a
2016a
2017
2016
k =2
，显然｛
a n ｝
单调递增，且
玄2016玄2017 ■ 2，从
2016
而「
k =2
a
2016a 2017
2
_
2 a
2016a
2017
2016
=1，故［7
k =2 a k 4a k 1
3?已知点A(0,1)，曲线C: y =log a X 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，若
小值为2，则实数a 的值为 _____________
解：由于A(0,1),B(1,0)，则根据向量的投影的定义可知, 值为 2，即曲线C : ^ log a x 在点B(1,0)处的切线垂直直线 AB ，考虑到k AB =-1，
1
又 log a X '
log a e ， X 贝y 】
log a e=1
，即 a =e .
1
Z 与点(丄，-丄3)的距离的最大值为3，故
2 2
5?已知正四棱锥 P-ABCD 的五个顶点都有一个球面上 ?若该四棱锥的体积为 V ，则该球的 表面积
的最小值为 ____________________ .
1 2 解：设正四棱锥的底边长为 a,高PH 为h ，则-ah 二V ?设四棱锥的外接球的球心为
3
球的表面积 S =4 二 r 2 _4—i 3 33V "
3V
14
丿4
6.已知函数f (x) = 4二arcsin x -(arccos(-x))2的最大值为M ,最小值为N ,则
M -N -
4?若复数z 满足|z| = 2 ,
」z 2 二 z_[L
|2z-1 -、、3i
|
的最大值为
|Z 2
-Z 1|
解：由于
| 2z-1 -J3i |
I j 3i 「1- 3i_
|z-—z —^|
1 + 恥―2
」3i | Jz-1 _ 3i |，由于|z|=2，根据复
2 2
|z 2
-z 1|
|2z -1 -、、3i
|
最大值为
AP 在AB 方向上的投影的最大
数运算几何意义可知，在圆
x 2
y^4上的点
O ，则在 OBH 中，由于OH
=h - r,OB = r, BH
a “2
，则r 2
a =(h - r)2
，从而
2
2
r
2
2h
2h 2
a 2
2h 2
4h
3V
」=-h 4h 2
」(h h 卑)一 33-3V .则
4 h 4
解: 由于 arccos(-x)
arcsin(-x) arcsinx ，从而 2 2
f (x) =4\ arcsin x -(三'arcsin x)2 ，从而
AP 的最
令t =arcsinx ?[,],则f(x)=4-t_「t)2 -_t2，显然
2 2' 2 " 4 2 2
当M _N =f (j) _f (_j) =3二2.
x2y222
7.点P是椭圆1在第一象限上的动点，过点P引圆x y =9的两条切线
16 9
PA, PB,切点为A, B，直线AB与x轴，y轴分别交于点M ,N，则.MON的面积最小值为.
解：设点P(4cos -,3sin -)，则直线AB的方程为4c
°S=
x 3si
^^
1，即
16 9
3co ⑹
4 sy n，则M(丄4 ,0), N(0^3 )，则S MON
6 12
12
cos 日
sin 日sin 日cos 日sin 20
当取等号.故：MON的面积最小值为12.
4
2^i 100 3 150
8?多项式(1+x+x卄||+x )的展开式在合并同类项后，x 的系数为______________ .
解：利用多项式展开原理可知
(1 X X2川X100)3二(1 X X2?川X100)(1 X X2川X100)(1 X X2川x100)设三个括号中所取的项的次数分别为x-i, x2, x3，从而x150的系数即方程X| x2 x^ 150
且0^X1,X2,X3^100,X「Z的不同的解(X1 ,X2 ,X3的个数?显然方程组
X1+x尹x亏150 (X1 ,X2 ,X3 i0 x z=,i的解的个数用隔板法即得= ，当存在x i _101(i -1,2,3)时，不妨设为洛一101 ，贝V (% -100 )+(x2 + 1) +(x3+1) =52(X >101)的解的个数为C：
综合上述，所求的X150的系数为-3C；1 =7651.
9.已知關非零的不共线的向量.设OC OA OB .定义点集
M 二｛K |
KAKC
|KA| _
K1, K2 M 时，若对任意的r—2 ,不等式
|K1K2匸c|AB|恒成立，则实数c的最小值为
AC
解：显然A,C,B共线，且--，不妨设AC = r,CB 二1,由于
|KA| |KB|
则CK 壮AKB 的角平分线，从而笔=「，则根据圆的定义可知点K 的轨迹为圆，在AB 的延长线上取一点 D ，使得LAD-Lr ，从而BD
，从而点K 在以CD 为直径的圆
|DB | r -1
二三（r 一2） r -
r
11.甲、乙两人做一种游戏：连续抛掷一枚硬币若干次，当正（或反）面向上的次数累计达 到5次时游戏结束?游戏结束时，如果正面向上的次数累计达到 5次，则甲获胜；否则乙获
胜?那么，抛掷不足9次就决出胜负的概率为 _______________ .
解：先考虑9次结束游戏的情形，则前 8次中有4次正面朝上和4次反面朝上，从而 9
上.由此
2r r 2
-1
l|AB| 皿
-4
.故c 的最小值为
3
1
10.数列{a n } :a n 1
，若对任意的正整数
2—a .
n ，均有am a .，则印的取值范围为
二.简答题
13.在数列｛a .｝中，a1 =1,a^— 4/2n 3心（n N,n_ 2）. n —1 （I ）求数列｛a n ｝的通项公式.
