2016考研数学（一）真题及答案解析
考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设{}n x 是数列下列命题中不正确的是（ ） （A ）若lim n n x a →∞
=，则221lim lim n n n n x x a +→∞
→∞
==
（B ）若221lim lim n n n n x x a +→∞
→∞
==，则lim n n x a →∞
=
（C ）若lim n n x a →∞
=，则321lim lim n n n n x x a -→∞
→∞
==
（D ）若331lim lim n n n n x x a -→∞
→∞
==，则lim n n x a →∞
=
【答案】（D ）
（2）设211
()23
x x y e x e =
+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则 （A ）3,2,1a b c =-==-
（B ）3,2,1a b c ===- （C ）3,2,1a b c =-== （D ）3,2,1a b c === 【答案】（A ）
【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出3,2,1a b c =-==-。故选A 。 （3）若级数
1
n
n n a x
∞
=∑在2x =
处条件收敛，则x =
3x =依次为幂级数1
(1)n n n na x ∞
=-∑的（ ）
（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】（A ） 【解析】因为级数
1
n
n n a x
∞
=∑在2x =处条件收敛，所以2R =，有幂级数的性质，
1
(1)
n
n
n na x ∞
=-∑的收敛半径
也为2R =，即13x -<，收敛区间为13x -<<，则收敛域为13x -<≤
，进而x =3x =依次为幂
级数
1
(1)
n
n
n na x ∞
=-∑的收敛点，收敛点，故选A 。
（4）下列级数发散的是（ ） （A ）
18
n
n n ∞
=∑ （B
）
1
1)n n ∞
=+
（C ）2
(1)1
ln n n n ∞
=-+∑
（D ）
1
!
n
n n n
∞
=∑
【答案】（C ）
【解析】（A ）12212 (888)
n n n n
S u u u =+++=
+++， 231211127111817()......(1())8888888884988
n n n n n n n n n n n
S S S ++=+++?=+++-?=--，8lim 49n n S →∞=
存在，则收敛。
(B)3
3
1
2
2
1
11)
n n u n n
n
∞
==+?∑
收敛，所以（B ）收敛。
（C ）222(1)1(1)1ln ln ln n n n n n n n n ∞
∞∞===-+-=+∑∑∑，因为22
(1)1
,ln ln n n n n n ∞∞==-∑∑分别是收敛和发散，所以2(1)1ln n n n ∞
=-+∑发散，故选（C)。
（D)!,n n n u n =11lim lim 11n
n n n n u n e u n -+→∞→∞??
==< ?
+??
，所以收敛。 （5）设矩阵22
111112,14A a b a αα????????==????
????????
，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为（ ） （A ）,a α?Ω?Ω （B ）,a α?Ω∈Ω （C ）,a α∈Ω?Ω （D ）,a α∈Ω∈Ω 【答案】（D ）
【解析】Ax b =有无穷多解?()()
3,0r A r A A =
当1a =时，221111111
1
121
010
114100032A ααααα????
? ?=→- ? ? ? ?-+?
??? 从而2
32=0=1=2αααα-+?或时Ax b =有无穷多解
当2a =时，22111
11111
122
011
1144000
32A ααααα????
? ?=→- ? ? ? ?-+?
???
从而2
32=0=1=2αααα-+?或时Ax b =有无穷多解 所以选D.
（6）二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222
1232y y y +-，其中123(e ,e ,e )P =，若
132(e ,e ,)Q e =-，123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准型为（ ）
（A ）222
1232y y y -+ （B ）222
1232y y y +- （C ）222
1232y y y -- （D ）222
1232y y y ++
【答案】（A ）
【解析】由已知得222
123123(,,)2T T f x x x Y P APY y y y ==+-，232(1)Q PE E =-，
从而
123223232(,,)(1)(1)T T T T
T T f x x x Y Q AQY Y E E P APE E Y
==--222
223232123(1)(1)2T T Y E E P APE E Y y y y =--=-+，其中23100001010E ????=??????，2100(1)010001E ??
