P(x，ｙ）关于直线x=m对称的点的坐标是(2ｍ-ｘ,ｙ)；

点P(ｘ，y）关于直线ｙ＝ｎ对称的点的坐标是(x,2n-y）；

等腰三角形

有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边.两腰所夹的角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.

等腰三角形的性质

性质１:等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”)

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

特别的:（１)等腰三角形是轴对称图形．

(2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等．

等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 特别的:

（1)有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形.

（２）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．

（３)有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形.

(4)有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．

等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形．

等边三角形的性质

等边三角形的三个内角都相等,?并且每一个内角都等于6０°

等边三角形的判定方法

(1）三条边都相等的三角形是等边三角形;

(2）三个角都相等的三角形是等边三角形;

（３）有一个角是６0°的等腰三角形是等边三角形．

角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.

B C

P M N O

角平分线的判定:到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

B C

P M N O

三角形的角平分线的性质:三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．

添加辅助线口诀

几何证明难不难，关键常在辅助线;知中点、作中线,倍长中线把线连.

线段垂直平分线，常向两端来连线.线段和差及倍分,延长截取全等现;

公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转,全等图形多变换.

角平分线取一点，可向两边作垂线; 也可将图对折看,对称之后关系现;

角平分线加平行,等腰三角形来添; 角平分线伴垂直,三线合一试试看。

初中数学轴对称图形知识点加习题总结

知识点1 轴对称图形如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴;这时,我们也说这个图形关于这条直线的轴对称。知识点2 对称轴的性质 1.对称轴是一条直线。 2.在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。 3.在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。 4.图形对称例1下面哪些图形是轴对称图形？画出轴对称图形的对称轴。例2.推理游戏：下面应该是什么图形？

知识点3线段垂直平分线定义及其性质定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。例3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6，则线段PB的长度为（） A．3 B．5 C．6 D．8 解析：∵直线CD是线段AB的垂直平分线， ∴PB=PA， ∵PA=6， ∴PB=6．答案C．例4如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（） A．ED=CD B．∠DAC=∠B

C ．∠C ＞2∠B D ．∠B+∠ADE=90° 分析：∵DE 是线段AB 的垂直平分线， ∴AD=BD ． ∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE． ∴∠B+∠ADE=90° 答案D 课堂练习1 1．点A ，B 关于直线a 对称，P 是直线a 上的任意一点，下列说法不正确的是（） A ．直线AB 与直线a 垂直 B ．直线a 是点A 和点B 的对称轴 C ．线段PA 与线段PB 相等 D ．若PA=PB ，则点P 是线段AB 的中点 2.三角形中到三边的距离相等的点是（） A ．三条边的垂直平分线的交点 B ．三条高的交点 C ．三条中线的交点 D ．三条角平分线的交点 3.已知A 和B 两点在线段EF 的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB 等于( ) A 、95° B 、15° C 、95°或15° D 、170°或30° 4.已知：如图，线段AB 垂直平分线段CD 则AC ＝。若线段AB,CD 互相垂直平分，则AC= 。 A B C O D O A B D C

轴对称与等腰三角形练习题

轴对称与等腰三角形练习题一.填空题 1.点（-2，1）关于x 轴的对称点是，关于y 轴的对称点是 2.已知点P 1（a ，3）和点P 2（-2，b ）关于y 轴对称，则a= ， b= ；若关于x 轴对称，则a= ，b= 3.已知点P 1（a ，3）和点P 2（4，b ）关于y 轴对称，则（a+b ）2007= 4.点（3，-2）关于直线x=-2的对称点是，关于直线y=1的对称点是 5.直线y=2x-3关于x 轴对称的直线为，关于y 轴对称的直线为 6.已知等腰三角形的一个内角是80 已知等腰三角形的一个内角是100 7.已知等腰三角形的周长为24，一边长为6 . 已知等腰三角形的周长为24，一边长为10 8..在△ABC 中，AB=AC ，A D ⊥BC 于D ，BC=12，∠则∠BAD= ， BD= ， CD= 9.在△ABC 中，AB=AC ，AD 为中线，∠B=50°，则∠BAD= 10.已知等腰三角形的底角为15°，腰长为4cm ，则这个三角形的面积为二.选择题 11.下列命题是真命题的是（） A 等腰三角形的对称轴是底边上的中线； B 等腰三角形两腰上的中线不一定相等； C 矩形有4条对称轴； D 有三条对称轴的三角形不一定是等边三角形.