（II ）令0=色』（n ?N *），证明：数列
如飞 的前n 项和S 「：：2.
n+1
g-1）J
解：（1）空=_^耳
2 3n
，从而旦n =（空_邑A ）.（电1
巫L ）. HI ?（竺_旦）?色
n n-1
n n n_1
n_1 n-2
2 1 1
= 2（3n _ 3n
「||「3°）"沪，即 a — n 3nJ .
n n _1 n
n 」
2b n
_ 2 3 _ 2 3 3 -3 2 3 (b n -1)
2
_
(3n
-1厂(3n
-1)(3nJ -1) 3n
-1 (3n
-1)(3心 -1)
14.已知二次函数f (x)满足| f ( 0列 2f, |伍2 ) | f 2, | M 当［—2,2］时，求
y H f ( x)的最大值.
次结束的概率为 C ； 35
128
，从而抛掷不足9次就决出胜负的概率为
C 8「 28
35 93
128 128
（2）由于b n =3n
，则
1 3nJ -1
1
3n -1 3 1 （n -1），从而〈：：：2 ?厂
1
3n
-1
：2.
c = f(0)
，则 ^a =
2
解：设 f (x)二 ax bx c(a =0)，则 4a 2b
? c = f (2) 4a -2b
c = f(-2)
c 二 f (0)
f(2) f(-2) -2f (0) 从而 y =| f (x) | = f(2) + f (—2)—2f(0) 2 卜 f(2) — f (—2) X
4 x+ f(0)=
x 2
2x
x 2
_2x
8 f
⑵飞—
4 _x 2
fWp f(0)
x 2
+2x
x - 2x + 4 - x
2
2 -，考虑到当
x 2
2x
x ［-2, 2］时
4
2
小
x -2x 0,从而
4
X 2+2X + x 2 -2x
+ 4-x 2 - X 2+2X
x 2-2x /-X 2 一
2
x 4
丨4
2 - 4 4
2
2
|x| 2
5 则当|x| = 1时，|f(x)|有最大值丫 . 2
从而当| f ( 2哥f —( 2)f\
=0且| 2丰 取最大值，显然函数
11
5
f(x)二(2 X 2
^2)或 f(x)二 gx 2
-x-2)满足条件?故 y =| f (x)| 的最大值为-.
2
15.已知 L G :(X -2)2 ? y 2 二 r 2是椭圆 令 y 2
的左顶点?
(I) 求L G 的半径r ；
(II) 过点M(0,1 )作［G 的两条切线与椭圆交于
解：(1)设点B(2 r,y o )，BC 与x 轴的交点为
D ，AB 与圆的切点为H ，则根据相似
GH AH r 36 -r 2
6 r
6 r
关系得
，从而y °
r .则点B （2 ■ r,
r ）代入椭
BD AD
y o 6 + r
467
（2 r ）2
/、6 r 2
6 r 2 （6 r ）（2 - r ） 2
圆中可得 （
r ）2
=1
r 2
，从而求得r .
16 ^6^
6-r 16 3
2 2 2
（2）设直线ME, MF 的方程分别为y =Kx ? 1,y =k 2x ? 1，由于两直线与圆（x - 2） ? y = r
|2匕=1| 二
相切，则
J ￡
3
，即k 1,k 2是方程32k 2 36k ^0的两根，从而
|2k 2 +1| 2
2 2 2
1
一产，故点E 坐标为(-虫学丄驴)，同理得F( 琴「，1婪2
).
16k f 1
16k ： 1 16k 12 1
16k ； 1 16k ； 1
3
斗）*壬-1 *，即
4 16k 12
1 16k
2 1 4
16k 12 1
1 -16k ； 1 -16k 12
9
16k ； 1 16k 2
1
k 1 k 2
8
3
二3，由此直线
— — 32 k 2 32k 1 1 -16k 1k 2 1-16 —
4 16k 2" 1
16k 12
1
32
故k EF
EF 的方程为 E, F 两点.证明：直线EF 与L G 相切.
联立方程
y = k j X 1
x 2
2 二（16好 1）x 2
32&x=0，
怎八
1
x
E
32k 1
16k 2
1
y 二二
3
x-1 牛 4 16k 12
1
考虑到 32k i 2
36k i ? 5 = 0，从而 16k ； ?仁-18^ -3
，从而
24k
； 2
=
.故直线
2
16k 1 +1
3
试题2：设n 是正整数，p,q 为素数，且pq | n P T,n ? 2 | n P ? n q ，证明：存在正整数 m , 使得 q|4m n 2.
EF 的方程为y 二二3
x
.此直线与圆
4 3
试题1:设n 为正整数,
a 1,a 2,|l(,a n ,b!,
b 2,M,b n ? R ，且满足对任意的 i =1,2,|||,n ，都
n
有a i b i 0证明：
i 二
ab _b ：
a
i - b i
n n
n 2
、a i
)i
)i
) 2 )
、(a i b i )
与圆G 相切.