??-=-??????
均为初
等矩阵，所以选A 。
（7）若,A B 为任意两个随机事件，则 （A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥
（C ）()()
()2
P A P B P AB +≤
（D ）()()
()2
P A P B P AB +≥
【答案】（C ）
【解析】排除法。若AB =Φ，则()0P AB =，而(),()P A P B 未必为0，故
()()
()()(),
()2
P A P B P A P B P AB P AB +≥≥，故,B D 错。
若A B ?，则()()()()P AB P A P A P B =≥，故A 错。 （8）设总体123(,),,,X B m X X X θ~为来自该总的简单随机样本，X 为样本均值，则21()n i i E X X =??
-=????
∑
（A ）(1)(1)m n θθ--
（B ）(1)(1)m n θθ-- （C ）(1)(1)(1)m n θθ--- （D ）(1)mn θθ- 【答案】（B ） 【解析】
()()2212
11(1)1(1)(1)
n
i i n
i i E X X ES DX m n E X X m n θθθθ==??-===-??-??
??
?-=--????
∑∑
二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上)． （9）2
0ln(cos )
lim
x x x →=_____.
【答案】12
-
【解析】2000sin ln cos 1sin 1cos lim lim lim 22cos 2x x x x
x x x x x x x →→→-
==-=- (10) 22sin 1cos x x dx x
π
π-
??
+= ?+???_______.
【答案】
2
4
π
【解析】22
222202222
sin sin sin 21cos 1cos 1cos 4x x x x dx dx xdx dx xdx x x x π
ππππ
πππππ----??+=+=+=
?+++??????? (11) 若函数(,)z z x y =有方程cos 2z
e xyz x x +++=确定，则(0,1)
dz =_______.
【答案】dx -
【解析】对cos 2z
e xyz x x +++=两边分别关于,,x y z 求偏导，并将(0,1)这个代入，得到
(0,1)(0,1)
1,
0z
z x
y
??=-=??，所以(0,1)
dz
dx =-。
（12）设Ω 是由 1x y z ++= 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 ()23x y z dxdydz Ω
++=???
【答案】
14
【解析】由对称性，
()1
02366,Z
D x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy Ω
Ω
++==?????????
其中
Z D 为平面 z z = 截空间区域 Ω所得的截面 其面积为 21
(1)2z -
所以：
()()1
12320011
2366(1)3224
x y z dxdydz zdxdydz z
z dz z z z dz Ω
Ω
++==-=-+=????????
(13) n 阶行列式
20
0212
02
_______00220
012
-=-
【答案】1
22n +-
【解析】按第一行展开得
111122*********
202002
2
12
2(1)2(1)222(22)2222222
22
n n n n n n n n n n D D D D D +------+-=
-=+--=+=++=++=+++=-
（14）设二维随机变量(),X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0),N 则{}0.P XY Y -<=
【答案】
12
. 【解析】由0,XY ρ=故,X Y 独立。
{}(){}(){}(){}
(){}{}(){}{}01010,010,0100100.11111.22222
P XY Y P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y -<=-<=-<>+-><=-<>+-><=?+?=
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）设函数3
()ln(1)sin ,(),f x x a x bx x g x kx =+++=若()f x 与()g x 在0x →时为等价无穷小，求
,,a b k 的值。
【解析】由题意，
3/1,2/1,1)()(6/3/)2/()1(lim ))(6/())(3/2/(lim 1sin )1ln(lim 1
)
()
(lim
3434320333332030x 0x -=-=-=?=++-+-++?=+-+++-+?=+++?=→→→→k b a k x x o x o bx ax x a b x a k x
x o x x bx x o x x x a x kx
x bx x a x x g x f x x （16）计算二重积分()D
x x y dxdy +??