12.在具备下列条件的两个等腰三角形中，不能判定它们全等的是（） A.两腰对应相等； B.一条腰、底边对应相等； C. 顶角、一条腰对应相等； D.一底角、底边对应相等 13.下列说法不正确的是（） A. 周长相等的两个等边三角形全等； B. 面积相等的两个等边三角形全等 C. 三角形没有稳定性； D. 有对称轴的三角形都是等腰三角形 14.到三角形三顶点的距离相等的点在（）上 A. 三边的中垂线上； B.三内角的角平分线上； C. 三边的中线上； D.三边的高线上三、解答题 16.等腰三角形的周长是16，其中两边之差为2，求它的三边的长 17.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，AD=DB ，CD=2，求 AD 的长 18.已知，如图，BC ⊥AC ，DE ⊥AC ，D 为 AB 的中点，∠A=30°，AB=8 求BC ，DE 的长

初中数学知识点归纳-轴对称

初中数学知识点归纳：轴对称初三学习的知识是初中三年学习的汇总，为了方便大家更好地复习，中国教育在线整理了初三数学关于轴对称的知识点，希望对大家的学习有所帮助。一、轴对称与轴对称图形： 1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。 2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。注意：对称轴是直线而不是线段 3.轴对称的性质： (1)关于某条直线对称的两个图形是全等形; (2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线; (3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上; (4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 4.线段垂直平分线： (1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。 (2)性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 5.角的平分线： (1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线. (2)性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 6.等腰三角形的性质与判定：性质： (1)对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴; (2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合; (3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等; ③等腰三角形两腰上的高相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边)。 7.等边三角形的性质与判定：

轴对称与等腰三角形专题练习及参考答案

轴对称与等腰三角形专题练习及参考答案（时间：90分钟满分：100分）一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列图案中是轴对称图形的是( ) 2．以下四个图形中对称轴条数最多的一个图形是( ) 3．到三角形的三个顶点距离相等的点是( ) A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点 C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点 4．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则( ) A．PA＋PB>QA＋QB B．PA＋PB

[初中数学]画轴对称图形教案人教版

13．2画轴对称图形第1课时画轴对称图形教学目标 1．理解图形轴对称变换的性质． 2．能按要求作出一个平面图形关于某直线对称的图形．教学重点画轴对称图形．教学难点轴对称变换的性质．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计一、创设情景，明确目标播放多媒体课件，展示生活中与轴对称现象有关的美丽图案．如：剪纸艺术、服饰文化、几何图案、花边艺术等．欣赏美丽图案，思考这些图案是怎样形成的？图案有什么特点？二、自主学习，指向目标 1．自学教材第67至68页． 2．请完成“《学生用书》”相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一轴对称图形的性质活动一：在一张半透明的纸上画一个图形，将这张纸对折，描图后，再打开这张纸，你能发现什么现象？展示点评：(1)画出的轴对称图形的形状与大小和原图形有何关系？对称轴在吗？这两个图形全等吗？ (2)画出的轴对称图形的点与原图形上的点有何关系？小组讨论：对应点的连线与对称轴有何关系？反思小结：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线对称的图形，这个图形的形状、大小与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．跟踪训练：见《学生用书》相应部分探究点二画轴对称图形活动二：如图，已知△ABC和直线l，画出△ABC关于直线l对称的图形．

