第六章 表象理论 （习题）
1． 应用δ-函数的性质，证明傅立叶变化的两个定理：如果
()()ikx f x g k e dx ∞
-∞
=
则
（1
）()()ikx g k f x e dx ∞
--∞
=
?
（2）
2
2
()()g k dk f x dx ∞
∞
-∞
-∞
=?
?
2．试求“波包”函数()x ψ的傅立叶变换()F k 。()x ψ定义为
()2ikx
d ae
x x ψ?≤≤?=???d 当-20
其它情形
3．?x
e 是由坐标x 构成的算符，写出它在坐标、动量表象中的表示式。 4．求线谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
5．求在动量表象中线性谐振子能量本征函数。
6．求三维各向同性谐振子在动量表象中的能量本征值和本征函数。
7．设粒子在周期场0()cos V x V bx =中运动，写出它在p 表象中的薛定格方程。
8．一个电子被限制在一块电介质（无限大）平面的上方（0x ≥）运动，介质的介电常数为ε，不可穿透。
按电象法可求出静电势能为()V x a
α
=-，其中2(1)
04(1)e e e α-=>+。 设在动量表象中求电子的能级（0E <）。
9．用动量表象计算粒子（能量0E >）对于δ势垒0()()V x V x δ=的透射几率。
10．粒子处于δ势阱0()()V x V x δ=-（ 00V >）中。用动量表象中的薛定格方程求解其束缚态的能量本征值及相应的本征函数。
11．求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式，然后算出2x p 。用在坐标表象中氢原子波函数算出2
x ，验证测不准关系。
12．已知线谐振子哈密顿量2
221??22
p H m x m ω=+的本征方程为?||n H n E n >=>，计算 （1） ?||m x n <>； （2） 2
?||m x
n <>；
（3） 3
?||m x n <>； （4） 4
?||m x
n <>。 13．在?z
L 表象中，求出 2
11()sin c ψ??= 2
22()cos c ψ??=
的矩阵形式。?z
L 为轨道角动量的z 分量。 14．设已知在2
?L 和?z L 的共同表象中，算符?x
L 和?y L 的矩阵分别为
010*******x L ?? ?= ??? ， 000200y i L i i i -?? ?=- ???
。
求?x
L 和?y L 的本征值和归一化本征函数，并将矩阵对角化。 15．设轨道角动量量子数1l =，试求2
?L ，?x
L 的共同本征函数（答案要用球坐标r ，θ，? 作自变量）。 16．有一物理体系，其三维空间由三个正交基1|u >，2|u >，3|u >来展开。现在考虑两个算符?x
L 和?S ，它们的定义为
?x L 1|u >=1|u >，?x L 2|u >=0，?x L 3|u >=-3|u >。 ?S 1|u >=3|u >，?S 2|u >=2|u >，?S 3
|u >=1|u >。 是写出用基矢1|u >，2|u >，3|u >来表示的代表算符?x L ，2?x
L ，?S ，2
?S 的矩阵。 17．设矩阵A ，B ，C 满足2A = 2
B = 2
C = I 且B C -C B = i A 。
（1）求证A B +B A =A C +C A =0；
（2）在A 表象中，求出B 与C 的矩阵（设无退化）。
18．矩阵A 与B 满足2
A =0，A A +
+A +
A =I ，
B =A +
A 。 （1）证明2
B =B ；
（2）在B 表象中求出A 的矩阵表示。
19。为了统一描述中子和质子，引用同位旋算符?τ
，设它的三个分量1?τ，2?τ，3?τ的本征值都是±1，即
21?τ=22?τ=23?τ=1且同时满足如下关系
1?τ
2?τ+2?τ1?τ=0 2?τ3?τ+3?τ2?τ=0
3?τ1?τ
+1?τ3?τ=0 若3?τ的本征值-1对应中子的态，+1对应质子态，试在3?τ表象中，求
(1) 1?τ
，2?τ，3?τ的矩阵表示； (2)中子态和质子态的归一化本征矢。
20.满足下列条件的n 维矩阵U 称为S n U 矩阵，即 U +
U =U U +=I ，d e t U =I 试求S 2U 的一般表示式。
21．设任何一个厄米矩阵能被一个幺正矩阵对角化，由此证明，两个厄米矩阵能被同一个幺正矩阵对角化的充要条件是它们彼此对易。
22．证明若三个厄米矩阵A ，B ，C 有如下对易关系： A B =B A ， A C =C A ， B C ≠C B 。 则A 的本征值必有退化。
23．在由正交归一基矢{1|u >，2|u >，3|u >}所张的三维态矢空间中考虑一物理体系，算符?H
和?B 定义如下：
H =100010001ω?? ?- ? ?-??， 100001010B b ??
?
= ? ???
式中ω和?B
是实常数。 （1）?H
和?B 是否厄米算符； （2）证明?H
和?B 可对易； （3）求?H
和?B 的共同本征矢。 24．用狄拉克符号证明以下定理： （1）厄米算符的本征值为实数；
（2）非退化厄米算符的诸本征矢是相互正交的。
25．对于任何两个代表不同状态的态矢量|ψ>和|?>未归一化），试证明下列施瓦兹不等式 ||ψ?<>|2
<ψ<|ψ>?<|?>。
26．从线性谐振子的基本对易关系
[,a a +
]=1 出发，证明 a a
a a e
ae e a λλλ++
--=
其中λ为参数。对于λ>0的情况，计算
T (λ)=a
Tre λ+
-
进而讨论算符a a +
的本征值谱。
27．一确定量子力学体系有一个二维希尔伯特空间的哈密顿量H 描述。在此二维空间内引用正交归一基矢组|1>和|2>哈密顿矩阵是一个2?2矩阵 1||11||22||12||2H H H H <><>??
=
?<><>??3443A iA iA A ??
?--??
其中A 是实数。试求
（1）体系的能量本征值；
（2）体系的归一化能量本征态（用|1>和|2>表示）；
（3）现在考虑含时间薛定格方程的解，假定t =0时|(0)?>=|2>，求t 时刻体系处在态
1
2
(|1>+i |2>) 的几率；
(4) 在（3）的初始条件下，求体系的能量平均值。 28．证明矩阵的迹与表象的选择无关，即
?||i
i
i
u A
u
<>=
∑?||j
j
j
t
A t <>∑ 29．证明
（1）d e t(A B )=d e t A d e t B ;
（2）d e t(1
S
-A S )=d e t A ;
（3）T r(A B )=T r(B A );
（4）T r(A B C )=T r(B C A )=T r(C A B ); （5）T r(1
S -A S )=T r A
30．已知
In A
=2770551? - ? ?---??
求A 的行列式d e t A 。
31．证明下列各题：
（1）设?U 为幺正算符|i
ψ>，|j ψ>为两个任意态矢。经?U 变换后，分别变为|i ψ'>，|j ψ'>。证明变换前后两矢量标积不变；
（2）设?A
为厄米算符，证明??iA
T e =是幺正的； （3）若?U
，?V 均为幺正算符，证明其积亦为幺正的。 32．证明
（1）在幺正变换下，一个厄米矩阵仍变为厄米矩阵，一个幺正矩阵仍变为幺正矩阵，对称矩阵会怎样？ （2）
2
?||||
al
l A
a <>∑与基|l >，|a >的选取无关。
33．已知算符?A 在自身表象中的矩阵形式为()A A =100000001??
? ?
?-??， 且从某一表象B 到A 表象的幺正变换矩阵为S
=22022i
i i i ??- ? ? ?- ??
?