，其中{}
222
(,)2,D x y x y y
x =+≤≥。 【解析】
1
22()2D
D
D
D I x x y dxdy x dxdy xydxdy x dxdy =+=+=????????，
其中{
}
222
1(,)2,,0D x y x y y x x =+≤≥≥， 则2
1
1
2
20
2
()224
5
x
D
D I x x y dxdy x dxdy dx dy π
=
+===
-
?????。
（17）已知函数(,),f x y x y xy =++曲线22
:3,C x y xy ++= 求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数 【解析】因为(,)f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模
'(,)1,'(,)1,x y f x y y f x y x =+=+
{}(,)1,1,gradf x y y x =++
此题目转化为对函数
(,)g x y = 在约束条件 22:3,C x y xy ++=
下的最大值，即为条件极值问题。本问题可以转化为对 22(,)(1)(1)d x y y x =+++ 在约束条件 22:3,C x y xy ++= 下的最大值，构造函数
2222(,,)(1)(1)(3)f x y y x x y xy λλ=++++++-
22
'2(1)(2)0'2(1)(2)0'30
x y F x x y F y y x F x y xy λλλ?=+++=?
=+++=??=++-=? 1234(1,1),(1,1),(2,1),(1,2),M M M M ---- 1234()8,()0,()9,()9,d M d M d M d M ====
3.=
故最大值为3.
（18）设函数()f x 在定义域I 上的导数大于0，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f =，求()f x 的表达式。 【解析】000()'()()y f x f x x x -=-
000'()()()y f x x x f x =-+
[]0
000()000'()
'()()()4x f x x f x f x x x f x dx -
-+=?
解得：23dy y dx
=
分离变量可得：1
3x c y
-=+ 因为 (0)2y = 所以 12
c =-
综上 2
()16f x x
=
- 19、已知曲线L
的方程为z z x
?=??=??
，起点为A
，终点为(0,B 计算曲线积分
2222()()()L
I y z dx z x y dy x y dz =++-+++?
【解析】由题意假设参数方程cos ,:22cos x y z θ
ππ
θθθ
=??=→-??=?
(
)
(
)
2
2
2
22
2
2
2
2
(cos)sin2sin cos1sin sin
cos sin1sin sin
sin
2
d
d
d
π
π
π
π
π
θθθθθθθθ
θθθθθθ
θθ
-
-
??
-++++
??
??
=+++
??
??
==
??
?
?
（20）向量组
123
,,是3R的一个基，
11322313
22,2,1,
k k
（Ⅰ）证明
123
,,为3R的一个基；
（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量在基
123
,,与基
123
,,下的坐标相同，并求所有的. 【解析】（Ⅰ）证明：
()()
()()
12313213123
201
,,22,2,1 =,,020
201
k k
k k
βββαααααααα
??
?
=+++ ?
?
+
??
123
,,是3R的一个基
123
,,线性无关，即
123
,,3
r
()
123
201
,,020
201
r r
k k
βββ
??
?
= ?
?
+
??
又
201
02040
201
k k
()
123
201
,,020
201
r r
k k
βββ
??
?
= ?
?
+
??
=3
123
,,线性无关，为3R的一个基
（Ⅱ）由已知设
112233112233
,0
k k k k k k
11122233311322313
20 k k k k k k k k
即
有非零解，()
1
132132
3
2,,0
k
k k k
k
ααααα
??
?
++=
?
?
??
即有非零解
所以
13213123
101
2,,=,,0100
20
k k
k k
101
010=00
20
k
k k
??=
从而1
1
2
2
3
1
0k k k
2130,k k k
111310,0k k k εαα=-=≠
（21）设矩阵02313312A a -????=--????-??相似于矩阵12000031B b -????=??????
