高考数学一轮复习第九章平面解析几何课时跟踪训练49椭圆(一)文

2021年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆第1课时学案理北师大版最新考纲考情考向分析1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.椭圆的定义、标准方程、简单性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1．椭圆的概念把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和简单性质标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)图形知识拓展点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ )(5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 题组二 教材改编2．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．12答案 C解析 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8. ∴m ＝4或8.3．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A.x 215＋y 210＝1B.x 225＋y 220＝1C.x 210＋y 215＝1 D.x 220＋y 215＝1 答案 A解析 由题意知c 2＝5，可设椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ>0)，则9λ＋5＋4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)， ∴所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.4．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 题组三 易错自纠5．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－3,5) B ．(－5,3) C ．(－3,1)∪(1,5) D ．(－5,1)∪(1,3)答案 C解析 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1.6．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 答案 C解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43， ∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.第1课时 椭圆及其性质题型一 椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 A解析 由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆．2．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．2 2答案 B解析 椭圆方程变形为y 21＋x 214＝1，∴椭圆长轴长2a ＝2，∴△ABF 2的周长为4a ＝4.3．(xx·承德模拟)椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.72 B.32C. 3 D ．4答案 A解析 F 1(－3，0)，∵PF 1⊥x 轴， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，±12，∴|PF 1→|＝12， ∴|PF 2→|＝4－12＝72.4．(xx·呼和浩特模拟)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________． 答案 6＋ 2 6－ 2解析 椭圆方程化为x 29＋y 25＝1，设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)，∴|AF 1|＝2，∴|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF 1|＋6，又－|AF 1|≤|PA |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)， ∴|PA |＋|PF |≤6＋2，|PA |＋|PF |≥6－ 2. 思维升华 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．题型二 椭圆的标准方程命题点1 利用定义法求椭圆的标准方程典例 (1)(xx·济南调研)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 答案 D解析 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 答案 A解析 由|AC |＋|BC |＝18－8＝10>8知，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝5，c ＝4，从而b ＝3.由A ，B ，C 不共线知y ≠0.故顶点C 的轨迹方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．命题点2 利用待定系数法求椭圆方程典例 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为_________________________． 答案y 210＋x 26＝1 解析 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )．由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________． 答案y 220＋x 24＝1 解析 方法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5. 由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.方法二 ∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， ∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴(－5)2a 2＋(3)2b2＝1， 即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．跟踪训练 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________． 答案 x 2＋32y 2＝1解析 设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，设点A 在x 轴上方，则A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.题型三 椭圆的简单性质典例 (1)(xx·安庆模拟)P 为椭圆x 216＋y 215＝1上任意一点，EF 为圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF →的取值范围是( ) A ．[0,15] B ．[5,15] C ．[5,21] D ．(5,21)答案 C解析 PE →·PF →＝(PN →＋NE →)·(PN →＋NF →)＝(PN →＋NE →)·(PN →－NE →)＝PN →2－NE →2＝|PN →|2－4，因为a －c ≤|PN →|≤a ＋c ，即3≤|PN →|≤5，所以PE →·PF →的取值范围是[5,21]．(2)(xx·全国Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 A解析 由题意知，A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c ，即a ＝3c ，即e ＝13.思维升华 (1)利用椭圆简单性质的注意点及技巧 ①注意椭圆简单性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆简单性质的技巧求解与椭圆简单性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．跟踪训练 (1)(xx·德阳模拟)已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________． 答案3解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知2b 2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.(2)(xx·长沙月考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22解析 因为|PT |＝|PF 2|2－(b －c )2(b >c )， 而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为(a －c )2－(b －c )2. 依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )， 所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )， 所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.① 又b >c ，所以b 2>c 2，所以a 2－c 2>c 2，所以2e 2<1.② 联立①②，得35≤e <22.1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．5 答案 A解析 由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4. 2．(xx·开封模拟)曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k＝1(k <9)的( ) A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等答案 D解析 因为c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝16， 所以c 1＝c 2，所以两个曲线的焦距相等．3．已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B. 2 C ．2 D.22 答案 D解析 由题意得，椭圆的右焦点F 为(c,0)，上顶点B 为(0，b )．因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过右焦点F和上顶点B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(c －1)2＋1＝2，1＋(b －1)2＝2，解得b ＝c ＝2，则a 2＝b 2＋c 2＝8，解得a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝222＝22，故选D.4．(xx·西宁模拟)设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 D解析 因为PF 1→＋PF 2→＝2PO →，O 为坐标原点，|PF 1→＋PF 2→|＝23，所以|PO |＝3，又|OF 1|＝|OF 2|＝3，所以P ，F 1，F 2在以点O 为圆心的圆上，且F 1F 2为直径，所以∠F 1PF 2＝π2.5．(xx·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．15答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝64，所以34＋2|PF 1|·|PF 2|＝64， 所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.6.(xx·昆明调研)2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2. 其中正确式子的序号是( ) A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案 D解析 观察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0知，a 1－c 1c 1<a 2－c 2c 2，即a 1c 1<a 2c 2，从而c 1a 2>a 1c 2，c 1a 1>c 2a 2，即④式正确，③式不正确．故选D.7．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________． 答案x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝8，ca ＝0.8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝4，又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1，当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x 29＝1.8．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________． 答案x 220＋y 216＝1 解析 设切点坐标为(m ，n )， 则n －1m －2·nm＝－1， 即m 2＋n 2－n －2m ＝0.∵m 2＋n 2＝4，∴2m ＋n －4＝0， 即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， ∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4， ∴a 2＝b 2＋c 2＝20， ∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.9．(xx·湖北重点中学联考)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B ，C ，D 四点，若椭圆C 1的一个焦点F (－2，0)，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆C 1的离心率e 为________． 答案22解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2a 2＋x2b 2＝1，两式相减得x 2－y 2a 2＝x 2－y 2b 2，又a ≠b ，所以x 2＝y 2＝a 2b 2a 2＋b 2，故四边形ABCD 为正方形，4a 2b 2a 2＋b 2＝163，(*)又由题意知a 2＝b 2＋2，将其代入(*)式整理得3b 4－2b 2－8＝0，所以b 2＝2，则a 2＝4， 所以椭圆C 的离心率e ＝22. 10．(xx·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案733解析 由圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝ x 2＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163， ∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，∴P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733. 11．(xx·陕西西北大学附中期末)已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3， 所以＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.12．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，m >0.∵m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3， ∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，四个顶点的坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.13．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( ) A.3－1 B ．2－ 3 C.22D.32答案 A解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ，∵|F 1F 2|＝2c ， ∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2| ＝c ＋3c ＝2a ，∴椭圆离心率e ＝21＋3＝3－1.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C ＝________.答案 3解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e＝3.15．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 答案 C解析 从椭圆上长轴端点P ′向圆引两条切线P ′A ，P ′B ，则两切线形成的∠AP ′B 最小． 若椭圆C 1上存在点P ，所作圆C 2的两条切线互相垂直，则只需∠AP ′B ≤90°， 即α＝∠AP ′O ≤45°，∴sin α＝ba ≤sin 45°＝22. 又b 2＝a 2－c 2，∴a 2≤2c 2，∴e 2≥12，即e ≥22.又0<e <1，∴22≤e <1，即e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 16.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ<43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．解 (1)由椭圆的定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知得PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|. 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， |QF 1|＋|QF 2|＝2a ，所以|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a . 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ， 解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2， 故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ22＝4c 2， 两边除以4a 2，得4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2.若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋(t －2)2t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12. 由34≤λ<43及1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t <4，即14<1t ≤13， 进而12<e 2≤59，即22<e ≤53.。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.1 直线的方程考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．知识梳理 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含直线x ＝x 1 和直线y ＝y 1截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k>0不存在k<0牢记口诀：1．“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)(4)截距可以为负值．(√)教材改编题1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 3．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时， 设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5. 所以直线方程为x ＋y －5＝0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α. 由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]． 由于θ∈[0，π)， 所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)过函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎣⎡⎦⎤π2，3π4答案 B解析 设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)， ∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴切线的斜率k ＝tan α≥－1， 则α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 教师备选1．(2022·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)，∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交， ∴－2≤k ≤12.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________． 答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上得k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论． 跟踪训练1 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______. 答案 13－3解析 如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan 45°1＋tan θtan 45°＝2－11＋2＝13， k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝2＋11－2＝－3. 题型二 求直线的方程例2 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍； (2)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解 (1)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ， 则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为 x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.教师备选1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0答案 B解析 因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A (－1,1)，所以其所在的直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0 答案 D解析 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3， 又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. 思维升华 求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2 (1)已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0答案 C解析 由题知M (2,4)，N (3,2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.(2)过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为______________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.题型三 直线方程的综合应用例3 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． 解 方法一 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)， 则A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )， S △AOB ＝12(1－2k )·⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋－4k ＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二 设直线l ：x a ＋yb ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2,1)， 所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab，故ab ≥8， 故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.延伸探究 1.在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解 由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝3＋a b ＋2ba≥3＋22，当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2.2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解 方法一 由本例方法一知A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)．所以|MA |·|MB |＝1k 2＋1·4＋4k 2 ＝2×1＋k 2|k |＝2⎣⎡⎦⎤－k ＋1－k ≥4.当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二 由本例方法二知A (a ,0)，B (0，b )，a >0，b >0，2a ＋1b ＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →| ＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 教师备选如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，但△EF A 内部为文物保护区，不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解 如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1.易知当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，且一个顶点在线段EF 上时，可使草坪面积最大，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )， 又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m ，∴S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)，∴当m ＝5时，S 有最大值，此时|EP ||PF |＝5，∴当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，一个顶点P 在线段EF 上，且|EP |＝5|PF |时，草坪面积最大．思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决． 跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． (1)证明 直线l 的方程可化为 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2,1)． (2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－2，1＋2k >1， 解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0， 解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.