。试求（1）?A 在B 表象中的本征值及本征矢； （2）?A
在B 表象中的矩阵形式。 34．设?U 为幺正算符?U =12
(?U +?U +
)+i (垐2U U i +-)≡??A
iB + 证明
（1）设?A
，?B 的共同本征态为|ab >，本征值分别为a ，b ，则u a ib =+，|u |=1，即2
2
1a b +=。从而1212
i h
itg
u e h itg
+==
-，其中cosh a =，sinh b =，h 为实数； （2）?U
可以表为?U =?iH e =?12?12
H itg H th
+- 35..证明
（1）若一个N 阶矩阵与所有的N 阶对角矩阵都对易，则必为对角矩阵； （2）若一个N 阶矩阵与所有的N 阶矩阵都对易，则必为常数矩阵。 36．已知狄拉克表述中的右矢完备系|i φ>（i =1，2，
，n ），投影算符定义为?||i i i
θφφ=><。
（1）证明1
?n
i
i I θ==∑
，I 为恒等算符； （2）若|i φ>为正交归一化完备系，证明
?垐0i j i j i j
θθθ?=??=?≠?? 37．设|u u <>，|v u <>取有限值，证明
T r ||u u ><=|u u <> T r ||u v ><=|v u <>
38．某物理体系的态空间是三维的，该空间的正交归一基底为1|u >，2|u >，3|u >，态矢0|ψ>和1|ψ>由下式定义
0|ψ>1|u >+2i 2|u >+2i
3|u >
1|ψ>1|u >3|u > 求在此基底中表示投影到0|ψ>和1|ψ>上的投影算符的矩阵形式0P 和1P 。 39．利用狄拉克符号解下列各题：
（1）证明(||)||u v v u +
><=><，其中|u >，|v >是两个任意右矢和左矢；
（2）证明投影算符?||P ψ
ψψ=><是一个可观察量（|ψ>是任意已归一化的右矢）； （3）设任意右矢|ψ>在基{|}i u >上的分量为|i u ψ<>，在基{|}h t >上的分量为|h t ψ<>。 写出|ψ>在两基上的分量之间的变换关系。
40．设厄米算符?H 的本征矢为|n ?>，{|n
?>}构成正交归一完备系。定义算符 ?U （,)||m n
m n ??=><） （1）计算对易子[?H
，?U （,m n ）]； （2）证明?U （,m n ）?U +
（,p q ）=?(,)nq U m p δ； ；
（3）计算 T r{?U
(,m n )}； （4）若算符 ?A 的阵元为 mn A =?||m n
A ??<>
则有
?A
=?(,)mn
mn
A
U
m n ∑ pq A =T r{?A
?U +
(,p q )} 41．若体系的哈密顿量不显含时间，用矩阵方法证明在能量表象中有
2
2
()2n
m nm n
E
E x μ
-=
∑
42．设 ?||n
H na E na >=>，n E 表示体系能量本征值，|na >表示能量本征态，a 是附加量子数，用来完全标志体系的状态。又设?F
是任意厄米算符，证明下列求和规律： 20
?()|||0|n na
E
E na
F -<>∑=1垐?0|[,[,]]|02
F H F <>
|0>表示基态（能量为0E ）。
43．哈密顿量2
??()2p H V x m
=+满足?||n H n E n >=>。当k 为实数时，求证 （1）2
2
?[,[,]]i x
i x k e H
e m
-= （2）
2
2
2
()||||2i x
l
l
k E
En n e
l m
-<>=∑
44．求连续性方程的矩阵表示式。 45．对一维谐振子，定义
?b
μω≡（?x
μω+?ip ） ?b
μω
+≡（?x
μω-?ip ） （1）求；[?b
，?b +
] （2）若 ?||n
H n E n >=>，1()2
n E n ω=+，n =0，1，2
且|1n n <>=，求 ?b
+?|?b n >= ?|?b n >= 46．设一维谐振子的态在其能量表象中为
1
2
??
?
?
?
?
?
?
??
求?H，2?x，2?z p在该态的平均值。
47振子的
2
?
?
2
p
H
μ
=+22
2
x
μ
ω，引入新变量?P，?Q，其中?P ?p
μω
，?Q ?x，则振子的薛定格方
程可写成
1
2
（2?P+2?Q）ψεψ
=，/
E
εω
=
（1）利用[?P，?Q]=i-，证明
1
2
（2?P+2?Q）()
??n
Q iP
±??
()()n
n Q iP
ψεψ
=±
这里n为非负整数。
（2）利用（1）及能量本征值的非负性，求振子的能量和本征函数。
（
3）令??
?()/
a Q iP
=
+??
?()
a Q iP
+=-,
求[?a，?a+]=？；利用?a+及基态波函数将第n个激发态表示出来。
（4）求?P，?Q在能量表象中的矩阵元。
48．反常波色子满足对易关系?a?a+-?a+?a=1-。定义真空?|00
a>=，0|01
<>=。求粒子数算符??
N a+
=-?a
的本征值和本征矢，并证明有些本征态模是负数。
49．描述量子力学体系的波函数遵从薛定格方程
?
|()|()
i t H t
t
ψψ
?
>=>
?
（1）写出下述变换矩阵(,)
U t t的形式解：
|()t
ψ>=(,)
U t t |()t
ψ>
（2）利用薛定格方程证明(,)
U t t是幺正矩阵。
50．设一量子力学体系在t时刻的状态()t
ψ与初始时刻t的状态()t
ψ通过
()t
ψ=(,)
U t t()t
ψ
联系，根据薛定格方程证明
其中?H是体系的哈密顿量（厄米算符），并证明考虑初始条件(,)
U t t=1后，上述微分方程与下述积分方程
等价
（1） (,)U t t =1?()(,)t
t
i
H
t U t t dt '''-
?
（2）U +
(,t t )U (,t t )=(,)U t t U +(,t t )=1
（3）1
U -(,t t )=U (,t t )
（4）U (,t t ')U (,t t ')=(,)U t t
51．求自由粒子坐标算符的海森堡图象。 52．已知自旋算符三个分量的矩阵表示为
???
?
??-=???
? ??-=???? ??=10012002,01102h S i i h S h S z y x
求在磁场()B B ,0,0=中，海森堡图象下自旋算符的表示式（设mc
q H 20
-
=∧
）B S ?。
第七章 自旋与角动量加法
（习题）
1． 在x σ表象中，求x σ与y σ的本征值与本征矢。 2． 在x σ表象中，求算符y σ与x σ的本征值与本征矢。
3． 在x σ表象中，求n ?σ的本征值与本征矢。()??θ?θcos ,sin sin ,cos sin n 是()?θ,方向的单位矢量。
4． 在自旋态()?
??
? ??=012/1x s χ下，求2
x S ?与2y S ?。 5． 求在x S ∧
的本征态下，S 沿与z 轴成θ角的方向上的分量平均值为θcos m 。 6． 设氢原子的状态是
?????
?
??-=),()(23),()(2
110211121?θ?θψY r R Y r R （1）求x L ∧
与x S ∧
的平均值；
（2）求总磁矩∧
∧∧
--=S e L e M μ
μ2的z 分量的平均值。
7． 设体系由两个自旋为1/2的粒子组成，其哈密顿量为 ()2121σσσσ?++=∧
B A H x x
其中21,σσ分别为粒子1与粒子2的泡利矩阵，B A ,为常数，求体系∧
H 的本征值。
8． 两个自旋1/2的粒子A 与B 形成一个复合体系，设B A ,之间无相互作用，若A 处于 2
1
=
x s 态，B 处于 2
1
=
x s 态，求该体系处于单态的几率。 9． 设由两个自旋s =1/2的粒子构成的体系，若体系处于两个粒子自旋态分别为
?
????
? ??=???? ??=-2/2/212sin 2cos ,01??θθχχi i e e 的态下，求体系分别处于单态与三重态的几率。
10．一具有两个电子的原子，处于自旋单（s =0）。证明：自旋轨道耦合作用()∧
∧
?=L S r V ξ对能量无贡
献。
11．证明任何22?的厄米矩阵均可表示成泡利矩阵z y x σσσ,,和单位矩阵???
?
??=1001I 的线性组合。
12．证明[]σσσ?=?iA A 2,:,其中A 是与σ对易的矢量算符。 13．证明 （1）λσλλσsh ch e z x
+=
（2）()()λσλσσλσλσ22sh ch e e
y x x z
x
+=-
其中λ为参数,z y x σσσ,,为泡利矩阵。
14．证明
已知()3,2,1,2
i i i S σσ
=
是泡利矩阵，满足k j i i σσσ=(k j i ,,是1，2，3的顺序轮换)。 15．证明：???
?
?