展示点评：(1)三角形关于直线l 的对称图形是什么形状？ (2)三角形的轴对称图形可以由哪几个点确定？ (3)如何作一个已知点的对称点？小组讨论：作轴对称图形的方法．反思小结：几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．跟踪训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标 1．本节课学习了哪些内容？ 2．由一个平面图形得到与它成轴对称的另一个图形，两个图形之间有什么关系？ 3．画轴对称图形的一般方法是什么？依据是什么？实际问题―→轴对称变换的性质――→应用画轴对称图形五、达标检测，反思目标 1．将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B ”，再把它铺平，你可见到的是( C ) A. B. C. D. 2．把图中实线部分补成以虚线l 为对称轴的轴对称图形，看看会得到什么图案．解：作图略，是蝴蝶． 3．如图，由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形． ,第2题图) ,)第3题图答： ●布置作业，巩固目标教学难点 1．上交作业教科书习题13.2第1题． 2．课后作业见《学生用书》．

初中数学知识点归纳轴对称

初中数学知识点归纳轴对称集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

初中数学知识点归纳：轴对称一、轴对称与轴对称图形： 1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。 2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。注意：对称轴是直线而不是线段 3.轴对称的性质： (1)关于某条直线对称的两个图形是全等形; (2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线; (3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上; (4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 4.线段垂直平分线： (1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。 (2)性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 5.角的平分线： (1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线. (2)性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 6.等腰三角形的性质与判定：性质： (1)对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴; (2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合; (3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等; ③等腰三角形两腰上的高相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。

轴对称、等腰三角形经典练习题目

【知识点回顾】轴对称：一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫作对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。轴对称的性质：1、关于轴对称的图形全等。 2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半【典型例题】例1. 如图，ABC ?中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。求证：BC BD AD =+。 A D 1 B 2 E F C 分析：从要证明的结论出发，在BC 上截取BD BF =，只需证明AD CF =，考虑到21∠=∠，想到在BC 上截取BA BE =，连结DE ，易得，则有FD AD =，只需证明CF DE =，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出DE DF CF ==。证明：在BC 上截取BD BF BA BE ==，，连结DE 、DF 在ABD ?和EBD ?中，BD BD 21BE BA =∠=∠=，， 80 DEF 100 A BED DE AD )SAS (EBD ABD =∠∴=∠=∠=∴???∴，

整理初中数学轴对称教案

文件编号： 31-13-3C -46-19 整理人尼克初中数学轴对称教案

《轴对称》教学设计教学目标知识技能 1. 知道什么样的图形是轴对称图形． 2. 会找出轴对称图形的对称轴． 3. 知道两个图形满足什么样的条件时，成轴对称． 4. 会找出两个图形成轴对称时的对称轴、对称点． 5. 知道轴对称图形与轴对称的区别与联系．过程与方法 1．通过丰富的生活实例认识轴对称，能识别简单的轴对称图形及其对称轴； 2．探究线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力； 3．在探究过程中，培养学生观察、分析和归纳能力．情感态度与价值观 1．通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高； 2．在探究的过程中，更大程度的激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．重点难点轴对称图形、对称轴、两个图形关于一条直线对称（轴对称）、对称点教学过程与流程设计 1.观察图形，认识轴对称图形

把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现什么共同的特点？轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫过轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．课堂练习1：下列图形是轴对称图形吗？如果是，你能指出它的对称轴吗？ 2．观察，认识图形关于轴对称观察下面的每对图形有什么共同特点？像上面这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条折线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．课堂练习2：下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，使者找出它们的对称轴，并找出一对对称点． 3．自己动手，小组合作，探究两个图形对称的性质，学习垂直平分线的定义如图，△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线MN 对称，点A ′、B ′、C ′分别是点A 、B 、C 的对称点，线段A A ′、B B ′、CC ′与直线MN 有什么关系？简单证明你的结论． A A ′ M P

初一至初三数学全部知识点!!