课时精练1．已知直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．y ＝－12xC ．x ＋2＝0D ．y －1＝0答案 C解析 由于直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程为x ＝－2，即x ＋2＝0.2．(2022·清远模拟)倾斜角为120°且在y 轴上的截距为－2的直线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝－3x －2 C ．y ＝3x ＋2 D ．y ＝3x －2答案 B解析 斜率为tan 120°＝－3，利用斜截式直接写出方程，即y ＝－3x －2. 3．直线l 经过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为( ) A ．x －y －1＝0或x －2y ＝0 B ．x ＋y ＋1＝0或x ＋2y ＝0 C ．x －y ＋1＝0或2x －y ＝0 D ．x ＋y ＋1＝0或2x ＋y ＝0 答案 D解析 若直线l 过原点， 设直线l 的方程为y ＝kx ， 则k ＝－2，此时直线l 的方程为y ＝－2x ， 即2x ＋y ＝0； 若直线l 不过原点， 设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，则1a －2a ＝1，解得a ＝－1， 此时直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y＋1＝0或2x＋y＝0.4．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有()A．a>0，c>0 B．a>0，c<0C．a<0，c>0 D．a<0，c<0答案 A解析因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0. 5．(2022·衡水模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A．0°B．1°C．2°D．3°答案 C解析∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°.6．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >1或k <15D ．k >12或k <－1答案 D解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得k >12或k <－1.7．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞) 答案 C解析 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ， 所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1， 所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)， 当x ＝0时，y ＝a ，当y ＝0时，x ＝b ，所以该直线在x 轴与y 轴上的截距分别为b ，a ， 又直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， 所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.9．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 答案 5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0解析 ①当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ，即5x ＋3y ＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a ＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.综上，直线方程为5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0.10．直线l 过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b )在l 上，则b 的值为________． 答案 2 023解析 直线l 的方程为y －－15－－1＝x －－12－－1，即y ＋16＝x ＋13，即y ＝2x ＋1. 令x ＝1 011，得y ＝2 023， ∴b ＝2 023.11．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝______. 答案 5 1解析 因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.12．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l ′的方程为________________________． 答案 x ＝－3或y ＝33(x ＋3) 解析 在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为90°，此时直线l ′的斜率不存在，故其方程为x ＝－3；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为30°，此时直线l ′的斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)．13．直线(1－a 2)x ＋y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π4，π2 B.⎣⎡⎭⎫0，3π4 C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，πD.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 C解析 直线的斜率k ＝－(1－a 2)＝a 2－1， ∵a 2≥0，∴k ＝a 2－1≥－1. 倾斜角和斜率的关系如图所示，∴该直线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 14．已知直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，直线恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 答案 D解析 直线方程可化为2x ＋1－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－3，∴直线恒过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3.15．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R )，则下列命题正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线始终过原点C ．直线的斜率一定存在D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 答案 D解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 不正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C 不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确． 16．若ab >0，且A (a ,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16解析 根据A (a ,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又因为C (－2，－2)在该直线上， 故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab . 又因为ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.。

课时跟踪训练(五十) 椭圆(二)[基础巩固]一、选择题1．(2017·辽宁师大附中期中)过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12[解析] 由过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆的方程，化简得(2k 21＋1)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，∴P 的横坐标为－4k 212k 21＋1，P 的纵坐标为k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1＋2＝2k 12k 21＋1，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，∴直线OP 的斜率k 2＝－12k 1，∴k 1k 2＝－12.故选D.[答案] D2．如图，F (c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A ，B 为椭圆的上、下顶点，P 为直线AF 与椭圆的交点，则直线PB 的斜率k PB ＝()A.c a 2B.b a 2C.b ＋c a 2 D.bc a2 [解析] 直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，把y ＝－b c x ＋b 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2cx ＝0，∴x P ＝2a 2c a 2＋c 2，y P ＝c 2b －a 2ba 2＋c 2， ∴k PB ＝c 2b －a 2ba 2＋c 2＋b 2a 2c a 2＋c2＝bca 2. [答案] D3．(2017·河北唐山统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝( )A.12 B ．－12 C ．－14D ．－2 [解析] 解法一：设AB 的中点为G ，由椭圆与平行四边形的对称性知O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y222＝1，两式相减是x 1－x 2x 1＋x 24＝－y 1－y 2y 1＋y 22，整理得x 1＋x 2y 1＋y 2＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12. 又G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12，即k 2＝－12，故选B.解法二：设直线AB 的方程为y ＝x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用椭圆与平行四边形的对称性可得D (－x 2，－y 2)．则直线AD 的斜率k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝x 1＋x 2＋2t x 1＋x 2＝1＋2tx 1＋x 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 2＋2y 2－4＝0，消去y 得3x 2＋4tx ＋2t 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－4t 3，∴k 2＝1＋2t －43t ＝－12.故选B. [答案] B 二、解答题4．(2017·河北涞水波峰中学、高碑店三中联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 与圆M ：x 2＋(y －3)2＝4的公共弦长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，过椭圆C 的右顶点A 作直线l 与圆x 2＋y 2＝85相切并交椭圆C 于另一点B ，求OA →·OB →的值．[解] (1)∵椭圆C 与圆M 的公共弦长为4，∴椭圆C 经过点(±2,3)，∴4a 2＋9b2＝1，又c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝16，b 2＝12，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)已知右顶点A (4,0)，∵直线l 与圆x 2＋y 2＝85相切，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，∴|4k |1＋k2＝85，∴9k 2＝1，∴k ＝±13.联立y ＝±13(x －4)与x 216＋y 212＝1，消去y ，得31x 2－32x －368＝0.设B (x 0，y 0)，则由根与系数的关系得4x 0＝－36831，∴OA →·OB →＝4x 0＝－36831.5．(2017·吉林长春外国语学校期中)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上任意一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝22，它的焦距为2.(1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在正实数t ，使直线x －y ＋t ＝0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝56上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝22，∴a ＝ 2.∵2c ＝2，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋t ＝0，x 22＋y 2＝1，化简得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0.①由①知x 1＋x 2＝－4t 3，∴y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2t ＝2t3.∵线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝56上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 32＝56，解得t ＝62(负值舍去)，故存在t ＝62满足题意．6．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．[解] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ＝192k 2＋96>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2. 又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 3＋4k 22＝43＋4k2，解得k 2＝14，k ＝±12.所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.[能力提升]7．(2017·河南考前预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点是F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过椭圆右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求|AF 2|·|F 2B |的取值范围．[解] (1)因为椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝12，2c ＝2，解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为F 2(1,0)，所以①当直线l 的斜率不存在时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则|AF 2|·|F 2B |＝94. ②当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个根，所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.所以|AF 2|＝x 1－2＋y 21＝1＋k 2·|x 1－1|，|F 2B |＝x 2－2＋y 22＝1＋k 2·|x 2－1|，所以|AF 2|·|F 2B |＝(1＋k 2)·|x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1| ＝(1＋k 2)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝(1＋k 2)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－93＋4k 2 ＝(1＋k 2)·93＋4k 2＝94⎝⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2.当k 2＝0时，|AF 2|·|F 2B |取最大值3，所以|AF 2|·|F 2B |的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤94，3.由①②知|AF 2|·|F 2B |的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤94，3. 8．(2018·河北百校联盟期中)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． [解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3＋x 4＝－4n 3，x 3·x 4＝2n 2－63.因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2. 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD 面积的最大值为863.9．设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1(b >0)，其离心率为22.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 过点P (0,4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？[解] (1)因为椭圆M 的离心率为22， 所以4－b 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，得b 2＝2.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①过点P (0,4)的直线l 垂直于x 轴时，直线l 与椭圆M 相交． ②过点P (0,4)的直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 24＋y22＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋28＝0.因为直线l 与椭圆M 相交，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×28＝16(2k 2－7)>0， 解得k <－142或k >142. 综上，当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫142，＋∞时，直线l 与椭圆M 相交．10．(2017·广东惠州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆C 相交于A ，B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为－12，求斜率k 的值；②已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，求证：MA →·MB →为定值． [解] (1)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2，又c a ＝63，12×b ×2c ＝523，解得a 2＝5，b 2＝53，则椭圆方程为x 25＋3y 25＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①将y ＝k (x ＋1)代入x 25＋3y 25＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0， ∴Δ＝48k 2＋20>0，x 1＋x 2＝－6k23k 2＋1，∵AB 中点的横坐标为－12，∴－3k 23k 2＋1＝－1，解得k ＝±33.②证明：由①知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1，∴MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2(x 1＋x 2)＋499＋k 2＝(1＋k 2)3k 2－53k 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 23k 2＋1＋499＋k 2＝－3k 4－16k 2－53k 2＋1＋499＋k 2＝49(定值)．。

第1课时 椭圆及其性质[基础题组练]1．已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)解析：选B.因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，即m ＝4，所以椭圆x 2＋y 24＝1的焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．(2019·高考北京卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b解析：选B.由题意得，c a ＝12，所以c 2a 2＝14，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2－b 2a 2＝14，b 2a 2＝34，所以4b 2＝3a 2.故选B.3．曲线x 2169＋y 2144＝1与曲线x 2169－k ＋y 2144－k ＝1(k <144)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D.曲线x 2169－k ＋y 2144－k ＝1中c 2＝169－k －(144－k )＝25，所以c ＝5，所以两曲线的焦距相等．4．(2020·郑州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D ．x 29＋y 25＝1解析：选D.由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1，故选D.5．(2020·昆明市诊断测试)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A.13B.12C.23D ．3解析：选A.如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A.6．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 ．解析：由题意可得b ＝c ，则b 2＝a 2－c 2＝c 2，a ＝2c ， 故椭圆的离心率e ＝c a ＝22. 答案：227．(2020·贵阳模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为 ．解析：由题意可知e ＝c a ＝32，2b ＝4，得b ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝23，所以椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.答案：x 216＋y 24＝18．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为 ．解析：通解：由椭圆C ：x 236＋y 220＝1，得c ＝a 2－b 2＝4，不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，则由题意知|MF 1|＝|F 1F 2|＝2c ＝8，于是由椭圆的定义得|MF 1|＋|MF 2|＝12，所以|MF 2|＝12－|MF 1|＝4，易知△MF 1F 2的底边MF 2上的高h ＝|F 1F 2|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|MF 2|2＝82－22＝215，所以12|MF 2|·h ＝12|F 1F 2|·y M ，即12×4×215＝12×8×y M ，解得y M ＝15，代入椭圆方程得x M ＝－3(舍去)或x M ＝3，故点M 的坐标为(3，15)．优解：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，则由题意，得|MF 1|＝|F 1F 2|＝8，由椭圆的焦半径公式得|MF 1|＝ex M ＋6＝23x M ＋6＝8，解得x M ＝3，代入椭圆方程得y M ＝15，故点M 的坐标为(3，15)．答案：(3，15)9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.10．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)； (2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)，因为椭圆过点(2，－3)，所以t 1＝224＋（－3）23＝2，或t 2＝（－3）24＋223＝2512.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆的方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. [综合题组练]1．(2020·合肥市第二次质量检测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段F 1A 为直径的圆交线段F 1B 的延长线于点P ，若F 2B ∥AP ，则该椭圆的离心率是( )A.33 B.23 C.32D ．22解析：选D.如图，由题意知，P 为以F 1A 为直径的圆上一点，所以F 1P ⊥AP ，结合F 2B ∥AP 知F 1P ⊥F 2B .又|F 1B |＝|F 2B |，所以△BF 1F 2为等腰直角三角形，所以|OB |＝|OF 2|，即b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，即a ＝2c ，所以椭圆的离心率e ＝ca ＝22，故选D.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D ．x 25＋y 24＝1解析：选B.由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a.在等腰三角形ABF 1中，cos2θ＝a23a 2＝13，所以13＝1－2(1a )2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B. 3．已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 2＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立， 所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.4．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 解：(1)连接PF 1.由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ，故C 的离心率e ＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P (x ，y )存在当且仅当 12|y |·2c ＝16，y x ＋c ·y x －c ＝－1，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 即c |y |＝16，①x 2＋y 2＝c 2，② x 2a 2＋y 2b 2＝1.③ 由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c 2，又由①知y 2＝162c2，故b ＝4.由②③得x 2＝a 2c2(c 2－b 2)，所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32，故a ≥4 2.当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P . 所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞)．。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.5 椭圆文1.