?=-θ
θθσi i i e e e
x
00，其中x σ为泡利矩阵。 16．设λ为实数, n 为()?θ,方向单位矢量。证明
=-n n i i e e σλσσn n σ+()λσλσ2sin 2cos ?+??n n n
17．计算
（1）()[]A i Tr ?σex p
（2）()()[]B i A i Tr ??σσex p ex p 其中B A ,为实常数矢量，σ为泡利矩阵。
18．设∧J 为角动量算符，y x J i J J ∧
∧±∧±=（取 =1）。证明
（1）() 2,1,01=??? ??±=∧
∧
±∧
∧n J J J J n
x x n z （2）λλλλsin cos ex p ex p y x x x x J J J i J J i ∧
∧
∧∧∧-=??
? ??-??? ??
19．定义算符
121?+?++=+l L l P l σ ,1
2?+?+=-l L l P l
σ (1= ) 证明：
???
-=+==+2/10
2/1?l j l j ljm ljm P j j
l
???==+==-2
/12/10?l j ljm l j ljm P j
j l
其中j ,j m ,l 分别是总角动量2
?J 及其z 分量x
J ?和轨道角动量z L ?的量子数。 20．令)1(2
1
n P ?+=
σ，n 为任意方向单位矢量。证明： P P =2
。 21．令±P =
)1(2
1
z σ± （1）证明：+P +=P =1
2
+P =+P ，--=P P 2
， 0==+--+P P P P
（2）在x σ表象中，写出±P 的矩阵形式。
（3）证明：???? ??=????
??+0a b a P ，???
? ??=???? ??-b b a P 0 22．定义 ±σ=x σ±i y σ
（1）计算 [+σ，-σ]，[x σ，±σ] （2）证明 02
2
==-+σσ
z
e
λσ±σ=±σz
e λσλ2±e
其中λ为常数，σ为泡利矩阵。
23．证明：(?1σ2σ)2=3-2(?1σ2σ)，并利用此结果求?1σ2σ的本征值。
24．证明：=2
S 2
2
(3+?1σ2σ)，其中S ?=1?S +2
?S ，继而求 （1）?1σ2σ的本征值； （2）证明：s
s m m 1121χχσσ=
?
?1σ2σ00χ=3-00χ
25．令12S =3))((21r r ??σσ/2
r )(21σσ?-（取 =1），其中21r r r +=，证明
12S =6(r S
??)2/2r 2
?2S - 26．试用±L ?算符计算出x
L ?，y L ?，在2
?L ，z L ?的共同表象中的矩阵形式（设1=l ,三个基矢顺序为11Y ，10Y ，11-Y ）。若体系处在x L = 的状态，求此时测量x
L ?的可能取值和相应的几率。 27．设粒子处于
r
e
z y x c αψ-++=)2(
0>α
所描述的状态，其中c 是归一化常数。求
（1）x L ?的取值，x
L ?的平均值及x L = 与的几率； （2）x
L ?的可能取值及相应的几率。 28．已知电子的波函数为
2/110),()(),,,(??θ?θψY r R s r x =
求总角动量2
?J ，z
J ?的可测值及相应几率（取 =1）。 29．一个自旋为1。电荷为e -的粒子处于均匀磁场B =z Be 中，其哈密顿量为
?-=μH
?B =mc
e B .S ? t =0时自旋沿着x 轴并等于 （即波函数为x
S ?的一个本征函数）。 （1）求t >0时波函数；
（2）从作为时间函数的x s 和y s 的期待值出发，说明自旋的进动并确定其频率。
30．设两个电子沿z 轴处于固定位置，体系哈密顿量为
H ?=c （x x s s S S 212
1??3???-?） 其中c 为常数，求H
?的本征值及其简并度。 31．两个距离固定为R 的电子体系，其哈密顿量为
??
???
???-?=2
21213))(()(?R R R R c H σσσσ 其中c 为常数，t =0时一个电子的自旋平行于R ，而另一个反平行于R ；一段时间后，二者的自旋均反转
（即与R 平行的变为反平行，而反平行的变为平行的），试计算这一时间。
32．考虑自旋为1/2的系统，求出算符X y S B S A ??+的本征值及本征函数，其中A ，B 为实常数。假定此系统正处在以上算符的一个本征态上，求测量y
S ?得2
的几率。 33．设体系总角动量算符为J ?，2
?J 与x
J ?的共同本征矢为|jm >，当j =1时 （1）在{|11>,|10>,|1-1>}为基矢的空间中求出2
?J ，x
J ?的矩阵表示。 （2）求出2
?J ，x
J ?的共同本征矢|1x m >x 。 （3）若体系处在|ψ>=
2
1（|11>+|11->）态上，求：
（i ）同时测量2
?J 与x
J ?的可能取值与相应几率； （ii ）在|ψ>态上测量x J ?得 时，体系处于什么状态上？ (iii)在|ψ>态上y
J ?的平均值。 34．算符A ?的分量满足对易关系[x A ?，y A ?]=x A i ? ，已知x A ?在自身表象中是对角矩阵，
对角矩阵元中3±各出现一次，2/5±各出现5次，2±各出现二次，1±各出现10次，2/1± 各出现20次，0出现25次。
问
（1）A
?表征什么物理量？ （2）2222????z
y x A A A A ++=可取什么值？每个值重复次数是多少？ （3）如何理解重复现象？
35．设电子在B =z e B 0的磁场中运动，t =0时处在2/ =z s 态上，若将磁场方向突然转向（即B =x e B 0），求t >0时测量2/ =x s 的几率。
37．自旋为1/2的粒子，处于阱宽为a 的无限深势阱中。若t =0时处于
???
? ??+???? ??-=i x i x s x 1))(21)(25
)0,,(53ψψψ 态下，其中x a
n a x n π
ψsin 2)(=
（ ,3,2,1=n ）求 （1）测量能量的取值几率；
（2）?)0,2/(== z s W 它等于)0,2/(>=t s W z 吗？为什么？ 38．证明
（1）〈i jm |z S ?|i
jm 〉=1
21+l 〈i jm |z J ?|i
jm 〉 当 2/1+=l j 时；
（2）〈i jm |z S ?|i
jm 〉=1
21+-l 〈i jm |z J ?|i
jm 〉 当2/1-=l j 时。 39．分别2/1+=l j ，2/1-=l j 两种情况，求
〈i jm |S L ??2?|i jm 〉。
40．对于无相互作用的三个中子构成的体系，令βα,分别表示单个中子的自旋向上和向下本征态。
|s SM 〉表示该体系总自旋平方2
?S 及z 分量z
S ?的共同本征函数，并取 =1。 （1）证明)3()2()1(ααα是2
?S ，z
S ?的本征函数，并给出本征值。 （2）给出该体系的自旋空间的维数。 （3）求出该体系的全部|s SM 〉的具体表示式。
41．自旋为1/2，磁矩为S M γ=（其中γ为常数）的粒子，处于均匀外磁场B =y e B 0中。设t =0时，粒子处于2/ =z s 的状态，求：
(1) t >0时刻的波函数|)(t ψ=？
(2) t >0时，x
S ?，y S ?，z S ?的平均值。 42．电子处于均匀外磁场B =x e B 0中，电子的磁矩为 σmc
e M s 2
-
= 其中σ为泡利矩阵。设t =0时，电子的自旋沿z 轴的正方向，t =01>t 时，电子的自旋沿y 轴正方向。求：
（1）当t 〉1t 时，电子至少需要多长时间，其自旋沿着y 轴的正方向？ （2）当t =
)2(0mc
eB =ωθωπ
时，电子自旋方向沿着z 轴正方向的几率。 44．考虑一个处于p 轨道的电子，写出总角动量2
?J ，x
J ?的本征函数。p 轨道波函数用)(1r u ，)(0r u 和)(1r u -表示，自旋波函数用α和β表示，其中α和β分别代表自旋向上和向下的态。
45．自旋为1（取 =1）的两个粒子，总自旋为21???S S S +=，求2?S ，z
S ?的共同本征态。 46．两个自旋为s 的全同粒子体系，对称的与反对称的波函数各有几个？s =1/2与s =3/2的情况下，
对称与反对称的波函数各有几个？
47．质量为μ，电荷为q ，自旋为0的非相对论性粒子，在均匀磁场 B =??A 中运动，求能量本征值。