初一至初三数学全部知识点!! 八年级上册第一章轴对称图形 -----轴对称与轴对称图形 1．什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。 2．什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别： ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。 ②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。联系： ①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。 ②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。 4．线段的垂直平分线：Array垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。（也称线段的中垂线） 5．轴对称的性质： ⑴成轴对称的两个图形全等。 ⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。 ------线段、角的轴对称性Array 1．线段的轴对称性： ①线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线，另一条是这条线段的垂直平分线。 ②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 ③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合 2．角的轴对称性： ①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。

简单的轴对称图形(等腰三角形)

第五章生活中的轴对称 3 简单的轴对称图形（第1课时）会宁县桃林中学王伟彦一、教学目的 1. 探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。 3. 掌握等边三角形的轴对称性及其有关性质。二、教学过程 ⑴（整体浏览课本，确定学习目标） 1、（课本121页引例）认识等腰三角形是轴对称图形。掌握等腰三角形对称轴的“三线合一”及相关性质。 2、（课本121页想一想）认识等边三角形是轴对称图形。掌握等边三角形的相关特征。 ⑵创设情境导入新课 1. 认识等腰三角形，介绍等腰三角形的概念及各部分名称。 ⑶动手操作探求新知等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？拿出你的等腰三角形纸片，把纸片折折看，你能发现什么现象吗？ 1. 思考（1）等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。（2）顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？（3）底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高呢？（4）沿对称轴折叠，你能发现等腰三角形的哪些特征？

2.归纳 (1)等腰三角形是轴对称图形。 (2)∠B =∠C (3 )∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线 (4)∠ADB=∠ADC=90°AD为底边上的高 (5 )BD=CD，AD为底边上的中线。等腰三角形的特征： 1）.等腰三角形是轴对称图形 2）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 3）.等腰三角形的两个底角相等。 3.推理等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称为“三线合一”）. 证明：因为AD是角平分线, 所以∠BAD= ∠ CAD 在ΔABD和ΔA CD中, 因为AB=AC, ∠BAD= ∠CAD,AD=AD 所以ΔABD ≌ΔACD 所以BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90? 所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。 ⑷知识推广 1．等边三角形的有关概念有几条对称轴？ 2. 你能发现等边三角形的哪些特征？ ⑸知识应用

初中数学轴对称题型练习题

轴对称题型举例【知识框架】【教学建议】一、关于轴对称、轴对称图形的概念：讲清、讲透轴对称、轴对称图形的概念，区别和联系： 1、轴对称：两个图形→关于直线（成轴）对称 2、轴对称图形：一个图形→左右两部分→重合 3、对称轴问题：图形上讲是一条直线（细扣概念类题） 4、辩证看概念：分、合思想二、注重动手操作：（画图，保留作图痕迹） 1、轴对称、轴对称图形的画法： 2、线段垂直平分线的作法：作图步骤→作图痕迹→理论依据 3、线段和最短问题：理论依据→几何证明 3、等腰三角形、等边三角形的画法：三、注重符号语言的使用的规范教学：如等腰三角形的三线合一性质运用时的书写。运用判定性质画法逆定理定理

四:三条教学主线：一是边方面：等角对等边→垂直平分线的性质→转化→求三角形的周长；二是角方面：等边对等角→三角形内角和→求角的度数；三是实践操作：尺规作图→定理、公理运用。五：多归纳、多强化：比如：x 轴、y 轴对称点问题，可以归纳为：关于什么轴对称，什么坐标不变，另一坐标互为相反数。帮助学生理解，当然，最好的方法，就是引导学生画出草图分析。【题型举例】 1、求证：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 2.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ，求证：AO ⊥ B C. 3、（1）在图1中画出?ABC 的轴对称图形；（2）如图2，在直线l 上确定一个点P ，使得 PA +PB 的值最小；（3）如图3，在直线l 上确定一个点P ，使得PA ＝PB 。图1 图2 图3 B B l A B l A B

2.5 等腰三角形的轴对称性(2)

八年级数学上册教案课题： 2.5 等腰三角形的轴对称性（2）课时： 2 课型：新授课教学目标： 1．掌握等腰三角形的判定定理． 2．知道等边三角形的性质以及等边三角形的判定定理． 3．经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径． 4．会用“因为……所以……理由是……”或“根据……因为……所以……”等方式来进行说理，进一步发展有条理地思考和表达，提高演绎推理的能力．教学重点：熟练地掌握等腰三角形的判定定理．教学难点：正确熟练地运用定理解决问题及简洁地逻辑推理．教学设计：设计说明及补充：情境导入一、创设情境如图所示△ABC是等腰三角形，AB＝AC，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C．请同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来？大家试试看．[来源:学科网ZXXK] 演示折叠过程为进一步的说理和推理提供思路．通过动手操作、演示、观察、猜想、教学过程二、探索发现一请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：（1）在半透明纸上画一条长为6cm的线段BC．（2）以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，在BC 的同侧用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A．（3）用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD 对折．问题1：AB与AC有什么数量关系？ B C