。 （1）求,a b 的值。
（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵。 【解析】（1）
由5
,5,4)],
32([132)2(,~]
32)2()[1(2
13313
2
,10)()1(130
000
213223212===---=-++-∴∴-++--=-------=-===?=--=----=
-b a a a a B A B A a a a E A b b b E B 故得）（特征值相同
λλλλλλλλλ
λ
λλλλλλλλ
λλ
λ
（2）由（1）得023133124A -????=--????-??
，其中特征值1231,5λλλ===， 当121λλ==时，解()0A E x -=方程的基础解系为12231,001αα-????
????==????????-????； 当35λ=时，解(5)0A E x -=方程的基础解系为3111α-????=??????
， 从而1231231231231(,,)(,,5)(,,)(,,)15A A A A αααααααααααα??
?
=?= ? ???
， 因为123,,ααα线性无关，所以令123,,P ααα=可逆，即231101011P --????=-??
????，使得1
115P Ap -??
?= ? ???
。 （22）设随机变量X 的概率密度为2ln 20
()0
0x x f x x -?>=?≤?，对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于
3的观测值出现为止，记Y 的观测次数。 （1）求Y 的概率分布。
（2）求EY 。 【解析】
（1）2ln 2,0
()0,0x x f x x -?>=?≤?，
{}31
32ln 28x p P X dx +∞
-=>==
?
所以Y 的概率分布为{}2
22
11
1717(1),2,3
8888n n n P Y n C
n n ---??????
===-= ? ? ?
??
????
（2）22
2
21717(1)(1)88648n n n EY n n n n -∞
∞==????
??
=-=- ? ? ???????∑∑
令
2
2
()(1)n n S x n n x
∞
-==-∑，
2
12
()n n S x nx
∞
-==∑，
2
210
2
()()1x
n
n x S x S t dt x x ∞
====
-∑?
()
2
2122()11x x x S x x x '??-== ?--??，()()2
13212(2)()()1x x x S x S x x -+-'==- 1716
648EY S ??=
= ???
（23）设总体X 的概率密度为1
1
(;)10
x f x θθθ
?≤≤?
=-???其他
，其中θ为未知参数，12,,...,n X X X 为随机样
本。
（1） 求θ的矩阵估计量； （2）求θ的最大似然估计量。 【解析】 （1）2
1
1
0111(;)112
2
x EX xf x dx x dx θθθθ+∞
-∞
+=
==?
=
--?
??2121EX X θθ?=-?=-。 （2）设12,,...,n X X X 为观测值，则11111,1,2,...,()(;)1(1)0n n
i n
i i i x i n L f x θθθθθ==?=<<=?==--???∏∏其他
ln ()ln(1),1,i 1,2,...,i L n x n θθθ=--<<=，ln ()1011d L n n d θθθθ
-=-=>--，取?min{}i
X θ=。
2016年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当+
→0x 时，若)(ln x 21+α
，α1
1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）
（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2
10
【详解】α
ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2
11
21
1x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知???
??>>121
α
α
所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）．
2．下列曲线有渐近线的是
（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2
（C ）x
x y 1sin
+= （D ）x x y 12
sin +=
【详解】对于x
x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01
==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =
应该选（C ）
3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）
（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤
【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然
x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是
)()(x g x f ≤，应该选（D ）
4．曲线???++=+=1
472
2t t y t x ,
上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）
（Ａ）5010（Ｂ）100
10
(Ｃ）1010 （Ｄ）105
【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)
'("y y K +=，曲率半径K R 1
=．
本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222
122
t
t t dx y d -=-
=，
对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)
'("y y K ，曲率半径10101
==K R ． 应该选（C ）
5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→2
2
x
x ξlim
（ ）
（Ａ）1 （Ｂ）
32 （Ｃ）21 （Ｄ）31
【详解】注意（1）2
11x x f +=)('，（2）
)(arctan ,3
3310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，2
2
)(arctan arctan x x x -=ξ，
3131333
02022
0=+--=-=→→→x
x o x x x x x x arx x x x x x )()(lim )(arctan tan lim lim ξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足
02≠???y x u
及02222=??+??y u
x u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部； （C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上； （D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．
【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是0=??=??y u
x u ，在这个点处x y u y x u B y
u C x u A ???=???=??=??=222222,,，由条件，显然02
<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值
点必定都在区域D 的边界上． 所以应该选（A ）．
7．行列式
d
c d c b
a b a 00000000等于
（A ）2
)(bc ad - （B ）2
)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2
222c b d a +- 【详解】
20000000000000000)(bc ad d
c b
a bc d c
b a ad d
c c b
a b d c d
b a a d
c d c b
a b a --=+-=+-=
应该选（B ）．
8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的
（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则
（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=???