48．一质量为μ，电荷为q 的粒子在方向相互垂直的均匀电场E 和均匀磁场B 中运动，求能量本征值和本征函数。
49．有一个定域电子（作为近似模型，可不考虑轨道运动），受到均匀磁场作用，磁场B 指向正x 方向，磁作用势为
x
x c
B e S c eB H σμμ2?? == 设t =0时电子的自旋“向上”，即2
1=
x s ，求t >0时S
?的平均值。 50．某个自旋 /2的体系，磁矩σμμ =，t 〈0时处于均匀磁场0B 中，0B 指向正z 方向；t 0≥时再加一个旋转磁场)(1t B ，其方向于z 轴垂直，
)(1t B =21112sin 2cos e B te B ωω-
其中 /B μω=。已知t 0≤时体系处于2/ =z s 的本征态2/1χ，求t >0时体系的自旋波函数以及自旋反向所需时间。
第十一章 多体体系及多电子原子
（习题）
1。有三个全同粒子，每个粒子可有单态为6个，问： （1）若粒子为费米子，体系有几个可能状态？ （2）若粒子为波色子，体系有几个可能状态？
2．设有两个全同的自由粒子，均处于动量本征态（本征值为αk ，βk ），试分别对以下三种情况讨论它
们在空间相对位置的几率分布： （1）没有交换对称； （2）交换反对称； （3）交换对称。
3．证明对于多粒子体系，如果不受外力作用，则总动量∑=i
i
p
p
??守恒。i p
?为第i 个粒子的动量算符。 4．证明对于多粒子体系，如所受外力矩为零，则总角动量∑=I
i
L
L
??是守恒量。i
L ?为第i 个粒子的角动量算符。
5．n 个粒子组成的体系，处于下列外场中，指出哪些力学量（例如动量、能量、角动量、宇称等，或它们的组合）是守恒量：
（1）自由粒子（无相互作用，也不受外力）； （2）无限、均匀柱对称场； （3）无限、均匀平面场； （4）中心力场。
6．设两个电子处于同一单粒子能级j l n E ,,，试根据角动量耦合理论，证明总角动量2
1???J J J +=的量子数J 只能取偶数。
7．设有两个电子，自旋态分别为)(12/1x S χ，)(22/1x S χ，求两个电子处于自旋单态（s =0）及三重态（s =1）的几率。
8．设两个自旋为 的全同粒子组成一个体系，体系的对称自旋波函数有几个？反对称自旋波函数有几个？ 若对一般自旋为s 的全同粒子组成的体系，对称及反对称的自旋波函数各有几个？
9．试论证：n 个电子组成的体系的总自旋平方算符属于最大本征值的所有本征函数都是对称的。 10．假定质子和中子的相互作用势可以近似地用方位阱
??
?>≤-=b
r b r V r V 0
)(0
表示，其中r 是质子和中子之间的距离。视质子和中子的质量近似相等，均为m ，它们的自旋均为1/2，问？ （1）若取m b 15
10
2-?=，已知
262
2
1002.1)
2(-?=m
π
MeV .m 4
0V 至少要多大才能使中子和质子结合成氘核？
（2）实验发现氘核的总角动量量子数j =1而不是0，这一事实和上面用简单的核力位所得的结果有没有矛盾？怎样才能解释这一现象？
11．考察两个质量均为m 的粒子组成的一个物理体系，它们同处于无穷深阱（宽为a ）中，若两个粒子不是全同粒子，则
（1）求体系总哈密顿量的本征值和本征函数，并给出最低两能级的退化度； （2）假设t =0时，体系处于状态 |)0(ψ>=
>+
>2111|3
1|6
1????>+
>+
2212|3
1|6
1????
（a ）求体系t 时刻的波函数；
（b ）测量总能量所可取的值和相应的几率；
（c ）测量粒子1的能量的可能取值和相应的几率；
（d ）计算在|)0(ψ>,>)(|t ψ下)1(?H
的平均值，两种态下所得的结果一样吗？为什么？ 若两粒子全同，试给出问题（1）和问题（2）中（a ）问的答案。
12．两个自旋1/2的粒子组成的体系，其哈密顿量为
2211???S S H ωω+=
(1)若t =0时，体系处于 )0(ψ>=
2
1
|++> 的状态下，求t =0时，总自旋平方算符2
?S 及自旋z 分量z
S ?的可能值和相应的几率。 (2)若t =0时，状态波函数为 |)0(ψ>=
2
1[|-+>+|+->+|-+>+|+-> ]
|问：2
?S
的平均值<2
?S >包含哪些频率？何时<2
?S >最大？何时最小？ 13．两个自旋为1/2的全同粒子，同处于一维谐振子位阱中，试给出最低两能级的能量值和相应的波函数，
并讨论其退化度（不考虑两粒子间的相互作用）。
现在若对体系施加一微扰y S W ??β=，式中y
S ?为体系总自旋的y 分量，1<<β。试求次低能级修正到一级的能量值。
14．两个质量为1m ,2m 的粒子，同时置于简谐振子位中，两粒子间还存在有强度为k 的弹性力作用，其哈密顿量为
+++=21
2122
21212
12?2??x m m p m p H ω2212222)(2121x x k x m -+ω (1)求H
?本征方程的精确解； (2)画出弱耦合2
μω< (3)若两粒子是全同粒子，质量为m ，自旋为s ，试给出H ?的本征函数。 15．两自旋为1/2的粒子相碰撞，设它们之间的相互作用力为 2 1???S S H ?='α 其中α是耦合系数，碰撞后α均为零。若碰撞前粒子1处于自旋向上的态，粒子2处于自旋向下的态，问： (1)碰撞后体系处于什么状态？ (2)体系发生自旋反转的最短时间是多少？ 16．设有两电子，自旋态分别为 ???? ??=01χ ??? ? ??=-2/2/)2/sin(/)cos(??θθξi i e e （1） 证明两电子处于自旋单态s =0及三重态s=1的几率分别为 ]2cos 1[212θ-=a W ]2 cos 1[212θ+=s W （2） 设有两束这样的极化电子散射，证明 ])cos 1()cos 3[(4 1)(a s σθσθθσ-++= 式中s σ与a σ分别表示两个电子处于三重态及单重态下的散射截面。 17．两电子体系的能量算符为 )??1)((??21 20S S b a r V T H ?++= 其中T ?为动能算符，1?S ,2?S 分别为两电子的自旋算符。若b a ,均为正实数，)(0 r V <0，问b a ,间应有何种关系时，才能使体系的自旋三重态为束缚态，同时使自旋单态为非束缚态？ 18．两个质量均为m ，自旋均为1/2的全同粒子，它们之间的相互作用势为 2 112??)(S S k r V V ?+= 其中 ?? ?<>-=∞=a r a r r r r V 0 ||)(21 式中a k ,均为常数。试求此双粒子体系的s 态能级和波函数。 19．实际的氦原子是两个电子在核库仑作用下做三维运动。用微扰法求出的基态一级近似能量为 4 2 )85(me Z Z E --= (为电子质量m ) 为简化基态能量的计算，请给出一个“一维氦原子”的简化模型，并用该模型进行计算，来说明模型是可 取的。 20．考虑非相对论性的中子—中子弹性散射。相互作用势是 ?? ?>≤?=a r a r V V 0 210σσ 其中)2,1(=i i σ分别为两个中子的泡利矩阵,0V ，a 均为大于零的常数，r 是两中子的相对坐标。当相对运动的能量较高，势能可视为微扰时，若两中子均已沿着同一固定方向极化，试求微分散射截面。 吉林大学物理试题（2007~2008学年第二学期） 注意：第一大题和第二大题的答案填写在题后的表格内，否则按零分处理。 玻尔兹曼常数: 1231038.1--??=K J k 普适气体常数：1131.8--??=K mol J R 一、 单选题 1、汽车用不变力制动时，决定其停止下来所通过路程的量是 （A ） 速度 （B ）质量 (C) 动量 (D) 动能 2、一均质细棒绕过其一端和绕过其中心并与棒垂直的轴转动时，角加速度β相等， 则二种情况下棒所受的外力矩之比21:M M 是 （A ）1:1 （B ）2:1 （C ）4:1 （D ）1:4 3、在由两个质点组成的系统中，若此系统所受的外力的矢量和为零，则此系统 （A ）动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能确定 （B ）动量守恒，但机械能和角动量是否守恒不能确定 (C ) 动量和角动量守恒，但机械能是否守恒不能确定 (D) 动量、机械能守恒、角动量均守恒 4、已知一定量的某种理想气体，在温度为T 1与T 2时，分子最可几速率分别为1p υ和 2p υ，分子速率分布函数的最大值分别为)(1p f υ和)(2p f υ。