问题2：请用语言叙述你的发现．三、分析证明思考：我们利用了折叠、度量得到了上述结论，那么如何证明这些结论呢？问题3：已知如图课本P62图2-31，在△ABC中，∠B ＝∠C．求证：AB＝AC．引导学分析问题，综合证明．思考：你还有不同的证明方法吗？问题4：“等边对等角”与“等角对等边”，它们有什么区别和联系？四、探索发现二问题5：什么是等边三角形？等边三角形与等腰三角形有什么区别和联系？问题6：等边三角形有什么性质？问题7：一个三角形满足什么条件就是等边三角形了？为什么？五、学以致用请同学完成课本P63－64练习第1、2、3题．小结这节课你学到了什么？课堂作业补充练习体验、感悟等学习活动，获得知识为今后学生进行探索活动积累数学活动经验．通过“你有不同的证明方法吗”的问题，让学生学会质疑，学会从不同的角度思考问题，培养学生的发散性思维，激发探究问题的欲望和兴趣，通过对问题4的思考让学生加深对性质与判定的理解．板书设计:教学反思：

中考数学专题训练轴对称图形与等腰三角形(无答案)

轴对称图形与等腰三角形一、选择题 1．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．正方形的对称轴的条数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（） A．B．C．D． 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（） A．5 B．C．D．6 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（） A．6 B．6 C．9 D．3 6．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（）

A．B．1 C．D．2 7．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=1，则AC的长是（） A．2 B．2 C．4 D．4 8．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（） A．2 B．C．D． 9．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（）

轴对称和等腰三角形

P C B O D A 轴对称及等腰三角形一．填空题 1..如果等腰三角形的顶角是36°，则它的底角是_______度若等腰三角形的一个底角是36°, 则它的顶角是_________度变式:若等腰三角形的一个角为36°,则它的另外两个角是________ 若这个角为110°,则它的另外两个角是________ 2. 等腰三角形两边的长分别为16和7.，则周长等于___________ 3.等腰三角形周长为13，一边长为4，其他两边的长分别为__________. 4..等边三角形两条中线所组成的钝角是______度。 5.等腰三角形一个角是50度，则底角是_______度。 6.三角形ABC 中，AB=AC, BC=12cm ，∠ A 的平分线是10cm ，则?ABC 的面积是________. 7.. 等腰三角形一个腰上的高与底边的夹角是37度，则顶角是___________度。 8.在Rt △ABC 中， ∠C=90°, ∠B=60°,BC=2cm,则AB=______ 9.等腰三角形的底角等于15°，腰长为12，则腰上的高为__________ 10.若一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60o，则这个三角形是________________。 11.如右图，已知DE 是AC 的垂直平分线，AB=5cm ，BC=8cm ，则ΔABD 的周长为。 12．如图，在R t ABC △中，90B ∠=，ED 垂直平分AC 交AC 于点D ，交BC 于点E ，已知BAC EAB ∠∠:=1：3，则C ∠= ． 13．已知：如图，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB 、BC 于D 、E ，AE 平分∠BAC ，若∠B=400，则C ∠= ． 14.如图，∠AOP=∠BOP=15°,PC ∥OA,PD ⊥OA.若PC=4,则PD= 15．已知：△ABC 中，∠B =90°， O ，的度数为 . 16．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________． 17．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 18．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 19．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 13题 14题 12题