椭圆的概念平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质【知识拓展】点P (x 0，y 0)和椭圆的关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距).( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( × )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( √ )(5)y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆.( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相等.( √ )1.(教材改编)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________.答案 4或8解析 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4. 当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8.2.(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝________.答案 3解析 由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为______________. 答案x 23＋y 22＝1 解析 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.4.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 将椭圆方程化为x 22＋y 22k＝1，因为焦点在y 轴上，则2k>2，即k <1，又k >0，所以0<k <1.5.(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1.题型一 椭圆的定义及标准方程 命题点1 椭圆定义的应用例1 如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________.答案 椭圆解析 由条件知PM ＝PF . ∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF . ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆. 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为________________________________________________________________________. (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为__________________________________________________________. 答案 (1)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1(2)x 29＋y 23＝1 解析 (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b2＝1，即a ＝3，又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，方程为x 29＋y 2＝1. 若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).∵椭圆过点P (3,0).∴02a 2＋32b2＝1，即b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n ). ∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程.则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. 思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >F 1F 2这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )的形式.(1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是__________.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为____________.(3)(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AF 1＝3F 1B ，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________.答案 (1)椭圆 (2)y 220＋x 24＝1 (3)x 2＋32y 2＝1解析 (1)点P 在线段AN 的垂直平分线上， 故PA ＝PN ，又AM 是圆的半径， ∴PM ＋PN ＝PM ＋PA ＝AM ＝6>MN ， 由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆.(2)方法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)， 即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝3－02＋－5＋42＋3－02＋－5－42，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.方法二 ∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， ∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴－52a 2＋32b 2＝1，即5a2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.(3)设点B 的坐标为(x 0，y 0).∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0).∵AF 2⊥x 轴，∴可取A (1－b 2，b 2). ∵AF 1＝3F 1B ，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0). ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.题型二 椭圆的几何性质例3 (1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________.(2)(2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________. 答案 (1)2 (2)22解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20 ＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.(2)方法一 设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连结QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b cx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，F 1Q ＝2OM . 在Rt△MOF 中，tan∠MOF ＝MF OM ＝bc，OF ＝c ， 可解得OM ＝c 2a ，MF ＝bca，故QF ＝2MF ＝2bc a ，QF 1＝2OM ＝2c2a.由椭圆的定义得QF ＋QF 1＝2bc a ＋2c2a＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22. 方法二 设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ＝y 0x 0－c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝b c ·x 0＋c2，y 0x 0－c ·b c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝c 2c 2－a 2a 2，y 0＝2bc2a 2，又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 22c 2－a 22a 6＋4c4a4＝1，令e ＝c a，则4e 6＋e 2＝1，∴离心率e ＝22. 思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系：在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系. ②利用椭圆几何性质的技巧：求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围.(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是________.(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P使a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则椭圆的离心率的取值范围为______.答案 (1)12(2)(2－1,1)解析 (1)在双曲线中m 2＋n 2＝c 2，又2n 2＝2m 2＋c 2，解得m ＝c2，又c 2＝am ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12. (2)依题意及正弦定理， 得PF 2PF 1＝ac (注意到P 不与F 1，F 2共线)， 即PF 22a －PF 2＝ac，∴2aPF 2－1＝c a，∴2aPF 2＝c a ＋1>2a a ＋c， 即e ＋1>21＋e ，∴(e ＋1)2>2.又0<e <1，因此2－1<e <1.题型三 直线与椭圆的综合问题命题点1 由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质例4 (2015·重庆)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若PF 1＝2＋2，PF 2＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若PQ ＝λPF 1，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝PF 1＋PF 2＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝F 1F 2＝PF 21＋PF 22 ＝2＋22＋2－22＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，连结F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，PQ ＝λPF 1，得QF 1＝PF 21＋PQ 2＝1＋λ2PF 1.由椭圆的定义，PF 1＋PF 2＝2a ，QF 1＋QF 2＝2a ， 进而PF 1＋PQ ＋QF 1＝4a ， 于是(1＋λ＋1＋λ2)PF 1＝4a ， 解得PF 1＝4a 1＋λ＋1＋λ2， 故PF 2＝2a －PF 1＝2aλ＋1＋λ2－11＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a λ＋1＋λ2－11＋λ＋1＋λ22＝4c 2. 两边除以4a 2，得41＋λ＋1＋λ22＋λ＋1＋λ2－121＋λ＋1＋λ22＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成 e 2＝4＋t －22t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12.由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.命题点2 由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质例5 (2015·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程.解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±21＋k21＋2k2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2x 2－x 12＝221＋k 21＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意. 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2， 从而PC ＝23k 2＋11＋k2|k |1＋2k2. 因为PC ＝2AB ，所以23k 2＋11＋k 2|k |1＋2k 2＝421＋k21＋2k2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.思维升华 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.(2015·北京)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由. 解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2. 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63. (2)因为AB 过点D (1,0)且垂直于x 轴， 所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)， 直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)， 令x ＝3，得M (3,2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行，证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE ， 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2).令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k x －1，得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k2，直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2，因为k BM －1 ＝k x 1－1＋x 1－3－k x 2－1x 1－2－3－x 2x 1－23－x 2x 1－2＝k －1[－x 1x 2＋2x 1＋x 2－3]3－x 2x 1－2＝k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－33－x 2x 1－2＝0，所以k BM ＝1＝k DE ，所以BM ∥DE . 综上可知，直线BM 与直线DE 平行.8.高考中求椭圆的离心率问题典例 (1)(2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是__________.(2)(2014·江西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________. 解析 (1)如图，设左焦点为F 0，连结F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵AF ＋BF ＝4， ∴AF ＋AF 0＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. (2)直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a).∴kBF 1＝－b 2a －0c －－c ＝－b 2a 2c ＝－b 22ac.∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c ).令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0， ∴e ＝－2±4－4×3×－323＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 (2)33 温馨提醒 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点.这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围.无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表达，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.[方法与技巧]1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于F 1F 2，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n＝1 (m >0，n >0，且m ≠n )可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0，且A ≠B )，这种形式在解题中更简便. 3.讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种： (1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝c a求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解. [失误与防范]1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小.2.注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，OM ＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________. 答案 4解析 由题意知，在△PF 1F 2中 ，OM ＝12PF 2＝3，∴PF 2＝6，∴PF 1＝2a －PF 2＝10－6＝4.2.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若AF 1，F 1F 2，F 1B 成等比数列，则此椭圆的离心率为________.答案55解析 由题意知AF 1＝a －c ，F 1F 2＝2c ，F 1B ＝a ＋c ，且三者成等比数列，则F 1F 22＝AF 1·F 1B ， 即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2， 所以e 2＝15，所以e ＝55.3.已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，则C 的方程为______________. 答案x 24＋y 23＝1 解析 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且AB ＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4.已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有______个. 答案 6解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个.故符合要求的点P 有6个.5.已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为________. 答案 2解析 圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0). 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.6.已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为________.答案 7解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7.7.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A 、B 、C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C 的值等于________.答案 3解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝CB ＋CAAB ，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知CA ＋CB ＝2a ，而AB ＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e＝3.8.已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________________________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入①式解得x 2＝2c 2－b2a 2c 2＝3c 2－a2a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的右准线方程为x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为255.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.解 (1)由题意知，直线l 的方程为y ＝2(x －a )， 即2x －y －2a ＝0，所以右焦点F 到直线l 的距离为|2c －2a |5＝255，所以a －c ＝1.又因为椭圆C 的右准线为x ＝4，即a 2c ＝4，所以c ＝a 24， 代入上式解得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知B (0，3)，F (1,0)， 所以直线BF 的方程为y ＝－3(x －1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －1，x 24＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝－335.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－335，所以直线l 的斜率k ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3352－85＝332.10.(2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足BM ＝2MA ，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .(1)解 由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ， 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明 由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6，又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2).由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11.从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________. 答案22解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－ba，由于OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a，把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得－c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2b 2＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22.12.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP ＝OF ，且PF ＝4，则椭圆C 的方程为__________.答案x 236＋y 216＝1 解析设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连结PF ′，如图所示.因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由OP ＝OF ＝OF ′知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P＝∠OPF ′，所以∠PFF ′＋∠OF ′P ＋∠FPO ＋∠OPF ′＝180°，知∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt△PFF ′中，由勾股定理，得PF ′＝FF ′2－PF 2＝452－42＝8.由椭圆定义，得PF ＋PF ′＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.13.椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________. 答案 (－263，263)解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y ). ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0，34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263).14.(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0). (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1， 解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋y b＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝bc 2－a 2a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b c 2－a 2a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b a 2－c 2a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b a 2－c 2a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－－c ＝b a 2－c 23a 2c ＋c3，直线AB 的斜率为－b c，且F 1C ⊥AB ，所以b a 2－c 23a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15，因此e ＝55.15.(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求OQ OP的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.解 (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1.又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1. (ⅰ)设P (x 0，y 0)，OQ OP＝λ (λ>0)， 由题意知Q (－λx 0，－λy 0). 因为x 204＋y 20＝1，－λx 0216＋－λy 024＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24＋y 20＝1， 所以λ＝2，即OQ OP＝2. (ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，① 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝216k 2＋4－m2m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2.设m21＋4k2＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1，因此S＝24－t t＝2－t2＋4t，故S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6 3.。