若21T T >，则 （A ）21p p υυ>，)()(21p p f f υυ> (B) 21p p υυ>，)()(21p p f f υυ< （C ）21p p υυ<，)()(21p p f f υυ> （C ）21p p υυ<，)()(21p p f f υυ< 5、两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和摩尔数分别相同，则 （A ）两种气体分子的平均平动动能相同 ( B) 两种气体分子的平均动能相同 （C ）两种气体分子的平均速率相同 （D ）两种气体的内能相同 6、有人设计一台卡诺热机（可逆的），每循环一次可以从400k 的高温热源吸热1800J ， 向300k 的低温热源放热800J 。同时对外作功1000J ，这样的设计是 (A) 可以的，符合热力学第一定律。 (B) 可以的，符合热力学第二定律。 (C) 不行的，卡诺循环所作的功不能大于向低温热源放出的热量。 (D) 不行的，这个热机的效率超过理论值。 7、在下述四种力中，做功与路径有关的力是 (A) 万有引力 (B) 弹性力 (C) 静电场力 (D) 涡旋电场力 8、当一个带电导体达到静电平衡时，则 （A ）表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高 (C ) 导体内部的电势比导体表面的电势高 (D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 9、位移电流的大小取决于 （A ） 电场强度的大小 （B ）电位移矢量的大小 吉林大学网络教育学院 2019-2020学年第一学期期末考试《土木工程材料》大作业答案 学生姓名专业 层次年级学号 学习中心成绩 年月日 作业完成要求：大作业要求学生手写，提供手写文档的清晰扫描图片，并将图片添加到word 文档内，最终wod文档上传平台，不允许学生提交其他格式文件（如JPG，RAR等非word 文档格式），如有雷同、抄袭成绩按不及格处理。 一、名词解释（每小题2分，共10分） 1、烧结普通砖 2、石灰爆裂 3、泛霜 4、抗风化性能 5、烧结多孔砖 二、问答题（每小题8分，共64分） 1、什么是新拌砂浆的和易性？它包括哪两方面的含义？如何测定与表示？砂浆的和易性对工程质量有何影响？如何改善砂浆的和易性？ 2、为什么大多数大理石不宜用于建筑物的室外装饰？ 3、在土木工程设计和施工中选择天然石材时，应考虑哪些原则？ 4、某城市拟修建一座大型纪念性建筑，室内墙面及地面、室外墙面与墙面浮雕以及广场地面的饰面均采用天然石材，请选用合适的石材品种，并加以分析。 5、建筑上对内墙涂料与外墙涂料的性能要求有何不同？ 6、土木工程中常用的胶粘剂有哪些？其特性和用途如何？ 7、土工合成材料主要有哪几类？它们在使用过程中发挥哪些功能？ 8、建筑上常用的吸声材料及其吸声结构？ 三、计算题（每小题13分，共26分） 1、采用32.5级普通硅酸盐水泥、碎石和天然砂配制混凝土，制作尺寸为100mm>100mm 100mm 试件3块，标准养护7d，测得破坏荷载分别为140KN、135KN、142KN。试求：（1）该混凝土7d标准立方体抗压强度；（2）估算该混凝土28d的标准立方体抗压强度；（3）估计该混凝土所用的水胶比。 2、某工程现场浇筑混凝土梁，梁断面为400m m×400mm，钢筋间最小净距为40mm，要求混凝土设计强度等级为C20，工地现存下列材料，试选用合适的水泥及石子。 水泥：32.5复合水泥；42.5复合水泥；52.5复合水泥。 石子：5～10mm；5～20mm；5～30mm；5～40mm。 中俄联合培养物理学专业培养方案 一、培养目标 吉林大学与俄罗斯托木斯克理工大学联合培养项目是为我国培养精通俄语的理工科人才，联合培养学生按照两校共同制定的教学计划培养，在吉林大学物理学院物理学专业学习两年后，第三年整体派出到俄罗斯交流学习一年，第四年继续在托木斯克理工大学学习。结合两校各自的专业特色，中俄联合培养物理学专业的教学致力于培养专业基础宽厚扎实、综合素质优秀、适合在物理学、电子、机械、仪器、计算机等有关的科学技术领域中从事科学研究、教学、技术和相关管理工作的专门人才。为了实现这一目标，物理学专业的教学模式在重视宽基础的同时，强调专业特点，在课程设置上更注重基础理论课与实践应用技术课的相结合，使两校物理学专业优势互补。 二、业务培养要求 1. 数学、计算机、物理基础知识宽厚扎实，具有较强的分析和演算能力； 2. 掌握系统的物理学基本理论知识，强调基本实验技能和实验分析方法的训练，培养宽基础和纯粹物理人才。 3. 了解相近专业的一般原理和知识； 4. 强化俄语训练，保障学生到托木斯克理工大学后可随班听课； 5. 对本专业范围内科学技术的新发展有所了解； 6. 了解国家科技、产业政策、知识产权等有关政策和法规； 7. 掌握资料查询、文献检索及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法；具有一定的实验设计，创造实验条件，归纳、整理、分析实验结果，撰写论文，参与学术交流的能力。 三、主干学科及主要课程 主干学科：物理学 主要课程：力学、热学、电磁学、光学、原子物理、普通物理实验（Ⅰ-Ⅱ）、理论力学、热力学与统计物理、电动力学、量子力学、固体物理、高等数学、线性代数、概率统计、大学计算机基础、数学物理方法、计算机数学基础、工程图学A（Ⅰ-Ⅱ）、电工学基础、积分方程与变分法、复变函数、向量与张量分析、俄语（Ⅰ-Ⅴ）、数值法与数学建模、连续介质力学、等离子体与加速器系统真空设备、凝聚态物理、线性与非线性物理方程、固体和薄膜表面分析基础、凝聚态物理研究实验方法（Ⅰ-Ⅱ）、纳米材料的物理基础、辐射和 综合练习（一） 一．选择题 1．物质的量为n 的理想气体，该气体的哪一组物理量确定后，其他状态函数都有定值 （1）p （2）V （3）T ，U √（4）T ，p 2．公式p p H Q ?=适用于下列哪个过程 （1）理想气体从1013.25kPa 反抗恒定外压101.325kPa 膨胀 √(2)273.2K,101.325k Pa 下,冰融化成水 (3) 298.2K,101.325k Pa 下,电解CuSO 4水溶液 (4)理想气体从状态A 变化到状态B 3．某化学反应若在300K ， p 下在试管中进行时放热6×104J,若在相同条件下通过可逆电池进行反应,则吸热6×103J,该化学反应的熵变为 (1) -200J ﹒K -1 (2) 200 J ﹒K -1 (3) -20 J ﹒K -1 √ (4) 20 J ﹒K -1 4.上题反应在试管中进行时其环境的熵变 √(1) 200J ﹒K -1 (2) -200 J ﹒K -1 (3) -180J ﹒K -1 (4) 180 J ﹒K -1 5.第3题中系统可能做的最大非体积功为 (1) -66000J √(2) 66000 J (3) -54000 J (4) 54000 J 6．在通常情况下，对于二组分系统能平衡共存的最多相 （1） 1 （2） 2 （3） 3 √（4） 4 7．下列各式哪个表示了偏摩尔量 √（1）( )C TPn B U n ?? （2）()c TVn B A n ?? （3）()C SPn B H n ?? （4）()C B TPn B n μ?? 8．298K ，当H 2SO 4溶液的浓度从0.01mol ﹒kg -1增加到0.1 mol ﹒kg -1时,其电导率和摩尔电导率将 (1)m κΛ减小，增加 (2)m κΛ增加，增加 (3)m κΛ减小，减小 √ (4)m κΛ增加，减小 9．在化学动力学中，质量作用定律只适用于 （1）反应基数为正整数的反应 （2）恒温恒容反应 吉林大学物理试题（2007~2008学年第二学期）（上册） 注意：第一大题和第二大题的答案填写在题后的表格内，否则按零分处理。 玻尔兹曼常数: 1231038.1--??=K J k 普适气体常数：1131.8--??