?
? ??=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于
2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．
而当???
?
? ??=????? ??=????? ??=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但
321ααα,,线性相关；故选择（A ）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．
?∞-=++1
2521
dx x x ．
【详解】??∞-∞-∞-=??? ??--=+=++=++111228
32421212141521π
ππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．
【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=
?
2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即
x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．
11．设),(y x z z =是由方程472
2=+++z y x e yz 确定的函数，则=??
? ??2121,|dz ．
【详解】设4722-+++=z y x e
z y x F yz
),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当21
=
=y x 时，0=z ，21-=-=??z x F F x z ，21
-=-=??z y F F y z ，所以=??
? ??2121,|dz dy dx 2121--．
12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点???
?
?=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 【详解】先把曲线方程化为参数方程?
??====θθθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π
==y x ,，
πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点??
?
??=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即
.2
2
π
π
+
-
=x y
13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122
++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标
=x ．
【详解】质心坐标20
1135
1211
1221021
2
3101
0=
=++-++-==????dx x x dx x x x dx x dx
x x x )()()()(ρρ． 14．设二次型32312
22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ．
【详解】由配方法可知
2
3
2
2322313
2312
2213214242x
a x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=
由于负惯性指数为1，故必须要求042
≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．
三、解答题
15．（本题满分10分）
求极限)
ln())((lim
x
x dt t e t x t
x 1
1121
12+--?+∞
→．
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】
21
1211111
11222121
1
2
2
1
12
=??? ??-++=--=--=+--∞→∞
→+∞→+∞
→??x x o x x x x e x x
dt
t e t x x dt
t e t x x
x x
t
x x t
x )((lim )
)((lim ))((lim
)
ln())((lim
16．（本题满分10分）
已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+12
2
，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】
解：把方程化为标准形式得到22
11x dx
dy
y -=+)
(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得3
2
=C ，
即32313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知322
2222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ．
17．（本题满分10分）
D
【详解】由对称性可得
43
211212121
202
2
2
22222-==+=
+++=++=++??????
????D
D
D D dr r r d dxd y x dxdy
y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππ
sin )sin()
sin()()sin()sin(
18．（本题满分10分）
设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x
=满足x
x e y e z y
z x z 22
2224)cos (+=??+??．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．
【详解】
设y e u x
cos =，则)cos ()(y e f u f z x
==，
y e u f y e u f x z e u f x z
x
x y x cos )('cos )(",)('cos +=??=??222
2; y e u f y e u f y
z
y e u f y
z
x x x cos )('sin )(",sin )('-=??-=??222
2； x x x e y e f e u f y
z
x z 22222
2)cos (")("==??+?? 由条件x x e y e z y
z
x z 22
2224)cos (+=??+??， 可知
u u f u f +=)()("4
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：
u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为u y 4
1
-=*．
故非齐次方程通解为u e
C e C u f u
u 412221-+=-)(． 将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16
116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4
1
16116122--=-)(． 19．（本题满分10分）
设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤?
0；
（2）
??
≤?+
b
a
dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(．
【详解】
（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx x
a
x a
x
a
,)(∈≤≤???
10．
即[]b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤
?
0．
（2）令?
?
?-=
+
x
a dt
t g a a
x
a
du u f du u g u f x F )()()()()(，
则可知0=)(a F ，且??