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.12 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一 探索性问题例1 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与C 2：y 29－x 23＝1有相同的渐近线，点F (2,0)为C 1的右焦点，A ，B 为C 1的左、右顶点．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若直线l 过点F 交双曲线C 1的右支于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数λ使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵C 2的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b a ＝3， ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 1的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)由已知，A (－1,0)，B (1,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 过点F (2,0)与右支交于两点，则l 斜率不为零，设l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 23＝1，x ＝my ＋2，消元得(3m 2－1)y 2＋12my ＋9＝0， ∵l 与双曲线右支交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－1≠0，y 1y 2＝93m 2－1<0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，33， Δ＝(12m )2－4×9(3m 2－1)＝36(m 2＋1)>0，∴y 1＋y 2＝－12m 3m 2－1，y 1y 2＝93m 2－1，∵k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1≠0， ∴k 1k 2＝y 1x 2－1y 2x 1＋1＝y 1my 2＋1y 2my 1＋3＝my 1y 2＋y 1my 1y 2＋3y 2， ∵y 1＋y 2y 1y 2＝－12m 9＝－4m 3， ∴my 1y 2＝－34(y 1＋y 2)， ∴k 1k 2＝－34y 1＋y 2＋y 1－34y 1＋y 2＋3y 2＝14y 1－34y 2－34y 1＋94y 2 ＝－13， ∴存在λ＝－13使得k 1＝λk 2. 教师备选(2022·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点E ，F 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O ，且△EOF 的面积为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点F 恰为△EAB 的垂心？若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知⎩⎨⎧c a ＝33，12bc ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 26＋y 24＝1. (2)假设满足条件的直线l 存在，由E (0，－2)，F (2，0)，得k EF ＝2，因为点F 为△EAB 的垂心，所以AB ⊥EF ，所以k AB ＝－22， 设直线l 的方程为y ＝－22x ＋t ， 代入x 26＋y 24＝1， 得7x 2－62tx ＋6(t 2－4)＝0，Δ＝(－62t )2－4×7×6(t 2－4)＝－96t 2＋672>0，即－7<t <7，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝627t ，x 1x 2＝6t 2－47，由AF ⊥BE 得y 1x 1－2·y 2＋2x 2＝－1， 所以y 1y 2＋2y 1＋x 1x 2－2x 2＝0，将y 1＝－22x 1＋t ，y 2＝－22x 2＋t 代入上式，得3x 1x 2－2(t ＋2)(x 1＋x 2)＋(2t 2＋4t )＝0，所以3×6t 2－47－2(t ＋2)·62t 7＋(2t 2＋4t ) ＝0，所以5t 2＋t －18＝0，解得t ＝95(t ＝－2舍去)， 满足Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－22x ＋95. 思维升华 存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1 (2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过P (t ，0)(t >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若t ＝4，求AP 长度的最小值；(2)设以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，问是否存在t ，使得OM →·ON →＝－4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由P (4,0)，可得|AP |2＝⎝⎛⎭⎫y 204－42＋y 20 ＝y 4016－y 20＋16 ＝116(y 20－8)2＋12≥12， 当y 0＝±22时，|AP |取得最小值2 3.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0， 即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3，0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.题型二 圆锥曲线的综合问题例2 (2022·梅州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 的距离的取值范围．解 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 2(c ，0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离 d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ， 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设B (m ，n )，线段MN 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，因为O 为△BMN 的重心，则|BO |＝2|OD |＝|OA |，所以D ⎝⎛⎭⎫－m 2，－n 2， 即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 的距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处．由|OB |＝2，得|OD |＝1，则点O 到直线MN 的距离为1，点B 到直线MN 的距离为3. 当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 23＝0，因为D 为线段MN 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝⎛⎭⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2. 因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2＝12144＋16n 2＝39＋n 2. 因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23，所以123≤19＋n 2<13， 所以332≤3d <3， 即点B 到直线MN 的距离的取值范围为⎣⎡⎦⎤332，3. 教师备选(2022·开封模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 是抛物线C 上一点，且满足FP →＝(0，－2)．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，求该数列的公差．解 (1)由题设知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点P (x 0，y 0)，由FP →＝(0，－2)，即⎝⎛⎭⎫x 0－p 2，y 0＝(0，－2)， ∴x 0＝p 2，y 0＝－2，代入y 2＝2px ， 得4＝p 2，又p >0，∴p ＝2，则抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l ：y ＝2x ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x ， 消去y 得4x 2＋(4m －4)x ＋m 2＝0，满足Δ＝(4m －4)2－16m 2＝－32m ＋16>0，即m <12， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 24， 若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，则|F A →|＋|FB →|＝2|FP →|，即x 1＋x 2＋2＝4，即3－m ＝4，m ＝－1.即x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 又∵公差d 满足2d ＝|FB →|－|F A →|＝x 2－x 1，而|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝3，∴2d ＝±3，即d ＝±32. 思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r ，弦长的一半h ，弦心距d 满足r 2＝h 2＋d 2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB 是圆的直径，则圆上任一点P 有P A →·PB →＝0.跟踪训练2 (2022·鹰潭模拟)如图，O 为坐标原点，抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 2的右顶点，椭圆C 2的长轴长为|AB |＝8，离心率e ＝12.(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)过A 点作直线l 交C 1于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交C 2于E ，F 两点，记△OEF 和△OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S 1∶S 2＝3∶13？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题知，a ＝4，c a ＝12， 所以c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝23，p ＝4.所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x ，椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由题设知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋4.则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋4⇒y 2－8my －32＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－32.所以S 2S 1＝12|OC |·|OD |sin ∠COD 12|OE |·|OF |sin ∠EOF ＝|OC |·|OD ||OE |·|OF |＝|y 1|·|y 2||y E |·|y F |＝32|y E |·|y F |， 因为直线OC 的斜率为y 1x 1＝y 1y 218＝8y 1，所以直线OC 的方程为y ＝8y 1x . 由⎩⎨⎧ y ＝8y 1x ，x 216＋y 212＝1， 得y 2⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 则y 2E⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 同理可得y 2F⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ＝36×256121＋48m 2， 要使S 1∶S 2＝3∶13，只需322121＋48m 236×256＝⎝⎛⎭⎫1332， 解得m ＝±1，所以存在直线l ：x ±y －4＝0符合条件．课时精练1．已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1·k 2＝1；(2)是否存在常数λ，使得1|AB |＋1|CD |＝λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2， 因为点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点， 所以x 20－y 20＝4(x 0≠±2)，所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1， 即k 1k 2＝1.(2)解 由直线PF 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)， 代入椭圆C ：x 28＋y 24＝1， 可得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－8＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，x 1x 2＝8k 21－82k 21＋1， 所以|AB |＝1＋k 21x 1＋x 22－4x 1x 2＝42·k 21＋12k 21＋1， 同理可得|CD |＝42·k 22＋12k 22＋1， 因为k 1k 2＝1，可得|CD |＝42·k 21＋1k 21＋2， 则1|AB |＋1|CD |＝142·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1k 21＋1＋k 21＋2k 21＋1 ＝328， 即存在常数λ＝328， 使得1|AB |＋1|CD |＝328恒成立． 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实半轴长为1，且C 上的任意一点M 到C 的两条渐近线的距离的乘积为34. (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线C 相交于P ，Q 两点，问在x 轴上是否存在定点D ，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直？若存在，求出定点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可得a ＝1，所以双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1， 所以渐近线方程为bx ±y ＝0，设M (x 0，y 0)， 则|bx 0－y 0|b 2＋1·|bx 0＋y 0|b 2＋1＝34， 即|b 2x 20－y 20|b 2＋1＝34， 因为M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 20－y 20b2＝1， 即b 2x 20－y 20＝b 2，所以b 2b 2＋1＝34， 解得b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)假设存在D (t ，0)，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直，则可得k PD ＋k QD ＝0，F (2,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率存在时，直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，3x 2－y 2＝3， 可得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－3， x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3， 所以k PD ＋k QD ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1x 2－t ＋y 2x 1－t x 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝0， 即k (x 1－2)(x 2－t )＋k (x 2－2)(x 1－t )＝0恒成立，整理可得k [2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ]＝0，所以k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×4k 2＋3k 2－3－t ＋2×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 即2×4k 2＋3k 2－3－(t ＋2)×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 所以8k 2＋6－4k 2(t ＋2)＋4t (k 2－3)＝0，所以6－12t ＝0，解得t ＝12， 当直线l 的斜率不存在时，t ＝12也满足题意． 所以存在点D ⎝⎛⎭⎫12，0，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直．3．(2022·承德模拟)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为－14，设动点P 的轨迹为曲线C 1.抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)与C 1在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线C 1于点B ，交抛物线C 2于点E (点B ，E 不同于点A )．(1)求曲线C 1的方程；(2)是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)设动点P (x ，y )(x ≠±2)，则k PM ＝y x ＋2，k PN ＝y x －2. ∵k PM ·k PN ＝－14， ∴y x ＋2·y x －2＝－14， 即y 2x 2－4＝－14， 即x 24＋y 2＝1(x ≠±2)， ∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，B (x 2，y 2)，E (x 0，y 0)，显然直线l 存在斜率，设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 0＝－4km 1＋4k 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋m ， 得x 2＝2p (kx ＋m )，即x 2－2pkx －2pm ＝0，∴x 1x 0＝－2pm ，∴x 1·－4km 1＋4k 2＝－2pm ⇒x 1＝p ⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k ， ∴k >0，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x 2＝2py ， 即x 2＋x 4p 2＝4， ∴p 2⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋p 4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4p 2＝4， ∴p 2＝4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4，设⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＝⎝⎛⎭⎫12k ＋2k 2 ＝t ≥⎝⎛⎭⎫212k ·2k 2＝4， 当且仅当12k ＝2k ，即k ＝12时取等号， 则p 2＝4t ＋t 2＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 当t ≥4时，⎝⎛⎭⎫t ＋122－14≥20， 当k ＝12，即t ＝4时，p 2取得最大值，最大值为15， 即p ＝55. 此时A ⎝⎛⎭⎫255，255，满足Δ>0， 故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p 的最大值为55.4．(2022·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，P 为直线y ＝x －2上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B .当P 在y 轴上时，OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值．解 (1)P 为直线y ＝x －2上的动点，当P 在y 轴上时，则P (0，－2)，由x 2＝2py (p >0)，得y ＝x 22p (p >0)， 所以y ′＝x p(p >0)， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p ，x 1>0，x 2<0， 所以过点A 的切线方程为y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)， 又因为点P 在过点A 的切线上，所以－2－x 212p ＝x 1p(0－x 1)， 解得x 21＝4p ，又因为OA ⊥OB ，所以直线OA 的斜率为1，所以x 1＝x 212p，解得x 1＝2p ， 解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)由(1)得抛物线的切线的斜率y ′＝x ，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222， 所以切线P A 的方程为y －x 212＝x 1(x －x 1)， 切线PB 的方程为y －x 222＝x 2(x －x 2)， 两切线方程联立解得P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22，又点P 在直线y ＝x －2上，所以x 1x 22＝x 1＋x 22－2， 由题意知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y ， 消元得x 2－2kx －2m ＝0，Δ＝4k 2＋8m >0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ， 所以－2m 2＝2k 2－2，即k ＋m ＝2，满足Δ>0， 所以点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝2－k 21＋k 2＝1＋－4k ＋31＋k 2， 令t ＝－4k ＋31＋k 2， 则t ′＝2k －22k ＋11＋k 22， 令t ′＝0，得k ＝2或k ＝－12， 所以当k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞)时， t ′>0，t 单调递增，当k ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，t ′<0，t 单调递减， 当k ＝－12时，t ＝4，当k →＋∞时，t →0且t <0， 所以t max ＝4，所以d max ＝1＋4＝5，所以点O 到直线AB 距离的最大值为 5.。

课时作业49 椭圆一、选择题(每小题5分，共40分) 1．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( ) A.13 B.12 C.33D.22解析：e ＝224＝22. 答案：D2．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4∪⎝⎛⎭⎪⎫7π4，2πB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2 解析：化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1，∴－1cos α>1sin α>0，故选C. 答案：C3．(2021·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y236＝1B.x 236＋y227＝1C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1解析：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1x 22a 2＋y 22b 2＝1两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 21b 2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2 ＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2， ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2， ∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a 2，又∵k ＝－1－01－3＝12 ∴b 2a 2＝12又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9， ∴b 2＝9，a 2＝18，即标准方程为x 218＋y 29＝1，故选D. 答案：D4．(2022·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2解析：由于A ，B 为左、右顶点，F 1，F 2为左、右焦点，所以|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c .又由于|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列， 所以(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2. 所以离心率e ＝c a ＝55，故选B. 答案：B5．(2022·兰州调研)“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：要使方程x 25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆，应满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0m ＋3>0，5－m ≠m ＋3解得－3<m <5且m ≠1，因此“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．答案：B6．(2021·莱芜期中)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y25＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则OP →·FP→的最小值为( ) A.114 B ．3 C ．8D ．15解析：设P (3cos θ，5sin θ)(0≤θ<2π)，∵F (－2,0)，∴FP →＝(3cos θ＋2，5sin θ)，OP →＝(3cos θ，5sin θ)．∴FP →·OP →＝(3cos θ＋2)×3cos θ＋5sin 2θ＝4(cos θ＋34)2＋114≥114.答案：A7．已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈(12，1)，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．(43，＋∞) C ．(0，34)∪(43，＋∞)D ．(34，1)∪(1，43)解析：椭圆标准方程为x 2＋y 21m＝1.当m >1时，e 2＝1－1m ∈(14，1)，解得m >43；当0<m <1时，e 2＝1m －11m ＝1－m ∈(14，1)，解得0<m <34，故实数m 的取值范围是(0，34)∪(43，＋∞)．答案：C8．(2021·大纲理，8)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]。