=K mol J R 一、 单选题 1、汽车用不变力制动时，决定其停止下来所通过路程的量是 （A ） 速度 （B ）质量 (C) 动量 (D) 动能 2、一均质细棒绕过其一端和绕过其中心并与棒垂直的轴转动时，角加速度β相等， 则二种情况下棒所受的外力矩之比21:M M 是 （A ）1:1 （B ）2:1 （C ）4:1 （D ）1:4 3、在由两个质点组成的系统中，若此系统所受的外力的矢量和为零，则此系统 （A ）动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能确定 （B ）动量守恒，但机械能和角动量是否守恒不能确定 (C ) 动量和角动量守恒，但机械能是否守恒不能确定 (D) 动量、机械能守恒、角动量均守恒 4、已知一定量的某种理想气体，在温度为T 1与T 2时，分子最可几速率分别为1p υ和 2p υ，分子速率分布函数的最大值分别为)(1p f υ和)(2p f υ。若21T T >，则 （A ）21p p υυ>，)()(21p p f f υυ> (B) 21p p υυ>，)()(21p p f f υυ< （C ）21p p υυ<，)()(21p p f f υυ> （C ）21p p υυ<，)()(21p p f f υυ< 5、两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和摩尔数分别相同，则 （A ）两种气体分子的平均平动动能相同 ( B) 两种气体分子的平均动能相同 （C ）两种气体分子的平均速率相同 （D ）两种气体的内能相同 6、有人设计一台卡诺热机（可逆的），每循环一次可以从400k 的高温热源吸热1800J ， 向300k 的低温热源放热800J 。同时对外作功1000J ，这样的设计是 (A) 可以的，符合热力学第一定律。 (B) 可以的，符合热力学第二定律。 (C) 不行的，卡诺循环所作的功不能大于向低温热源放出的热量。 (D) 不行的，这个热机的效率超过理论值。 7、在下述四种力中，做功与路径有关的力是 (A) 万有引力 (B) 弹性力 (C) 静电场力 (D) 涡旋电场力 8、当一个带电导体达到静电平衡时，则 （A ）表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高 (C ) 导体内部的电势比导体表面的电势高 (D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 9、位移电流的大小取决于 （A ） 电场强度的大小 （B ）电位移矢量的大小 （B ） 电通量的大小 （C ）电场随时间变化率的大小 10、一圆线圈的半径为R ，载有电流I ，置于均匀外磁场B ρ中。线圈的法线方向与B ρ 的 方向相同。在不考虑载流线圈本身所激发的磁场的情况下，线圈导线上的张力是 （A ）BIR 2 (B) 0 (C ) BIR (D) BIR 2 1 [一题答案填写处] 请按题号将选项填入表格中 物理化学期末试题 （共4页） 学院 姓名 班级与学号 卡号 得分 一、填空（每空1分，共10分） 1. 纯物质完美晶体在_0K ______ 时的熵值为零。 2. 在—10C 、101325Pa 下，纯水化学势u i 与冰的化学势U 2的大小关系为u i _______________ U 2 。 3. 温度T 时将纯NH 4HS （S ）置于真空容器中，发生分解反应：NH 4HS （s ）=NH 3（g ）+H 2S （g ）,测得平衡时系统的 总压力 为 P ,则 K _________________ 。 4. 某系统经历一不可逆循环后，则系统、环境及总的熵变 A S 系=0 , A S 环> ,△ S 总> 0 。 5. 完全互溶的双液系中，在冷=0.6处，平衡蒸气压有最高值，那么组成为X B =0.4的溶液在气液平衡时，X B （g ）、冷 （1）、 X B （总）的大小顺序为 _X B （ g ） > X B （ ^） > X B （ l ） ___ 。 6. 某理想气体进行绝热恒外压膨胀，其热力学能变化 A U < 0与其焓变A H < 0〔填>,V 或==o 7. 右 Cu +2e T Cu 的 E =0.34V ,贝U 1/2Cu 1/2Cu +e 的 E = 0.34V o 1. 选择（1分x 15=15分） 1.实际气体的节流膨胀过程中，哪一组的描述是正确的？ （ A ） A. Q=0 A H=0 A p<0 B. Q=0 A H<0 A p>0 C. Q<0 A H=0 A p<0 D. Q>0 A H=0 A p<0 2. 工作在100C 和30C 的两个大热源间的卡诺机，其效率是（ A ） A. 19% B. 23% C. 70% D. 30% 3. 热力学基本公式dA= —SdT — pdV 可适用下述哪一个过程？ （ B ） A. 293 K 、p ?的水蒸发过程 B.理想气体真空膨胀 7. p°下，C(石墨)+。2?) =CO 2(g)的反应热为A r H m°,下列说法中错误的是(D ) A . A r H m ?就是CO 2(g)的生成焓A f H m ? B. A r H m ?是C(石墨)的燃烧焓 ? ? ? ? C. A r H m = A r U m D. A r H m > A r U m ? ? 8. 已知反应H 2O(g)=H 2(g)+1/2 02(g)的平衡常数为K 1及反应CO 2(g)=CO(g)+1/2 C 2(g)的K 2 ,则同温度下反应CO(g)+ H 2O(g)= CO 2(g)+ H 2(g)的 K 3 为(D ) ? ? ? ? ? . . ■ ? ? ? ? ? ? ? ? A. K 3 = K 1 + K 2 B. K 3 = K 1 x K 2 C. K 3 = K 2 / K 1 D. K 3 = K 1 / K 2 C.电解水制取氢 D. N 2+3H 2 T 2NH 3未达平衡 4. 理想气体经绝热真空膨胀后，其温度怎样变化（ C A.上升 B.下降 C.不变 5. 下列各式中不是化学势的是（C ） A. （：G/ ：FB ）T,p,n C B. （：A/：n B ）） D.不能确定 C. C ：U /：：nB ） D. C ：H / ：：nB )s,p 』 C 6. 盐碱地的农作物长势不良，甚至枯萎，主要原因是（D ） A.天气太热 B. 很少下雨 C. 肥料不足 D. 水分倒流 第 1 页 共 6页 吉林大学物理试题（2007~2008学年第二学期）（上册） 注意：第一大题和第二大题的答案填写在题后的表格内，否则按零分处理。 玻尔兹曼常数: 1231038.1--??=K J k 普适气体常数：1131.8--??=K mol J R 一、 单选题 1、汽车用不变力制动时，决定其停止下来所通过路程的量是 （A ） 速度 （B ）质量 (C) 动量 (D) 动能 2、一均质细棒绕过其一端和绕过其中心并与棒垂直的轴转动时，角加速度β相等， 则二种情况下棒所受的外力矩之比21:M M 是 （A ）1:1 （B ）2:1 （C ）4:1 （D ）1:4 3、在由两个质点组成的系统中，若此系统所受的外力的矢量和为零，则此系统 （A ）动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能确定 （B ）动量守恒，但机械能和角动量是否守恒不能确定 (C ) 动量和角动量守恒，但机械能是否守恒不能确定 (D) 动量、机械能守恒、角动量均守恒 4、已知一定量的某种理想气体，在温度为T 1与T 2时，分子最可几速率分别为1p υ和 2p υ，分子速率分布函数的最大值分别为)(1p f υ和)(2p f υ。若21T T >，则 （A ）21p p υυ>，)()(21p p f f υυ> (B) 21p p υυ>，)()(21p p f f υυ< （C ）21p p υυ<，)()(21p p f f υυ> （C ）21p p υυ<，)()(21p p f f υυ< 5、两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和摩尔数分别相同，则 （A ）两种气体分子的平均平动动能相同 ( B) 两种气体分子的平均动能相同 （C ）两种气体分子的平均速率相同 （D ）两种气体的内能相同 6、有人设计一台卡诺热机（可逆的），每循环一次可以从400k 的高温热源吸热1800J ， 向300k 的低温热源放热800J 。同时对外作功1000J ，这样的设计是 (A) 可以的，符合热力学第一定律。 (B) 可以的，符合热力学第二定律。 (C) 不行的，卡诺循环所作的功不能大于向低温热源放出的热量。 (D) 不行的，这个热机的效率超过理论值。 7、在下述四种力中，做功与路径有关的力是 (A) 万有引力 (B) 弹性力 (C) 静电场力 (D) 涡旋电场力 8、当一个带电导体达到静电平衡时，则 （A ）表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高 (C ) 导体内部的电势比导体表面的电势高 (D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 9、位移电流的大小取决于 （A ） 电场强度的大小 （B ）电位移矢量的大小 （B ） 电通量的大小 （C ）电场随时间变化率的大小 10、一圆线圈的半径为R ，载有电流I ，置于均匀外磁场B 中。线圈的法线方向与B 的 方向相同。在不考虑载流线圈本身所激发的磁场的情况下，线圈导线上的张力是 （A ）BIR 2 (B) 0 (C ) BIR (D) BIR 2 1 [一题答案填写处] 请按题号将选项填入表格中 实 验 报 告 题目：固定距离下NaI 探测器探测效率探究 学院：物理学院 年级：2009级 姓名：王志强 学号：32090312 时间：2012年10月18日 探测效率，也称测量效率或计数效率。指在单位时间内探测仪器记录到的脉冲信号数(计数率)与在同一时间间隔内通过辐射源发射到探测器上的该种粒子数的比值；通常用百分数表示：探测效率E%=计数率/衰变率×100%。它反映了放射性原子核衰变后被探测仪器探测到的机率，是核射线探测仪器的重要质量指标之一。在某些核辐射探测中, 由于r射线贯穿本领大,NaI(TI) 探测器依然为r射线分析测量的重要工具。 NaI(TI)探测器组成单元（简写） NaI(TI)探测器组成单元为： 1、闪烁探头：它包括NaI(TI)晶体和光电倍增管，外壳一般用薄铝做成，分压器 和射极跟随器也装在铝壳中。有时尚有倒相器，以使探头同时具有正负两种极性脉冲输出。外壳要求对光密闭。在强磁场附近工作需要内附磁屏蔽膜，以防止磁场漏入光电倍增管而影响输出脉冲幅度和分辨率。 2、高压电源：供光电倍增管用的高压电源，一般要求在200—2500V之间可调供 给电流在1mA左右。高压稳定性△V H /V H 应在0.05%左右。 3、线性放大器：一般光电倍增管阳极负载上电压脉冲幅度为十毫伏至数百毫伏， 需要放大，以和脉冲幅度分析器的分析电压范围相匹配。为了与NaI(TI)晶体的发光衰减时间相配合，放大器的上升时间应优于0.1μs。另外要求放大器线性良好。 4、多道脉冲幅度分析器：相当于数百个单道分析器同时对不同幅度的脉冲进行 计数，一次测量可得到整条谱线。道宽选择必须适当，过大会使谱线畸变，分辨率变坏，谱线上的实验点过少；过小则使每道上的计数减小，统计涨落增大或是测量时间增加。 NaI(TI)晶体闪烁探测器组成示意图 NaI(TI)探测器工作原理（简写） NaI(TI)探测器探测r射线的工作原理为： 1、r射线进入NaI(TI)晶体，晶体将与射线作用发生光电效应、康普顿效应和电 子对效应吸收其能量； 2、NaI(TI)晶体通过吸收r射线使得晶体中的原子、分子激发和电离，退激时产 生荧光光子； 3、利用光导将荧光光子尽可能多地收集到光电倍增管的光阴极上, 通过光电效 1. 试用原子核的统计性质说明原子核是有质子-中子构成的，而不是有质子-电子构成的。 2. 试用β衰变的泡利中微子假说和费米理论的基本思想解释β衰变连续谱以及β衰变放 出电子的来源，试写出3种β衰变的衰变能表达式（用原子质量表示）：试说明原子轨道中的哪个壳层电子俘获概率最大？为什么有的原子核（如205Bi ）没有观察到K 壳层的轨道电子俘获？ 3. 原子核的幻数有哪些？叙述幻数存在的实验依据，请说明原子核独立粒子模型的基本思 想。 4. 原子核的形变是怎么产生的？请简要说明原子核形变大小与核质量数的关系。如何正确 理解原子核的转动和振动？ 5. 试写出原子核β稳定线经验公式。 6. 试说明原子核液滴模型的基本思想，写出原子核结合能半经验公式，并简要描述。 7. 把原子核内转换的衰变过程理解成先发生γ跃迁，再发生光电作用的过程，是否合理？ 如何正确理解原子核的内转换方式？ 8. 放射性系有哪些？简要描述每个放射性系的特点？试回答，在天然放射性系核素中，为 什么大多数成员核只具有β放射性，而没有一个具有β和EC 特性的？ 9. 在核物理中，线面三个英文缩略语符号分别代表什么含义？ ⑴ EC ； ⑵IC ； ⑶IT 10. 简要理解原子核的同位旋概念，并回答什么是原子核的同位旋多重态？ 11. 核反应截面概念及其单位是什么？ 12. 请写出原子核半径的经验公式：根据原子核的基本性质，粗略估计核物质的密度是多 少？（核子数密度、核质量密度）；试求半径为189Os 核的1/3的稳定核。 13. 实验测得某元素的特征K α线的能量为7.88KeV ，试求钙元素的原子序数Z 。 14. 为什么原子核具有自旋？如何正确理解原子核的自旋概念？实验测得241Am 的原子光 谱的超精细结构有六条谱线组成，已知相应原子能级的电子总角动量大于核的自旋，试求该核的自旋。 15. 211 83Bi 通过α衰变到207 81Tl ，放出两组α粒子，其能量分别为E （α0）=6625KeV （分支 比为83.5％），E （α1）=6274KeV （分支比为16.5％），前者相应为母核基态（I π=9/2）衰变至子核基态（I π=1/2），后者相应为母核基态衰变至子核的激发态（I π=3/2）。试求：①两组α衰变的衰变能分别是多少？②子核 207Tl 激发态的能量；③画出此衰变纲图；④说明两组α衰变分支比差异大的原因。 16. 74Be 通过轨道电子俘获衰变到73Li ，衰变能E d =0.87MeV ，试求73Li 的反冲能E R 。 17. 试说明γ跃迁选择定则。对于下列γ跃迁，已知这种跃迁发生时初态和末态的能级自旋 和宇称。试求末态的能级自旋和宇称：⑴1?→?1E ；⑵2??→?+32E M ；⑶4?→?2E ；⑷1??→?+21E M ；⑸0??→?) (43E M ；是否存在纯磁多极γ跃迁？如果存在，请分别以纯M1 大学物理试题（2007~2008学年第二学期）（上册） 注意：第一大题和第二大题的答案填写在题后的表格，否则按零分处理。 玻尔兹曼常数: 一、 单选题 1、汽车用不变力制动时，决定其停止下来所通过路程的量是 （A ） 速度 （B ）质量 (C) 动量 (D) 动能 2 （A ）1:1 （B ）2:1 （C ）4:1 （D ）1:4 3、在由两个质点组成的系统中，若此系统所受的外力的矢量和为零，则此系统 （A ）动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能确定 （B ）动量守恒，但机械能和角动量是否守恒不能确定 (C ) 动量和角动量守恒，但机械能是否守恒不能确定 (D) 动量、机械能守恒、角动量均守恒 4、已知一定量的某种理想气体，在温度为T 1与T 2 （A (B) （C （C 5、两容器分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和摩尔数分别相同，则 （A ）两种气体分子的平均平动动能相同 ( B) 两种气体分子的平均动能相同 （C ）两种气体分子的平均速率相同 （D ）两种气体的能相同 6、有人设计一台卡诺热机（可逆的），每循环一次可以从400k 的高温热源吸热1800J ， 向300k 的低温热源放热800J 。同时对外作功1000J ，这样的设计是 (A) 可以的，符合热力学第一定律。 (B) 可以的，符合热力学第二定律。 (C) 不行的，卡诺循环所作的功不能大于向低温热源放出的热量。 (D) 不行的，这个热机的效率超过理论值。 7、在下述四种力中，做功与路径有关的力是 (A) 万有引力 (B) 弹性力 (C) 静电场力 (D) 涡旋电场力 8、当一个带电导体达到静电平衡时，则 （A ）表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高 (C ) 导体部的电势比导体表面的电势高 (D) 导体任一点与其表面上任一点的电势差等于零 9、位移电流的大小取决于 （A ） 电场强度的大小 （ B ）电位移矢量的大小 （B ） 电通量的大小 （C ）电场随时间变化率的大小 10、一圆线圈的半径为R ，载有电流I ， 方向相同。