? ??+-=?x
a dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，
因为,)(a x dt t g x
a
-≤≤
?
0且)(x f 单调增加，
所以)()()(x f a x a f dt t g a f x
a =-+≤??
? ??+?．从而
0=-≥??
? ??+-=?)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F x
a ， []
b a x ,∈
也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到
??
≤?+
b
a
dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(．
20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=
x x
x
x f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=
设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞
→lim ．
【详解】
x x
x x x x
x f x f x f x x x f 21111111121+=
++
+=+=+=)()()(,)(， ,)(x x x f 313+=， 利用数学归纳法可得.)(nx
x
x f n +=
1 ))ln(()()(n
n n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==???11111111101010，
111=??
?
??+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足
)(12+=??y y
f
，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积． 【详解】
由于函数),(y x f 满足
)(12+=??y y
f
，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数． 又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212
，从而可知y y y C ln )()(--=21， 得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=21222
2
．
令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212
．且当1-=y 时，2121==x x ,． 曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为
πππ)ln (ln )()(4
5
222121212-=-=+=??dx x x dx y V
22．（本题满分11分）
设???
?
? ??---=3021111
04321A ，E 为三阶单位矩阵．
2016年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2f u v ?= ??. (3) 设?? ???≥ -<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=?. (4) 二次型2 132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______. (6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(2 2σμN ,1,,21n X X X 和 2 ,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则 12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==?? -+-????=??+-?????? ∑∑. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2 ) 2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞ →)(lim ， ?????=≠=0 ,00 ,)1()(x x x f x g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则 (A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题： (1) 若 ∑∞=-+1 212)(n n n u u 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛.
2016年考研数学（三）真题 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{} max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其 样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. 1、若反常积分01(1)a b dx x x +∞ +?收敛，则 （A ）1a <且1b >. （B ）1a >且1b >. （C ）1a <且1a b +>. （D ）1a >且1a b +>. 2、已知函数2(1), 1,()ln ,1, x x f x x x -
2016考研数学（一）真题完整版 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（ ） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且 （2）已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -
一、 选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合要求的. （1） 设1(cos 1)a x x =-，32ln(1)a x x =+，3311a x =+-.当0x +→时，以 上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是 （A ）123,,a a a . （B ）231,,a a a . （C ）213,,a a a . （D ）321,,a a a . （2）已知函数2(1),1,()ln , 1,x x f x x x -
2016考研数学二真题及答案 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α 1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值 范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，αα α2 1 1 2 1 1x x ~ )cos (-是 α 2 阶无穷小，由题意可知??? ??>>121α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐 近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
2016考研数学三真题及答案 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞为总体X 的简 单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <
历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)