初中七年级数学轴对称

7年级下复习轴对称一、知识点 1、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识 ⑴轴对称图形：如果_____个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够________，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做____________。 ⑵轴对称：对于____个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成________，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做__________ 2、线段垂直平分线的性质 ⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是__________________ ⑵线段的垂直平分线上的点到______________________相等 3、角平分线的性质 ⑴角是轴对称图形，其对称轴是_______________ ⑵角平分线上的点到______________________________相等 4、等腰三角形的特征和识别 ⑴等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”） ⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合（简称为“________________”） ⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的________也相等（简称为“____________________”） 5、等边三角形的特征和识别 ⑴等边三角形的各____相等，各____相等并且每一个角都等于________ ⑵三个角相等的三角形是__________三角形 ⑶有一个角是60°的____________三角形是等边三角形

一、选择题 1．下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．图9-19中，轴对称图形的个数是（） A．4个B．3个C．2个D．1个 3．下列判断正确的是（） A．经过线段中点的直线是该线段的对称轴 B．若两条线段相等，那么这两条线段关于某直线对称 C．若两条线段关于某直线对称，那么这两条线段相等 D．锐角三角形都是轴对称图形 4．下列图形中不是轴对称图形的是（） A．有两个角相等的三角形； B．有一个角是45°的直角三角形． C．有两个角分别是50°和80°的三角形 D．平行四边形． 5．一个等腰三角形的一个角是50°,它的一腰上的高与底边的夹角是( ) A．25°B．40°C．25°或40°D．不确定. 6．有一个等腰三角形的周长为25,一边长为11,那么腰长为( ) A．11 B．7 C．14 D．7或11 7．若三角形中最大内角是60°,那么这个三角形是() A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不确定

等腰三角形的轴对称性

等腰三角形的轴对称性 1.知识.能力聚焦 1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线是它的对称轴。（2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（3）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”） 2.等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”），这就是等腰三角形的重要判定方法。 3.直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。在应用该性质时应注意以下两点：（1）必须是在直角三角形中；（2）中线必须是斜边上的中线，二者缺一不可。

4.等边三角形（1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。（2）性质：应为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有如下性质： ①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。 ②等边三角形是每个角都等于60° （3）识别：判定等边三角形有如下三种方法: ①三边相等的三角形是等边三角形。 ②三个角都相等的三角形是等边三角形。 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。创新.思维拓展等腰三角形性质的拓展由于等腰三角形的特殊性，除了边、角的等量关系以外，还有以下特殊的性质；（1）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等。

E D C B A 第2题（2）等腰三角形两底角的平分线相等。（3）等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等。（4）在一个三角形中，等边对等角，如果边不等则所对的角也不等，并且大边对大角。再探直角三角形的性质在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。习题 1．(1)等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是； (2)等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是； (3)若等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．12或15 2．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD 是BC 边上的中线，且BD=BE ，则∠ADE 是 °．

初中数学：轴对称等腰三角形知识点归纳总结

初中数学轴对称、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．线段的垂直平分线

（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．关于坐标轴对称点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y）

沪科版轴对称与等腰三角形总复习

一对一辅导教案学生姓名性别年级初二学科数学授课教师上课时间年月日寒假一对一课程课时：课时教学课题轴对称知识点的回顾巩固复习教学目标1、回顾轴对称的相关知识概念和性质特点。 2、掌握轴对称的性质和判定，以及运用。 3、熟练解决有关轴对称的综合运用问题。教学重点与难点熟练掌握轴对称的相关性质运用和技巧教学过程知识点一：轴对称（一）轴对称图形和轴对称 1、轴对称图形（1）定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。例如，等腰三角形是轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对称轴．其它如等边三角形、矩形、圆、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形．如图1．（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2、轴对称（1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，也可以说这两个图形关于这条直线成轴对称。如上右图。（2）成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.

3、轴对称图形与轴对称的区别和联系（1）区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。（2）联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．（二）线段的垂直平分线 1．线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2．线段的垂直平分线的作法： ①分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点； ②作直线CD；则直线CD即为线段AB的垂直平分线。知识点二：作轴对称图形 1．作轴对称图形：（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2．用坐标表示轴对称：点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）. 知识点三：等腰三角形（一）等腰三角形 1、定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形。 2、等腰三角形性质（1）等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；注意：常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题。（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）。特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°。 3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）。（二）等边三角形 1、定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。 2、等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°。 3、等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

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