一、知识梳理１．椭圆的定义条件结论１结论２平面内的动点M与平面内的两个定点F１，F２M点的轨迹为椭圆F１、F２为椭圆的焦点|F１F２|为椭圆的焦距|MF１|＋|MF２|＝２a２a＞|F１F２|１２１２１２２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）图形性质范围—a≤x≤a—b≤y≤b—b≤x≤b—a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：（0，0）顶点A１（—a，0），A２（a，0）B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a）B１（—b，0），B２（b，0）轴长轴A１A２的长为２a短轴B１B２的长为２b性质焦距|F１F２|＝２c离心率e＝错误!，e∈（0，１）a，b，c的关系c２＝a２—b２１．点P（x0，y0）和椭圆的位置关系（１）点P（x0，y0）在椭圆内⇔错误!＋错误!<１．（２）点P（x0，y0）在椭圆上⇔错误!＋错误!＝１．（３）点P（x0，y0）在椭圆外⇔错误!＋错误!>１．２．椭圆的常用性质（１）椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a—c.（２）过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长为错误!.（３）已知过焦点F１的弦AB，则△ABF２的周长为４a.（４）设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值—错误!.二、习题改编１．（选修１­１P４0例４改编）椭圆１6x２＋２５y２＝４00的长轴的长，离心率．答案：１0 错误!２．（选修１­１P４１练习T３改编）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（１，0），离心率等于错误!，则C的方程是．答案：错误!＋错误!＝１３．（选修１­１P３6练习T３改编）椭圆C：错误!＋错误!＝１的左、右焦点分别为F１，F２，过F的直线交椭圆C于A、B两点，则△F１AB的周长为，△AF１F２的周长为．２答案：２0 １6一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与两个定点F１，F２的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（）（２）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（）（３）椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．（）（４）错误!＋错误!＝１（a≠b）表示焦点在y轴上的椭圆．（）（５）错误!＋错误!＝１（a>b>0）与错误!＋错误!＝１（a>b>0）的焦距相同．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）×（５）√二、易错纠偏错误!（１）忽视椭圆定义中的限制条件；（２）忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论．１．平面内一点M到两定点F１（0，—9），F２（0，9）的距离之和等于１8，则点M的轨迹是．解析：由题意知|MF１|＋|MF２|＝１8，但|F１F２|＝１8，即|MF１|＋|MF２|＝|F１F２|，所以点M的轨迹是一条线段．答案：线段F１F２２．已知椭圆的长轴长为１0，其焦点到中心的距离为４，则这个椭圆的标准方程为．答案：错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１第１课时椭圆及其性质椭圆的定义及应用（典例迁移）（１）（２0２0·黑龙江哈尔滨六中二模）设椭圆C：错误!＋y２＝１的左焦点为F，直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是（）Ａ．２Ｂ．２错误!C．４Ｄ．４错误!（２）（２0２0·徐州模拟）已知F１、F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF１⊥PF２，若△PF１F２的面积为9，则b＝．【解析】（１）设椭圆的右焦点为F１，连接AF１，BF１，因为OA＝OB，OF＝OF１，所以四边形AFBF１是平行四边形．所以|BF|＝|AF１|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF１|＝２a＝４，故选Ｃ．（２）设|PF１|＝r１，|PF２|＝r２，则错误!所以２r１r２＝（r１＋r２）２—（r错误!＋r错误!）＝４a２—４c２＝４b２，所以S△PF１F２＝错误!r１r２＝b２＝9，所以b＝３．【答案】（１）C （２）３【迁移探究】（变条件）本例（２）中增加条件“△PF１F２的周长为１8”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由原题得b２＝a２—c２＝9，又２a＋２c＝１8，所以a—c＝１，解得a＝５，故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．错误!椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F１，F２组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF１|·|PF２|，通过整体代入可求其面积等．１．已知椭圆错误!＋错误!＝１上一点P到椭圆一个焦点F１的距离为３，则P到另一个焦点F２的距离为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．５Ｄ．7解析：选Ｄ．因为a２＝２５，所以２a＝１0，所以由定义知，|PF１|＋|PF２|＝１0，所以|PF２|＝１0—|PF|＝7．１２．（２0２0·贵州六盘水模拟）已知点F１，F２分别为椭圆C：错误!＋错误!＝１的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F１PF２＝60°，则S△F１PF２＝．解析：由|PF１|＋|PF２|＝４，|PF１|２＋|PF２|２—２|PF１|·|PF２|·cos 60°＝|F１F２|２，得３|PF１|·|PF２|＝１２，所以|PF１|·|PF２|＝４，则S△F１PF２＝错误!|PF１|·|PF２|sin∠F１PF２＝错误!×４sin 60°＝错误!.答案：错误!椭圆的标准方程（师生共研）（１）（一题多解）过点（错误!，—错误!），且与椭圆错误!＋错误!＝１有相同焦点的椭圆的标准方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１（２）若直线x—２y＋２＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为．【解析】（１）法一（定义法）：椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（0，—４），（0，４），即c＝４．由椭圆的定义知，２a＝错误!＋错误!，解得a＝２错误!.由c２＝a２—b２，可得b２＝４．所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．法二（待定系数法）：设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１（k<9），将点（错误!，—错误!）的坐标代入，可得错误!＋错误!＝１，解得k＝５或k＝２１（舍去），所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．法三（待定系数法）：设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0）．由题意得错误!，解得错误!，所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．（２）直线与坐标轴的交点为（0，１），（—２，0），由题意知当焦点在x轴上时，c＝２，b＝１，所以a２＝５，所求椭圆的标准方程为错误!＋y２＝１．当焦点在y轴上时，b＝２，c＝１，所以a２＝５，所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．【答案】（１）C （２）错误!＋y２＝１或错误!＋错误!＝１错误!（１）用定义法求椭圆的标准方程先根据椭圆的定义确定a２，b２的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：１b２＝a２—c２；２椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于２a；３椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.（２）用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤[提醒] 当椭圆焦点位置不明确时，可设为错误!＋错误!＝１（m>0，n>0，m≠n），也可设为Ax２＋By２＝１（A>0，B>0，且A≠B）．１．已知动点M到两个定点A（—２，0），B（２，0）的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋x２＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选Ｄ．由题意有6>２＋２＝４，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则２a＝6，c＝２，故a２＝9，所以b２＝a２—c２＝５，故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．故选Ｄ．２．设椭圆错误!＋错误!＝１（m>0，n>0）的右焦点为（２，0），离心率为错误!，则此椭圆的方程为．解析：椭圆的右焦点为（２，0），所以m２—n２＝４，e＝错误!＝错误!，所以m＝２错误!，代入m２—n２＝４，得n２＝４，所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１３．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（—２，0），且长轴长与短轴长的比是２∶错误!，则椭圆C的方程是．解析：设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0）．由题意知错误!解得a２＝１6，b２＝１２．所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１椭圆的几何性质（多维探究）角度一椭圆的长轴、短轴、焦距（２0２0·泉州质检）已知椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在x轴上，焦距为４，则m等于（）Ａ．8 Ｂ．7Ｃ．6 Ｄ．５【解析】因为椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在x轴上，所以错误!解得6<m<１0．因为焦距为４，所以c２＝m—２—１0＋m＝４，解得m＝8．【答案】A角度二求椭圆离心率的值（范围）（１）（２0１8·高考全国卷Ⅱ）已知F１，F２是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF⊥PF２，且∠PF２F１＝60°，则C的离心率为（）１Ａ．１—错误!Ｂ．２—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!—１（２）在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的下顶点，M，N 在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈错误!，则椭圆C的离心率的取值范围为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）由题设知∠F１PF２＝90°，∠PF２F１＝60°，|F１F２|＝２c，所以|PF２|＝c，|PF１|＝错误! c.由椭圆的定义得|PF１|＋|PF２|＝２a，即错误!c＋c＝２a，所以（错误!＋１）c＝２a，故椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!—１．故选Ｄ．（２）因为OPMN是平行四边形，所以MN∥OP且MN＝OP，故y N＝错误!，代入椭圆方程可得x N＝错误!，所以k ON＝错误!＝tan α.又α∈错误!，所以错误!<错误!<１，所以a<错误!b，a２<３（a２—c２），解得0<错误!<错误!，故选Ａ．【答案】（１）D （２）A错误!求椭圆离心率或其取值范围的方法（１）求出a，b或a，c的值，代入e２＝错误!＝错误!＝１—错误!错误!直接求．（２）先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式（不等式），结合b２＝a２—c２转化为关于a，c的齐次等式（不等式），然后将该齐次等式（不等式）两边同时除以a或a２转化为关于e或e２的方程（不等式），再解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．角度三与椭圆性质有关的最值问题已知P在椭圆错误!＋y２＝１上，A（0，４），则|PA|的最大值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!C．５Ｄ．２错误!【解析】设P（x0，y0），则由题意得x２＝４（１—y２），所以|PA|２＝x错误!＋（y0—４）２＝４（１—y错误!）＋y错误!—8y0＋１6＝—３y错误!—8y0＋２0＝—３错误!错误!＋错误!，又—１≤y0≤１，所以当y0＝—１时，|PA|２取得最大值２５，即|PA|的最大值为５．故选Ｃ．【答案】C错误!求解最值、取值范围问题的技巧（１）与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．（２）椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，—a≤x≤a，—b≤y≤b，0<e<１，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．（３）最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解．１．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的一个焦点是圆x２＋y２—6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（）Ａ．（—３，0）Ｂ．（—４，0）C．（—１0，0）Ｄ．（—５，0）解析：选Ｄ．因为圆的标准方程为（x—３）２＋y２＝１，所以圆心坐标为（３，0），所以c＝３．又b＝４，所以a＝错误!＝５．因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为（—５，0）．２．若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝１的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则错误!·错误!的最大值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．6 Ｄ．8解析：选Ｃ．由椭圆错误!＋错误!＝１可得F（—１，0），点O（0，0），设P（x，y）（—２≤x≤２），则错误!·错误!＝x２＋x＋y２＝x２＋x＋３错误!＝错误!x２＋x＋３＝错误!（x＋２）２＋２，—２≤x≤２，当且仅当x＝２时，错误!·错误!取得最大值6．３．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0），F是椭圆的右焦点，A为左顶点，点P在椭圆上，PF⊥x 轴，若|PF|＝错误!|AF|，则椭圆的离心率为．解析：因为点P在椭圆上，且PF⊥x轴，所以|PF|＝错误!，又因为|AF|＝a＋c，|PF|＝错误!|AF|，所以４（a２—c２）＝a（a＋c），即４（a—c）＝a，则３a＝４c，即错误!＝错误!.答案：错误![基础题组练]１．已知正数m是２和8的等比中项，则圆锥曲线x２＋错误!＝１的焦点坐标为（）Ａ．（±错误!，0）Ｂ．（0，±错误!）Ｃ．（±错误!，0）或（±错误!，0）Ｄ．（0，±错误!）或（±错误!，0）解析：选Ｂ．因为正数m是２和8的等比中项，所以m２＝１6，即m＝４，所以椭圆x２＋错误!＝１的焦点坐标为（0，±错误!），故选Ｂ．２．（２0１9·高考北京卷）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的离心率为错误!，则（）Ａ．a２＝２b２Ｂ．３a２＝４b２Ｃ．a＝２bＤ．３a＝４b解析：选Ｂ．由题意得，错误!＝错误!，所以错误!＝错误!，又a２＝b２＋c２，所以错误!＝错误!，错误!＝错误!，所以４b２＝３a２.故选Ｂ．３．曲线错误!＋错误!＝１与曲线错误!＋错误!＝１（k<１４４）的（）Ａ．长轴长相等Ｂ．短轴长相等Ｃ．离心率相等Ｄ．焦距相等解析：选Ｄ．曲线错误!＋错误!＝１中c２＝１69—k—（１４４—k）＝２５，所以c＝５，所以两曲线的焦距相等．４．（２0２0·郑州模拟）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，离心率为错误!，过F２的直线l交C于A，B两点，若△AF１B的周长为１２，则C的方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选Ｄ．由椭圆的定义，知|AF１|＋|AF２|＝２a，|BF１|＋|BF２|＝２a，所以△AF１B的周长为|AF|＋|AF２|＋|BF１|＋|BF２|＝４a＝１２，所以a＝３．因为椭圆的离心率e＝错误!＝错误!，所以c＝２，１所以b２＝a２—c２＝５，所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１，故选Ｄ．５．（２0２0·昆明市诊断测试）已知F１，F２为椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF１与C的另一个交点为A，若△BAF２为等腰三角形，则错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．３解析：选Ａ．如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF１|＋|BF２|＝２a，|AF１|＋|AF２|＝２a，由题意知|AB|＝|AF２|，所以|BF１|＝|BF２|＝a，|AF１|＝错误!，|AF２|＝错误!.所以错误!＝错误!.故选Ａ．6．若椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为．解析：由题意可得b＝c，则b２＝a２—c２＝c２，a＝错误!c，故椭圆的离心率e＝错误!＝错误!.答案：错误!7．（２0２0·贵阳模拟）若椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，短轴长为４，则椭圆的标准方程为．解析：由题意可知e＝错误!＝错误!，２b＝４，得b＝２，所以错误!解得错误!所以椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１8．（２0１9·高考全国卷Ⅲ）设F１，F２为椭圆C：错误!＋错误!＝１的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF１F２为等腰三角形，则M的坐标为．解析：通解：由椭圆C：错误!＋错误!＝１，得c＝错误!＝４，不妨设F１，F２分别为左、右焦点，则由题意知|MF１|＝|F１F２|＝２c＝8，于是由椭圆的定义得|MF１|＋|MF２|＝１２，所以|MF２|＝１２—|MF|＝４，易知△MF１F２的底边MF２上的高h＝错误!＝错误!＝２错误!，所以错误!|MF２|·h＝错误!|F１F２１|·y M，即错误!×４×２错误!＝错误!×8×y M，解得y M＝错误!，代入椭圆方程得x M＝—３（舍去）或x M＝３，故点M的坐标为（３，错误!）．优解：不妨设F１，F２分别为左、右焦点，则由题意，得|MF１|＝|F１F２|＝8，由椭圆的焦半径公式得|MF１|＝ex M＋6＝错误!x M＋6＝8，解得x M＝３，代入椭圆方程得y M＝错误!，故点M的坐标为（３，错误!）．答案：（３，错误!）9．已知椭圆的长轴长为１0，两焦点F１，F２的坐标分别为（３，0）和（—３，0）．（１）求椭圆的标准方程；（２）若P为短轴的一个端点，求△F１PF２的面积．解：（１）设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），依题意得错误!因此a＝５，b＝４，所以椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．（２）易知|y P|＝４，又c＝３，所以S△F１PF２＝错误!|y P|×２c＝错误!×４×6＝１２．１0．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．（１）与椭圆错误!＋错误!＝１有相同的离心率且经过点（２，—错误!）；（２）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为５，３，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：（１）由题意，设所求椭圆的方程为错误!＋错误!＝t１或错误!＋错误!＝t２（t１，t２＞0），因为椭圆过点（２，—错误!），所以t１＝错误!＋错误!＝２，或t２＝错误!＋错误!＝错误!.故所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．（２）由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）或错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），由已知条件得错误!解得a＝４，c＝２，所以b２＝１２．故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．[综合题组练]１．（２0２0·合肥市第二次质量检测）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F，F２，右顶点为A，上顶点为B，以线段F１A为直径的圆交线段F１B的延长线于点P，若F２B∥AP，１则该椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．如图，由题意知，P为以F１A为直径的圆上一点，所以F１P⊥AP，结合F２B∥AP知F １P⊥F２B.又|F１B|＝|F２B|，所以△BF１F２为等腰直角三角形，所以|OB|＝|OF２|，即b＝c，所以a２＝b２＋c２＝２c２，即a＝错误!c，所以椭圆的离心率e＝错误!＝错误!，故选Ｄ．２．（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F１（—１，0），F２（１，0），过F２的直线与C 交于A，B两点．若|AF２|＝２|F２B|，|AB|＝|BF１|，则C的方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选Ｂ．由题意设椭圆的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），连接F１A，令|F２B|＝m，则|AF|＝２m，|BF１|＝３m.由椭圆的定义知，４m＝２a，得m＝错误!，故|F２A|＝a＝|F１A|，则点A为椭圆２C的上顶点或下顶点．令∠OAF２＝θ（O为坐标原点），则sin θ＝错误!.在等腰三角形ABF１中，cos ２θ＝错误!＝错误!，所以错误!＝１—２（错误!）２，得a２＝３．又c２＝１，所以b２＝a２—c２＝２，椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．故选Ｂ．３．已知椭圆C：x２＋２y２＝４．（１）求椭圆C的离心率；（２）设O为原点．若点A在直线y＝２上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解：（１）由题意，椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝１．所以a２＝４，b２＝２，从而c２＝a２—b２＝２．因此a＝２，c＝错误!.故椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!.（２）设点A，B的坐标分别为（t，２），（x0，y0），其中x0≠0．因为OA⊥OB，所以错误!·错误!＝0，即tx0＋２y0＝0，解得t＝—错误!.又x错误!＋２y错误!＝４，所以|AB|２＝（x0—t）２＋（y0—２）２＝错误!错误!＋（y0—２）２＝x错误!＋y错误!＋错误!＋４＝x错误!＋错误!＋错误!＋４＝错误!＋错误!＋４（0<x错误!≤４）．因为错误!＋错误!≥４（0<x错误!≤４），当且仅当x错误!＝４时等号成立，所以|AB|２≥8．故线段AB长度的最小值为２错误!.４．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的两个焦点，P 为C上的点，O为坐标原点．（１）若△POF２为等边三角形，求C的离心率；（２）如果存在点P，使得PF１⊥PF２，且△F１PF２的面积等于１6，求b的值和a的取值范围．解：（１）连接PF１.由△POF２为等边三角形可知在△F１PF２中，∠F１PF２＝90°，|PF２|＝c，|PF１|＝错误! c，于是２a＝|PF１|＋|PF２|＝（错误!＋１）c，故C的离心率e＝错误!＝错误!—１．（２）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在当且仅当错误!|y|·２c＝１6，错误!·错误!＝—１，错误!＋错误!＝１，即c|y|＝１6，１x２＋y２＝c２，２错误!＋错误!＝１．３由２３及a２＝b２＋c２得y２＝错误!，又由１知y２＝错误!，故b＝４．由２３得x２＝错误!（c２—b２），所以c２≥b２，从而a２＝b２＋c２≥２b２＝３２，故a≥４错误!.当b＝４，a≥４错误!时，存在满足条件的点P.所以b＝４，a的取值范围为[４错误!，＋∞）．。

课时规范练50 椭圆基础巩固组1.“2<m<6”是“方程=1表示椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知点M(3,)是椭圆=1(a>b>0)上的一点,椭圆的长轴长是焦距的倍,则该椭圆的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=13.(2024湖北武汉二模)若椭圆+y2=1(a>0)的离心率为,则a的值为()A. B.C. D.4.(2024全国甲,文11)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.+y2=15.(多选)关于椭圆3x2+4y2=12有以下结论,其中正确的有()A.离心率为B.长轴长是2C.焦点在y轴上D.焦点坐标为(-1,0),(1,0)6.(多选)椭圆E的焦点在x轴上,其短轴的两个端点和两个焦点恰为边长为2的正方形的顶点,则()A.椭圆E的长轴长为4B.椭圆E的焦点坐标为(-2,0),(2,0)C.椭圆E的离心率为D.椭圆E的标准方程为=17.若圆C以椭圆=1的右焦点为圆心,长半轴长为半径,则圆C的方程为.8.椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,假如线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的倍.综合提升组9.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=,点P是y轴正半轴上一点,线段PF1交椭圆于点A,若AF2⊥PF1,且△APF2的内切圆半径为,则椭圆的离心率是()A. B. C. D.10.(多选)如图所示,某月球探测器飞行到月球旁边时,首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行,然后在点P处变轨进入以点F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行,最终在点Q处变轨进入以点F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.设圆形轨道Ⅰ的半径为R,圆形轨道Ⅲ的半径为r,则以下说法正确的是()A.椭圆轨道Ⅱ上随意两点距离最大为2RB.椭圆轨道Ⅱ的焦距为R-rC.若r不变,则R越大,椭圆轨道Ⅱ的短轴越短D.若R不变,则r越小椭圆轨道Ⅱ的离心率越大11.(多选)已知点P是椭圆=1上一动点,点M,点N分别是圆(x+2)2+y2=与圆(x-2)2+y2=上的动点,则()A.|PM|+|PN|的最小值为B.|PM|+|PN|的最小值为C.|PM|+|PN|的最大值为D.|PM|+|PN|的最大值为创新应用组12.(多选)(2024湖南师大附中高三检测)如图所示,用一个与圆柱底面成θ0<θ<角的平面截圆柱,截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2,θ=,则()A.椭圆的长轴长等于4B.椭圆的离心率为C.椭圆的标准方程可以是=1D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-213.椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),已知定点M,若椭圆C上存在点N,使得△FMN 为等腰钝角三角形,求椭圆C的离心率的取值范围.课时规范练50椭圆1.B解析:若方程=1表示椭圆,则解得2<m<6且m≠4,故“2<m<6”是“方程=1表示椭圆方程”的必要不充分条件.故选B.2.D解析:由题意解得所以椭圆方程为=1.故选D.3.C解析:当a2>1,即a>1时,由=2,解得a=.当a2<1,即0<a<1时,则=2,解得a=.综上,a的值为.4.B解析:由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),则=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1,①由e=,得e2==1-,即b2=a2.②联立①②,解得a2=9,b2=8.故选B.5.AD解析:将椭圆方程化标准方程为=1.该椭圆的焦点在x轴上,故C错误;焦点坐标为(-1,0),(1,0),故D正确;a=2,长轴长是4,故B错误;离心率e=,故A正确.故选AD.6.CD解析:设椭圆E的方程为=1(a>b>0).由题可知b=c=,所以a2=b2+c2=4,所以a=2,所以椭圆E的长轴长2a=4,焦点坐标为(-,0),(,0),离心率为,标准方程为=1.故选CD.7.(x-2)2+y2=16解析:由椭圆方程可知a2=16,b2=12,则c2=4,所以椭圆右焦点为(2,0),长半轴长为4.由题可知,圆C以(2,0)为圆心,以4为半径,所以圆的方程为(x-2)2+y2=16.8.5解析:由题可知a=3,c=,PF2⊥x轴.当x=时,=1,解得y=±1,所以|PF2|=1,所以|PF1|=2×3-|PF2|=6-1=5,所以|PF1|是|PF2|的5倍.9.C解析:由题可知2c=,所以c=.因为直角三角形APF2的内切圆半径为,所以|AP|+|AF2|-|PF2|=2×.又由椭圆的对称性可知|PF2|=|PF1|,所以|AP|+|AF2|-|PF2|==|AP|+|AF2|-|PF1|=|AF2|-|AF1|.在直角三角形AF1F2中,由解得所以|AF1|+|AF2|=3,即2a=3,a=,所以椭圆的离心率e=.故选C.10.BD解析:设椭圆轨道Ⅱ的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,依题意得解得a=,c=.椭圆轨道Ⅱ上随意两点距离的最大值为2a=R+r,故A错误;椭圆轨道Ⅱ的焦距为2c=R-r,故B正确;椭圆轨道Ⅱ的短轴长2b=2=2,若r不变,R越大,则2b越大,椭圆轨道Ⅱ的短轴越长,故C错误;椭圆轨道Ⅱ的离心率e==1-=1-.若R不变,r越小,则e越大,故D正确.故选BD.11.AD解析:由题可知,圆(x+2)2+y2=与圆(x-2)2+y2=的圆心分别为A(-2,0),B(2,0),且A,B是椭圆=1的两个焦点,两圆的半径均为,所以|PM|+|PN|的最大值为|PA|+|PB|+2×=2a+=2×,|PM|+|PN|的最小值为|PA|+|PB|-2×=2a-=2×.故选AD.12.BCD解析:设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆的直径,由截面与圆柱底面成锐二面角θ=,得2a==8,解得a=4,A不正确;明显b=2,则c==2,离心率e=,B正确;当以椭圆长轴所在直线为y轴,短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时,椭圆的标准方程为=1,C正确;椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c=4-2,D正确.故选BCD.13.解因为|OM|-|OF|=-c=,且a,b,c均为正数,所以|OM|-|OF|>0,所以M在F点右侧.又-a=>0,所以M在椭圆外部.所以∠NMF不行能为钝角.若∠FNM为钝角,设MF的中点为E,N的横坐标为x0,则c≤x0≤a,应有NE垂直平分FM,即x0=|OE|.因为|OE|=|OF|+|FM|=c+-c=+c,而+c-a=>0,所以∠FNM不行能为钝角.故∠NFM为钝角,且|FM|=|FN|,此时|FM|=-c,|FN|∈(c,a+c).当NF垂直于x轴时,N(c,y0),所以=1,解得|y0|=,所以-c<a+c, 所以解得<e<1.。