在不考虑载流线圈本身所激发的磁场的情况下，线圈导线上的力是 （A (B) 0 (C ) [一题答案填写处] 请按题号将选项填入表格中 第六章 表象理论 （习题） 1． 应用δ-函数的性质，证明傅立叶变化的两个定理：如果 ()()ikx f x g k e dx ∞ -∞ = 则 （1 ）()()ikx g k f x e dx ∞ --∞ = ? （2） 2 2 ()()g k dk f x dx ∞ ∞ -∞ -∞ =? ? 2．试求“波包”函数()x ψ的傅立叶变换()F k 。()x ψ定义为 ()2ikx d ae x x ψ?≤≤?=???d 当-20 其它情形 3．?x e 是由坐标x 构成的算符，写出它在坐标、动量表象中的表示式。 4．求线谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 5．求在动量表象中线性谐振子能量本征函数。 6．求三维各向同性谐振子在动量表象中的能量本征值和本征函数。 7．设粒子在周期场0()cos V x V bx =中运动，写出它在p 表象中的薛定格方程。 8．一个电子被限制在一块电介质（无限大）平面的上方（0x ≥）运动，介质的介电常数为ε，不可穿透。 按电象法可求出静电势能为()V x a α =-，其中2(1) 04(1)e e e α-=>+。 设在动量表象中求电子的能级（0E <）。 9．用动量表象计算粒子（能量0E >）对于δ势垒0()()V x V x δ=的透射几率。 10．粒子处于δ势阱0()()V x V x δ=-（ 00V >）中。用动量表象中的薛定格方程求解其束缚态的能量本征值及相应的本征函数。 11．求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式，然后算出2x p 。用在坐标表象中氢原子波函数算出2 x ，验证测不准关系。 12．已知线谐振子哈密顿量2 221??22 p H m x m ω=+的本征方程为?||n H n E n >=>，计算 （1） ?||m x n <>； （2） 2 ?||m x n <>； 吉林大学物理学院期末考试 《量子力学》试题（2013年） （试题共100分，考试时间2.5小时） 一、简答题（40分） 1、设r 为球坐标系下的径向坐标，在坐标表象下定义两个算符r A ≡?和?r B i ??≡ ，试推导A ?和B ?算符的厄米共轭算符。 2、设某一维微观粒子处于势场()V x 中，该体系具有分立的本征能谱n E (0,1,)n = ，相应的本征态矢记为n 。已知在0t =时刻，该粒子的状态 为 (0)02ψ= ，试给出()t ψ在能量表象中的表达式。 3、两个自旋为1/2的一维全同粒子同处于谐振子势场2221)(x m x V ω=中，若不计两个粒子之间的相互作用，分析该体系第一激发态的简并度，并写出相应的波函数。 4、以Gaussian 函数2 )()(bx e b A x -=ψ作为试探波函数，b 为变分参数，利用变分法求一维谐振子的基态能量。 5、对于氢原子，当仅考虑电子与核之间的库仑相互作用时，其电子态有严格的本征解，求库仑势能r e x V 2 )(-=在本征态上的期望值。 二、（14分）质量为m 的一维微观粒子处于如下半壁有限深方势阱 中，其中0V 为常数。若该粒子具有一个20V E = 的能级，试计算阱宽a 的大小。 三、（12分）设()V r 为某微观粒子所处的三维势场，?P 为该粒子的动量算符，定义算符 ??()Q V r P ≡?? ，分析?Q 是否为厄米算符。 四、（14分）设两个自旋为1/2的粒子组成一个二粒子体系，其哈密顿量为 1212 ?()z z H A B σσ=++?σσ 其中，1σ和2σ分别为粒子1和粒子2的泡利矩阵，1z σ和2z σ分别为1σ和2σ的z 分量， A 和 B 均为常数。求该体系的本征能量。 五、（20分）y x -平面内的二维微观粒子被限制在边长为a 的正方形区域内运动，其势场描述为 0,0(),,0x a V x x a x ≤≤?=?∞>? 力学试题 2009年(2008级)力学试题 说明：本套考题共10题，答题时间为2.5小时 一、简述如下问题： （1）一对内力做功的特点； （2）处理刚体平面平行运动的方法； （3）狭义相对论的两条基本假设； （4）狭义相对论的时空观与经典时空观的差别； （5）狭义相对论运动学中的几个典型时空观现象； （6）狭义相对论中质点的静质量与总能量的关系； （7）狭义相对论中质点的总能量与动量的关系。 二、沿x 轴运动的质点，其速度和时间的关系3sin()3 v t t p p =+。在0t =时，质点的位置02x =-。试求：3t =时，（1）质点的位置；（2）质点的加速度。 三、一圆盘绕其竖直的对称轴以恒定的角速度w 旋转。在圆盘上沿径向开有一光滑小槽，槽内一质量为m 的质点以0v 的初速度从圆心开始沿半径向外运动。试求： （1）质点到达题三图所示位置（即0y y =）时相对圆盘的速度v ； （2）质点到达该处所需要的时间t ；（可能用到的积分公式： ln(x c =++） （3）质点在该处受到的槽壁对它的侧向作用力F （大小、方向）。 四、 在光滑的水平面上有两个质量分别为1m 和2m 的小车，具有动能0E 的1m 与静止的2m 相碰，试问： （1）若2m 上连有一轻弹簧（倔强系数为k ），求碰撞过程中弹簧的最大压缩量； （2）若2m 上没有连接弹簧，碰撞为非弹性碰撞，恢复系数为e ，求碰撞过程中1m 损失的动能。 五、一根长为l 的均匀细杆静止地置于光滑的水平面上，一质量为m 的质点以垂直细杆的速度v 在杆端与杆做完全弹性碰撞，如题五图所示。碰撞后质点静止在水平面上，求细杆的质量M 和质心速度。 大学物理学复习资料 第一章 质点运动学 主要公式： 1．笛卡尔直角坐标系位失r=x i +y j +z k ， 质点运动方程（位矢方程）：k t z j t y i t x t r )()()()(++= 参数方程：。t t z z t y y t x x 得轨迹方程消去→?? ?? ?===)()() ( 2．速度：dt r d v = 3．加速度：dt v d a = 4．平均速度：t r v ??= 5．平均加速度：t v a ??= 6．角速度：dt d θ ω= 7．角加速度：dt d ω α= 8．线速度与角速度关系：ωR v = 9．切向加速度：ατR dt dv a == 10．法向加速度：R v R a n 2 2 ==ω 11．总加速度：2 2n a a a +=τ 第二章 牛顿定律 主要公式： 1．牛顿第一定律：当0=合外F 时，恒矢量=v 。 2．牛顿第二定律：dt P d dt v d m a m F = == 3．牛顿第三定律（作用力和反作用力定律）：F F '-= 第三章 动量和能量守恒定律 主要公式： 1．动量定理：P v v m v m dt F I t t ?=-=?=?=?)(1221 2．动量守恒定律：0,0=?=P F 合外力 当合外力 3. 动能定理：)(2 1212 22 1 v v m E dx F W x x k -= ?=?=? 合 4．机械能守恒定律：当只有保守内力做功时，0=?E 第五章 机械振动 主要公式： 1．)cos(?ω+=t A x T π ω2= 弹簧振子：m k =ω，k m T π2= 单摆：l g = ω，g l T π2= 2．能量守恒： 动能：221mv E k = 势能：22 1 kx E p = 机械能：22 1 kA E E E P k =+= 3．两个同方向、同频率简谐振动的合成：仍为简谐振动：)cos(?ω+=t A x 其中： ? ? ???++=?++=22112211212221cos cos sin sin cos 2??????A A A A arctg A A A A A a. 同相，当相位差满足：π?k 2±=?时，振动加强，21A A A MAX +=； b. 反相，当相位差满足：π?)12(+±=?k 时，振动减弱，21A A A MIN -=。吉林大学大学物理(工科)期末试卷
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