历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、（本题满分6分） 已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-???? ????-???? B P 求5,.A A 八、（本题满分8分） 已知矩阵20000101x ????=??????A 与20000001y ?? ??=?? ??-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P
2016年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹 的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、（本题满分6分） 已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-????????-????B P 求5 ,.A A 八、（本题满分8分） 已知矩阵20000101x ????=?? ???? A 与20000001y ?? ??=????-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P
* 4.微分方程 y 2 y x e 2x 的特解 y 形式为（） . * 2x * 2 x (A) y (ax b)e (B) y ax e (C) y * ax 2 e 2x (D) y * ( ax 2 bx)e 2 x 2016 年考研数学模拟试题（数学二） 参考答案 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分，每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内） 1.设 x 是多项式 0 P( x) x 4 ax 3 bx 2 cx d 的最小实根，则（） . （A ） P ( x 0 ) 0 （ B ） P ( x 0 ) 0 （C ） P ( x 0 ) 0 （ D ） P (x 0 ) 0 解 选择 A. 由于 lim P( x) x x 0 ，又 x 0 是多项式 P(x) 的最小实根，故 P (x 0 ) 0 . 2. 设 lim x a f ( x) 3 x f (a) a 1 则函数 f ( x) 在点 x a （） . （A ）取极大值（ B ）取极小值（ C ）可导（ D ）不可导 o o 解 选择 D. 由极限的保号性知，存在 U (a) ，当 x U (a) 时， f ( x) 3 x f (a) a 0 ，当 x a 时， f ( x) f (a) ，当 x a 时， f ( x) f (a) ，故 f ( x) 在点 x a 不取极值 . lim f ( x) f (a) a lim f ( x) f (a) a 1 x a x x a 3 x 3 ( x a) 2 ，所以 f ( x) 在点 x a 不可导 . 3.设 f ( x, y) 连续，且满足 f ( x, y) f ( x, y) ，则 f (x, y) dxdy （） . x 2 y 2 1 （A ） 2 1 1 x 2 1 1 y 2 0 dx f ( x, y)dy （ B ） 2 0 dy 1 y 2 f ( x, y)dx 1 1 x 2 1 1 y 2 （C ） 2 dx 1 x 2 f ( x, y)dy （ D ） 2 dy f ( x, y)dx 解 选择 B. 由题设知 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy 2 1 0 dy 1 y 2 1 y 2 f ( x, y)dx . x 2 y 2 1 x 2 y 2 1, y 0
2016年考研题 第1页一、选择题： （1）若反常积分01(1)a b dx x x +∞ +?收敛，则（A）1a <且1b >.（B）1a >且1b >. （C）1a <且1a b +>. （D）1a >且1a b +>.（2）已知函数2(1),1,()ln , 1,x x f x x x -
2016年考研数学（三）真题解析 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a = 1 ，b = 4 -. 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，且0)(cos sin lim 0 =-?→b x x x ，所以 0)(lim 0 =-→a e x x ，得a = 1. 极限化为 51)(cos lim )(cos sin lim 00=-=-=--→→b b x x x b x a e x x x x ，得b = -4. 因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知) () (lim x g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0； (2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0， 则 ) ()(22v g v g v u f '- =???. 【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) = )() (v g v g u +， 所以，)(1v g u f =??， ) () (22v g v g v u f '-=???. (3) 设?? ???≥-<≤-=21 ,12121,)(2 x x xe x f x ，则2 1 )1(22 1- = -?dx x f . 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可. 【详解】令x - 1 = t ，? ? ? - -==-1 2 11 2 12 2 1)()()1(dt x f dt t f dx x f
考研数学二答案 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]
2016年考研数学二答案 【篇一：2016考研数学数学二试题(完整版)】 ss=txt>一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. （1） 设a1x 1)，a2 ，a31.当x0时， 以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是 （a）a1,a2,a3.（b）a2,a3,a1. （c）a2,a1,a3.（d）a3,a2,a1. 2(x1),x1,（2）已知函数f(x)则f(x)的一个原函数是 lnx,x1, (x1)2,x1.(x1)2,x1.（a）f(x)（b）f(x) x(lnx1),x1.x(lnx1)1,x1. (x1)2,(x1)2,x1.x1.（c）f(x)（d）f(x) x(lnx1)1,x1.x(lnx1)1,x1. 1+111 exdx的敛散性为（3）反常积分①2exdx，②2x0x0 （a）①收敛，②收敛.（b）①收敛，②发散. （c）①收敛，②收敛.（d）①收敛，②发散. （4）设函数f(x)在(,)内连续，求导函数的图形如图所示，则 （a）函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有2个拐点. （b）函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有3个拐点. （c）函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有1个拐点. （d）函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有2个拐点. （5）设函数fi(x)(i1,2)具有二阶连续导数，且fi(x0)0(i1,2) 线，若两条曲 yfi(x)(i1,2)在点(x0,y0)处具有公切线yg(x)，且在该点处曲线yf1(x)的曲率大于曲线yf2(x)的曲率，则在x0的某个领域内，有 （a）f1(x)f2(x)g(x) （b）f2(x)f1(x)g(x) （c）f1(x)g(x)f2(x) （d）f2(x)g(x)f1(x) ex （6）已知函数f(x,y)，则 xy （a）fxfy0 （b）fxfy0 （c）fxfyf （d）fxfyf （7）设a，b是可逆矩阵，且a与b相似，则下列结论错误的是