§9.5椭圆最新考纲考情考向分析1.掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.2.会解决直线与椭圆的位置关系的问题.椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中.题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1.椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0) 图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0，1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2概念方法微思考1.在椭圆的定义中，若2a ＝|F 1F 2|或2a <|F 1F 2|，动点P 的轨迹如何？提示 当2a ＝|F 1F 2|时动点P 的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时动点P 的轨迹是不存在的. 2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？ 提示 由e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大，椭圆越圆.3.点和椭圆的位置关系有几种？如何判断. 提示 点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系有3种(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.4.直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？提示 直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ. (1)直线与椭圆相离⇔Δ<0. (2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0. (3)直线与椭圆相交⇔Δ>0. 题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距).( √ )(2)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( √ )(3)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆.( × ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相等.( √ )题组二 教材改编 2.[P49T4]椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A.4B.8C.4或8D.12 答案 C解析 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0，10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8.∴m ＝4或8. 3.[P80T3(1)]过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A.x 215＋y 210＝1B.x 225＋y 220＝1C.x 210＋y 215＝1 D.x 220＋y 215＝1 答案 A解析 由题意知c 2＝5，可设椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ>0)，则9λ＋5＋4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)， ∴所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.4.[P49T6]已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1，0)，F 2(1，0).由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 题组三 易错自纠5.(2018·浙江余姚中学质检)已知方程x 2m 2＋y 22＋m＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A.m >2或m <－1 B.m >－2C.－1<m <2D.m >2或－2<m <－1答案 D解析 ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴m 2>2＋m >0，解得m >2或－2<m <－1.6.椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A.－21B.21C.－1925或21D.1925或21 答案 C解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 7.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43， ∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.第1课时 椭圆及其性质题型一 椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆答案 A解析 由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆.2.已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A.23B.6C.43D.12 答案 C解析 由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝(|BA |＋|BF |)＋(|CF |＋|CA |)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.3.椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.72B.32C.3D.4 答案 A解析 F 1(－3，0)，∵PF 1⊥x 轴，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，±12，∴|PF 1|＝12，∴|PF 2|＝4－12＝72. 4.设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为________. 答案 －5解析 由椭圆的方程可知F 2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|.∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5，2a ＝10，∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为 －5.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题. 题型二 椭圆的标准方程 命题点1 定义法例1 (1)(2019·丽水调研)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1内切，和圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 答案 D解析 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8， 即a ＝8，c ＝4，b ＝a 2－c 2＝43， 故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)在△ABC 中，A (－4，0)，B (4，0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 答案 A解析 由|AC |＋|BC |＝18－8＝10>8知，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线).设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝5，c ＝4，从而b ＝3.由A ，B ，C 不共线知y ≠0.故顶点C 的轨迹方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0).命题点2 待定系数法例2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆的标准方程为__________. 答案y 210＋x 26＝1 解析 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n ). 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的标准方程为____________. 答案x 28＋y 26＝1解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝22，b ＝6，c ＝2，∴椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式. 跟踪训练1(1)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( ) A.x 236＋y 29＝1 B.x 29＋y 236＝1 C.x 24＋y 29＝1 D.x 29＋y 24＝1 答案 A解析 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a ＝12，∴a ＝6，∵椭圆的离心率为32，∴e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32，即1－b 236＝32，解得b 2＝9，∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1，故选A. (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________.答案y 220＋x 24＝1 解析 ∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上，∴(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.题型三 椭圆的几何性质 命题点1 求离心率的值(或范围)例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36B.13C.12D.33答案 D解析 方法一 如图，在Rt△PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2c cos30°＝43c 3，|PF 2|＝2c ·tan30°＝23c3.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 即43c 3＋23c 3＝2a ，可得3c ＝a . ∴e ＝c a ＝33. 方法二 (特殊值法)： 在Rt△PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，∵∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3. ∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.(2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，则椭圆的离心率为( ) A.24B.23C.63D.64答案 D解析 设P (x ，y )，则|OP |2＝x 2＋y 2＝a 28，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2， 又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2， 则|PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2， 整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，整理得c 2a 2＝38， ∴椭圆的离心率e ＝ca ＝64. (3)(2018·杭州调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22解析 因为|PT |＝|PF 2|2－(b －c )2(b >c )， 而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为(a －c )2－(b －c )2. 依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )， 所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )， 所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)， 所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.① 又b >c ，所以b 2>c 2，所以a 2－c 2>c 2，所以2e 2<1.② 联立①②，得35≤e <22.命题点2 求参数的值(或范围)例4 (2017·全国Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)答案 A解析 方法一 设椭圆焦点在x 轴上， 则0<m <3，点M (x ，y ).过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x ，0).故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x|y |＝23|y |x 2＋y 2－3.又tan∠AMB ＝tan120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m. 又0<|y |≤m ，即0<2m3－m ≤m ，结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 故选A.方法二 当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞). 故选A.思维升华 (1)求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式，常用方法如下：①直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝c a求解. ②由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解. ③由椭圆的定义求离心率，e ＝c a ＝2c2a，而2a 是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c 是焦距，从而与焦点三角形联系起来.④构造a ，c 的齐次式.离心率e 的求解中可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e ，一般步骤如下：(ⅰ)建立方程：根据已知条件得到齐次方程Aa 2＋Bac ＋Cc 2＝0；(ⅱ)化简：两边同时除以a 2，化简齐次方程，得到关于e 的一元二次方程A ＋Be ＋Ce 2＝0； (ⅲ)求解：解一元二次方程，得e 的值；(ⅳ)验算取舍：根据椭圆离心率的取值范围e ∈(0，1)确定离心率e 的值. 若得到齐次不等式，可以类似求出离心率e 的取值范围. (2)椭圆几何性质的应用技巧①与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.②椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0<e <1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系.跟踪训练2 (1)已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________. 答案3解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8， 所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知2b2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.(2)(2018·温州高考适应性测试)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐标原点，直线y ＝b ax 交椭圆于第一象限内的点C ，若S △BFO ＝S △BFC ，则椭圆的离心率等于( ) A.22＋17 B.22－17C.22－13D.2－1答案 A解析 联立直线y ＝b a x 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，得在第一象限的交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22b ，又因为S △BFO＝S △BFC ，所以直线BF 与直线y ＝bax 的交点为线段OC 的中点，即线段OC 的中点⎝⎛⎭⎪⎫24a ，24b 在直线BF ：x c ＋y b ＝1上，则24a c ＋24b b ＝1，化简得椭圆的离心率e ＝c a ＝22＋17，故选A.(3)(2018·温州高考适应性测试)正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝⎛⎭⎪⎫3－12，1D.⎝⎛⎭⎪⎫0，3－12 答案 B解析 由椭圆的对称性可知，正方形的四个顶点为直线y ＝±x 与椭圆的交点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫±ab a 2＋b 2，±ab a 2＋b 2，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以c <ab a 2＋b2，化简得a 4－3a 2c 2＋c 4>0，所以e 4－3e 2＋1>0，又0<e <1， 解得e 2<3－52，即0<e <5－12.1.(2018·浙江省金华东阳中学期中)如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A.a >3 B.a <－2C.a >3或a <－2D.a >3或－6<a <－2答案 D解析 ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴a 2>a ＋6>0，解得a >3或－6<a <－2. 2.(2018·绍兴质检)已知椭圆Γ：x 2m ＋6＋y 2m ＋2＝1(m >－2)上的动弦EF 过Γ的一个焦点(动弦不在x 轴上)，若Γ的另一个焦点与动弦EF 所构成的三角形的周长为20，则椭圆Γ的离心率为( ) A.15B.12C.25D.45 答案 C解析 由椭圆的定义，得4a ＝20，解得a ＝5.又c 2＝a 2－b 2＝m ＋6－(m ＋2)＝4，所以c ＝2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝25，故选C.3.(2018·浙江省高考模拟试卷)已知椭圆的方程为x 212＋y 24＝1，矩形ABCD 的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在矩形的内部，则矩形的长与宽的比值的取值范围为( ) A.(1，2) B.(1，3) C.(6，＋∞) D.(1，6)答案 C解析 根据椭圆与矩形的对称性知，矩形的相邻两边分别平行于x 轴，y 轴，且椭圆与矩形都以原点O 为对称中心，如图是矩形的边过焦点时的情形，由椭圆方程x 212＋y 24＝1，知当x ＝22时，y ＝±233，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，233，此时，矩形的长与宽的比值为6，由于焦点在矩形的内部，所以矩形的长与宽的比值大于6，故选C. 4.设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( ) A.8B.10C.12D.15 答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2――→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2――→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2――→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2――→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝64，所以34＋2|PF 1|·|PF 2|＝64， 所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.5.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子： ①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2. 其中正确式子的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④ 答案 D解析 观察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0知，a 1－c 1c 1<a 2－c 2c 2，即a 1c 1<a 2c 2，从而c 1a 2>a 1c 2，c 1a 1>c 2a 2，即④式正确，③式不正确.故选D.6.(2018·浙江省金华十校期末)椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2，3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，e －1e的最小值是( )A.－22 B.－ 2C.－66D.－63答案 A解析 由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2， ∴12≤c 2a 2≤23，即22≤e ≤63. 令f (e )＝e －1e ，则f (e )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63上是增函数，∴当e ＝22时，e －1e 取得最小值22－2＝－22. 7.(2018·浙江七彩阳光联盟联考)已知椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为________，△ABF 2的面积的最大值为________. 答案 10 2 5解析 设F 1是椭圆的左焦点.如图，连接AF 1.由椭圆的对称性，结合椭圆的定义知|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＝6，所以要使△ABF 2的周长最小，必有|AB |＝2b ＝4，所以△ABF 2的周长的最小值为10.＝＝12×2c ×|y A |＝5|y A |≤25，所以△ABF 2面积的最大值为2 5.8.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________. 答案x 29＋y 26＝1 解析 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可求得|F 1A |＝|F 1B |＝b 2a.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴b 2a ＝33×2c .①又＝12×2c ×2b2a＝43，②a 2＝b 2＋c 2，③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.9.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B ，C ，D 四点，若椭圆C 1的一个焦点为F (－2，0)，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆C 1的离心率e 为________. 答案22解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2a 2＋x2b 2＝1，两式相减得x 2－y 2a 2＝x 2－y 2b 2，又a ≠b ，所以x 2＝y 2＝a 2b 2a 2＋b2，故四边形ABCD 为正方形，4a 2b 2a 2＋b 2＝163，(*)又由题意知a 2＝b 2＋2，将其代入(*)式整理得3b 4－2b 2－8＝0，所以b 2＝2，则a 2＝4， 所以椭圆C 的离心率e ＝22.10.已知A ，B ，F 分别是椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的右顶点、上顶点、左焦点，设△ABF 的外接圆的圆心坐标为(p ，q ).若p ＋q >0，则椭圆的离心率的取值范围为______________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 解析 如图所示，线段FA 的垂直平分线为x ＝1－1－b 22，线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2.因为k AB ＝－b ，所以线段AB 的垂直平分线的斜率k ＝1b，所以线段AB 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.把x ＝1－1－b 22＝p 代入上述方程可得y ＝b 2－1－b 22b ＝q .因为p ＋q >0，所以1－1－b 22＋b 2－1－b22b >0，化为b >1－b 2. 又0<b <1，解得12<b 2<1，即－1<－b 2<－12，所以0<1－b 2<12，所以e ＝c a＝c ＝1－b 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. 11.已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称.线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点.求点M 的轨迹C 的方程. 解 由题意得F 1(－1，0)，F 2(1，0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|PF 1|＝4>|F 1F 2|， 所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为3， 所以点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.12.已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，m >0.∵m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3， ∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，四个顶点的坐标分别为A 1(－1，0)，A 2(1，0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.13.(2018·浙江省台州适应性考试)已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5，0)为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，且满足|OP |＝|OF |，|PF |＝6，则椭圆C 的标准方程为( ) A.x 249＋y 224＝1B.x 224＋y 249＝1C.x 249＋y 225＝1 D.x 225＋y 249＝1 答案 A解析 如图，设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，椭圆C 的右焦点为M ，连接PM ，则|FM |＝2|OF |＝10，由|OP |＝|OF |＝|OM |知，FP ⊥PM ，又|PF |＝6，所以|PM |＝102－62＝8，所以2a ＝|PF |＋|PM |＝14，所以a ＝7，又c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝49－25＝24，所以椭圆C 的标准方程为x 249＋y 224＝1.14.(2018·浙江省镇海中学模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足FA →·FB →＝0，|FB |≤|FA |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，3－1 D.[3－1，1)答案 A解析 如图，作出椭圆的左焦点F ′，分别连接AB ，AF ′，BF ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形.由FA →·FB →＝0，知FA ⊥FB ，所以四边形AFBF ′为矩形，所以|AB |＝|FF ′|＝2c .设|AF ′|＝m ，|AF |＝n ，则由椭圆的定义知m ＋n ＝2a ，① 在Rt△AF ′F 中，m 2＋n 2＝4c 2.②由①②，得mn ＝2(a 2－c 2)，则m n ＋n m ＝2c2a 2－c 2.令n m ＝t ，得t ＋1t ＝2c 2a 2－c 2. 由|FB |≤|FA |≤2|FB |，得nm＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2a 2－c 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52，即2≤2e 21－e 2≤52，解得22≤e ≤53，故选A.15.(2018·嘉兴测试)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 1：y ＝－12x ，直线l 2：y ＝12x ，P 为椭圆上任意一点，过P 作PM ∥l 1且与l 2交于点M ，作PN ∥l 2且与l 1交于点N ，若|PM |2＋|PN |2为定值，则椭圆的离心率为________. 答案32解析 设P (x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝－12x ＋x 02＋y 0，直线PN 的方程为y ＝12x －x 02＋y 0，分别与直线l 2，l 1的方程联立可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02＋y 0，x 04＋y 02，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－y 0，－x 04＋y 02，从而|PM |2＋|PN |2＝58x 20＋52y 20.又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以b 2x 20＋a 2y 20＝a 2b 2.又|PM |2＋|PN |2为定值，所以b 2a 2＝5852＝14，从而e 2＝a 2－b 2a 2＝34，从而e ＝32.16.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上存在点P 使1－cos2∠PF 1F 21－cos2∠PF 2F 1＝a 2c 2，求该椭圆的离心率的取值范围.解 由1－cos2∠PF 1F 21－cos2∠PF 2F 1＝a 2c 2，得c a ＝sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2.又由正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|，所以|PF 1||PF 2|＝c a ，即|PF 1|＝c a |PF 2|.又由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 所以|PF 2|＝2a 2a ＋c ，|PF 1|＝2ac a ＋c ，因为PF 2是△PF 1F 2的一边， 所以有2c －2ac a ＋c <2a 2a ＋c <2c ＋2aca ＋c，即c 2＋2ac －a 2>0，所以e 2＋2e －1>0(0<e <1)， 解得椭圆离心率的取值范围为(2－1，1).。

§9.3椭圆及其性质考纲解读分析解读从近几年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力,分值为5分,属于中档题目;在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较广,往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合,在考查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)(i)依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有+=,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.(ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1.由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去),或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|==,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c. 由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=×=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为+=1.五年高考考点一椭圆的定义及其标准方程1.(2015广东,8,5分)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=( )A.2B.3C.4D.9答案 B2.(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C 于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案 A3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .答案124.(2016天津,19,14分)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.解析(1)设F(c,0),由+=,即+=,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B=,从而y B=.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),=.由BF⊥HF,得·=0,所以+=0,解得y H=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(x M,y M),由方程组消去y,解得x M=.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M-2)2+=+,化简得x M=1,即=1,解得k=-,或k=. 所以,直线l的斜率为-或.5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程;(2)若|PQ|=λ|PF1|,且≤λ<,试确定椭圆离心率e的取值范围.解析(1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,因此2c=|F1F2|===2,即c=,从而b==1.故所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)如图,连接QF1,由PF1⊥PQ,|PQ|=λ|PF1|,得|QF1|==|PF1|.由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a.于是(1+λ+)|PF1|=4a,解得|PF1|=,故|PF2|=2a-|PF1|=.由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,从而+=4c2,两边除以4a2,得+=e2.若记t=1+λ+,则上式变成e2==8+.由≤λ<,并注意到t=1+λ+关于λ的单调性,得3≤t<4,即<≤.进而<e2≤,即<e≤.6.(2015天津,19,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.(1)求直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ 与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.(i)求λ的值;(ii)若|PM|sin∠BQP=,求椭圆的方程.解析(1)设F(-c,0).由已知离心率=及a2=b2+c2,可得a=c,b=2c.又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF的斜率k===2.(2)设点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M).(i)由(1)可得椭圆的方程为+=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得x P=-.因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得x Q=.又因为λ=,及x M=0,可得λ===.(ii)由(i)有=,所以==,即|PQ|=|PM|.又因为|PM|sin∠BQP=,所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=.又因为y P=2x P+2c=-c,所以|BP|==c,因此c=,得c=1.所以,椭圆方程为+=1.7.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为 B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①又因为点P在椭圆上,故+=1.②由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入①得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r== c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.所以直线l的斜率为4+或4-.教师用书专用(8—10)8.(2013广东,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案 D9.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.解析(1)由已知可得,=,c=2,所以a=.又由a2=b2+c2,解得b=,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率k TF==-m.当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0,所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.因为四边形OPTQ是平行四边形,所以=,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以解得m=±1.此时,S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×·|OF|·|y1-y2|=2=2.10.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(1)求点P的坐标;(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+交于A,B两点.若△PAB的面积为2,求C的标准方程.解析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=,由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).(2)设C的标准方程为+=1(a>b>0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知+=1,并由得b2x2+4x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此由y1=x1+,y2=x2+,得|AB|=|x1-x2|=·.由点P到直线l的距离为及S△PAB=×|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,从而所求C的方程为+=1.考点二椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是( )A. B. C. D.答案 B2.(2017课标全国Ⅰ,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,]∪[4,+∞)答案 A3.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.答案 B4.(2016课标全国Ⅲ,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )A. B. C. D.答案 A5.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )A.3B.6C.9D.12答案 B6.(2015浙江,15,4分)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.答案7.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MN⊥AB.解析(1)由题设条件知,点M的坐标为,又k OM=,从而=.进而a=b,c==2b.故e==.(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为,可得=.又=(-a,b),从而有·=-a2+b2=(5b2-a2).由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以·=0,故MN⊥AB.8.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根据c=及题设知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a,①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则即代入C的方程,得+=1.②将①及c=代入②得+=1.解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=2.教师用书专用(9—14)9.(2013课标全国Ⅱ,5,5分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )A. B. C. D.答案 D10.(2013辽宁,11,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A、B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为( )A. B. C. D.答案 B11.(2013四川,9,5分)从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.答案 C12.(2014江西,14,5分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于.答案13.(2013福建,15,4分)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于.答案-114.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意得c=,∵e==,∴a=3,∴b==2,∴椭圆C的标准方程为+=1.(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2,则过P点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)⇒y=kx+y0-kx0,由消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,整理得(9-)k2+2x0y0k-+4=0,∴k1k2=(x0≠±3),由已知得k1k2=-1,∴=-1,∴+=13,即此时点P的轨迹方程为+=13.当两条切线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程+=13.综上所述,所求P点的轨迹方程为+=13.考点三直线与椭圆的位置关系1.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE 与△BDN的面积之比为4∶5.解析(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m).直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标y E=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.2.(2016课标全国Ⅱ,21,12分)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N 在E上,MA⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明:<k<2.解析(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(4分)(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入+=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1·(-2)=得x1=,故|AM|=|x1+2|=.由题设,直线AN的方程为y=-(x+2),故同理可得|AN|=.(7分)由2|AM|=|AN|得=,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f '(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)内单调递增.又f()=15-26<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在(,2)内,所以<k<2.(12分)3.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.解析(1)由已知得,a=2b.又椭圆+=1(a>b>0)过点P,故+=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是+y2=1.(2)证明:设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组得x2+2mx+2m2-2=0,①方程①的判别式为Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-<m<.由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以M点坐标为,直线OM的方程为y=-x,由方程组得C,D.所以|MC|·|MD|=(-m+)·(+m)=(2-m2).又|MA|·|MB|=|AB|2=[(x1-x2)2+(y1-y2)2]=[(x1+x2)2-4x1x2]=[4m2-4(2m2-2)]=(2-m2),所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.4.(2015北京,20,14分)已知椭圆C:x2+3y2=3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.解析(1)椭圆C的标准方程为+y2=1.所以a=,b=1,c=.所以椭圆C的离心率e==.(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴,所以可设A(1,y1),B(1,-y1).直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2).令x=3,得M(3,2-y1).所以直线BM的斜率k BM==1.(3)直线BM与直线DE平行.证明如下:当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知k BM=1.又因为直线DE的斜率k DE==1,所以BM∥DE.当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠1).设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则直线AE 的方程为y-1=(x-2).令x=3,得点M .由得(1+3k 2)x 2-6k 2x+3k 2-3=0.所以x 1+x 2=,x 1x 2=.直线BM 的斜率k BM =.因为k BM -1==121221(-1)[-2()-3](3-)(-2)k x x x x x x ++==0,所以k BM =1=k DE . 所以BM∥DE.综上可知,直线BM 与直线DE 平行.5.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C 1与C 2的公共弦的长为2.过点F 的直线l 与C 1相交于A,B 两点,与C 2相交于C,D 两点,且与同向.(1)求C 2的方程;(2)若|AC|=|BD|,求直线l 的斜率.解析 (1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2-b 2=1.① 又C 1与C 2的公共弦的长为2,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2=4y,由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为,所以+=1.②联立①,②得a 2=9,b 2=8.故C 2的方程为+=1. (2)如图,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x 3-x 1=x 4-x 2,即x 1-x 2=x 3-x 4,于是(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k,则l 的方程为y=kx+1.由得x 2-4kx-4=0.而x 1,x 2是这个方程的两根, 所以x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4.④由得(9+8k 2)x 2+16kx-64=0.而x 3,x 4是这个方程的两根,所以x 3+x 4=-,x 3x 4=-.⑤将④,⑤代入③,得16(k 2+1)=+,即16(k 2+1)=,所以(9+8k 2)2=16×9,解得k=±,即直线l 的斜率为±.6.(2014陕西,20,13分)已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0,),离心率为,左,右焦点分别为F 1(-c,0),F 2(c,0). (1)求椭圆的方程;(2)若直线l:y=-x+m 与椭圆交于A,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C,D 两点,且满足=,求直线l 的方程.解析(1)由题设知解得a=2,b=,c=1,∴椭圆的方程为+=1.(2)由(1)知,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,∴圆心到直线l的距离d=,由d<1得|m|<.(*)∴|CD|=2=2=.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-mx+m2-3=0,由根与系数关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3.∴|A B|==.由=得=1,解得m=±,满足(*).∴直线l的方程为y=-x+或y=-x-.教师用书专用(7—10)7.(2013安徽,21,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(,).(1)求椭圆C的方程;(2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.解析(1)因为焦距为4,所以a2-b2=4.又因为椭圆C过点P(,),所以+=1,故a2=8,b2=4,从而椭圆C的方程为+=1.(2)由题意,得E点坐标为(x0,0),设D(x D,0),则=(x0,-2),=(x D,-2),再由AD⊥AE知,·=0,即x0x D+8=0.由于x0y0≠0,故x D=-.因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G.故直线QG的斜率k QG==.又因Q(x0,y0)在椭圆C上,所以+2=8.①从而k QG=-.故直线QG的方程为y=-.②将②代入椭圆C的方程,得(+2)x2-16x0x+64-16=0.③再将①代入③,化简得x2-2x0x+=0.解得x=x0,所以y=y0,即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.8.(2013陕西,20,13分)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率. 解析(1)设M到直线l的距离为d,根据题意得,d=2|MN|.由此得|4-x|=2,化简得+=1,所以动点M的轨迹方程为+=1.(2)解法一:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+3代入+=1中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0,其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0,由根与系数的关系得x1+x2=-, ①x1x2=. ②又因A是PB的中点,故x2=2x1, ③将③代入①,②得x1=-,=,可得=,且k2>,解得k=-或k=,所以直线m的斜率为-或.解法二:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).∵A是PB的中点,∴x1=, ①y1=. ②又+=1, ③+=1, ④联立①,②,③,④解得或即点B的坐标为(2,0)或(-2,0),所以直线m的斜率为-或.9.(2013重庆,21,12分)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A'两点,|AA'|=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P',过P,P'作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.求△PP'Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.解析(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1.从而e2+=1.由e=得b2==8,从而a2==16.故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x++8=(x-2x0)2-+8(x∈[-4,4]).设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1∈(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.由对称性知P'(x1,-y1),故|PP'|=|2y1|,所以S=|2y1||x1-x0|=×2|x0|==.当x0=±时,△PP'Q的面积S取到最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|==,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.10.(2013山东,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设=t,求实数t的值.解析(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由题意知解得a=,b=1.因此椭圆C的方程为+y2=1.(2)(i)当A,B两点关于x轴对称时,设直线AB的方程为x=m,由题意知-<m<0或0<m<.将x=m代入椭圆方程+y2=1,得|y|=.所以S△AOB=|m|=.解得m2=或m2=.①又=t=t(+)=t(2m,0)=(mt,0),因为P为椭圆C上一点,所以=1.②由①②得t2=4或t2=,又因为t>0,所以t=2或t=.(ii)当A,B两点关于x轴不对称时,设直线AB的方程为y=kx+h.将其代入椭圆的方程+y2=1,得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2). 由判别式Δ>0可得1+2k2>h2,此时x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2h=,所以|AB|==2.因为点O到直线AB的距离d=,所以S△AOB=|AB|d=×2·=|h|.又S△AOB=,所以|h|=.③令n=1+2k2,代入③整理得3n2-16h2n+16h4=0,解得n=4h2或n=h2,即1+2k2=4h2或1+2k2=h2.④又=t=t(+)=t(x1+x2 ,y1+y2)=,因为P为椭圆C上一点,所以t2=1,即t2=1.⑤将④代入⑤得t2=4或t2=,又知t>0,故t=2或t=,经检验,适合题意.综合(i)(ii),得t=2或t=.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一椭圆的定义及其标准方程1.(2018宁夏银川一中月考,5)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案 C2.(2018广东惠州二调,10)设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为( )A. B. C. D.答案 D3.(2017湖南长沙一模,5)椭圆的焦点在x轴上,中心在原点,其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为( )A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案 C4.(2017河南三市联考,5)“mn>0”是“方程mx2+ny2=1表示椭圆”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A5.(2017甘肃兰州联考,6)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案 A6.(2016河南八市重点中学联考,14)在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则= .答案考点二椭圆的几何性质7.(2018黑龙江哈六中12月模拟,9)椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线x+y=0的对称点A 是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为( )A. B. C. D.-1答案 D8.(2018河南百校联盟12月联考,5)已知椭圆C:+=1(a>b>0)与直线x=b在第一象限交于点P,若直线OP的倾斜角为30°,则椭圆C的离心率为( )A. B. C. D.答案 B9.(2017黑龙江哈六中模拟,13)椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为.答案考点三直线与椭圆的位置关系10.(2018河南开封调研,10)已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.答案 C11.(2016天津和平调研考试,13)过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.答案12.(2018湖南益阳、湘潭9月联考,20)已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点,离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)设点A、F分别为椭圆的右顶点、右焦点,经过点F作直线交椭圆于C,D两点,求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点).解析(1)由题设得:解得∴椭圆方程为+=1.(2)设直线CD的方程为x=ky+1,与椭圆方程+=1联立得(3k2+4)y2+6ky-9=0.设C(x1,y1),D(x2,y2),∴y1+y2=- ,y1y2=-,∴S四边形OCAD=S△OCA+S△ODA=×2×|y1|+×2×|y2|=|y1-y2|====,其中t=,t≥1.∵t≥1,∴f(t)=3t+单调递增,∴3t+≥4,∴S四边形OCAD≤3(当且仅当k=0时取等号).故四边形OCAD的面积的最大值为3.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:75分时间:60分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018贵州贵阳摸底测试,12)P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,A为左顶点,F为右焦点,PF⊥x轴,若tan∠PAF=,则椭圆的离心率e为( )A. B. C. D.答案 D2.(2017江西上饶一模,10)设F1,F2为椭圆C1:+=1(a1>b1>0)与双曲线C2:-=1(a2>0,b2>0)的公共焦点,它们在第一象限内交于点M,∠F1MF2=90°,若椭圆的离心率e1=,则双曲线C2的离心率e2为( )A. B. C. D.答案 B3.(2017江西九江模拟,10)已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,点P为椭圆上一点,|OP|=a,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.答案 D二、填空题(每小题5分,共15分)4.(2018江西赣中南五校联考,15)已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线m分别与PF1,PF2交于M,N两点,则点M的轨迹方程为.答案+=15.(2017广东五校联考,16)已知椭圆C:+y2=1的两焦点为F1、F2,点P(x0,y0)满足0<+<1,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.答案[2,2)6.(2016湖南长沙一中月考,15)如图,∠OFB=,△ABF的面积为2-,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为.答案+=1三、解答题(每小题15分,共45分)7.(2018河南新乡一模,20)已知直线l:y=2x-2与椭圆Ω:+=1(m≠0)交于A,B两点.(1)求Ω的离心率;(2)若以线段AB为直径的圆C经过坐标原点,求Ω的方程及圆C的标准方程.解析(1)e====.(2)由得17x2-32x+16-4m2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=(-32)2-68(16-4m2)>0,x1+x2=,x1x2=.由已知得·=x1x2+y1y2=x1x2+4(x1-1)(x2-1)=5x1x2-4(x1+x2)+4=0,即5·-4·+4=0,∴m2=1,且满足Δ>0.故Ω的方程为+y2=1.设圆C的圆心为(x0,y0),则x0==,y0=2(x0-1)=-.|AB|=·=.故圆C的标准方程为+=.8.(2018四川成都一模,8)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(,0),长半轴与短半轴长度之比等于2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上,求直线l的方程.解析(1)∵c=,=2,a2=b2+c2,∴a=2,b=1.∴椭圆的标准方程为+y2=1.(2)易知当直线l的斜率为0时,不合题意.当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=my+1,设M(x1,y1),N(x2,y2).由消去x可得(4+m2)y2+2my-3=0.∴Δ=16m2+48>0,y1+y2=,y1y2=.∵点B在以MN为直径的圆上,∴·=0.∴·=(my1+1,y1-1)·(my2+1,y2-1)=(m2+1)y1y2+(m-1)(y1+y2)+2=0,∴(m2+1)·+(m-1)·+2=0.整理,得3m2-2m-5=0,解得m=-1或m=.∴直线l的方程为x+y-1=0或3x-5y-3=0.9.(2017湖南六校联盟联考,20)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,点F1,F2是椭圆E的左、右焦点,过F1的直线与椭圆E交于A,B两点,且△F2AB的周长为8.(1)求椭圆E的标准方程;(2)动点M在椭圆E上,动点N在直线l:y=2上,若OM⊥ON,探究原点O到直线MN的距离是否为定值,并说明理由.解析(1)由题意得解得a=2,b=,所以椭圆E的标准方程为+=1.(2)设原点O到直线l的距离为d.①若直线ON的斜率不存在,则|ON|=2,|OM|=2,所以|MN|=4,d==.②若直线ON的斜率存在,设直线OM的方程为y=kx(k≠0),代入+=1得x2=,∴y2=,易知直线ON的方程为y=-x,代入y=2,得N(-2k,2),|MN|2=|ON|2+|OM|2=(-2k)2+(2)2+=,则|MN|·d=|OM|·|ON|⇒d2==3,则d=.综上所述,原点O到直线MN的距离为定值.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求椭圆标准方程的方法1.(2017河北衡水六调,8)已知A(-1,0),B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为( )A.+=1B.-=1C.-=1D.+=1答案 D2.(2016河南三市调研,8)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且与抛物线y2=x交于A、B两点,若△OAB(O 为坐标原点)的面积为2,则椭圆C的方程为( )A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案 A方法2 求椭圆的离心率(范围)的方法3.(2018河北衡水中学六调,10)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为M,N,若在椭圆C上存在点H,使k MH k NH∈,则椭圆C的离心率的取值范围为( )A. B. C. D.答案 A4.(2018湖北武汉部分重点中学调研,11)已知A,B分别为椭圆+=1(0<b<3)的左、右顶点,P,Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点,设直线AP,BQ的斜率分别为m,n,若点A到直线y=x的距离为1,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.答案 B5.(2016福建厦门双十、南安一中、厦门海沧实验中学联考,9)已知直线l:y=kx+2过椭圆+=1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若L≥,则椭圆离心率e的取值范围是( )A. B. C. D.答案 B6.(2017河北百校联盟联考,14)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与椭圆C2:+=1(a>b>0)相交于A、B、C、D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-,0),且四边形ABCD的面积为,则椭圆C1的离心率e为.答案方法3 与直线和椭圆的位置关系有关问题的求解方法7.(2016河北唐山统考,11)平行四边形ABCD内接于椭圆+=1,直线AB的斜率k1=1,则直线AD的斜率k2=( )A. B.- C.- D.-2答案 B8.(2018湖北重点中学12月联考,21)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),直线x=c交椭圆E于A,B两点,△ABF1的周长为16,△AF1F2的周长为12.(1)求椭圆E的标准方程与离心率;(2)若直线l与椭圆E交于C、D两点,且P(2,2)是线段CD的中点,求直线l的一般方程.解析(1)由题知解得∴椭圆E的标准方程为+=1,离心率e==.(2)易知直线l的斜率存在,设为k,设C(x1,y1),D(x2,y2),则∴+=0,∴+=0,又P(2,2)是线段CD的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=4,∴k==-,故直线l的方程为y-2=-(x-2),化为一般形式即3x+4y-14=0.9.(2017广东七校第二次联考,20)已知圆E:x2+=经过椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2,且与椭圆C在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线,直线l交椭圆C于M,N两点,且=λ(λ≠0).(1)求椭圆C的方程;(2)当△AMN的面积取到最大值时,求直线l的方程.解析(1)∵圆E经过椭圆C的左、右焦点F1,F2,∴c2+=,解得c=.∵F1,E,A三点共线,∴AF1为圆E的直径.∴AF2⊥F1F2,∴|AF2|2=|AF1|2-|F1F2|2=9-8=1,∴2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4,∴a=2.由a2=b2+c2,得b=,∴椭圆C的方程为+=1.(2)由(1)可得,点A的坐标为(,1),由题意知直线l的斜率为,设直线l的方程为y=x+m,联立得整理得x2+mx+m2-2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由Δ=(m)2-4(m2-2)>0,得-2<m<2.∵∴|MN|=·=.又点A到直线l的距离d==|m|,∴S△AMN=|MN|d=·|m|=≤·=,当且仅当4-m2=m2,即m=±时,等号成立.∴当△AMN的面积取最大值时,直线l的方程为y=x+或y=x-.。

课时跟踪训练(四十九) 椭圆(一)[基础巩固]一、选择题1．中心在座标原点的椭圆，核心在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1 [解析] 因为焦距为4，所以c ＝2，离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2＝4，故选D.[答案] D2．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等[解析] c 2＝25－k －(9－k )＝16，所以c ＝4，所以两条曲线的焦距相等． [答案] D3．(2021·河南开封开学考试)若方程x 2＋ky 2＝2表示核心在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B．(0,2) C ．(1，＋∞) D．(0,1)[解析] ∵方程x 2＋ky 2＝2，即x 22＋y 22k＝1表示核心在y 轴上的椭圆，∴2k>2，故0<k <1，故选D.[答案] D4．(2021·吉林长春外国语学校期末)椭圆x 22＋y 2＝1的两个核心别离是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2][解析] 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴PF 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(1－x ，－y )，则PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C.[答案] C5．(2021·湖北孝感七校联盟期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左核心为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C的离心率为( )A.35B.57C.45D.67[解析] 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45.解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠FAF 1＝∠FAB ＋∠FBA ＝90°，△FAF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，∴c a ＝57. [答案] B6．(2021·上海崇明一模)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左核心，P 为C 上一点，知足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 245＋y 225＝1[解析] 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右核心为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝2 5.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝90°. 在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝452－42＝8.由椭圆的概念可知2a ＝|PF |＋|PF ′|＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故所求椭圆方程为x 236＋y 216＝1，故选C.[答案] C 二、填空题7．(2021·北京朝阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个核心是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 组成正三角形，则此椭圆的方程为__________．[解析] 由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[答案]x 24＋y 23＝18．(2021·湖北武汉十六中月考)一个圆通过椭圆x 216＋y 24＝1的三个极点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为__________．[解析] 由x 216＋y 24＝1可知椭圆的右极点坐标为(4,0)，上、下极点坐标为(0，±2)．∵圆通过椭圆x 216＋y 24＝1的三个极点，且圆心在x 轴上，∴①当圆通过椭圆右极点及短轴两头点时，设圆的圆心为(x,0)，则x 2＋4＝4－x ，解得x ＝32，∴圆的半径为52，所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.②当圆通过椭圆左极点及短轴两头点时，同理可得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝254.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±322＋y 2＝2549．从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左核心F 1，A 是椭圆与x轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知，点P (－c ，y ) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.[答案]22三、解答题10．(2021·湖南长沙望城一中第三次调研)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标．[解] (1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2 2.由已知得|MB |＝|MP |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22，故曲线Γ是以A ，B 为核心，以22为长轴长的椭圆，设Γ的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，a ＝2，c ＝1，b ＝1，所以曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由点P 在第一象限，cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223.于是直线AP 的方程为y ＝24(x ＋1)． 代入椭圆方程，消去y ，可得5x 2＋2x －7＝0，即(5x ＋7)(x －1)＝0. 所以x 1＝1，x 2＝－75.因为点M 在线段AP 上，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22. [能力提升]11．已知F 1，F 2别离是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右核心，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好通过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13[解析] 如图所示， ∵线段PF 1的中垂线通过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c .∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.故选C.[答案] C12．如图，椭圆的中心在座标原点O ，极点别离是A 1，A 2，B 1，B 2，核心分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5＋14B.⎝⎛⎭⎪⎫5＋14，1C.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 D.⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1[解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1>0，即e 2＋e－1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1. [答案] D13．(2021·江苏镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m ，n 为常数，m >n >0)的左、右核心别离为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→＝________.[解析] 由题知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝b 2，∴PF 1→·PF 2→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－c 2＝b 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .[答案] 2n －m14．(2021·云南保山期末)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个核心为F 1，若椭圆上存在一个点P ，知足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________．[解析] 设⊙O 与PF 1切于点M ，连接PF 2，OM .因为M 为PF 1的中点，所以OM 綊12PF 2，得|PF 2|＝2b ，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a －2b ，|MF 1|＝a －b .在Rt △OMF 1中，由|OM |2＋|MF 1|2＝|OF 1|2，得b 2＋(a －b )2＝c 2.所以b 2＋(a －b )2＝a 2－b 2，得a ＝32b ，c ＝52b ，所以e ＝c a ＝53. [答案]5315．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2别离为椭圆的左、右核心，A 为椭圆的上极点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率． (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．[解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.16．(2021·贵州遵义模拟)设F 1，F 2别离是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右核心，M是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . [解] (1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c .当x ＝c 时，y ＝±b 2a ，由直线MN 的斜率为34，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，即tan ∠MF 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，即b 2＝32ac ＝a 2－c 2，即c 2＋32ac －a 2＝0，则e 2＋32e －1＝0，即2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12或e ＝－2(舍去)，即e ＝12.(2)由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，设M (c ，y 0)(y 0>0)，则c 2a 2＋y 20b 2＝1，即y 20＝b 4a 2，解得y 0＝b 2a.∵OD 是△MF 1F 2的中位线，∴b 2a＝4，即b 2＝4a ，由|MN |＝5|F 1N |，得|MF 1|＝4|F 1N |，解得|DF 1|＝2|F 1N |，即DF 1→＝2F 1N →.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则(－c ，－2)＝2(x 1＋c ，y 1)．即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋c ＝－c ，2y 1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入椭圆方程得9c 24a 2＋1b2＝1，将b 2＝4a 代入得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b ＝27. [延伸拓展]1．(2021·石家庄质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为核心且通过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A.2613 B.22613 C.21313 D.41313[解析] 设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，易知|PA |＋|PB |的最小值等于|A 1B |＝26，因此椭圆C 的离心率e ＝|AB ||PA |＋|PB |＝4|PA |＋|PB |的最大值为22613.[答案] B2．(2021·上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面得一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．[解析]∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a2＝b2＋c2，∴c＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3.[答案]4 3。