2016考研数学（一）真题及答案解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（ ） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且 （2）已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -
2016年考研数学二答案 【篇一：2016考研数学数学二试题(完整版)】 ss=txt>一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. （1） 设a1x 1)，a2 ，a31.当x0时， 以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是 （a）a1,a2,a3.（b）a2,a3,a1. （c）a2,a1,a3.（d）a3,a2,a1. 2(x1),x1,（2）已知函数f(x)则f(x)的一个原函数是 lnx,x1, (x1)2,x1.(x1)2,x1.（a）f(x)（b）f(x) x(lnx1),x1.x(lnx1)1,x1. (x1)2,(x1)2,x1.x1.（c）f(x)（d）f(x) x(lnx1)1,x1.x(lnx1)1,x1. 1+111 exdx的敛散性为（3）反常积分①2exdx，②2x0x0 （a）①收敛，②收敛.（b）①收敛，②发散. （c）①收敛，②收敛.（d）①收敛，②发散. （4）设函数f(x)在(,)内连续，求导函数的图形如图所示，则 （a）函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有2个拐点.
（b）函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有3个拐点. （c）函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有1个拐点. （d）函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有2个拐点. （5）设函数fi(x)(i1,2)具有二阶连续导数，且fi(x0)0(i1,2) 线，若两条曲 yfi(x)(i1,2)在点(x0,y0)处具有公切线yg(x)，且在该点处曲线yf1(x)的曲率大于曲线yf2(x)的曲率，则在x0的某个领域内，有 （a）f1(x)f2(x)g(x) （b）f2(x)f1(x)g(x) （c）f1(x)g(x)f2(x) （d）f2(x)g(x)f1(x) ex （6）已知函数f(x,y)，则 xy （a）fxfy0 （b）fxfy0 （c）fxfyf （d）fxfyf （7）设a，b是可逆矩阵，且a与b相似，则下列结论错误的是 （a）at与bt相似 （b）a1与b1相似 （c）aat与bbt相似 （d）aa1与bb1相似
2016年考研数学三考试大纲原文 2016年考研数学三考试大纲原文 考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试 三、试卷内容结构 微积分约56% 线性代数约22% 概率论与数理统计约22% 四、试卷题型结构 单项选择题选题8小题，每小题4分，共32分 填空题6小题，每小题4分，共24分 解答题(包括证明题)9小题，共94分 微积分 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算
极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系 2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念 5、了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念 6、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法 7、理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系 8、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型 9、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值 考试要求 1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念)，会求平面曲线的切线方程和法线方程
2016年考研数学二真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+ →0x 时，若)(ln x 21+α，α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围 是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 4．曲线???++=+=1 472 2t t y t x , 上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ） 5010（Ｂ）100 10 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→2 2 x x ξlim （ ） （Ａ）1 （Ｂ） 32 （Ｃ）2 1 （Ｄ）31 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足0 2≠???y x u 及0222 2=??+??y u x u ，则（ ）．
（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部； （C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上； （D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上． 7．行列式 d c d c b a b a 00000000等于 （A ）2)(bc ad - （B ）2 )(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2 222c b d a +- 8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量 321ααα,,线性无关的 （A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9． ? ∞ -=++12 5 21 dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则 =)(7f ． 11．设),(y x z z =是由方程47 22= +++z y x e yz 确定的函数，则=?? ? ??2121,|dz ． 12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点?? ? ??=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122 ++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．
2016考研真题完整版 数学（一） 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（ ） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且 （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -